MOOC 泛函分析-空间理论-西北大学 中国大学慕课答案

MOOC泛函分析—空间理论-西北大学中国大学慕课答案单元测验（一）1、问题：如果一个非空集合上可定义一个距离，则以下说法正确的是（）.选项：A、距离是唯一的B、可以定义有限个距离C、可以无限多个距离D、其它三项都不对正确答案:【可以无限多个距离】2、问题：在一个非空集合上()可以定义距离.选项：A、一定B、不一定C、与集合的性质有关D、其它三项都不对正确答案:【一定】3、问题：N维欧氏空间中点列的按距离收敛等价于（）.选项：A、逐点收敛B、几乎处处收敛C、按坐标收敛D、一致收敛正确答案:【按坐标收敛】4、问题：连续函数空间中点列的按距离收敛等价于函数列的（）.选项：A、按坐标收敛B、一致收敛C、逐点收敛D、几乎处处收敛正确答案:【一致收敛】5、问题：有界数列空间中点列的按距离收敛是（）.选项：A、按坐标收敛B、一致收敛C、逐点收敛D、其余三项都不对正确答案:【其余三项都不对】6、问题：离散距离空间中点列的按距离收敛是（）.选项：A、按坐标收敛B、一致收敛C、逐点收敛D、其余三项都不对正确答案:【其余三项都不对】7、问题：一个非空集合上的距离满足（）.选项：A、非负性B、对称性C、正齐次性D、三角不等式正确答案:【非负性#对称性#三角不等式】8、问题：关于距离空间中点列的收敛性，以下说法正确的是（）.选项：A、收敛列的极限是唯一的B、收敛列的极限一定属于该距离空间C、有界列一定是收敛列D、收敛列的子列一定收敛正确答案:【收敛列的极限是唯一的#收敛列的极限一定属于该距离空间#收敛列的子列一定收敛】9、问题：距离空间中的收敛点列满足（）.选项：A、其极限未必唯一B、其极限是唯一的C、其任一子列必收敛D、存在不收敛的子列正确答案:【其极限是唯一的#其任一子列必收敛】10、问题：设R是实数集，定义d(x,y)=1+|x-y|,则d是R上的距离.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】11、问题：任一非空集合上都可以定义距离，使之成为距离空间.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】12、问题：设C[0,1]是[0,1]上的连续函数全体，定义则d是C[0,1]上的一个距离.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】单元测验（二）1、问题：开集恰好由该集合的所有（）构成.选项：A、外点B、内点C、聚点D、接触点正确答案:【内点】2、问题：闭集恰好由该集合的所有（）构成.选项：A、内点B、外点C、接触点D、聚点正确答案:【接触点】3、问题：设E和F是距离空间中的点集，则以下关于“E在F中稠密”的表述，正确的是（）.选项：A、B、C、D、正确答案:【】4、问题：全体有理数在（）中是稠密的.选项：A、实数空间B、连续函数空间C、有界数列空间D、离散的距离空间正确答案:【实数空间】5、问题：以下选项中，不可分的距离空间为（）.选项：A、实数空间B、连续函数空间C、离散的距离空间D、有界数列空间正确答案:【有界数列空间】6、问题：距离空间中的非空开集一定包含一个（）.选项：A、内点B、接触点C、开球D、闭球正确答案:【内点#接触点#开球#闭球】7、问题：以下说法正确的是（）.选项：A、开球是开集B、开集是开球C、开球的补集是闭集D、开球的补集是闭球正确答案:【开球是开集#开球的补集是闭集】8、问题：在距离空间中，以下说法正确的是（）.选项：A、闭球的内部是闭集B、开球的闭包是闭集C、开球的内部是开集D、开球的补集是闭集正确答案:【开球的闭包是闭集#开球的内部是开集#开球的补集是闭集】9、问题：关于内点与接触点，以下说法正确的是（）.选项：A、接触点一定是内点B、内点一定是接触点C、接触点可能是内点D、内点未必是接触点正确答案:【内点一定是接触点#接触点可能是内点】10、问题：在距离空间中，以下说法正确的是（）.选项：A、任意多个开集的交集是开集B、任意多个开集的并集是开集C、任意多个闭集的交集是闭集D、任意多个闭集的并集是闭集正确答案:【任意多个开集的并集是开集#任意多个闭集的交集是闭集】11、问题：在实数空间R中，令Q为有理数全体.以下选项中，与“Q在R中稠密”等价的是（）.选项：A、B、C、D、正确答案:【#】12、问题：设E和F是距离空间中的点集，则以下关于“E在F中稠密”的表述，正确的是（）.选项：A、B、C、D、E、F、正确答案:【#】13、问题：设E与F是距离空间中的点集.以下命题中，相互等价的是（）.选项：A、E在F中稠密B、F中每个点都是E的接触点C、E与F的交集可能是空集D、F中每个点都是E中某点列的极限正确答案:【E在F中稠密#F中每个点都是E的接触点#F中每个点都是E中某点列的极限】14、问题：以下选项中，一定具有可分性的距离空间是（）.选项：A、实数空间B、有理数空间C、连续函数空间D、离散的距离空间正确答案:【实数空间#有理数空间#连续函数空间】15、问题：在可分的距离空间中，必包含（）.选项：A、可数子集B、不可数子集C、稠密子集D、有限子集正确答案:【可数子集#稠密子集#有限子集】16、问题：设T是从距离空间X到距离空间Y的映射，则以下命题中与“T是连续映射”等价的是（）.选项：A、X中任何开集的像是Y中的开集B、Y中任何开集的原像是X中的开集C、X中任何闭集的像是Y中的闭集D、Y中任何闭集的原像是X中的闭集正确答案:【Y中任何开集的原像是X中的开集#Y中任何闭集的原像是X中的闭集】17、问题：距离空间中的任一子集，其闭包未必是闭集.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】18、问题：距离空间中的任一子集，其内部一定是开集.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】19、问题：任意多个闭集的并集是闭集.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】20、问题：任意有限个开集的交集是开集.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】21、问题：离散距离空间上的任一子集既是开集又是闭集.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】22、问题：非空开集一定是开球.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】23、问题：在实数空间中，全体有理数在全体无理数中稠密.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】24、问题：有界数列空间是可分的距离空间.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】25、问题：[0,1]上的全体有理系数多项式在连续函数空间C[0,1]中是稠密的.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】26、问题：在不可数集X上定义离散距离d，则距离空间（X,d）是不可分的.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】27、问题：定义在离散距离空间上的任何映射都是连续的.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】28、问题：有界数列空间的任何子空间都是不可分的.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】单元测验（三）1、问题：以下关于距离空间中”柯西列与收敛列“的表述，正确的是（）.选项：A、柯西列一定是收敛列B、有界列一定是柯西列C、收敛列一定是柯西列D、其他三项都不对正确答案:【收敛列一定是柯西列】2、问题：以下实数空间的距离子空间中，具有完备性的是（）.选项：A、B、C、D、正确答案:【】3、问题：设距离空间X是距离空间E的完备化空间，在等距同构的意义下，以下说法正确的是（）.选项：A、E是X的开子空间B、E是X的闭子空间C、E是X的稠子空间D、E是X的真子空间正确答案:【E是X的稠子空间】4、问题：在距离空间中，压缩映射一定是（）.选项：A、单射B、满射C、等距映射D、连续映射正确答案:【连续映射】5、问题：在完备的距离空间中，以下说法正确的是（）.选项：A、收敛列必为柯西列B、柯西列必为收敛列C、闭子集一定是完备的子空间D、开子集一定不是完备的子空间正确答案:【收敛列必为柯西列#柯西列必为收敛列#闭子集一定是完备的子空间#开子集一定不是完备的子空间】6、问题：在连续函数空间中，以下说法正确的是（）.选项：A、柯西列未必是收敛列B、收敛列未必是柯西列C、柯西列一定是收敛列D、收敛列一定是柯西列正确答案:【柯西列一定是收敛列#收敛列一定是柯西列】7、问题：在以下选项中，具有完备性的距离空间是（）.选项：A、实数空间B、N维欧氏空间C、连续函数空间D、有界数列空间E、离散的距离空间正确答案:【实数空间#N维欧氏空间#连续函数空间#有界数列空间#离散的距离空间】8、问题：以下实数空间的子空间中，不完备的是（）.选项：A、B、C、D、正确答案:【##】9、问题：在距离空间中，等距映射一定是（）.选项：A、单射B、满射C、双射D、连续映射正确答案:【单射#连续映射】10、问题：设X是距离空间，T是X到X的映射.压缩映射定理成立的条件是（）.选项：A、X是完备的B、X是可分的C、T是压缩映射D、T是连续映射正确答案:【X是完备的#T是压缩映射】11、问题：完备的距离空间一定是可分的.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】12、问题：在全体有理数Q上定义离散距离d，则（Q,d）是不完备的距离空间.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】13、问题：在等距同构的意义下，任何距离空间都存在唯一的完备化空间.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】14、问题：在距离空间中，闭子空间与完备子空间是等价的.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】单元测验（四）1、问题：在实数空间中，以下选项中不是完全有界集的有（）.选项：A、B、C、D、正确答案:【】2、问题：在距离空间中，以下关于列紧集性质的描述，不正确的是（）.选项：A、列紧集的闭包是列紧集B、列紧集的内部是列紧集C、列紧集的补集是列紧集D、列紧集中的柯西列一定收敛正确答案:【列紧集的补集是列紧集】3、问题：在离散的距离空间中，以下选项中是列紧集的是（）.选项：A、有界集B、单点集C、完全有界集D、可数点集正确答案:【单点集】4、问题：在实数空间中，以下选项中是紧集的有（）.选项：A、B、C、D、正确答案:【】5、问题：设T是从距离空间X到距离空间Y的连续映射，A是X中的列紧集，则以下选项中不正确的是（）.选项：A、T(A)是列紧集B、T(A)是有界集C、T(A)是紧集D、T(A)是完全有界集正确答案:【T(A)是紧集】6、问题：在实数空间中，以下选项中是列紧集的有（）.选项：A、B、C、D、正确答案:【##】7、问题：在距离空间中，以下关于列紧集性质的描述，正确的是（）.选项：A、单点集是列紧集B、有限点集是列紧集C、可列点集未必是列紧集D、不可列点集一定不是列紧集正确答案:【单点集是列紧集#有限点集是列紧集#可列点集未必是列紧集】8、问题：在距离空间中，以下关于列紧集性质的描述，正确的是（）.选项：A、有限个列紧集的并集是列紧集B、有限个列紧集的(非空)交集是列紧集C、可数个列紧集的并集是列紧集D、可数个列紧集的(非空)交集是列紧集正确答案:【有限个列紧集的并集是列紧集#有限个列紧集的(非空)交集是列紧集#可数个列紧集的(非空)交集是列紧集】9、问题：在连续函数空间C[a,b]中，当子集A满足（）时，则A是列紧集.选项：A、一致有界B、等度连续C、一致连续D、等度有界正确答案:【一致有界#等度连续】10、问题：在距离空间中，以下关于“完全有界集的性质”的描述，正确的是（）.选项：A、完全有界集是有界集B、完全有界集必可分C、完全有界集的子集是完全有界集D、有限个完全有界集的并集是完全有界集正确答案:【完全有界集是有界集#完全有界集必可分#完全有界集的子集是完全有界集#有限个完全有界集的并集是完全有界集】11、问题：在实数空间中，完全有界集未必是有界集.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】12、问题：在距离空间中，列紧集的非空子集一定是列紧集.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】13、问题：完备的距离空间一定是列紧空间选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】14、问题：在列紧的距离空间中，柯西列与收敛列是等价的.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】15、问题：在离散的距离空间中，列紧集一定是紧集.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】16、问题：在完备的距离空间中，完全有界集未必是列紧集.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】17、问题：设A是距离空间X中的紧集，f是X到R的连续函数.则f是有界的，并可取到上、下确界.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】18、问题：在有界数列空间中，列紧集是完全有界集.反之不成立.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】19、问题：在距离空间中，列紧的闭集就是紧集.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】20、问题：在连续函数空间中，列紧集的闭包是紧集.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】21、问题：距离空间之间的连续映射，把紧集映成列紧集.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】单元测验（五）1、问题：以下关于线性空间中相关概念的叙述，不正确的是（）.选项：A、子空间一定是子集B、子集A的线性包一定包含AC、子空间E的线性包就是ED、子集一定是子空间正确答案:【子集一定是子空间】2、问题：以下空间中，属于有限维赋范空间的是（）.选项：A、B、C、D、正确答案:【】3、问题：设A是线性空间X中，如果A中任何（）向量的线性组合都是线性无关的，则称A是线性无关的.选项：A、有限个B、可数个C、不可数个D、两个正确答案:【有限个】4、问题：以下抽象空间中，既是距离空间，又是线性空间的是（）.选项：A、B、C、D、正确答案:【##】5、问题：设M是线性空间X的子集，当M满足（）时，称M为X的Hamel基.选项：A、M中任何有限个向量的线性组合都线性无关B、X中任一向量都可以表示成M中有限个向量的线性组合C、M是X中的线性相关集D、M的线性包是X的子集正确答案:【M中任何有限个向量的线性组合都线性无关#X中任一向量都可以表示成M中有限个向量的线性组合】6、问题：设A、B是线性空间X的子空间，当它们满足（）时，X为A与B的直和.选项：A、B、C、D、正确答案:【#】7、问题：设X是线性空间，X中的范数满足（）.选项：A、非负性B、正齐次性C、三角不等式D、对称性正确答案:【非负性#正齐次性#三角不等式】8、问题：设X是赋范空间，d是由范数诱导的距离，则d满足（）.选项：A、对称性B、三角不等式C、相似性D、平移不变性正确答案:【对称性#三角不等式#平移不变性#相似性】9、问题：以下命题中，正确的是（）.选项：A、赋范空间一定是线性空间B、赋范空间一定是距离空间C、距离空间未必是赋范空间D、距离空间未必是线性空间正确答案:【赋范空间一定是线性空间#赋范空间一定是距离空间#距离空间未必是赋范空间#距离空间未必是线性空间】10、问题：设A是线性空间X的子集，则A的线性包是包含A的最小闭子空间.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】11、问题：每个非零的线性空间都存在一个Hamel基.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】12、问题：赋范子空间一定是距离子空间.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】13、问题：赋范子空间一定是线性子空间.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】14、问题：在赋范空间中，向量列的依范数收敛等价于向量列按范数诱导的距离收敛.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】15、问题：距离空间未必是赋范空间.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】单元测验（六）1、问题：在通常的范数意义下，以下赋范空间是Banach空间的是（）.选项：A、B、C、D、正确答案:【##】2、问题：记P[0,1]为[0,1]的实系数多项式全体,按照范数范空间.则以下结论正确的是（）.选项：成为赋A、P[0,1]是C[0,1]的子空间B、赋范空间P[0,1]不是Banach空间C、P[0,1]在C[0,1]中是闭的D、P[0,1]在C[0,1]中是开的正确答案:【P[0,1]是C[0,1]的子空间#赋范空间P[0,1]不是Banach空间】3、问题：设X是Banach空间，则以下命题中正确的是（）.选项：A、X中任一绝对收敛的级数必收敛B、X的闭子空间是Banach空间C、X的完备化空间是它自己D、X的开子空间一定不是Banach空间正确答案:【X中任一绝对收敛的级数必收敛#X的闭子空间是Banach空间#X的完备化空间是它自己】4、问题：以下关于线性空间中凸集的描述，正确的是（）.选项：A、有限个凸集的交集仍是凸集B、任意多个凸集的交集是凸集C、有限多个凸集的并集是凸集D、任意多个凸集的并集是凸集正确答案:【有限个凸集的交集仍是凸集#任意多个凸集的交集是凸集】5、问题：在赋范空间中，（）是凸集.选项：A、单位开球B、单位闭球C、子空间D、单位球面正确答案:【单位开球#单位闭球#子空间】6、问题：以下关于赋范空间的Hamel基以及Schauder基的描述，正确的是（）.选项：A、任何非零的赋范空间都具有Hamel基B、任何非零的赋范空间都具有Schauder基C、具有Hamel基的赋范空间是可分的D、不可分的赋范空间一定不具有Schauder基正确答案:【任何非零的赋范空间都具有Hamel基#不可分的赋范空间一定不具有Schauder基】7、问题：以下赋范空间中，具有Schauder基的无限维空间是（）.选项：A、B、C、D、正确答案:【#】8、问题：Banach空间指的是（）.选项：A、完备的距离空间B、完备的赋范空间C、完备的内积空间D、一个赋范空间，其诱导的距离空间是完备的.正确答案:【完备的赋范空间#一个赋范空间，其诱导的距离空间是完备的.】9、问题：设X是具有Schauder基的赋范空间，则（）.选项：A、X是可分的B、X是完备的C、X是无限维的D、X是有限维的正确答案:【X是可分的#X是无限维的】10、问题：Banach空间一定是完备的距离空间，反之不成立.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】11、问题：设E是赋范空间X的子空间.E是Banach空间的充分必要条件是E是X的闭子空间.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】12、问题：设E是赋范空间X的子空间。若E是Banach空间，则E是闭子空间。反之不成立。选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】13、问题：每一个赋范空间都可以完备化，在等距同构意义下，其完备化空间是唯一的.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】14、问题：赋范空间的真子空间一定不是闭子空间，可能是开子空间.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】15、问题：赋范空间的子空间一定不是开子空间.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】16、问题：具有Schauder基的赋范空间一定是可分的.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】17、问题：平方可和的数列空间具有Schauder基.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】18、问题：赋范空间的一个重要特征就是：单位球是零元的凸邻域.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】单元测验（七）1、问题：线性空间上的范数的“等价”满足（）.选项：A、自反性B、对称性C、传递性D、正定性正确答案:【自反性#对称性#传递性】2、问题：设与为线性空间X上的两个等价范数，则赋范空间与具有相同的（）.选项：A、收敛列B、柯西列C、完备性D、列紧性正确答案:【收敛列#柯西列#完备性#列紧性】3、问题：设X与Y是赋范空间，若映射T:XY满足（），则称T是拓扑同构映射.选项：A、T是双射B、T是线性映射C、T是连续的D、是连续的正确答案:【T是双射#T是线性映射#T是连续的#是连续的】4、问题：以下关于有限维赋范空间的描述正确的是（）.选项：A、有限维赋范空间必完备.B、有限维赋范空间必可分.C、有限维赋范空间的任一子空间都是闭子空间.D、有限维赋范空间中的有界集必为紧集.正确答案:【有限维赋范空间必完备.#有限维赋范空间必可分.#有限维赋范空间的任一子空间都是闭子空间.】5、问题：设X是赋范空间，则以下命题中与“X是有限维”等价的是（）.选项：A、X中的单位球面是紧集B、X中的单位闭球是紧集C、X中的有界集是列紧集D、X中的有界闭集是紧集E、X中的单位开球是列紧集正确答案:【X中的单位球面是紧集#X中的单位闭球是紧集#X中的有界集是列紧集#X中的有界闭集是紧集#X中的单位开球是列紧集】6、问题：设X是无限维赋范空间，则以下命题正确的是（）.选项：A、X是Banach空间B、X的真子空间必为闭子空间C、X中的单位开球不是列紧集D、X中的有界闭集不是紧集正确答案:【X中的单位开球不是列紧集#X中的有界闭集不是紧集】7、问题：N维实向量空间选项：上所定义的任何两个范数都等价.A、正确B、错误正确答案:【正确】8、问题：设与为线性空间X上的两个等价范数，则与都是Banach空间.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】9、问题：线性空间上的任何两个范数都等价.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】10、问题：设与为线性空间X上的两个等价范数，则赋范空间与具有相同的可分性.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】11、问题：任何两个有限维赋范空间都是拓扑同构的.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】12、问题：赋范空间的子空间必为闭子空间.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】单元测验（八）1、问题：线性空间，按范数内积空间的充要条件是（）.选项：成为赋范空间.则该赋范空间是A、B、C、D、正确答案:【】2、问题：以下线性空间，不可以定义内积的是（）.选项：A、B、C、D、其它三项都不对正确答案:【其它三项都不对】3、问题：实内积空间上的内积满足（）.选项：A、对称性B、非负性C、对第一变元的线性性质D、对第二变元的线性性质正确答案:【对称性#非负性#对第一变元的线性性质#对第二变元的线性性质】4、问题：复内积空间上的内积满足（）.选项：A、非负性B、对称性C、对第一变元的线性性质D、对第二变元的线性性质正确答案:【非负性#对第一变元的线性性质】5、问题：以下线性空间中，可以定义内积的是（）.选项：A、B、C、D、正确答案:【###】6、问题：内积空间一定是（）.选项：A、线性空间B、赋范空间C、距离空间D、N维欧氏空间正确答案:【线性空间#赋范空间#距离空间】7、问题：由内积导出的范数满足（）.选项：A、三角不等式B、平行四边形法则C、正齐次性D、非负性正确答案:【三角不等式#平行四边形法则#正齐次性#非负性】8、问题：在线性空间C[0,1]中可以定义内积，使之称为一个内积空间.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】9、问题：对任一赋范空间，其范数未必满足平行四边形法则。选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】10、问题：赋范空间是内积空间的充分必要条件是，其范数满足平行四边形法则。选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】11、问题：Banach空间必为Hilbert空间，但反之不成立.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】12、问题：任何线性空间都一定可以定义内积。选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】单元测验（九）1、问题：设x,y是内积空间H中的两个向量，则以下选项中与其它三个不等价的是（）.选项：A、x与y正交B、C、D、正确答案:【】2、问题：设M是内积空间H的子集，则以下选项中错误的是（）.选项：A、B、C、D、正确答案:【】3、问题：设E是内积空间H的子空间，则以下选项中与其它三项不等价的是（）.选项：A、B、C、D、正确答案:【】4、问题：设是内积空间H的一个标准正交系，则以下命题中与其它三项不等价的是（）.选项：A、S是完全的.B、C、S是H的标准正交基.D、S是完备的.正确答案:【S是完备的.】5、问题：设H是数域K上的内积空间,x,yH.则以下命题中与“”等价的是（）.选项：A、对任意的B、对任意的C、对任意的D、有有有正确答案:【对任意的有#对任意的有#对任意的有】6、问题：设M是内积空间H中的子集，选项：若,则（）.A、B、C、D、正确答案:【###】7、问题：设M,N是内积空间H的两个子集，则以下命题正确的是（）.选项：A、B、若则C、若D、若则则正确答案:【#若则#若则#若则】8、问题：设E是Hilbert空间H的子空间，则以下结论中正确的是（）.选项：A、B、C、D、正确答案:【###】9、问题：设是（）.选项：是内积空间H的一个标准正交系，则以下命题正确的A、B、C、D、正确答案:【##】10、问题：设题中正确的是（）.选项：是Hilbert空间H的一个标准正交基，则以下命A、S是完全的.B、S是完备的.C、x关于S的Fourier级数收敛于x.D、正确答案:【S是完全的.#S是完备的.#x关于S的Fourier级数收敛于x.#】11、问题：设M是内积空间H的子集，则M的正交补是H的闭子空间.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】12、问题：设M,N是内积空间H的两个非空开集，若选项：则A、正确B、错误正确答案:【正确】13、问题：设E是内积空间H的子空间，则x在E中的最佳逼近点即为x在E中的投影.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】14、问题：设M是内积空间H的紧凸集，则x在M中的最佳逼近点是存在的，但不唯一.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】15、问题：设M是Hilbert空间H的非空子集，则当且仅当选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】16、问题：内积空间的任何一个正交系都是线性无关集.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】17、问题：设是内积空间H的一个标准正交系，则x的Fourier级数选项：必收敛于x.A、正确B、错误正确答案:【错误】18、问题：内积空间的正交基一定是正交系，反之不成立.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】单元测验（十）1、问题：在内积同构的意义下，可分Hilbert空间只有（）个.选项：A、1B、2C、3D、无穷多正确答案:【2】2、问题：N维实内积空间与（）是内积同构的.选项：A、B、C、D、正确答案:【】3、问题：内积空间中的任何一个线性无关集，通过Schmidt正交化，可得到一个（）.选项：A、标准正交系B、标准正交基C、完全的正交系D、完备的正交系正确答案:【标准正交系】4、问题：可分的Hilbert空间H所具有的性质是（）.选项：A、H一定存在标准正交基B、H的标准正交基是不可数的C、H的标准正交基是至多可数的D、H必为非零Hilbert空间正确答案:【H一定存在标准正交基#H的标准正交基是至多可数的#H必为非零Hilbert空间】5、问题：内积同构映射必为（）.选项：A、等距映射B、双射C、线性映射D、拓扑同构映射正确答案:【等距映射#双射#线性映射#拓扑同构映射】6、问题：无穷维可分的Hilbert空间与（）是内积同构的.选项：A、B、C、D、正确答案:【#】7、问题：任何Hilbert空间都具有标准正交基.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】8、问题：任何有限维内积空间必是可分的Hilbert空间.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】9、问题：一切无限维Hilbert空间都与内积同构.选项：A、正确B、错误正确答案:【错误】10、问题：标准正交系必为线性无关集，反之不成立.选项：A、正确B、错误正确答案:【正确】《泛函分析-空间理论》期末考试客观题1、问题：连续函数空间中点列的按距离收敛等价于函数列的（）.选项：A、按坐标收敛B、一致收敛C、逐点收敛D、几乎处处收敛正确答案:【一致收敛】2、问题：开集恰好由该集合的所有（）构成.选项：A、内点B、外点C、接触点D、聚点正确答案:【内点】3、问题：闭集恰好由该集合的所有（）构成.选项：A、内点B、外点C、接触点D、聚点正确答案:【接触点】4、问题：以下关于距离空间中”柯西列与收敛列“的表述，正确的是（）.选项：A、柯西列一定是收敛列B、有界列一定是柯西列C、收敛列一定是柯西列D、柯西列必有子列收敛正确答案:【收敛列一定是柯西列】5、问题：设距离空间X是距离空间E的完备化空间，在等距同构的意义下，以下说法正确的是（）.选项：A、E是X的开子空间B、E是X的闭子空间C、E是X的稠子空间D、E是X的真子空间正确答案:【E是X的稠子空间】6、问题：在实数空间中，以下选项中是紧集的为（）.选项：A、B、C、D、正确答案:【】7、问题：以下关于线性空间中相关概念的叙述，不正确的是（）.选项：A、子空间一定是子集B、子集A的线性包一定包含AC、子空间E的线性包就是ED、子集一定是子空间正确答案:【子集一定是子空间】8、问题：离散距离空间中的任一子集是（）的集合.选项：A、既开又闭B、非开非闭C、开而非闭D、闭而非开正确答案:【既开又闭】9、问题：在实数空间中,()在无理数集中稠密.选项：A、有理数集B、整数集C、正有理数集D、正整数集正确答案:【有理数集】10、问题：在不可数集X上定义离散距离d,则距离空间(X,d)是().选项：A、不可分的B、可分的C、列紧的D、非列紧的正确答案:【不可分的】11、问题：定义在()上的任何映射都是连续的.选项：A、离散距离空间B、连续函数空间C、有界数列空间D、N维欧氏空间正确答案:【离散距离空间】12、问题：在距离空间中,以下说法正确的是().选项：A、完备子空间一定是闭子空间B、闭子空间一定是完备子空间C、完备子空间一定是开子空间D、开子空间一定是完备子空间正确答案:【完备子空间一定是闭子空间】13、问题：在()上,完全有界集与有界集是等价的.选项：A、实数空间B、离散距离空间C、有界数列空间D、连续函数空间正确答案:【实数空间】14、问题：列紧的距离空间必（）.选项：A、完备B、可数C、可分D、无界正确答案:【完备】15、问题：每个非零的赋范空间必存在一个（）.选项：A、Hamel基B、Schauder基C、标准正交基D、可数的线性基正确答案:【Hamel基】16、问题：赋范空间的真子空间一定不是（）.选项：A、开子空间B、闭子空间C、完备子空间D、紧子空间正确答案:【开子空间】17、问题：任何两个同维数的有限维赋范空间所满足的以下关系中，不正确的是（）.选项：A、内积同构B、线性同构C、拓扑同构D、等距同构正确答案:【内积同构】18、问题：（）线性空间上的任何两个范数等价.选项：A、有限维B、无限维C、可数维D、不可数维正确答案:【有限维】19、问题：设M是内积空间H的子集,则M的正交补是H的().选项：A、闭子空间B、开子空间C、完备子空间D、紧子空间正确答案:【闭子空间】20、问题：设M是内积空间H的紧凸集,则x在M中的最佳逼近点满足().选项：A、存在且唯一B、存在不唯一C、若存在必唯一D、必不存在正确答案:【存在且唯一】21、问题：内积空间的任何一个正交系必是().选项：A、线性无关集B、线性相关集C、正交基D、至多可数集正确答案:【线性无关集】22、问题：关于距离空间中点列的收敛性，以下说法正确的是（）.选项：A、收敛列的极限是唯一的B、收敛列的极限一定属于该距离空间C、有界列一定是收敛列D、收敛列的子列一定收敛正确答案:【收敛列的极限是唯一的#收敛列的极限一定属于该距离空间#收敛列的子列一定收敛】23、问题：距离空间中的非空开集一定包含一个（）.选项：A、内点B、接触点C、开球D、闭球正确答案:【内点#接触点#开球#闭球】24、问题：在距离空间中，以下说法正确的是（）.选项：A、开球是开集B、开球的闭包是闭集C、开球的内部是开集D、开球的补集是闭集正确答案:【开球是开集#开球的闭包是闭集#开球的内部是开集#开球的补集是闭集】25、问题：关于内点与接触点，以下说法不正确的是（）.选项：A、接触点一定是内点B、内点一定是接触点C、接触点可能是内点D、内点未必是接触点正确答案:【接触点一定是内点#内点未必是接触点】26、问题：在实数空间R中，令Q为有理数全体.以下选项中，与“Q在R中稠密”等价的是（）.选项：A、B、C、D、正确答案:【#】27、问题：设E和F是距离空间中的点集，则以下关于“E在F中稠密”的表述，正确的是（）.选项：A、B、C、D、正确答案:【#】28、问题：设T是从距离空间X到距离空间Y的映射，则以下命题中与“T是连续映射”等价的是（）.选项：A、X中任何开集的像是Y中的开集B、Y中任何开集的原像是X中的开集C、X中任何闭集的像是Y中的闭集D、Y中任何闭集的原像是X中的闭集正确答案:【Y中任何开集的原像是X中的开集#Y中任何闭集的原像是X中的闭集】29、问题：在连续函数空间中，以下说法正确的是（）.选项：A、收敛列一定是有界列B、闭子集是完备子集C、柯西列一定是收敛列D、收敛列一定是柯西列正确答案:【收敛列一定是有界列#闭子集是完备子集#柯西列一定是收敛列#收敛列一定是柯西列】30、问题：在距离空间中，以下关于列紧集性质的描述，正确的是（）.选项：A、单点集是列紧集B、有限点集是列紧集C、可列点集未必是列紧集D、有限个列紧集的并集是列紧集正确答案:【单点集是列紧集#有限点集是列紧集#可列点集未必是列紧集#有限个列紧集的并集是列紧集】31、问题：在离散的距离空间中，以下选项中是列紧集的是（）.选项：A、有界集B、有限子集C、单点集D、可数子集正确答案:【有限子集#单点集】32、问题：在通常的范数意义下，以下赋范空间是Banach空间的是（）.选项：A、B、C、D、正确答案:【##】33、问题：设X是Banach空间，则以下命题中正确的是（）.选项：A、X中任一绝对收敛的级数必收敛B、X的闭子空间是Banach空间C、X的完备化空间是它自己D、X的开子空间一定不是Banach空间正确答案:【X中任一绝对收敛的级数必收敛#X的闭子空间是Banach空间#X的完备化空间是它自己】34、问题：以下关于赋范空间的Hamel基以及Schauder基的描述，正确的是（）.选项：A、任何非零的赋范空间都具有Hamel基B、任何非零的赋范空间都具有Schauder基C、具有Hamel基的赋范空间是可分的D、不可分的赋范空间一定不具有Schauder基正确答案:【任何非零的赋范空间都具有Hamel基#不可分的赋范空间一定不具有Schauder基】35、问题：设X是无限维赋范空间，则以下命题正确的是（）.选项：A、X是Banach空间B、X的真子空间必为闭子空间C、X中的单位开球不是列紧集D、X中的有界闭集不是紧集正确答案:【X中的单位开球不是列紧集#X中的有界闭集不是紧集】36、问题：内积空间一定是（）.选项：A、线性空间B、赋范空间C、距离空间D、N维欧氏空间正确答案:【线性空间#赋范空间#距离空间】37、问题：设M,N是内积空间H的两个子集，则以下命题正确的是（）.选项：A、B、若则C、若D、若则则正确答案:【#