三年级第十讲等差数列

高斯-德国数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（C.F.Gauss，1777年4月30日－1855年2月23日），德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并有“数学王子”的美誉。他独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”、素数定理、及算术-几何平均数。1795年高斯进入哥廷根大学，1796年得到了一个数学史上极重要的结果，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》。高斯在历史上影响巨大，有"数学王子"、"数学家之王"的美称、被认为是人类有史以来"最伟大的四位数学家之一"（阿基米德、牛顿、高斯、欧拉）。2021/10/10星期日1第十讲等差数列2021/10/10星期日2

200年前，德国有位

数学家叫高斯，他小时候就非

常聪明。。一天，他的小学数学老师教完加法后，想要休息一下，便出了一道题目要同学们算算看，题目是：1+2+3+.....+97+98+99+100=?老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要出去时，看见高斯举起小手，问：“高斯，有什么事？”高斯说：“老师我做好了。”老师非常惊讶的说：“是吗？怎么可能呢。你的答案是多少？是怎样算出来的呢？”思考：高斯是怎么算出来的呢？2021/10/10星期日3我们先来看看当时的高斯是怎么回答的。高斯说：“老师，1加至100可以排两行，第一行顺着排，第二行倒过来排。”我们来看一下

1+2+3+4+5+……+97+98+99+100100+99+98+97+96+……+4+3+2+1公式推导我们两排的第一个数相加是101，第二个相加还是101，第三个还是101，第四个还是101，最后一个还是101，也就是说两排相加共有100个101，也就是10100，那么一排相加的和是10100÷2=5050所以和=（1+100）×100÷2=50502021/10/10星期日4动手算一算计算

1+2+3+……+198+199的和。

解析：原式=（1+199）×199÷2

=200÷2×199

=100×199

=19900

【注】：计算是基础，利用巧算方法更省力。2021/10/10星期日5认识等差数列如果一个数从第二项开始，每一项与前面的差都相等，这样的数列叫做等差数列。这个相等的差叫做等差数列的公差，数列中每一个数称为数列的项，并且根据他们所在的位置，第一个数叫做首项，第二个数叫做第二项，以此类推，最后一个数称为末项。这个数列的个数称为项数例如数列1、3、5、7、9、11、132、4、6、8、105、8、11、14、17······你能根据自己的理解再写出几个等差数列吗，并指出它的首项、末项、项数、公差2021/10/10星期日6下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

①6，10，14，18，22，…，98；

②1，2，1，2，3，4，5，6；

③

1，2，4，8，16，32，64；

④

9，8，7，6，5，4，3，2；

⑤3，3，3，3，3，3，3，3；

⑥1，0，1，0，l，0，1，0；2021/10/10星期日7例1：2、5、8、11、14……。按这样的规律排列的一串数，其中第21项是多少？

方法一：采用最笨的办法，直接按照规律，直接写到第21项

方法二：过根据已知的数，列出算式（数出增加的公差）第二项比首项多1个公差，第三项比首项多2个公差，……，第21项比首项多20个公差，则第21项比首项多3×20=60，所以第21项是62列式：2+（21-1）×3=62思考：这个数列的第40项是多少？第n项=首项+（项数－1）×公差2021/10/10星期日8例2求等差数列3，7，11,15，…的第20项．解：第20项=首项+（项数－1）×公差

=3+（20－1）×4=3+76=79

新授2021/10/10星期日9例3、小松鼠摘松果，第一天摘了9个，第二天摘了12个，第三天摘了15个，第四天摘了18个，按这样的摘法，第八天小松鼠摘多少松果通过观察发现这是一个公差为3的等差数列，首项为9，项数为8，公差为3，求末项9+（8-1）×3=9+21=30（个）首项项数公差末项=首项+（项数﹣1）×公差思考：第15天摘了多少松果2021/10/10星期日10项数=（末项-首项）÷公差+1例4、有一个数列4，10，16，22，…，46，这个数列一共有多少项？方法一：采用最笨的办法，直接按照规律，直接从4数到42方法二：分析这是一个等差数列，首项为4，末项为46，公差为6,46-4=42,42÷6=7，所以46比4多7个公差，多1个公差是第二项，多2个公差是第三项，……，多7个公差应该是第8项。列式：（46-4）÷6+1=8补充：64是这个数列的第几项？2021/10/10星期日11例5小明从一个箱子里取乒乓球，第一次去了6个，第二次取了10个，第三次取了14个，就这样每次都比前一次多取4个，最后一次小明取了34个乒乓球，小明一共取了乒乓球多少次？哇！又是等差数列那么当取34个乒乓球的时候，比第一次多取了7个4（34﹣6）÷4=7，就是第8次取得（7+1=8次）综合算式得（34﹣6）÷4+1=28÷4+1=8（次）末项首项公差等差数列项数=（末项﹣首项）÷公差+12021/10/10星期日12例题精讲例

求数列3,5,7,9,11,13,15,17的和解：3+5+7+9+11+13+15+17=（3+17）×8÷2=80数列求和的公式为：和