吉林省长春五十二中教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年吉林省长春五十二中教育集团九年级（上）期中

数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A-VCL2B.在C.V2D.V12

2•一元二次方程式2+2%=0的根的判别式的值是（）

A.4B.2C.0D.-4

3.将二次函数y=2/+2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得

新函数图象的表达式为（）

A.y—2（x-1）2+3B.y=-1（x+3）2+1

C.y—2（x-3）2-1D.y=2（x+3）2+l

4.用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9,下列说法正

确的是（）

A.种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”

B.种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”

C.种植10〃棵幼树，恰好有。棵幼树不成活”

D.种植“棵幼树，当w越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9

5.已知点A（-2,Ji）>B（1,>2）在二次函数y=x2+2x+2的图象上，力与>2的大小关

系为（）

A.yi>y2B.力=卜2C.D.yiW,2

6.如图，已知。，E分另!］是△ABC的A3,AC边上的点，DE//BC,S.BD=3AD.那么AE：

AC等于（）

7.如图，两根竹竿4B和斜靠在墙CE上，量得/A8C=a,ZADC=p,则竹竿A8与

A。的长度之比为（）

E

D

B

A

tanClsinP户sin^IcosP

.----p-D.-；-----u.-；—p-u.-------

tanpsinasinpcos。

8.如图，一条抛物线与无轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点尸在线段

AB上移动，若A、B的坐标分别为（-2,3）,（1,3）,点M的横坐标的最小值为-

5,则点N的横坐标的最大值为（）

A.3B.4C.5D.6

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.计算我XA/百的值为.

10.若他是一元二次方程X2-x-2023=0的一个根，则机2-%+1的值是.

11.某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行园林绿化工程.2022年投资1000万元，

之后投资逐年增加，预计2024年投资1440万元.则这两年投资的平均年增长率

为__________

12.如图，ZVIBC与△OEF位似，点。为位似中心，若AC=3DF,则OE：EB

D、E分别是AB、AC的中点.£是DE上一点，连结

14.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离

15.（8分）（1）计算：V27^|V18W12；

（2）解方程：X2+2X-3=0.

16.（6分）有甲、乙两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有数字0,2,5；乙袋

中有3个球，分别标有数字0,1,4.这6个球除所标数字以外没有任何其它区别，从甲、

乙两袋中各随机摸出1个球，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个球上数字之

和是6的概率.

17.（6分）学校生物小组有一块长32",宽20根的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平

行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540加2,小道的宽应是

多少？

18.（6分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的3义3网格，AABC的顶点均在格

点上，利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.

（1）△A8C的面积为

（2）在图①中，作出AABC的重心O.

（3）在图②中，在AABC的边AC上找一点F,连结使△ABF的面积为言.

图①图②

19.（6分）如图，甲楼的高度为35/w,经测得，甲楼的底端B处与乙楼的底端。处相

距105机，从甲楼顶部A处看乙楼顶部C处的仰角/C4E的度数为25。.求乙楼CO的

高度（结果精确到01冽）.[参考数据：sin25°=0.42,cos25°=0.91,tan25°=0.47].

C

口

口

口

口

匚

E口

口

口

BD

20.（7分）如图，四边形ABC。是矩形，AB=6,BC=4,点E在边AB上（不与点4、B

重合），过点。作交边BC的延长线于点?

（1）求证：ADAEsADCF.

（2）当四边形防尸。为轴对称图形时，则cosNAE。的值为.

21.（8分）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销

售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.设该商场销

售这种商品每天获利W（元）.

（1）求y与X之间的函数关系式.

（2）求w与x之间的函数关系式.

（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，当每件商品的售价定

为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？

22.教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.

例2,如图，在AABC中，D,E分别是边BC,A8的中点，AD,CE相交于点G,求证:

GE=GD=1

瓦一而一石

证明：连结ED

请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程.

结合应用：在口ABC。中，对角线AC、BD交于点。，E为边8C的中点，AE、BD交于

(1)如图②，若oABC。为正方形，且48=6,则。/的长为.

(2)如图③，连结DE交AC于点G,若四边形OFEG的面积为卷，则。A8C。的面积

为.

23.如图，在Rt2\ABC中，ZA=90°,AC=3,AB=4,动点尸从点A出发，沿AB方向

以每秒2个单位长度的速度向终点8运动，点Q为线段AP的中点，过点P向上作PM

±AB,且尸M=3A。，以尸。、PM为边作矩形PQW.设点尸的运动时间为f秒.

(1)线段MP的长为(用含f的代数式表示).

（2）当线段MN与边BC有公共点时，求f的取值范围.

（3）当点N在△ABC内部时，设矩形PQW与△ABC重叠部分图形的面积为S,求S

与f之间的函数关系式.

（4）当点M到△ABC任意两边所在直线距离相等时，直接写出此时f的值.

24.（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y蒋x2+bx+c经过点A（。，-1）和点2（6,

5）.点P在直线AB上运动（点P不与点A、8重合），过点P作y轴的平行线，交抛

物线于点。.设点尸的横坐标为根.

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式.

（2）求线段PQ的长.（用含机的代数式表示）

（3）以P。为边作矩形PQMN,使PN//x轴，且点N的横坐标为2m-1.

①当矩形PQMN的面积被坐标轴平分时，求m的值.

②当矩形PQMN的周长随m的增大而增大，且矩形PQMN的边与抛物线y=/x2+bx+c

有两个交点时，直接写出机的取值范围.

2023-2024学年吉林省长春五十二中教育集团九年级（上）期中

数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A-VO72B.在C.V2D.V12

解：4VO72=I^=—＞故该项不是最简二次根式，不符合题意；

B、、邑=叵,故该项不是最简二次根式，不符合题意；

V22

C、&是最简二次根式，故符合题意；

D、J五=2我，故该项不是最简二次根式，不符合题意；

故选：C.

2•一元二次方程x2+2x=0的根的判别式的值是（）

A.4B.2C.0D.-4

解：X2+2X—O,

A=b2-4ac=22-4X1X0=4,

故选：A.

3.将二次函数y=2/+2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得

新函数图象的表达式为（）

A.y=2（x-1）2+3B.y=-2（x+3）2+1

C.y—2（x-3）2-1D.y=2（x+3）2+l

解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数＞=2/+2的图象先向左平移3

个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得新函数图象的表达式为y=2（尤+3）2+2-1,

即y=2（x+3）2+l.

故选：D.

4.用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9,下列说法正

确的是（）

A.种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”

B.种植10。棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”

C.种植10“棵幼树，恰好有“〃棵幼树不成活”

D.种植〃棵幼树，当〃越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9

解：用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9,是在大

量重复实验中得到的概率的近似值，

故A、B、C错误，D正确，

故选：D.

5.已知点A（-2,月）、B（1,在二次函数丫=/+2；1+2的图象上，力与冷的大小关

系为（）

A.y\>yiB.力="C.y\<yiD.月或”

解：当x=-2时，yi=x2+2尤+2=4-4+2=2,

当x=l时，y2=x2+2x+2—1+2+2—5,

所以yi<y2-

故选：C.

6.如图，已知。，E分别是△ABC的AB,AC边上的点，DE//BC,且那么AE：

AC等于（）

解：'：DE//BC,

•AD=AE

••而一而‘

'：BD^3AD,

.AD=AE=2

••丽―而一W，

：.AE：AC=1：4；

故选：D.

7.如图，两根竹竿AB和A。斜靠在墙CE上，量得NABC=a,ZAZ）C=p,则竹竿A8与

AD的长度之比为（)

E

D

B

A.加哈B.迪邑csinacosB

tanpsinClsinPcosa

AC

解：在RtZXABC中，AB=,,

sinCL

AC

在RtZXACD中，AD=.,

sinp

：.AB：AD=,AC：然=s；nB

sinCI.sinPsinO.

故选：B.

8.如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点尸在线段

A8上移动，若A、8的坐标分别为（-2,3）,（1,3）,点M的横坐标的最小值为-

解：当顶点为（-2,3）时，函数的对称轴为x=-2,

的横坐标为-5,

；.N的横坐标为1,

：.MN=6,

当顶点为（1,3）时，M点横坐标为-2,

；.N的横坐标为4；

故选：B.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.计算&XN%的值为20.

解：V2XV6=V12=2V3.

故答案为：273.

10.若m是一元二次方程x2-x-2023=0的一个根，则m2-m+1的值是2024.

解：将x—m代入原方程得：：层-相-2023=0,

/.m2-〃7=2023,

：.m2-/M+1=2023+1=2024.

故答案为：2024.

11.某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行园林绿化工程.2022年投资1000万元，

之后投资逐年增加，预计2024年投资1440万元.则这两年投资的平均年增长率为

20%.

解：设这两年投资的平均年增长率为X,

根据题意得：1000（1+x）2=1440,

解得：xi—0.2—20%,Xi--2.2（不合题意，舍去）,

即这两年投资的平均年增长率为20%,

故答案为：20%.

解：；AABC与ADEF是位似三角形，

J.DF//AC,EF//BC

OE-.OB=OF：OC

：.OF-OC=DF：AC

OE：OB=DF：AC=1：3,

贝ijOE：EB=1：2.

故答案为：1：2.

13.如图，在△ABC中，AC=10,。、E分别是AB、AC的中点.E是DE上一点,连结

AF,CF.若NAPC=90°,DF=1,则BC的长为12

解：在R3AFC中，点E是AC的中点,

3=聂=5，

:。尸=1,

/.£）£=1+5=6,

又,：D、E分别是A3、AC的中点.

：.BC=2DE=12,

故答案为：12.

14.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离

_2遥—米.

解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB,纵轴y通过48中点。且通过C点，则通

OA和。8可求出为的一半2米，抛物

线顶点C坐标为（0,2）,

通过以上条件可设顶点式>=。尤2+2,其中a可通过代入A点坐标（-2,0）,

到抛物线解析式得出：«=-0.5,所以抛物线解析式为y=-0.5/+2,

当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两

点之间的距离，

可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出：

-1=-0.5X2+2,

解得：x=土娓,

所以水面宽度增加到2加米，

故答案为：

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15.（8分）（1）计算：折

（2）解方程：X2+2X-3=0.

解：（1）原式=3a-料-2百=a-加；

（2）X2+2X-3=0,

（x-1）（x+3）=0,

T=0或无+3=0,

••Xl==1,X2=-3.

16.（6分）有甲、乙两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有数字0,2,5；乙袋

中有3个球，分别标有数字0,1,4.这6个球除所标数字以外没有任何其它区别，从甲、

乙两袋中各随机摸出1个球，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个球上数字之

和是6的概率.

解：画树状图得：

开始

甲025

/T\/1\/1\

乙014014014

:共有9种等可能的结果，摸出的两个球上数字之和是6的有2种情况,

摸出的两个球上数字之和是6的概率为：-I，

17.（6分）学校生物小组有一块长32m，宽20机的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平

行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540m2,小道的宽应是

多少？

解：设道路的宽为W7,依题意有

(32-%)(20-x)=540

整理，得了2-52尤+100=0.

/.(%-50)(x-2)=0,

.,.xi—2,X2—50(不合题意，舍去)

答：小道的宽应是2%.

18.(6分)以下各图均是由边长为1的小正方形组成的3X3网格，△ABC的顶点均在格

点上，利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.

(1)AABC的面积为4.

(2)在图①中，作出△ABC的重心O.

(3)在图②中，在△ABC的边AC上找一点R连结2R使△板的面积为等.

O

图①图②

解：(1)由勾股定理得：AC=2&,

.♦.△ABC的面积为：X2-/2X2-72=4-

故答案为：4；

(2)如图①：点。即为所求；

(3)如图②：点尸即为所求.

AA

图①图②

19.（6分）如图，甲楼AB的高度为35机，经测得，甲楼的底端8处与乙楼的底端。处相

距105根，从甲楼顶部A处看乙楼顶部C处的仰角/C4E的度数为25°.求乙楼。的

高度（结果精确到O.Lw）.[参考数据：sin25°=0.42,cos25°=0.91,tan25°=0.47].

C

_44;............匚口

□□

□□

BD

解：如图，作AEJ_CD于

由题意，得DE=AB=35m,AE=BD=105m,XCAE=25°.

CT

在RtZWCE中，VZAEC=90°,tanZCAE=—,

AE

・・・CE=AE*tanZCAE=105X0.47=49.35,

・・・CD=DE+CE=35+49.35=84.35Q84.4.

答：乙楼CD的高约为84.4

C

_4c5;........…匚口

口E5

□□

□□

BD

20.（7分）如图，四边形A3CD是矩形，AB=6,5C=4,点E在边A8上（不与点A、B

重合），过点。作。FLOE,交边BC的延长线于点足

（1）求证：LDAEs^DCF.

（2）当四边形防正。为轴对称图形时，则cosNAED的值为—3

【解答】(1)证明：•••四边形A8C£>是矩形，

：.AD//BC,NA=NBCr>=NA£)C=90°,A£)=BC=4,AB=CD^6,

：.ZADE+ZEDC=90°,

\'DF±DE,

：.ZEDC+ZCDF=90°,

AZADE^ZCDF,且/A=NOCP=90°,

:.ADAEsADCF；

(2)解：•.•四边形以即为轴对称图形，

：.DE=BE,

,：AD2+AE2=DE2,

：A6+AE2^(6-AE)2,

：.AE=—,

3

IQ

:.DE=BE=",

3

故答案为：

13

21.（8分）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销

售量y（件）与每件售价尤（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.设该商场销

售这种商品每天获利卬（元）.

（1）求y与x之间的函数关系式.

（2）求w与x之间的函数关系式.

（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，当每件商品的售价定

为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？

y(件)

解：（1）设y与尤之间的函数关系式为了=区+6（左W0）,

25k+b=70

由所给函数图象可知:

35k+b=50

k=-2

解得

b=120‘

故y与尤的函数关系式为y=-2x+120；

(2)-2x+120,

；.w=(x-20)y—(x-20)(-2x+120)

-2X2+160X-2400,

即w与x之间的函数关系式为w--2X2+160X-2400；

(3)w=-2X2+160X-2400

-2(x-40)2+800,

:-2<0,20&W36,

当尤=36时，w取得最大值,

W最大=-2义(36-40)2+800=768.

答：当每件商品的售价定为36元时，每天销售利润最大，最大利润是768元.

22.教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.

例2,如图，在△ABC中，D,£分别是边BC,的中点，AD,CE相交于点G,求证:

GE=GD=1

CE-AD-^

证明：连结ED

请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程.

结合应用：在口ABC。中，对角线AC、8。交于点。，E为边BC的中点，AE.BD交于

图①图②图③

(1)如图②，若nABC。为正方形，且AB=6,则。尸的长为—我.

(2)如图③，连结。E交AC于点G,若四边形OEEG的面积为贝心ABC。的面积为

6

【解答】教材呈现:

证明：在△ABC中，D,E分别是边8C,A8的中点，

：.DE//AC,DE=—AC,

2

ADEGS^ACG,

.CG=AG=AC=?

,•而一而一瓦一‘

.CG-KJE-AG-KJD

••3，

GEGD

.GEGD2

,-CE-=AD-=y；

结论应用：

（1）解：：四边形ABC。为正方形，£为边3C的中点，对角线AC、BD交于点。,

C.AD//BC,BE^—BC^—AD,BO^—BD,

222

/.ABFF^ADAF,

.BF=BE=2

,•市一而一T

：.BF^—DF,

2

：.BF=~BD.

3

,：BO=—BD,

2

/.OF=OB-BF=—BD--BD=—BD.

236

:正方形ABC。中，AB=6,

：.BD=6近,

：.0F=近.

故答案为：^2;

（2）解：如图③，连接0E.

图③

由（1）知，BF^—BD,OF^—BD,

36

,BF=2

"OF--

•/ABEF与△OEF的高相同，

__BF_

,•SABEF：S/^OEF2,

Or

同理，ZiCEG与AOEG的面积比=2,

:.SACEG+S&BEF=2（SAOEG+SAOEF）=2XJ=l,

一2

•'«5ABOC=—>

3

.".SUABCD—4X-^=6.

故答案为：6.

23.如图，在Rt^ABC中，ZA=90°,AC=3,AB=4,动点尸从点A出发，沿AB方向

以每秒2个单位长度的速度向终点8运动，点。为线段4P的中点，过点尸向上作

±AB,且PM=3AQ,以P。、PM为边作矩形尸QW.设点P的运动时间为/秒.

（1）线段的长为的（用含f的代数式表示）.

（2）当线段MN与边BC有公共点时，求f的取值范围.

（3）当点N在△ABC内部时，设矩形PQVM与△ABC重叠部分图形的面积为S,求S

与f之间的函数关系式.

（4）当点/到△ABC任意两边所在直线距离相等时，直接写出此时t的值.

c

,:PM=3PQ,

：.PM=3t.

故答案为3t.

(2)如图2-1中，当点M落在上时,

如图2-2中，当点N落在3C上时,

图2-2

,JNQ//AC,

.NQ=BQ

,•而一就

•.•3t"_4~t，

34

解得

5

综上所述，满足条件的/的值为去

35

(3)如图3-1中，当0<tW"|时，重叠部分是矩形PQVM,S=3於

•B

图3-2

42f

S=S矩彩PQNM-SAEFM=33-g[3-W(4-2t)卜与3r-鸟(-)]=-=产+此-6,

24342

3t之(0<

o

综上所述，5=

212

Yt+18t-6

（4）如图4-1中，当点M落在/ABC的角平分线8尸上时，满足条件.作EEJ_BC于

图4-1

"：ZFAB=ZFEB=90°,ZFBA=ZFBE,BF=BF,

:.ABFA与4BFE(AAS),

：.AF=EF,AB=BE=4,设

VZA=90°,AC=3,AB=4,

：-BC=VAC2+AB2=5，

:.EC=BC-BE=5-4=1,

在Rt△斯C中，则有7+12=(3-x)2,

解得x=,，

\'PM//AF,

,PM=PB

,•市一盛’

.「4

••I

11

如图4-2中，当点M落在/ACB的角平分线上时，满足条件作EbLBC于凡

同法可证：/XECA之(A4S),

.\AE=EFfAC=CF=3,设人片二七厂二丁,

：.BF=5-3=2,

在RtAEFB中,则有X2+22=(4-x)2,

解得X=^|,

图4-3

设MC的延长线交BA的延长线于E,作EFLBC交BC的延长线于分,

同法可证：AC=CF=3,EF=AE,设所=£4=冗,

在