2023 年高考数学第一次模拟考试卷

2023年高考数学第一次模拟考试卷（新高考I卷）

数学-全解全析

123456789101112

DCACDCDDBCDABDACBCD

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.【答案】D

【详解】由log(X+1)<2得:0<x+1<4,解得:_1<x<3,即8=般_1<x<3),

2

:A/FB={x_1<x<D.

2【答案】C

【详解】=cos^+isin+cos^1+isin^+1+^i>

336622

因此■+自[=石木姆：C.

3.【答案】A

【详解】若[x]=[y]=a,则a<x<a+1,a<y<a+1,故_a_1<_y<_a

则_1<x_y<1,贝ij|x_y|<1,故充分性满足；

若|x_y|<1,取x=0.5,y=1.2,满足|x_y|<1,但[x]=0,[y]=1,故必要性不满足.

故"[x]=[y>是"|x_y|<1成立”的充分不必要条件.故选：A.

4.【答案】C

【详解】解：VInf=1水_皿(其中f是脉搏率(心跳次数/min)，体重为W(g),k为正的常数)，

3

：当W=300g时，则脉搏率Inf=3!nk」n3QQ,即Inf3=Inks_|n300,则f3=

1311300

当W=8100g时，则脉搏率Inf=3冰」*1。。，即Inf3=I#」n8100,则f3=J2一

23228100

ks

：[(L[=*6=27,即1■=3：体重为300g的豚鼠和体重为8100g的小狗的脉搏率之比为3,故选：C.

(<2),!2.2

8100

【详解】由题意可知，建立如图所示的平面直角坐标系,

因为正八边形ABCDEFGH,

360

所威主AOH=经1~100=经偿=经曰＞=经同况=经00£=经006=经000=45。

8

作AMJHD,则0M=AM，因为OA=2,所以OM=AM=尤,

（-£-£）,同理可得其余各点坐标,

所以A

B(0,-2),E(^,V2),G(-<2,<2),D(2,0),H(-2,0)，

对于A,^OB+OE+OG=(0+<2+(7万),-2也-+五+、万)=0,故A正确;

(-必)根2+(j^)根0=-2/2,故B正确;

对于B,OAOD

对于C,AH=(-2+6,旄)(-2-V2,-x/2),AH+EH=(-4,0)

,EH

所以|AH+EH|=J(-4)2+8=4,故C正确;

对于D,AH=(-2+五,、份),AH+GH=(-4+272,0)

帕+GHl|=jQ+%）2+Q=4-2石，故D不正确.故选：D.

6.【答案】C

PF'PF'）

【详解】因为PH=入

词，屉j）『所以PH是经的角平分线,

又因为点H在直线x=a匕且在双曲线中，点P是双曲线C右支上异于顶点的点,

则4PFF的内切圆圆心在直线x=a上，即点H是4PFF的内心,

1212

如图，作出“个，并分别延长HP、H『至点P,、F；、F,2,使得HP,=5HP,

HF,=3HF,HF,=4HF,可知H为△P,F,F,的重心，

112212

设."mSAHpp力SAHFF=p,由重心性质可得15m=20n=12p,即m:n:p=4:3:5‘

1212

又H为△PF「2的内心，所以pFJ?FJJ=5:4:3,

因为||=，所以叫中巴|《呵争打喈，则2a=1PFj-|PFj=g,

C2c2c

所以双曲线C的离心率C.

5

7.【答案】D

【详解】解：因为函数丫=sin(|(2x卡；卜所以其最小正周期为T=专=弘，而区间■+；的区间长度是该

函数的最小正周期的=,

因为函数丫=sin(|(2x-+2在区间t,t+；上的最大值为gjt),最小值为g?(t),

所以当区间L，t+q]关于它的图象对称轴对称时，g(t"g°(t)取得最小值，对称轴为t+t+^n

14」—=[+~^

此时函数y=sin(|(2x-；卜最值土1,

不妨设y取得最大值g(t)=1,则有sin2d(=1，所以宿Q■架I=L

解得2t+=—+2krc,k=Z,得t=ku——,k=Z,

12224

所以%。=的(|(喝=个恤弋词产与吟)专

所以g(t)-g(t)的最小值为2iW,故选：D.

122

8.【答案】D

【详解】设底边长为a,原四棱锥的高为h,如图1,0,0分别是上下底面的中心，连结00,°，，0A,

11

根据边长关系，知该棱台的高为2,则v=」L+i⑶：上隹片打卫工

2ABCD-A即p,3,V1(2)1北-1(2)1，2-24

由AA=J^，且四边形A。。A为直角梯形，叵烬=邑，OA=^AB=^a,可得

11111211422

砥2+||品)=@则11，

V二匣-在乒工抱一(48-2m)<二正+&+48-232『=竺

ABCD-ABCD,2412Y848、483J3

当且仅当az=48-2az,即a=4时等号成立，此时棱台的高为1.

上底面外接圆半径r=AO=72,下底面半径r=A0=/，设球的半径为R,显然球心M在。。所在的直

1111

线上.显然球心M在。0所在的直线上.

1

当棱台两底面在球心异侧时，即球心M在线段00上，如图2,设OM=x，则0M=1-x,0<x<1,显然

11

MA=MA1=R则，有#2+*=4：+(l-xb,即jG/2)+X2=jC/+

(1-x)2解得x<0,舍去.

当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M在线段00的延长线上，如图3,设OM=x,则0M=1+x,显然

11

MC=MA,

解得X=1

D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】BCD

【详解】对于A：-0.1x2=0.2<0.5,(0.1+0.2)x2=0.6>0.5,

所以骑车时间的中位数在［20,22)这一组，为20+收三产x2=21.5分钟，故A错误；

0.4

20+22

对于B：骑车时间的众数的估计值是上产=21分钟，故B正确；

2

对于C：v(0.025+0.050+0.075)x2=0.3<0.4,(0.025+0.050+0.075+0.100)x2=0.5>0.4,所以坐公交车

时间的40%分位数的估计值在［18,20)这一组，为■|8+0.4U3x2=■|9分钟，故C正确；

对于D：坐公交车时间的平均数的估计值为：

2x(0.025X13+0.050X15+0.075x17+0.100x19+0.100x21+0.075x23+0.050x25+0.025x27)=20,

骑车时间的平均数的估计值为：2x(0.10x19+0.20x21+0.15x23+0.05x25)=21.6,

则坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值，故D正确.故选：BCD.

10.【答案】ABD

|PA|1

【详解】设P(x,y),因为岫。)同一2,。)’且点P满足两次可得

2

整理得(x—2g+辟=4,即曲线C的方程为(x-2>+yz=4.

对于A中，曲线C为半径为2的圆，所以周长为2TTX2=4TT,所以A正确;

|OA|_1|OA|PA

对于B中，因为A(1,0),B(—2,0),所以同一多所以函=同，

延长BP到Q,使lAP|=|PC|,连结AQ,如图所示,

因为|AP|=12,所以瑞假•招，所以OP//AQ,所以经OPB=经Q,经OPA=经QAP,

因为|AP|=|Pd，所以经0「人=经0,所以经OPB=^PA,即OP平分经APB,所以B正确.

1?

对于C中，由热BP的面积为S=5卜8|.卜「|=5以「|,要使得&ABP的面积最大，只需|Yp|最大，

由由点P的轨迹为C:(x—2)2+y2=4,可得|yI=2,所以AABP面积的最大值为3,所以C错误;

Pmax

对于D中，当AP」AB时，「(1,、6)或(1,-向)，

不妨取P(1,场，则直线BP:y=吾券(x+2)，即丫=乎优+2),

1\U)J

理(2+2)

3

因为圆心C(2,0)到直线BP的距离为d=^——=2,

所以d=r,即直线BP与圆相切，所以D正确.故选：ABD.

11.【答案】AC

【详解】对于A：不妨令x=y=0,则f(0+0)之f(0)+f(0)常f(0)<0,

因为vxe[0,+伪)，f(x)之0,所以f(0)之0,故f(0)=0,故A正确；

对于B：不妨令X=1,y=2,则f⑴=1,f(2)=0,f(1+2)=0,即f(1+2)<f(1)+f(2),

这与vx之0,y之0,f(x+y)之f(x)+f(y)矛盾，故B错误；

对于C：由题意可知，vxe[0,+伪)，f(x)=冈之0,

不妨令x=m+n之0,其中m为整数部分，n为小数部分，则f(x)=^x]=m；

再令y=a+b之0,其中a为整数部分，b为小数部分，贝ijf(y)=[y]=a；

若0<n+b<1,贝!lf(x+y)=[x+y]=m+a；若n+b之1,则f(x+y)=[x+y]=m+a+1,

从而vx之0,y之0,f(x+y)之f(x)+f(y)成立，故C正确；

对于D：由题意可知，常函数f(x)=0为“H函数”，但f(x)不是增函数，故D错误.故选：AC.

12.【答案】BCD

【详解】对于A、B,由抛物线的焦点F(1Q)，则p=2,即yz=4x,其准线方程为x=-1,

设点P到准线的距离为d皆则pM卜pF=|PM+,

设点M（3,2）到准线的距离为d,易知PM+d之d=4,如下图:

PM

对于C,由题意可知，过点M（3,2）的直线I可设为x=m（y—2）+3,

代入抛物线Cw=4x,可得yz—4my+8m-12=0,

・gA(x,y),B(x,y),则y+y=4m,yy=8m—12,

11221212

OA.OB=xx2+yy=[m(y—2)+3jm(y12)+3]+y/=(rr^+1)yy+2m(3—2m)(y+y)+(3—2m)2,将

匕+丫2=的/工=8m—12代入上式，可得

=(nr+I)(8m-12)+m(3-2m).4m+(3-2m)2=4m2-4m-3=4(|(m-lT-4^.-4,故C正确;

对于D,由C可得直线I的方程为x-my+2m-3=0,可设直线PF的方程为x-my—1=0,

|2m-3+1

易知点P到直线I的距离等于两平行线I与PF的距离d=:32

、’1+m2

2(1+X3)-2X.2X2(1-X)(1+X)

2x

令y=7^';+、1+笈）2

当xe（T为,T）不（1,+伪）时，y,<0,当xe（fi）时，y,>0,

贝Ijy二也在（T为,T）和（1，+伪）上单调递减，在上单调递增,

1+X2

由当X<-1时，y<0,当x>1时，y>0,贝Ijy=-1,y=1,可得0<d<a/"^,故D正确.故选：BCD.

minmax

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

（兀）

13.【答案】cos|（2x|（答案不唯一）

【详解】：f（x）为R上的偶函数，..」（一x）=f（x）,

又f(1+x)=f(3-x),.•.用3+x替换x,得f(x+4)=f(-x),

f(x+4)=f(x),•••f(x)的周期为4,

则f(x)的一个解析式可以为f(x)=cos(|(gxj故答案为：cos(1(^x|(答案不唯一).

14.【答案】84

【详解】依题意，冬至日唇长为13.5尺，记为a=13.5,芒种日唇长为2.5尺，记为a=2.5,

112

因相邻两个节气的日唇长变化量相同，则从冬至日皆长到芒种日唇长的各数据依次排成一列得等差数列

{a},neNA,n<12,

n

数列{a}的公差d=%-a「2.5-13.5

n12-112-1

因夏至与芒种相邻，且夏至日唇长最短，则夏至的日辱长为a+d=1.5,

1

又大雪与冬至相邻，且冬至日唇长最长，则大雪的日•长为a+d=12.5,

12

显然夏至到大雪的日辱长依次排成一列是递增等差数列，首项为1.5尺，末项为12.5尺，共12项，

15+125

所以一年中夏至到大雪的日署长的和为根12=84(尺).故答案为：84

2

Q7

15.【答案】—

840

【详解】解：8个程序题目全排列共有As种方法；全尺寸太阳能排在前两位，可分类讨论：

8

①全尺寸太阳能排在首位：太空发射与自定义漫游相邻，将二者捆绑起来有A2种方法，两者均不与空间运

2

输相邻，可先将其余4个全排列，有A4种方法，再插空有Az种排法，故此时共有A2A4A2=2根24根20=960

45245

种方法；

②全尺寸太阳能排在第二位，再分两种情况

⑴首位排空间运输，太空发射与自定义漫游相邻，将二者捆绑起来有A2种方法，和余下4个元素一起全排

2

列，有A5种方法，共A2A5=240种方法；

525

(ii)首位不排空间运输，余下四个一般元素挑一个排在首位，有A1种方法，太空发射与自定义漫游相邻，将

4

二者捆绑起来有A2种方法，余下3个一般元素全排列，有A3种方法，最后在4个空位中对空间运输和捆绑元

23

素插空有A2种，共AlA2A3A2=576；

44234

由①②所有符合条件的排法有960+240+576=1776；

1776177637,37

故所求概率为：.Q/iri故答案为：,-

As8根7根6根5根4根3根2根18408040n

16.【答案】(T为,0)不［1,明

e

(详解］解：因为a+t(b—2ea)lnb=t(b—2ea)lna，所以a+t(b—2ea)(lnb—Ina)=0,

当t=0时，上式变为a=0,与a>0矛盾，当t牛。时，上式为(b=2e)ln0二：一1,

aat

令x=B,则f(x)==(x—2e)lnx,x>0,f,(x)=Inx+(x—2e).—=Inx+1——,

axx

9pI9p

令g(x)=Inx+1-x>0,g,(x)=-+_>0,

XXX2

所以g(x)在(0,+伪)上单调递增，又g(e)=lne+1—空■=0,

e

所以在(0⑻上，g(x)<0,f,(x)<0,f(x)单调递减，

在(e,+伪)上，g(x)>0,f/(x)>0,f(x)单调递增,

所以f(x)=f(e)=(e-2e)lne=-e,x趋向于。或+伪时，f(x)均趋向于+伪，

min

所以-L?-e,即」we，所以t<0或t2l>，故t的取值范围为(T为⑼不山+伪).

ttee

故答案为：(T为,0)不己+伪).

e

四、解答题：本题聂小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【答案】(1噜1(2)①③正确,⑴sinA=*(ii)BD=7

【详解】(1)解:由题意知T，3sinfB+47B;L

6)1।(6)1

定Csin,B+/j+呼+］=()，即例〉+；卜0

•.・Be(o,n),定B+1=n,故B=2;(4分)

33

2TT

(2)由(1)得B=w定b>a,故条件②不成立，即条件①③正确，

O

在AABC中，由余弦定理可得:a2+C2—2accos—=也，即a2+C2—b2+ac=0,

3

对于条件①:a2-b2+C2+3c=0，与上式结合可得a=3,

对于条件③：LacsinB=—ac=15H，故ac=15,所以c=5,

244

将a=3,c=5代入d2+C2—b2+ac=0可得：b=7,(6分)

(i)在△ABC中，由正弦定理可得：

37「

^7二^~5■，即©nA.2TT,^sinA=^,COSA=^(8分)

sinAsinBsin_1414

o

(ii)'.BD是经ABC的角平分线，谖ABD=经CBD,

JAD[AB.BD.sin经ABDAB5

‘ABD="，=-，=*,=—

：-BCDCD】BC.BD.sir^CBDBC3

2

•/AC=7:AD=—在AABD中，由余弦定理可得

8

(35)23513225_15

BDz=AB2+AD2-2AB.AD.COSA=25+|(科一？未/根万根森=育，故BD=-&-

综上涤件①③正确，sinA=¥BD=g.(10分)

14o

18.【答案】⑴a=2n—1(2)证明见解析(3)20

n

【解析】(1)当n=1时，4a=4S=(a+1)2,解得：a=1；

1111

当n>2且neN*时，4a=4S-4S=(a+1)2-(a+1)2,

nnn-1nn-1

整理可得：(a+a)(a-a-2)=0,又a>0,：a-a=2,(2分)

nn—1nn-1nnn-1

:数列｛a｝是以1为首项，2为公差的等差数列，：a=1+2(n-1)=2n—1.(4分)

nn

/23-I1(11)

⑵由⑴得：与=/方£,+1)，而市荔7川，(6分)

n3'(2l+12?+12+12s+12+12+122n~3+12n-1+122n-1+12n+1+1)

1(11)1(11)111

'引百一由1=同(丁瑟西)1%根3)・(8分)

(3)[1|4S=(a+1)2得：4S=(2n-1+1)2=4ri2,:S=re,:c=(-I)n(n+1)2；(9分)

nnnnn

①当n为偶数时，

T-22)+(&-4?)+(&-a)+.“+((n+11-0)

n

=(3+2)+(5+4)+(7+6)+(n+1+n)=2+3+..+(n+1)=n'二".

2

n(n+3)

由T>200得：------->200,又neN:：n=20；(10分)

n2mtn

②当n为奇数时，T=T—c=(n+1)(n+4)_w=」+3n+4

<0；(11分)

nn+1n+122

综上所述：满足T>200的最小正整数n的值为20.(12分)

n

19,【答案】⑴2(2)分布列见解析，数学期望：6(3)至少要进行11轮测试

55

【详解】(1)由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27,15,43,41,32,26,56,36,49,

20,参与“单板滑雪”的人数依次为46,52,26,37,58,18,25,48,33,30,

其中参与“单板滑雪，，的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人

数超过30人的学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A，“这

10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B,

则P（A）=P（AB）=3-=-,（2分）

C23C215

1010

P（AB）2

所以,（4分）

PU）5

（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，X的所有可能取值为0,1,2,3,

所以p（x=o）=也L,p（x=1）=9^>=更=」，

C31206C31202

1010

p（x=2）=2^=理=3,p（x=3）=2L^.=JL=J.,（6分）

Q12010Cs12030

1010

所以X的分布列如下表:

X0123

1j31

p

62ib30

所以E（x）=1+2x3+3x1=6（8分）

210305

on

（3）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件C,则P%（|（3卜⑹3）胡（3）=2〉

（20）

由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布B|（n,27）|,（10分）

2054

由题意列式下9之8,得n之行，因为nEN-，所以n的最小值为11,故至少要进行11轮测试（12分）

20.【答案】⑴证明见解析⑵存在，入=4

【详解】（1）依题意ABCD矩形，AB=4,BC=2,E是CD中点，所以AE=BE=人份，

又AB=4,所以，AE2+BE=AB2,AEJBE,（2分）

因为平面BEF」平面ABCD,平面BEFfl平面ABCD=BE,所以AEJ平面BEF,

乂BF仁平面BEF，所以AE」BF.（4分）

以C为原点，CD所在直线为X轴，CB所在直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系.

则C（0,0,0）,D（4,0,0）,B（0,2,0）,E（2,0,0）,（6分）

设N是BE的中点,

因为FE=FB,所以FN」BE,

又平面BEF」平面ABCD,平面BEFCI平面ABCD=BE,

所以FN」平面ABCD,（8分）

假设存在满足题意的入，则由DP=入口8（0（入＜1）.

（4人_3,1-9旄）.

可得,PF=一入DB+DF=

设平面DEF的一个法向量为n.=（x,y,z）,

则〈“竺一f-。，令丫英，可得x=0,z=—1,即n=Q,应一）（10分）

|ln.DF=-3x+y+v2z=0

设PF与平面DEF所成的角为0,所以sin。=

|V2（2A-I）+V2|n

v3.^（3~4A）2+（2X-1）2+（-\/2）23

3

解得入二:（X=1舍去），

4

综上，存在入=0,使得PF与平面ADE所成的角的正弦值为（12分）

43

21.【答案】⑴f+2!=1（2）存在入=2

43

【详解】（1）解：抛物线yz=4x的焦点为F（1,0）,

由题意可Wc=1,--:a=2,她八C2=石,

a/

因此，桶圆C的方程为%1.（3分）

43

（2）解：设M（x,y）、N（x,y）,设直线MN的方程为*=my+1,其中m牛。,

1122

凝1h=“，得+4)y2+6my-9=0,A=36m2+36(3rw+4)>0,

x=/nv+1

6m9

由韦达定理可得y+y----------,yy（6分）

123np+4—

所以myy=-（y+y）,

122i2

易知点A（-2,0）、B（2,0）,k=.」

1my1+3

所以，直线AM的方程为y=-L（,X+2),(8分)

my1+3

6y（6y

将x=4代入直线AM的方程可得y=菰有'即点4

my,+3]

6y1

匕=