专题20 图形的变化（轴对称、平移、旋转）（讲义）（解析版）

专题20图形的变化（轴对称、平移、旋转）核心知识点精讲理解掌握图形平移的定义与性质；理解掌握轴对称的定义、性质、判定、理解掌握旋转的定义与性质；理解掌握中心对称的定义、性质、判定、中心对称图形的特点；理解掌握坐标系中对称点的特征；掌握对称、平移、旋转等的作图方法并能够进行正确的作图。考点1平移1.定义把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。2.性质（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。考点2轴对称1.定义把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。2.性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。3.判定如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。4.轴对称图形把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。考点3旋转1.定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2.性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。考点4中心对称1.定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。2.性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。3.判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。4.中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。考点5坐标系中对称点的特征1.关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）2.关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）3.关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）考点6作图-旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．【题型1：平移】【典例1】（2023•遂溪县一模）如图，在△ABC中，BC＝13，将△ABC沿着射线BC平移m个单位长度，得到△DEF，若EC＝7，则m＝6．【答案】6．【分析】根据平移的性质得到BE＝CF，再利用EF＝EC+CF＝13，然后求出CF的长，从而得到平移的距离．【解答】解：∵△ABC沿着射线BC的方向平移，得到△DEF，∴BE＝CF，∵EF＝13，EC＝7，∴CF＝EF﹣CE＝13﹣7＝6，即平移的距离m为6．故答案为：6．1．（2023•潮州模拟）在平面直角坐标系中，线段AB平移得到线段CD，点A（﹣1，4）的对应点C（1，2），则点B（2，1）的对应点D的坐标为（）A．（4，﹣1） B．（0，3） C．（4，1） D．（﹣4，1）【答案】A【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．【解答】解：∵点A（﹣1，4）的对应点C的坐标为（1，2），∴平移规律为向右平移2个单位，向下平移2个单位，∴B（2，1）的对应点D的坐标为（4，﹣1）．故选：A．2．（2023•番禺区校级二模）如图，将三角形ABC沿射线AB平移到三角形DEF的位置，则下列说法不正确的是（）A．AC＝DB B．AD＝BE C．AC∥DF D．∠C＝∠F【答案】A【分析】根据平移的性质判断即可．【解答】解：由平移的性质可知：AC＝DF，AD＝BE，AC∥DF，∠C＝∠F，故选项A说法不正确，符合题意；选项B、C、D说法正确，不符合题意；故选：A．3．（2023•蓬江区一模）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向上平移3个单位后，得到的点的坐标是（）A．（1，4） B．（4，1） C．（1，3） D．（1，﹣2）【答案】A【分析】把点（1，1）的横坐标不变，纵坐标加3，即可得到平移后的对应点的坐标．【解答】解：将点（1，1）向上平移3个单位后，得到的点的坐标是（1，4）．故选：A．【题型2：轴对称的性质】【典例2】（2022•广东一模）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为2.4．【答案】2.4．【分析】连接CP，根据矩形的性质可知：DE＝CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，再根据三角形的面积为定值即可求出CP的长．【解答】解：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，连接CP，如图所示：∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，∴四边形DPEC是矩形，∴DE＝CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，∴DE＝CP=3×45故答案为：2.4．1．（2023•龙岗区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF＝10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】C【分析】利用轴对称图形的性质得出△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理得出答案．【解答】解：连接BB′∵△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∴△BAC≌△B′AC′，∵AB＝AC，∠C＝70°，∴∠ABC＝∠AC′B′＝∠AB′C′＝70°，∴∠BAC＝∠B′AC′＝40°，∵∠CAF＝10°，∴∠C′AF＝10°，∴∠BAB′＝40°+10°+10°+40°＝100°，∴∠ABB′＝∠AB′B＝40°．故选：C．2．（2023•江门三模）如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为33或3【答案】33或3【分析】当直线EF与直线AC垂直时，如图1，如图2，根据对称的性质得到和等腰三角形的判定和性质定理以及直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AC＝BC＝2，点D为AC的中点，∴AD=12AC＝①当直线EF与直线AC垂直时，如图1，∵点A关于直线DE的对称点为点F，∴∠F＝∠A＝30°，∠AED＝∠FED，∵∠AGE＝90°，∴∠AEG＝60°，∴∠AED＝∠FED＝30°，∴AD＝DE＝1，过D作DM⊥AE与M∴AE＝2AM＝2×32×②当直线EF与直线AC垂直时，如图2，∵将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，∴∠F＝∠A＝30°，∠ADE＝∠FDE，∵∠AGE＝∠FGD＝90°，∴∠FDG＝60°，∴∠ADE＝∠FDE＝30°，∴∠A＝∠ADE，∴AE＝DE，∴AG=12AD∴AE=3故答案为：33或3【题型3：轴对称图形】【典例3】（2023•龙岗区校级一模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．是轴对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．1．（2023•惠城区校级一模）用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A．2．（2022•东莞市校级一模）下列图形中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：B．3．（2023•蕉岭县一模）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【题型4：旋转】【典例4】（2023•茂南区三模）如图，在△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A＝100°，∠D＝50°，则∠AOD的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】根据旋转的性质得∠BOD＝80°，∠B＝∠D＝50°，再根据三角形内角和定理计算出∠BOA＝30°，然后利用∠AOD＝∠BOD﹣∠BOA进行计算即可．【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，∴∠BOD＝80°，∠B＝∠D＝50°，∴∠BOA＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣100°﹣50°＝30°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠BOA＝80°﹣30°＝50°．故选：C．1．（2023•东莞市校级一模）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点C的对应点为点C′，若点C′落在BA延长线上，则三角板ABC旋转的度数是（）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】D【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．【解答】解：旋转角是∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．故选：D．2．（2023•越秀区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数（）A．70° B．80° C．100° D．110°【答案】C【分析】由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解．【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAD的度数为旋转度数，AB＝AD，∠ADE＝∠B＝40°，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝40°，∴∠BAD＝100°，故选：C．3．（2023•怀集县一模）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为（1，0），（0，4），将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则经过第2023次旋转后，点D的坐标为（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，﹣3） C．（3，﹣1） D．（1，3）【答案】A【分析】根据风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知旋转4次为一个循环，得到经过第2023次旋转后，点D的坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，进行求解即可．【解答】解：在正方形中，点A的坐标为（1，0），∴点B（0，1）．∵C（0，4），∴OC＝4．∴BC＝3．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝3．∴D（1，3）．由题意，可得风车第1次旋转结束时，点D的坐标为（3，﹣1）；第2次旋转结束时，点D的坐标为（﹣1，﹣3）；第3次旋转结束时，点D的坐标为（﹣3，1）；第4次旋转结束时，点D的坐标为（1，3）．∵将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，∴旋转4次为一个循环．∵2023÷4＝505⋅⋅⋅⋅⋅⋅3，∴经过第2023次旋转后，点D的坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，为（﹣3，1）；故选：A．【题型5：中心对称】【典例5】（2023•顺德区校级一模）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；D、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．1．（2023•蓬江区一模）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【解答】解：A选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C选项选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．2．（2022•南山区一模）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．绿色饮品 B．绿色食品 C．有机食品 D．速冻食品【答案】D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．3．（2023•东莞市一模）2022年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．【解答】解：∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，∴C选项中的图形为中心对称图形，故选：C．【题型5：坐标系中对称点的特征】【典例5】（2023•香洲区校级一模）已知点P（x，﹣2）与点Q（4，y）关于原点对称点，则x+y的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4【答案】B【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得x＝﹣4，y＝2，再计算x+y即可．【解答】解：∵点P（x，﹣2）与点Q（4，y）关于原点对称点，∴x＝﹣4，y＝2，∴x+y＝﹣4+2＝﹣2．故选：B．1．（2023•深圳一模）已知点A（a，﹣1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a﹣b的值为（）A．﹣5 B．5 C．3 D．﹣3【答案】C【分析】利用关于原点对称点的坐标性质得出a的值即可．【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，∴a＝4，b＝1．∴a﹣b＝4﹣1＝3．故选：C．2．（2023•南沙区一模）在平面直角坐标系中，与点A（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（4，﹣3）【答案】C【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【解答】解：点A（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，4），故选：C．3．（2023•黄埔区校级二模）如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点B的坐标为（6，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（）A．（7，33） B．（7，5） C．（53，5） D．（53，33）【答案】A【分析】如图，过点D作DE⊥x轴于点E．证明△AOC是等边三角形，解直角三角形求出DE，CE，可得结论．【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E．∵B（6，0），∴OB＝6，由旋转的性质可知AO＝AC＝4，OB＝CD＝6，∠ACD＝∠AOB＝60°，∵∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OC＝OA＝4，∠ACO＝60°，∴∠DCE＝60°，∴CE=12CD＝3，DE＝3∴OE＝OC+CE＝4+3＝7，∴D（7，33），故选：A．【题型6：作图-旋转变换】【典例6】（2023•香洲区校级一模）如图，△OBC的顶点坐标分别为O（0，0），B（3，3），C（1，3）．将△OBC绕原点O逆时针旋转90°的图形得到△OB1C1．（1）画出△OB1C1的图形．（2）将点P（m，2）绕原点O逆时针旋转90°，求点P旋转后对应点P1的坐标．（用含m的式子表示）【答案】（1）图见解析；（2）（﹣2，m）．【分析】（1）分别作出点B（3，3），C（1，3）绕原点O逆时针旋转90°的对应点B1（﹣3，3），C1（﹣3，1），顺次连接O、B1、C1即可；（2）按照（1）中点的旋转规律，即可写出点P旋转后对应点P1的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△OB1C1即为所求；（2）由（1）可得点B（3，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点B1（﹣3，3），C（1，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点C1（﹣3，1），∴将点P（m，2）绕原点O逆时针旋转90°后对应点P1的坐标为（﹣2，m）．1．（2022•河源模拟）如图，已知△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ACB绕着点B顺时针旋转90°得到△EDB，弧CD交AB于点F，弧AE交BD的延长线于点G．则图中的阴影部分面积为2．【答案】2．【分析】根据S阴＝S△ABC+S扇形BAG﹣S扇形BCD，求解即可．【解答】解：在Rt△ACB中，AC＝CB＝2，∠ACB＝90°，∴AB=AC2∴S阴＝S△ABC+S扇形BAG﹣S扇形BCD=12×2×2故答案为：2．2．（2023•宝安区校级三模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．并保留画图痕迹（不要求写画法和理由）．（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；（请用直尺画图）（2）连接CC1，△ACC1的面积为52（3）在线段CC1上找一点D．连接AD，使得△ACD的面积是△ACC1面积的12【答案】（1）见解析；（2）52（3）见解析．【分析】（1）根据旋转的性质即可画出图形；（2）利用△ACC1所求在矩形面积减去周围三个三角形面积即可；（3）确定CC1的中点即可．【解答】解：（1）如图，△AB1C1即为所求；（2）△ACC1的面积为3×2-1故答案为：52（3）如图，点D即为所求．3．（2023•南山区二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点）．（1）将△ABC绕着点O逆时针方向旋转90度，得到△A1B1C1，并画出旋转后的△A1B1C1：（2）请在网格中，仅用无刻度的直尺画出线段AC的垂直平分线PQ，交AB于点P，交AC于点Q（保留作图痕迹，不要求写作法）．【答案】（1）（2）作图见解析部分．【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）取AB的中点P，AC的中点Q，作直线PQ即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，直线PQ即为所求．一．选择题（共7小题）1．如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论．【解答】解：作点M关于直线l的对称点M′，连接M′N交直线m于点Q，则MP+NP＝M′N，此时管道长度最短．故选：B．2．下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．3．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，6），C（0，m）．当△ABC的周长最小时，m的值为（）A．72 B．3 C．103 D【答案】C【分析】根据C（0，m），得到点C在y轴上，作A点关于y轴的对称点A'，连接A'B交y轴于C，则BC+AC＝A'C+BC＝A'B，设直线BA'的解析式为y＝kx+b，得到y=23x+103，当x＝0【解答】解：∵C（0，m），∴点C在y轴上，作A点关于y轴的对称点A'，连接A'B交y轴于C，则BC+AC＝A'C+BC＝A'B，∴△ABC周长最小值为AB+BA'的长，∵A（2，2），∴A'（﹣2，2），∵B（4，6），设直线BA'的解析式为y＝kx+b，∴-2k+b=24k+b=6∴k=2∴y=23x当x＝0时，y=10∴C（0，103∴m=10故选：C．4．有以下说法：①△ABC在平移的过程中，对应线段一定相等；②△ABC在平移过程中，对应线段一定平行；③△ABC在平移过程中，周长保持不变；④△ABC在平移过程中，对应边中点的连线的长度等于平移的距离．正确的是（）A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【答案】B【分析】根据平移的性质对各小题分析判断即可得解．【解答】解：①△ABC在平移的过程中，对应线段一定相等，正确；②△ABC在平移过程中，对应线段一定平行或在同一直线上，故本小题错误；③△ABC在平移过程中，周长保持不变，正确；④△ABC在平移过程中，对应边中点的连线的长度等于平移的距离，正确．综上所述，正确的有①③④．故选：B．5．下列运动属于平移的是（）A．荡秋千的小朋友 B．转动的电风扇叶片 C．正在上升的电梯 D．行驶的自行车后轮【答案】C【分析】利用平移的定义进行判断即可．【解答】解：A．荡秋千的小朋友是旋转，不符合题意；B．转动的电风扇叶片是旋转，不符合题意；C．正在上升的电梯是平移，符合题意；D．行驶的自行车后轮是旋转，不符合题意．故选：C．6．四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可．【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意；故选：D．7．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．【解答】解：选项A、B、C的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项D的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：D．二．填空题（共5小题）8．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，沿直线AD翻折△ABD使点B落在AC上的B′处；如图2，折叠∠A，使点A与点D重合，折痕为EF．若B'DCD=23，则EFB'C的值为【答案】32【分析】在图1根据折叠画出折痕，易得△ADE是等腰直角三角形，EF垂直平分AD，得出△EDC∽△ABC，设AE＝x，根据相似比分别表示出EF，B'C即可求解．【解答】解：如图：∵翻折△ABD使点B落在AC上的B′处，∴AD平分∠BAC，BD＝B'D，∴∠DAC＝45°，∵B'DCD即BDCD∴CDBC∵EF是折痕，∴EF垂直平分AD，∴∠ADE＝45°，∠AED＝90°，AE＝DE，∴DE∥AB，∴△EDC∽△ABC，∴DEAB设AE＝x，则DE＝x，EF=22∴xAB解得AB=53x，∵AB＝AB'=53∴B'E=23∴B'C=32∴EFB'C故答案为：329．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，如图所示折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PD，此时BP的长为43【答案】43【分析】由翻折可得，A'D＝AD＝5，A'P＝AP，在Rt△A'CD中，利用勾股定理可求得A'C＝4，则A'B＝1，设BP＝x，则AP＝A'P＝3﹣x，在Rt△A'BP中，由勾股定理可列方程为（3﹣x）2＝12+x2，求出x的值即可．【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，∠C＝∠B＝90°．由翻折可得，A'D＝AD＝5，A'P＝AP，在Rt△A'CD中，由勾股定理得，A'C=A'D∴A'B＝BC﹣A'C＝5﹣4＝1．设BP＝x，则AP＝A'P＝3﹣x，在Rt△A'BP中，由勾股定理得，A'P2＝A'B2+BP2，即（3﹣x）2＝12+x2，解得x=4∴BP的长为43故答案为：4310．如图，将△ABC沿AC方向平移1cm得到△DEF，若DC＝3cm，则AF＝5cm．【答案】5cm．【分析】根据平移的性质得出AD＝CF＝1cm，再根据线段的和差关系进行计算即可．【解答】解：由平移的性质可知，AD＝CF＝1cm，所以AF＝AD+DC+CF＝1+3+1＝5（cm），故答案为：5cm．11．点A（3，2）向右平移2个单位长度得到A'，则A'的坐标为（5，2）．【答案】（5，2）．【分析】根据点向右平移，横坐标加上平移单位长度即可．【解答】解：因为点A（3，2）向右平移2个单位长度3+2＝5，所以点A'的坐标是（5，2）．故答案为：（5，2）．12．已知点A（3，﹣2）与点A′关于原点对称，则点A'的坐标为（﹣3，2）．【答案】（﹣3，2）．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．【解答】解：∵点A（3，﹣2）与点A′关于原点对称，∴点A′的坐标为（﹣3，2）．故答案为：（﹣3，2）．三．解答题（共3小题）13．在平面直角坐标系中点P（﹣1，5）关于y轴对称点的坐标为（1，5）．【答案】（1，5）．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．【解答】解：在平面直角坐标系中点P（﹣1，5）关于y轴对称点的坐标为（1，5）．故答案为：（1，5）．14．如图，每个小正方形的边长为1．（1）画出三角形ABC先向右平移4格，再向下平移1格后得到的三角形A'B'C'；（2）求三角形ABC的面积．【答案】（1）见解答；（2）8．【分析】（1）将三个顶点分别向右平移4格，再向下平移1格得到其对应点，继而首尾顺次连接即可；（2）用直角边长为5和7的直角三角形的面积减去上底为1、下底为7、高为2和直角边长为1和3的直角三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．（2）三角形ABC的面积为12×5×7-12×（1+7）×2-115．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转得到A′BC′，旋转角为α（0°＜α＜360°），过点A作AE∥C′A′交直线CC′于点E，交AA′于点D．（1）求证：ED＝C′D；（2）若∠ABC＝60°，在△ABC绕点B旋转过程中是否存在某个时刻，使得EC′＝AA′，如果存在，请直接写出此时α的度数；如果不存在，说明理由．【答案】（1）见解答；（2）60°或240°．【分析】（1）连接AE，AC'，根据旋转的性质得出AE＝A′C′．证明四边形AC′A′E是平行四边形即可得证；（2）由（1）问可知，四边形AC′A′E为平行四边形，当其为矩形时，可使对角线EC′＝AA′．在△ABC的旋转过程中，当点C′在直线AB上时，可使∠AC'A'为直角，此时平行四边形AC'A'E为矩形，求出此时对应的旋转角α即可．【解答】（1）证明：如图，连接AE，AC'，∵BC＝BC'，∴∠C'CB＝∠CC'B，∵∠ACB＝∠AC′B＝90°，∠EC′C＝180°，∴∠ACC′＝∠ACB﹣∠C′CB＝90°﹣∠C′CB，∠EC′A′＝∠EC′C﹣∠AC′B﹣∠CC′B＝180°﹣90°﹣∠CC′B＝90°﹣∠CC′B，∴∠ACC′＝∠EC′A′，∵AE∥C′A′，∴∠EC′A′＝∠AED，∴∠ACC′＝∠AED，∴AC＝AE，由旋转的性质可得，AC＝A′C′，∴AE＝A′C′．∵AE∥C′A′，∴四边形AC′A′E是平行四边形，∴ED＝C′D．（2）解：如图，当点C′在线段AB上时，∵∠AC′B＝90°，点C′在线段AB上，∴∠AC′A′＝90°，∵四边形AC′A′E是平行四边形，∴四边形AC′A′E是矩形，∴EC′＝AA′，∵∠ABC＝60°，∴此时旋转角α的度数为60°．如图，当点C′在线段AB的延长线上时，∵∠AC′B＝90°，点C′在线段AB的延长线上，∴∠AC′A′＝90°，∵四边形AC′A′E是平行四边形，∴▱AC′A′E是矩形，∴EC′＝AA′，∵∠ABC＝60°，∴∠CBC′＝120°，：此时旋转角α的度数为240°，故存在，此时旋转角α的度数为60°或240°．一．选择题（共7小题）1．下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析即可．【解答】解：A．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；B．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；C．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；D．该图形不是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．2．点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝3.5cm，PN＝4cm，MN＝5cm，则线段QR的长为（）A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm【答案】B【分析】根据轴对称的性质得到OA垂直平分PQ，OB垂直平分PR，则利用线段垂直平分线的性质得QM＝PM＝3.5cm，RN＝PN＝4cm，然后计算QN，再计算QN+RN即可．【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，∴OA垂直平分PQ，∴QM＝PM＝3.5cm，∵MN＝5cm，∴QN＝MN﹣QM＝5﹣3.5＝1.5（cm），∵点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，∴OB垂直平分PR，∴RN＝PN＝4cm，∴QR＝QN+RN＝1.5+4＝5.5（cm）．故选：B．3．数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边的点F处，其中DE=55，且sin∠DFA=45A．80 B．64 C．36 D．18【答案】A【分析】首先根据折叠的性质得到∠DFC＝∠C＝90°，然后根据同角的余角相等得到∠DFA＝∠BEF，进而得到sin∠BEF=sin∠DFA=45，设BF＝4x，EF＝5x，则BE＝3x，CE＝FE＝5x，根据定理求出AD＝8x＝8，DC＝DF＝10x＝【解答】解：∵矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边的点F处，∴∠DFC＝∠C＝90°，∴∠DFA+∠BFE＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠DFA＝∠BEF，∴sin∠BEF=sin∠DFA=4∴设BF＝4x，EF＝5x，则BE＝3x，CE＝FE＝5x，∴AD＝BC＝8x，∵sin∠DFA=4∴DF＝10x，∵∠DFC＝∠C＝90°，DE=55∴DF2+EF2＝DE2，即(10x)∴解得：x＝1，负值舍去，∴AD＝8x＝8，DC＝DF＝10x＝10，∴矩形ABCD的面积＝AD•CD＝8×10＝80．故选：A．4．在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，1）先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点A'，则点A'的坐标为（）A．（0，5） B．（﹣5，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣1）【答案】C【分析】点向右移横坐标加移动长度，向上移纵坐标加移动长度，根据平移方向及长度计算即可．【解答】解：将点A（﹣3，1）先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点A'，则横坐标加2，纵坐标加2，点A'的坐标为（﹣1，3）．故选：C．5．如图，三角形DEF是由三角形ABC通过平移得到的，且点B，E，C，F在同一直线上．若BF＝14，EC＝6，则点A与点D之间的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由平移的性质可得，△ABC≌△DEF，AD＝BE＝EF，由BE+EC+CF＝BF，可得BE＝4，进而可得AD的值．【解答】解：由平移的性质可得，△ABC≌△DEF，AD＝BE＝EF，∵BE+EC+CF＝BF，∴BE＝4，∴AD＝4，故选：B．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（）A．2 B．4 C．23 D．22【答案】C【分析】连接BB'，根据已知条件以及旋转的性质可得CA＝CA'，进而可得△ACA'是等边三角形，可得旋转角为60°，即可得△BCB'是等边三角形，即可求解．【解答】解：如图，连接BB'∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，∴CA＝CA'，CB＝CB'，又∠A＝60°，∴△ACA'是等边三角形，∴旋转角∠B'CB＝∠A'CA＝60°，∵CB＝CB'，∴△BCB'是等边三角形，∴BB'＝BC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝4，∴BC=A∴点B'与点B之间的距离为BB'=BC=23故选：C．7．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.8，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）A．1.8 B．1.6 C．2.6 D．2.8【答案】A【分析】根据旋转的性质得到AD＝AB，进而证明△ADB为等边三角形，得到BD＝AB＝2，则CD＝CB﹣BD＝1.8．【解答】解；由旋转的性质可知，AD＝AB，∵∠B＝60°，AD＝AB，∴△ADB为等边三角形，∴BD＝AB＝2，∴CD＝CB﹣BD＝1.8，故选：A．二．填空题（共5小题）8．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F，H分别是边BC，CD，AB上的一点，将正方形ABCD沿FH折叠，使点D恰好落在BC边的中点E处，点A的对应点为点P，则折痕FH的长为25【答案】25【分析】过点H作HG⊥CD于点G，连接DE，根据正方形的性质可证四边形ADGH是矩形，根据折叠可知FH垂直平分DE，可证△HGF≌△DCE（AAS），根据全等三角形的性质可得FH＝DE，在Rt△CDE中，根据勾股定理求出DE的长，即可确定FH的长．【解答】解：过点H作HG⊥CD于点G，连接DE，如图所示：则∠DGH＝∠FGH＝90°，在正方形ABCD中，∠A＝∠D＝∠C＝90°，AD＝CD＝BC＝4，∴四边形ADGH是矩形，∴GH＝AD＝CD，根据折叠可知，FH垂直平分DE，∴∠FDE+∠DFH＝90°，∵∠FDE+∠DEC＝90°，∴∠DFH＝∠DEC，在△HGF和△DCE中，∠DFH=∠DEC∠FGH=∠ECD∴△HGF≌△DCE（AAS），∴FH＝DE，∵E为BC的中点，∴EC＝2，在Rt△CDE中，根据勾股定理得，DE=4∴FH=25故答案为：259．如图所示，△BDC′是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形4对．【答案】见试题解答内容【分析】共有四对，分别是△ABD≌△CDB，△ABD≌△C′DB，△DCB≌△C′DB，△AOB≌△C′OD．【解答】∵四边形ABCD是长方形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，在Rt△ABD和Rt△CDB中，AB=CDAD=BC∴△ABD≌△CDB．（HL）∵△BDC是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，∴BC′＝AD，BD＝BD，∠C′＝∠A．∴Rt△ABD≌Rt△C′DB．（HL）同理△DCB≌△C′DB．∵∠A＝∠C′，∠AOB＝∠C′OD，AB＝C′D，∴△AOB≌△C′OD．（AAS）所以共有四对全等三角形．10．如图所示的是中国古代妇女的一种发饰—“方胜”图案，其图案由两个全等正方形相叠而成，寓意是同心吉祥，将正方形ABCD沿对角线BD的方向平移2cm得到正方形A′B′C′D′形成一个“方胜”图案，若BD′＝8cm，则图中阴影部分的面积为20cm2．【答案】20．【分析】根据阴影部分的面积＝2个大正方形的面积﹣2小正方形的面积求解即可．【解答】解：由平移变换的性质可知BB′＝DD′＝2cm，∵BD′＝8cm，∴B′D＝8﹣2﹣2＝4（cm），∴BD＝BB′+B′D＝2+4＝6（cm），∴阴影部分的面积＝2个大正方形的面积﹣2小正方形的面积＝2×12×62﹣2×12×42故答案为：20．11．如图，A，B的坐标分别为（﹣2，1），（0，﹣1）．若将线段AB平移至A1B1，A1，B1的坐标分别为（a，3），（3，b），则a+b的值为2．【答案】2．【分析】由点A及其平移后的对应点A1的纵坐标可知，向上平移2个单位；由点B及其平移后的对应点B1的横坐标可知，向右平移3个单位．因此平移规律可为：先向上平移2个单位，再向右平移3个单位．据此求得a、b的值，然后计算a+b即可．【解答】解：由题意，点A（﹣2，1）先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点A1（a，3），点B（0，﹣1）先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点B1（3，b），∴a＝﹣2+3＝1，﹣1+2＝1，∴a+b＝1+1＝2．故答案为：2．12．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长度为5．【答案】见试题解答内容【分析】根据旋转的性质可得AB＝AE，∠BAE＝60°，然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得BE＝AB＝5．【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△AEB是等边三角形，∴BE＝AB，∵AB＝5，∴BE＝5．故答案为：5．三．解答题（共3小题）13．在4×4的正方形网格中建立如图所示的直角坐标系，其中格点A，B的坐标分别是（0，1），（﹣1，﹣1），请在网格中按要求作图：（1）在图①中作格点△ABC，使得它为等腰直角三角形且点C位于第四象限；（2）在图②中作格点△ABD，使得它为轴对称图形且对称轴为y轴；（3）在图③中作格点△ABE，使得它为轴对称图形且对称轴经过点（1，1）．（注：顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．）【答案】图形见解答．【分析】（1）在图①中作格点△ABC，使得它为等腰直角三角形且点C位于第四象限；（2）在图②中作格点△ABD，使得它为轴对称图形且对称轴为y轴；（3）在图③中作格点△ABE，使得它为轴对称图形且对称轴经过点（1，1）．【解答】解：（1）如图①，△ABC即为所求；（2）如图②，△ABD即为所求；（3）如图③，△ABE即为所求．14．按要求画图及填空：在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．（1）点A的坐标为（﹣4，2）．（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．（3）计算△A1B1C1的面积．【答案】（1）A（﹣4，2）．（2）作图见解析部分．（3）5.5．【分析】（1）根据点A的位置写出坐标即可．（2）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（3）利用分割法求面积即可．【解答】解：（1）如图，A（﹣4，2）．故答案为：（﹣4，2）．（2）如图，△A1B1C1即为所求作．（3）S△A1B1C1=3×4-12×1×315．问题提出：如图1，在锐角等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，K是动点，满足BK⊥AK，将线段AK绕点A逆时针旋转α至AD，连接DK并延长，交BC于点M，探究点M的位置．特例探究：（1）如图2，当点K在BC上时，连接CD，求证：CD=1（2）如图3，当点K在AC上时，求证：M是BC的中点．问题解决：再探究一般化情形，如图1，求证：M是BC的中点．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质，旋转的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；（2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝∠AKD＝∠D=180°-α（3）连接CD，过点B作BE⊥KD于点E，过点C作CF⊥DK于点F，利用全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，BK⊥AK，∴BK＝KC=12BC，∠BAK＝∠∵∠BAC＝α，∠KAD＝α，∴∠BAC＝∠KAD，∴∠BAC﹣∠KAC＝∠KAD﹣∠KAC，∴∠BAK＝∠DAC．在△BAK和△CAD中，BA=CA∠BAK=∠CAD∴△BAK≌△CAD（SAS），∴CD＝BK，∴CD=12（2）∵AB＝AC，∠BAC＝α，∴∠ABC＝∠ACB=180°-α∵AK＝AD，∠KAD＝α，∴∠AKD＝∠D=180°-α∴∠AKD＝C．∵∠AKD＝∠MKC，∴∠MKC＝∠C，∴MK＝MC．∵BK⊥AK，∴∠BKC＝90°，∴∠MKB+∠MKC＝90°，∠MBK+∠C＝90°，∴∠MKB＝∠MBK，∴MMB，∴MB＝MC，∴M是BC的中点；（3）连接CD，过点B作BE⊥KD于点E，过点C作CF⊥DK于点F，如图，在△BAK和△CAD中，BA=CA∠BAC=∠CAD=α∴△BAK≌△CAD（SAS），∴BK＝CD，∠AKB＝∠ADC＝90°，∴∠ADK+∠CDF＝90°，∠AKD+∠BKE＝90°．∵AK＝AD，∴∠ADK＝∠AKD，∴∠CDF＝∠BKE．在△CDF和△BKE中，∠CDF=∠BKE∠CFD=∠BEK=90°∴△CDF≌△BKE（AAS），∴CF＝BE．在△BEM和△CFM中，∠BME=∠CMF∠BEM=∠CFM=90°∴△BEM≌△CFM（AAS），∴BM＝CM，∴M是BC的中点．一．选择题（共4小题）1．（2023•广东）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用轴对称图形的定义进行分析即可．【解答】解：选项B，C，D中的图形都不能确定一条直线，使图形沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，选项A中的图形沿某条直线对折后两部分能完全重合，是轴对称图形，故选：A．2．（2023•深圳）下列图形中，为轴对称的图形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．3．（2022•广州）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．4．（2021•广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（）A．35 B．45 C．55 【答案】C【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，由旋转的性质可得AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，在Rt△BB'C'中，由勾股定理可求BB'的长，即可求解．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=AC2∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，∴AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，∴BC'＝4，∴B'B=C'B'2∴sin∠BB′C′=BC'故选：C．二．填空题（共6小题）5．（2023•广州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE＝1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为17．【答案】17．【分析】如图，连接AE交BD于一点F，根据正方形的性质得到点A与点C关于BD对称，求得AF＝CF，推出AF+EF＝AE，此时CF+EF最小，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，连接AE交BD于一点F，∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AF＝CF，∴AF+EF＝AE，此时CF+EF最小，∵正方形ABCD的边长为4，∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，∵点E在BC上且BE＝1，∴AE=A故CF+EF的最小值为17．故答案为：176．（2023•深圳）如图，在△ABC中，AB＝AC，tanB=34，点D为BC上一动点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于点G，GE＜DG，且AG：CG＝3：1，则S三角形AGE【答案】4975【分析】过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AH⊥DE于点H，由折叠易得AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，CG＝a，则AG＝3a，于是AB＝AC＝AE＝4a，在Rt△ABF中，利用tanB=34可求出AH＝AF=125a，BF＝EH=165a，在Rt△AGH中，利用勾股定理求出GH=95a，以此求出EG=【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AH⊥DE于点H，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根据折叠的性质可知，∠B＝∠E，AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，∴∠E＝∠C，设CG＝a，则AG＝3a，∴AB＝AC＝AE＝4a，在Rt△ABF中，tanB=AF∴BF=43∴(4解得：AF=125a或∴AH＝AF=125a，BF＝在Rt△AGH中，GH=A∴EG＝EH﹣GH=16∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，∴△AEG∽△DCG，∴AGDG=EG∴DG=15∴EGDG∴S三角形故答案为：49757．（2020•广州）如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为（4，