复合函数及抽象函数的单调性

复合函数的单调性复合函数的定义：设y=f(u)定义域A，u=g(x)值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量1精选ppt课件复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定；引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)<g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1<u2，且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)<f(u2),即y=f[g(x1)]<y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。2精选ppt课件复合函数的单调性引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)>g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)<f(u2),即y=f[g(x1)]<y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。3精选ppt课件复合函数的单调性若u=g(x)y=f(u)则y=f[g(x)]规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。“同增异减”增函数增函数增函数减函数减函数

增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数4精选ppt课件解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/3当-1/3≤x≤0,x增大时，1-9x2增大，f(x)减小当0<x≤1/3，x增大时，1-9x2减小，f(x)增大∴函数的单调区间是[-1/3，0]，[0，1/3]。5精选ppt课件例2.已知f(x)=－x2+2x+8，g(x)=f(2－x2)，求g(x)的单调增区间．【解题思路】x∈某区间A

t∈某区间B

①在A上的增减性②在B上的增减性g(x)在A上的单调性关键是A的端点如何确定？

【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以应“分层剥离”为两个函数t=－x2+2①y=f(t)=－t2+2t+8②6精选ppt课件【解】设t=－x2+2①y=－t2+2t+8②函数②的增、减转折点是t=1，把t=1代入①，得x1=－1，x2=1，又①的增、减转折点是x3=0，于是三个关节点把数轴分成四个区间：，，，(1)x∈(-∞,-1]时,函数①递增,且t≤1,而t∈(-∞,1]时,函数②也递增，故(-∞,-1]是所求的一个单调增区间；7精选ppt课件(2)x∈(-1,0]时，函数①递增，且t∈(1,2]，而t∈(1,2]时，函数②递减，故(-1,0]是g(x)的单调减区间；(3)x∈(0,1]时,函数①递减，且t∈(1,2]

，而t∈(1,2],函数②也递减，故(0,1]是g(x)的单调增区间；8精选ppt课件（4）x∈(1，+∞)时，函数①递减，且t∈(－∞，1)而t∈(－∞，1)时，函数②递增，故(1，+∞)是g(x)的单调减区间．综上知，所求g(x)的增区间是和9精选ppt课件例2：设f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在区间（-∞，0]上是增函数，又f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求a的取值范围。问：设f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且在区间（-∞，0)上是增函数，问在区间(0，+∞）上f(x)是增函数还是减函数？(0<a<3)例1：设f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且在区间（-∞，0）上是增函数，又f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求a的取值范围。抽象函数10精选ppt课件11精选ppt课件12精选ppt课件13精选ppt课件例4:14精选ppt课件15精选ppt课件16精选ppt课件17精选ppt课件例6:已知是定义在[-1,1]上的奇函数，则有(1)判断（2）解不等式在[-1,1]上的增减性，并证明你的结论；解：（1）在[-1,1]上增。证明：任取则故在[-1,1]上增。若18精选ppt课件（2）在[-1,1]上增，不等式的解集为19精选ppt课件是定义在[-1,1]上的奇函数，则有在[-1,1]上的增减性，并证明你的结论；若例6:已知(1)判断20精选ppt课件复合函数的单调性小结复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：(1)将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数,u=g(x)称为内层函数;(2)确定函数的定义域；(3)分别确定分解成的两个函数的单调性；(4)若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数；(5)若两个函数在对应的区间上的单