专题18 尺规作图（教师版）

知识点01：基础作图【高频考点精讲】1、作一条线段等于已知线段（已经线段a）。（1）步骤①作射线OP；②以点O为圆心，a为半径作弧，交OP于点A，则OA即为所求线段。（2）作图原理：圆上的点到圆心的距离等于半径。（3）适用情形①已知三边作三角形；②作圆的内接正六边形。2、作一个角等于已知角（已知∠α）。（1）步骤①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交∠α的两边于点P、Q；②作射线O′A；③以点O′为圆心，OP长为半径作弧，交O′A于点M；④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交步骤3中的弧于点N；⑤过点N作射线O′B，则∠AO′B即为所求角。（2）作图原理①三边相等的两个三角形全等；②全等三角形的对应角相等。（3）适用情形①过直线外一点作直线与已知直线平行；②过三角形一边上一点作直线将其分成两个相似三角形。3、作已知角的角平分线（已知∠AOB）。（1）步骤①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点N、M；②分别以点M、N为圆心，以大于1/2MN长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；③作射线OP，则OP即为所求角的平分线。（2）作图原理①三边相等的两个三角形全等；②全等三角形的对应角相等；③两点确定一条直线。（3）适用情形①作一点使得该点到角两边的距离相等；②作三角形的内切圆。4、作已知线段的垂直平分线（已知线段AB）。（1）步骤①分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点M、N；②过点M、N作直线，直线MN即为所求垂直平分线。（2）作图原理①到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②两点确定一条直线。（3）适用情形①过三角形的一个顶点作直线平分三角形的面积；②过不在同一直线上的三点作圆/作三角形的外接圆；③作到已知两点距离相等的点。5、过一点作已知直线的垂线（已知点P和直线l）。【点P在直线l上】（1）步骤①以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于A、B两点；②分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB长为半径向直线两侧作弧，两弧分别交于点M、N；③过点M、N作直线，直线MN即为所求垂线。（2）作图原理①到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②两点确定一条直线。（4）适用情形①已知底边上的高线及腰长作等腰三角形；②过直线外一点作与该直线相切的圆。【点P在直线l外】（1）步骤①任意取一点M，使点M和点P在直线l的两侧；②以点P为圆心，PM长为半径作弧，交直线l于A、B两点；③分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB长为半径作弧，交点M同侧于点N；④过点P、N作直线，直线PN即为所求垂线。（2）作图原理①到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②两点确定一条直线。（3）适用情形①已知底边上的高线及腰长作等腰三角形；②过直线外一点作与该直线相切的圆。知识点02：应用与设计作图【高频考点精讲】理解题意，明确作图要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法进行作图。检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.50一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•德州）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，若OE＝8，则C，D两点之间的距离为（）A．5 B．6 C． D．8解：连接CE，DE，CD，设CD与OE交于点F，由作图可知，OC＝OD＝CE＝DE＝5，∴四边形OCED为菱形，∴CD⊥OE，OF＝EF＝OE＝4，CF＝DF，由勾股定理得，CF＝＝3，∴CD＝2CF＝6，即C，D两点之间的距离为6．故选：B．2．（2分）（2023•随州）如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是（）A．AE＝CF B．DE＝BF C．OE＝OF D．DE＝DC解：根据作图可知：EF垂直平分BD，∴BO＝DO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵∠BOF＝∠DOE，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF＝DE，OE＝OF，故B，C正确；无法证明DE＝CD，故D错误；故选：D．3．（2分）（2023•福建）阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM解：A、以C，D为圆心画弧的半径相等，因此CM＝DM，又OC＝OD，OM＝OM，因此△OCM≌△ODM（SSS）得到∠1＝∠2，故A符合题意；B、因为OC、CM的长在变化，所以OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合题意；C、因为OD、DM的长在变化，所以OD和DM不一定相等，故C不符合题意；D、CM的位置在变化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合题意．故选：A．4．（2分）（2023•湖北）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（）A． B． C． D．4解：如图，设BP交CD与点J，交CN与点T．过点J作JK⊥BD于点K．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，∠BCD＝90°，∵CN⊥BT，∴∠CTB＝∠CDN＝90°，∴∠CBT+∠BCM＝90°，∠BCT+∠DCN＝90°，∴∠CBT＝∠DCN，∴△BTC∽△CDN，∴＝，∴BM•CN＝CD•CB＝3×4＝12，∵∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4，∴＝＝5，由作图可知BP平分∠CBD，∵JK⊥BD，JC⊥BC，∴JK＝JC，∵S△BCD＝S△BDJ+S△BCJ，∴×3×4＝×5×JK+×4×JC，∴JC＝KJ＝，∴BJ＝＝＝，∵cos∠CBJ＝＝，∴＝，∴BT＝，∵CN•BT＝12，∴CN＝．故选：A．5．（2分）（2023•黄石）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，AM和CD交于点N，连接ON．若AB＝9，AC＝5，则ON的长为（）A．2 B． C．4 D．解：由作图可知EF垂直平分线段BC，AM垂直平分线段CD，∴OB＝OC，DN＝CN，∴ON＝BD，∵AB＝9，AC＝AD＝5，∴BD＝AB﹣AD＝9﹣5＝4，∴ON＝×4＝2．故选：A．6．（2分）（2023•贵州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5解：由题可得，DG是∠ADC的平分线．∴∠ADG＝∠CDG，∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠CGD，∴∠CDG＝∠CGD，∴CG＝CD＝3，∴BG＝CB﹣CG＝5﹣3＝2．故选：A．7．（2分）（2023•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB＝AG＝4，GD＝5，则CH的长为（）A．6 B．8 C．9 D．10解：由作图可知BH平分∠ABC，∴∠ABH＝∠CBH，∵AB＝AG＝4，∴∠ABG＝∠AGB，∴∠AGB＝∠CBH，∴AD∥CB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝AG+DG＝4+5＝9，∵AB∥CH，∴∠ABG＝∠CHB，∴∠CBH＝∠CHB，∴CH＝CB＝9．故选：C．8．（2分）（2023•湖州）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连结OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若∠AOB＝60°，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2解：过P作PB⊥OB于B，由作图得：OP平分∠AOB，∴∠PAB＝∠AOP＝∠AOB＝30°，∴PB＝＝3cm，∴OB＝＝3cm，∵PE∥OA，PF∥OB，∴四边形AEOF为平行四边形，∠EPO＝∠POA＝30°，∴∠POE＝∠OPE，∴OE＝PE，设OE＝PE＝xcm，在Rt△PEB中，PE2﹣BP2＝EB2，即：x2﹣32＝（3﹣x）2，解得：x＝2，∴S四边形OEPF＝OE•PB＝2×3＝6（cm）．故选：B．9．（2分）（2023•衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（）A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC解：根据题中所给的作图步骤可知，AB是△ABC的角平分线，即∠BAG＝∠CAG．当AB＝AC时，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，所以△ABG≌△ACG（SAS），所以BG＝CG，故A选项不符合题意．当AG⊥BC时，∠AGB＝∠AGC＝90°，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，所以△ABG≌△ACG（ASA），所以BG＝CG，故B选项不符合题意．当∠DGB＝∠EGC时，因为∠BAG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG，所以△ADG≌△AEG（SAS），所以∠AGD＝∠AGE，又∠DGB＝∠EGC，所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC，即∠AGB＝∠AGC．又∠AGB+∠AGC＝90°，所以∠AGB＝∠AGC＝90°，则方法同（2）可得出BG＝CG，故C选项不符合题意．故选：D．10．（2分）（2023•河北）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程．（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等解：由作图得：DO＝BO，AO＝CO，∴四边形ABCD为平行四边形，故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•甘孜州）如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B＝120°，则∠EAD为30°．解：由作法得AE平分∠BAD，∴∠EAB＝∠EAD＝∠BAD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°，∴∠EAD＝∠BAD＝30°．故答案为：30．12．（2分）（2023•山西）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则的值为．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，∵BA＝BE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝60°，∵BF平分∠ABE，∴AO＝OE，BO⊥AE，∵∠OAF＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣60°＝60°，∴tan∠OAF＝＝，∴＝，故答案为：．13．（2分）（2023•成都）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；④过点N′作射线DN′交BC于点E．若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为．解：由作图知，∠A＝∠BDE，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△BAC的面积：△BDE的面积＝（△BDE的面积+四边形ACED的面积）：△BDE的面积＝1+四边形ACED的面积：△BDE的面积＝1+＝，∴△BDC的面积：△BAC的面积＝（）2＝，∴＝，∴＝．故答案为：．14．（2分）（2023•益阳）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为4．解：延长NM交AD于点Q，由作图得：AD＝AE＝4，AF平分∠BAD，∴DM＝ME，∴MN∥AB，∴DQ＝AQ，CN＝BN，∴QM＝2，在▱ABCD中，AD∥BC，CD＝AB＝6，∴四边形CDQN是平行四边形，∴QN＝CD＝AB＝6，∴MN＝NQ﹣MQ＝6﹣2＝4．故答案为：4．15．（2分）（2023•广元）如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA＝34°，则∠CAB的度数为56°．解：由作图可知CD垂直平分线段AB，∴CA＝CB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠BCD，∵a∥b，∴∠ADC＝∠BCD＝34°，∴∠ACB＝2∠BCD＝68°，∴∠CAB＝∠CBA＝（180°﹣68°）＝56°．故答案为：56°．16．（2分）（2023•鞍山）如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD＝CE，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N．若BN＝CN，AM＝4，BM＝5，则AC的长为6．解：由题中作图可知：CM平分∠ACB，∴∠ACM＝∠BCM，∵MN⊥BC，BN＝CN，∴MB＝MC，∴∠B＝∠BCM，∴∠ACM＝∠B，∵∠CAM＝∠CAB，∴△ACM∽△ABC，∴AC：AB＝AM：AC，∵AM＝4，BM＝5，∴AB＝AM+BM＝9，∴AC：9＝4：AC，∴AC＝6．故答案为：6．17．（2分）（2023•营口）如图，在△ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E．若AC＝5，CD＝6，则AE＝4．解：由作图可知，AD＝AC，AE是CD的垂直平分线，∵CD＝6，∴CE＝DE＝3，∵CA＝5，∴AE＝＝＝4，故答案为：4．18．（2分）（2023•东营）如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线CF交AB于点G．若AC＝9，BC＝6，△BCG的面积为8，则△ACG的面积为12．解：如图，过点G作GM⊥AC于点M，GN⊥BC于点N．由作图可知CG平分∠ACB，∵GM⊥AC，GN⊥BC，∴GM＝GN，∵S△BCG＝•BC•GN＝8，BC＝6，∴GN＝，∴GN＝GM＝，∴S△AGC＝•AC•GM＝×9×＝12，故答案为：12．19．（2分）（2023•盘锦）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E；分别以点A，E为圆心，大于AE的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G，连接GD，若CD＝4，DE＝1，则＝．解：由作图得：BE平分∠ABC，MN垂直平分AE，∴∠ABE＝∠EBC，AF＝EF，在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD＝4，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝CD＝4，∴AF＝EF＝2，∴FD＝3DE，BC＝AD＝5，S△DEG＝x，则S△EFG＝2x，S△FDG＝3x，∵AD∥BC，∴△EFG∽△BCG，∴＝（）2＝（）2＝，S△BCG＝12.5x，∴＝＝，故答案为：．20．（2分）（2023•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．（1）线段AB的长为；（2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．．解：（1）AB＝＝．故答案为：；（2）如图，点Q即为所求；方法：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求；理由：可以证明∠PCA＝∠QCB，∠CBQ＝∠CAP＝60°，∵AC＝CB，∴△ACP≌△BAQ（ASA），∴∠ACP＝∠BCQ，CP＝CQ，∴∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴△PCQ是等边三角形．故答案为：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•连云港）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB．（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（2）在（1）的条件下，求证：BD＝BF．（1）解：如图：过B作BF⊥AB，交CE于F，直线BF即为所求直线；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AB∥CE，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠BCF＝∠ACB，∵点D在以AB为直径的圆上，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°，∵BF为⊙O的切线，∴∠ABF＝90°，∵AB∥CE，∴∠BFC+∠ABF＝180°，∴∠BFC＝90°，∴∠BDC＝∠BFC，在△BCD和△BCF中，，∴△BCD≌△BCF（AAS），∴BD＝BF．22．（6分）（2023•盐城）如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．（1）求证：AC＝AD．（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）（1）证明：在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD；（2）解：如图AF即为所求．23．（8分）（2023•广安）如图，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．解：如图：24．（8分）（2023•吉林）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．解：如图：图①△ABC即为所求锐角三角形；图②△ABD即为所求直角三角形；图③△ABCF为所求钝角三角形．25．（8分）（2023•无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是3﹣π．解：（1）如图，⊙O为所作；（2）∵PM和PN为⊙O的切线，∴OM⊥PB，ON⊥PN，∠MPO＝∠NPO＝∠APB＝30°，∴∠OMP＝∠ONP＝90°，∴∠MON＝180°﹣∠APB＝120°，在Rt△POM中，∵∠MPO＝30°，∴OM＝PM＝×3＝，∴⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积＝S四边形PMON﹣S扇形MON＝2××3×﹣＝3﹣π．故答案为：3﹣π．26．（8分）（2023•朝阳）如图1，在▱ABCD中，求作菱形EFGH，