河南省洛阳市豫西名校2020-2021学年高二下学期第一次联考理科数学试题

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………河南省洛阳市豫西名校2020-2021学年高二下学期理数第一次联考试卷一、单选题（共12题；共60分）1.已知函数y=f(x)的导函数为f'(x)，且f'(1)=-1，则A.

-1

B.

-13

C.

13

D.

32.已知f(x)=x⋅sinx，则导数f'(π)=A.

0

B.

-1

C.

π

D.

-π3.图中阴影部分的面积用定积分表示为A.

012xdx

B.

4.曲线y=ax+lnx在点(1,f(1))处的切线斜率为3，则实数aA.

1

B.

2

C.

3

D.

45.如图，函数y=f(x)的图象在点P(2,y)处的切线是l，则f(2)+f'(2)等于（A.

-4

B.

2

C.

-2

D.

16.下列求导运算正确的是（

）A.

(lnx+3x)'=7.0416-x2A.

2π

B.

4π

C.

88.函数f(x)=13x2-A.

(62,+∞)

B.

(-62,9.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系P(t)=P02-t30，其中P0为时该放射性同位素的含量.已知t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为-32A.

20天

B.

30天

C.

45天

D.

60天10.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则点P到直线y=xA.

1

B.

2

C.

22

D.

311.已知函数f(x)=xlnx-12ax2-A.

(-∞,e-2)

B.

(0,e-212.已知定义R在上的函数f(x)，其导函数为f'(x)，若f(x)=f(-x)-2sinx，且当x≥0时，A.

(-∞,π2)

B.

(π2,+∞二、填空题（共4题；共20分）13.已知f(x)为偶函数，且02f(x)dx=414.已知函数f(x)=x3-2x，则f(x)在点15.已知函数f(x)=lnx-ax-2在区间(1,2)16.若函数f(x)=m-x2+2lnx在[三、解答题（共6题；共70分）17.已知函数f(x)=13x3+ax2+bx（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)的单调区间.18.函数f(x)=1（1）求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；（2）求f(x)在区间[1e,e]19.已知函数f(x)=(m-3)ex+（1）求f(x)的解析式；（2）设g(x)=x2+ax-2a，若对任意x≥2，f(x)20.已知函数f(x)=sin（1）求函数f(x)在(0,π)内的单调递增区间；（2）当x∈[0,+∞)21.某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，当年产量小于7万件时，C(x)=13x2+2x（万元）；当年产量不小于7万件时，C(x)=6x+lnx+e3（1）写出年利润P(x)（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取e3=2022.已知函数f(x)=lnx-ax（1）求f(x)的单调区间;（2）若f(x)有两个相异零点x1，x2，求证:

答案解析部分一、单选题（共12题；共60分）1.已知函数y=f(x)的导函数为f'(x)，且f'(1)=-1，则A.

-1

B.

-13

C.

13

D.

3【答案】B【考点】极限及其运算【解析】【解答】根据导数的定义，lim所以limΔx故答案为：B.

【分析】利用导数的定义进行求解即可。2.已知f(x)=x⋅sinx，则导数f'(π)=A.

0

B.

-1

C.

π

D.

-π【答案】D【考点】导数的运算【解析】【解答】∵f(x)=xsinx，∴f'故答案为：D.

【分析】求得f'(x)=sinx+xcosx，3.图中阴影部分的面积用定积分表示为A.

012xdx

B.

【答案】B【考点】定积分在求面积中的应用【解析】【解答】根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为012xdx故答案为：B.

【分析】根据定积分的几何意义即可得出答案。4.曲线y=ax+lnx在点(1,f(1))处的切线斜率为3，则实数aA.

1

B.

2

C.

3

D.

4【答案】B【考点】导数的几何意义【解析】【解答】函数f(x)=ax+lnx，可得f所以切线的斜率为k=f'(1)=a+1=3故答案为：B.

【分析】对f

(x)

求导，根据f

(x)在点(1,f(1)

)处的切线斜率为3，得到关于a的方程，再求出a的值.5.如图，函数y=f(x)的图象在点P(2,y)处的切线是l，则f(2)+f'(2)等于（A.

-4

B.

2

C.

-2

D.

1【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】由图象可得函数y=f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0则可知l：x+y=4，∴f(2)=2，f'f(2)+f'故答案为：D．

【分析】由图象可得函数y=f(x)的图象在点P处的切线是l，可知l：x+y=4，进而求出f(2)+f'(2)6.下列求导运算正确的是（

）A.

(lnx+3x)'=【答案】B【考点】导数的运算【解析】【解答】A，(lnx+3x)B，(xex)C，(=3xln3D，(ln2+log2x)故答案为：B.

【分析】根据导数的运算法则求导后判断，即可得出答案。7.0416-x2A.

2π

B.

4π

C.

8【答案】B【考点】定积分【解析】【解答】0416-x2dx表示的是圆x2+y2=16即圆x2+y2=16所以04故答案为：B.

【分析】0416-x2dx表示的是圆x2+y2=168.函数f(x)=13x2-A.

(62,+∞)

B.

(-62,【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】∵∴当f'(x)<0时，解得0<x<62，则函数f(x)=13故答案为：C.

【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调递减区间。9.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系P(t)=P02-t30，其中P0为时该放射性同位素的含量.已知t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为-32A.

20天

B.

30天

C.

45天

D.

60天【答案】D【考点】函数模型的选择与应用【解析】【解答】由P(t)=P02-t30因为t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为-32即P'(15)=-2ln2则P(t)=18⋅2当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即P(t)=4.5，所以18⋅2-t30=4.5，即2-t30=故答案为：D.

【分析】利用实际问题的已知条件结合代入法，从而求出P0的值，进而求出含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足的函数关系式P(t)=P02-t10.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则点P到直线y=xA.

1

B.

2

C.

22

D.

3【答案】C【考点】点到直线的距离公式【解析】【解答】设平行于直线y=x-1且与曲线y=x2-lnx由y=x2-lnx,x>0令2x-1x=1，整理得(x-1)(2x+1)=0，解得x=1由x=1，可得y=12-ln1=1又由点到直线x-y-1=0的距离公式，可得即点P到直线y=x-1的距离的最小值为故答案为：C.

【分析】求出平行于直线y=x-1且与曲线11.已知函数f(x)=xlnx-12ax2-A.

(-∞,e-2)

B.

(0,e-2【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件【解析】【解答】f'(x)=ln因为f'(x)=lnx-ax即lnx-ax-1=0即y=a与y=lnx-因为y'=2-lnxx2，当0<x<e2时，y所以函数y=lnx-1x在(0,e当x=e2时，y=1e2，且当x>e在同一坐标系中作出y=a与y=lnx由图象得a∈(0,故答案为：B.

【分析】根据题意可得f'(x)在(0,+∞)上有两个不同的零点，即问题可转化为a=lnx-1x有两个不同的正根，即y=a与y=12.已知定义R在上的函数f(x)，其导函数为f'(x)，若f(x)=f(-x)-2sinx，且当x≥0时，A.

(-∞,π2)

B.

(π2,+∞【答案】D【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】令g(x)=f(x)+sinx，则又由f(x)=f(-x)-2sin故g(-x)=g(x)，即g(x)为定义在R当x≥0时，g'(x)=f'(x)+cosx>0又因为g(x)为偶函数，故g(x)在(-∞,0]由f(x+π2)+cosx=f(x+π所以|x+π2|>|x|，解得所以不等式f(x+π2)>f(x)+sinx故答案为：D.

【分析】根据题意令g(x)=f(x)+sinx,根据条件判断g(x)的单调性和奇偶性,进一步得到g(x+π2二、填空题（共4题；共20分）13.已知f(x)为偶函数，且02f(x)dx=4【答案】8【考点】定积分【解析】【解答】∵f(x)为偶函数，且02f(x)dx=4∴-故答案为：8

【分析】利用被积函数是偶函数得到-22f(x)dx=2014.已知函数f(x)=x3-2x，则f(x)在点【答案】π【考点】导数的几何意义【解析】【解答】因为f(x)=x3-所以f'(x)=3所以f(x)在点(1,f(1))切线的斜率为f'(1)=3所以f(x)在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为π4故答案为：π4

【分析】根据导数的几何意义，即可得出结果。15.已知函数f(x)=lnx-ax-2在区间(1,2)【答案】(【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【解答】由f'①当a≤0时，函数f(x)②当a>0时，函数f(x)的极值点为x=1a若函数f(x)在区间(1,2)不单调，必有1<1a<2，解得故答案为：(1

【分析】对f

(x)求导，对a分类讨论，求出极值点，可得关于a的不等式，从而得解.16.若函数f(x)=m-x2+2lnx在[【答案】(1,4+【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【解答】令f(x)=m-x2则m=x2令g(x)=x2则由g'(x)=2xg(x)在[1e2,1]上单调递减，在且[g(x)]min=g(1)=1，g(1e2∵4+1e4<5∴g(1作出函数g(x)的图像，如下图所示：所以函数f(x)在[1e2,e]上有两个零点，则实数故答案为：(1,4+1

【分析】令g(x)=x2-2lnx，判断g

(x)

三、解答题（共6题；共70分）17.已知函数f(x)=13x3+ax2+bx（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)的单调区间.【答案】（1）因为f依题意有{f'(-1)=-解得a=1，b=-3.故

（2）由（1）得f'(x)=x令f'(x)>0，解得x>1或x<-3；令f'所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-3)，(1,+∞)；【考点】函数解析式的求解及常用方法，利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】(1)求出函数的导数，根据f'

(-1)

=-4,f'

(1)

=0，得到关于a，b的方程组，解出即可得到函数

f(x)

的解析式；

(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可.

18.函数f(x)=1（1）求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；（2）求f(x)在区间[1e,e]【答案】（1）因为f(x)=1x+lnx-1所以f'(x)=因此f'(2)=2-122=14，即曲线又f(2)=ln2所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(即x-4y+4

（2）因为f'(x)=-1x2+所以当x∈(1e,1)时，f'当x∈(1,e)时，f'(x)=x-所以f(x)min又f(1e)=e-2，f(e)=1所以f(x)在区间[1e,e]上的最大值为【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】(1)求出函数的导数，求解切线的斜率，求解切线方程即可；

(2)判断函数的单调性，然后转化求解函数的最大值即可.

19.已知函数f(x)=(m-3)ex+（1）求f(x)的解析式；（2）设g(x)=x2+ax-2a，若对任意x≥2，f(x)【答案】（1）∵f(x)=(m-3)ex+x2，∴f'(x)=(m因此，f(x)=3ex

（2）①当x=2时，则f(x)=3ex+x2≥x②当x>2时，由题意得a≤3令h(x)=3exx-2，其中x>2，得h'(x)=3ex(x-3)(x-2)2，当当x>3时，h'(x)>0，h(x)所以h(x)min=h(3)=3综上所述，实数a的取值范围是(-∞【考点】函数解析式的求解及常用方法，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】(1)求得f'(x)，利用f'(0)=3求出m的值，即可得出f(x)

的解析式；

(2)分x=2，x>2两种情况讨论，在x=2时可得出a∈R；在x>2时，由参交量分高法得出

a≤3exx-

20.已知函数f(x)=sin（1）求函数f(x)在(0,π)内的单调递增区间；（2）当x∈[0,+∞)【答案】（1）由题意知，f'(x)=1-2sinx所以当f'(x)>0时，解得x即f(x)在(0,π)的单调递增区间是(0,π6)

（2）令g(x)=f(x)-x，(x≥0)，只需证g令h(x)=1-2sinx当x∈[0,π6]时，h'即g'(x)在[0,π6]单调递减，即所以g'(x)≤0，从而g(x)在[0,π6当x∈(由（1）知，f(x)的极大值点满足sinx=12，这些极大值点使得f(x)的分子值不变，但分母随x的增大而增大（当然∴当x∈[π6,+∞)时，综上，f(x)≤x【考点】利用导数研究函数的单调性，分析法和综合法【解析】【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;

(2)令

g(x)=f(x)-x

，

(x≥0)

只需证g

(x)

≤0即可，求出g

(x)

21.某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，当年产量小于7万件时，C(x)=13x2+2x（万元）；当年产量不小于7万件时，C(x)=6x+lnx+e3（1）写出年利润P(x)（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成