幂级数及其收敛性

关于幂级数及其收敛性121.定义如下形式的函数项级数称为的幂级数,的幂级数.定义称为幂级数第2页,共44页，2024年2月25日，星期天32.收敛半径和收敛域级数幂级数级数的收敛域第3页,共44页，2024年2月25日，星期天4证阿贝尔(Abel)(挪威)1802–1829定理1（阿贝尔第一定理）则它在满足不等式绝对收敛;发散.收敛,发散,如果级数则它在满足不等式的一切x处如果级数的一切x处从而数列有界,即有常数M>0,使得第4页,共44页，2024年2月25日，星期天5幂级数由(1)结论,这与所设矛盾.使级数收敛,则级数时应收敛,但有一点x1适合第5页,共44页，2024年2月25日，星期天6推论也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确幂级数绝对收敛;幂级数发散.幂级数可能收敛也可能发散.幂级数几何说明收敛区域发散区域发散区域如果幂级数不是仅在

x=0一点收敛,定的正数R存在,它具有下列性质:第6页,共44页，2024年2月25日，星期天7正数R称为幂级数的规定问:如何求幂级数的收敛半径?定义收敛半径.收敛区间.幂级数(1)幂级数只在

x=0处收敛,收敛区间(2)幂级数对一切x都收敛,收敛区间收敛区间连同收敛端点称为幂级数的收敛域.第7页,共44页，2024年2月25日，星期天8证且定理2设幂级数的所有系数幂级数由正项级数的比值判别法,第8页,共44页，2024年2月25日，星期天9收敛半径幂级数绝对收敛;发散,从而发散.

比值判别法则第9页,共44页，2024年2月25日，星期天10幂级数收敛,从而级数绝对收敛.收敛半径发散.收敛半径则第10页,共44页，2024年2月25日，星期天11例求下列幂级数的收敛半径与收敛域:解幂级数第11页,共44页，2024年2月25日，星期天12收敛.

调和级数,发散.收敛域为解幂级数收敛域收敛半径第12页,共44页，2024年2月25日，星期天13解幂级数第13页,共44页，2024年2月25日，星期天14级数为正项级数因为所以对应的数项级数也发散.当x=4时,故收敛域为幂级数第14页,共44页，2024年2月25日，星期天15发散;收敛.故收敛域为解还有别的方法吗?(0,1].即亦即时原级数收敛.幂级数第15页,共44页，2024年2月25日，星期天16解是缺偶次幂的幂级数.例求函数项级数的收敛域.去掉第一项,所以,去掉第一项,级数处处收敛.定义域为因为第一项lnx的所以,原级数的收敛域是幂级数比值判别法第16页,共44页，2024年2月25日，星期天17例设幂级数的收敛半径分别为则幂级数的收敛半径为()分析幂级数第17页,共44页，2024年2月25日，星期天18讨论幂级数的收敛域.解此级数是缺项的幂级数,作变换,令级数变为它的收敛半径当y=3时,级数为发散.不满足定理2的条件.幂级数第18页,共44页，2024年2月25日，星期天19故y(≥0)的幂级数收敛域为因此,原幂级数收敛域为收敛半径即幂级数第19页,共44页，2024年2月25日，星期天20思考确定函数项级数的收敛域.解对任意固定的x,即用比较审敛法的极限形式:而级数是p=x的p–级数,所以,当n充分大时,有发散.故级数的收敛域为幂级数收敛.第20页,共44页，2024年2月25日，星期天21

解幂级数练习第21页,共44页，2024年2月25日，星期天22幂级数处处收敛.收敛发散第22页,共44页，2024年2月25日，星期天231.代数运算性质(1)加减法幂级数幂级数的性质的收敛半径各为R1和R2,第23页,共44页，2024年2月25日，星期天24(2)乘法(其中(3)除法(相除后的收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多)幂级数第24页,共44页，2024年2月25日，星期天252.和函数的分析运算性质幂级数定理3（阿贝尔第二定理）内闭一致收敛证第25页,共44页，2024年2月25日，星期天26则其和函数的端点处收敛,则其和函数在该端点单侧连续.幂级数如果幂级数在收敛区间证第26页,共44页，2024年2月25日，星期天27则其和函数幂级数第27页,共44页，2024年2月25日，星期天28幂级数则其和函数第28页,共44页，2024年2月25日，星期天29解(1)求收敛域发散;收敛.故级数的求收敛域为例幂级数收敛半径第29页,共44页，2024年2月25日，星期天30(2)求和函数幂级数第30页,共44页，2024年2月25日，星期天31或者幂级数第31页,共44页，2024年2月25日，星期天32例求幂级数的和函数.解容易知道级数的收敛域幂级数设和函数为s(x),即则有第32页,共44页，2024年2月25日，星期天33因此,此外,显然有综上,幂级数第33页,共44页，2024年2月25日，星期天34解例幂级数第34页,共44页，2024年2月25日，星期天35逐项求导积分得幂级数第35页,共44页，2024年2月25日，星期天36幂级数第36页,共44页，2024年2月25日，星期天37解容易知道,例幂级数第37页,共44页，2024年2月25日，星期天38练习求的收敛域与和函数.提示解令收敛域为当时,收敛,当时,收敛,幂级数第38页,共44页，2024年2月25日，星期天39又设(逐项求导即可得)和函数为(逐项求导即可得)设设幂级数第39页,共44页，2024年2月25日，星期天40

小结再对和函数积分(求导),求出原级数的和函数.求和函数的一般过程是:首先找收敛半径,再利用在收敛区间上幂级数和函数的性质可逐项求导(积分),求得新的幂级数和函数;最后幂级数第40页,共44页，2024年2月25日，星期天41幂级数常用已知和函数的幂级数第41页,共44页，2024年2月25日，星期天42幂级数及其收敛性收敛半径R幂级数的运算代数、分析运算性质

函数项级数的概念幂级数四、小结收敛点、收敛域、和函数

一般求三种类型