2022-2023学年湖北省孝感市孝南区九年级上期末数学试题及答案解析

2022-2023学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.现有五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形和圆的五个图形的卡片，

它们的背面相同，小梅将它们的背面朝上，从中任意抽出一张，下列说法中正确的是（）

A.“抽出的图形是中心对称图形”属于必然事件

B.“抽出的图形是六边形”属于随机事件

C.抽出的图形为四边形的概率是|

D.抽出的图形为轴对称图形的概率是高

2.如果，4B是。。的弦，半径为。4=2,^AOB=120°,则弦4B的长为（）

A.2V5

B.3V2

C.2V3

D.2V2

3.用配方法解方程/-4%-3=0,下列配方结果正确的是（）

A.（%-4）2=19

B.0+2）2=7

C.0-2）2=7

D.（x+4）2=19

4.如图，圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为90。的扇形，则该圆锥的底面周长为（）

门

A3-33

A-Z7rB-5兀c-JD-2

5,对于实数a,6定义运算“团”如下：aUlb=a62-a6,例如3回2=3x2?-3X2=6,

则方程1团x=2的根的情况为（）

A.没有实数根B,只有一个实数根

C,有两个相等的实数根D,有两个不相等的实数根

6.如图，在O。中，4B是弦，ZE=30°,半径为4,OE=6.则2B的长（）

A.V7B.V5C.2A/7D.2A/5

7.在同一平面直角坐标系中，一次函数丫=ax+c（a大0）和二次函数y=a/+c（a力0）的

图象大致为（）

8.如图，正方形ABCD的顶点4、。在。。上，边与。。相切，若正方形ABCD的周长记为

O。的周长记为。2，贝Ug、的大小关系为（）

A.的>C2B.Ci<C2C.Ci=C2D.无法判断

二、填空题(本大题共8小题，共24.0分)

9,在直角坐标系中，点4(1,-2)关于原点对称的点的坐标是.

10.如图，点4B,C在O。上，CO的延长线交4B于点D,Z71=50°,乙B=30°,则乙4。。的

度数为.

11.若二次函数y=(x-m)2-1.当x<1时，y随尤的增大而减小，则小的取值范围是

12.将二次函数y=/的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是

13.若函数y=(a+1)久2—2久+1的图象与无轴只有一个交点，贝！］a为

14.如图是抛物线y=ax?+6%+c的一部分，其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为

8(3,0),则由图象可知，不等式(1/+以+。>0的解集是

15.当一2<x<1时，二次函数y=(x+m)2+m2+1有最大值4,则实数小的值为

16.如图，正方形内接于圆0,已知正方形的边长为2&c/n,则图中的阴影部分的面积是

cm?(用兀表示).

三、计算题(本大题共1小题，共8.0分)

17.解下列方程

(I)%2+%—1=0

(2)x(x—2)+x—2-0.

四、解答题(本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

18.(本小题4.0分)

如图，已知点4,8的坐标分别为(0,0),(4,0),将448c绕点4按逆时针方向旋转90。得到△AB'C'.

(1)画出△AB'C'；

(2)点C'的坐标.

V-

C

---7

----/4

0ABX

19.(本小题8.0分)

己知：如图，以等边三角形2BC一边48为直径的。。与边北、BC分别交于点D、E,过点。作

DF1BC,垂足为F.

⑴求证：DF为。。的切线；

(2)若等边三角形28C的边长为4,求。尸的长；

(3)求图中阴影部分的面积.

D,E

20.(本小题8.0分)

如图，正方形4BCD和正方形4EFG有一个公共点力，点G、E分别在线段力D、4B上.

(1)连接DF、BF,若将正方形4EFG绕点4按顺时针方向旋转，判断命题”在旋转的过程中,

线段DF与BF的长始终相等”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举例说明；

(2)若将正方形AEFG绕点4按顺时针方向旋转，连接DG,在旋转过程中，你能否找到一条线

段的长与线段DG的长始终相等？并以图为例说明理由.

21.(本小题10.0分)

在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙(墙长15米)的空地上修建一个矩形

花园力BCD,花园的一边靠墙，另三边用总长为407n的栅栏围成，若设花园平行于墙的一边长

为x(m),花园的面积为y(m2).

(1)求y与久之间的函数关系式，并写出自变量》的取值范围；

(2)满足条件的花园面积能达至版00爪2吗？若能，求出此时工的值，若不能，说明理由；

(3)根据(1)中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？

22.(本小题12.0分)

为了实现“畅通市区”的目标，市地铁一号线准备动工，市政府现对地铁一号线第15标段工

程进行招标，施工距离全长为300米.经招标协定，该工程由甲、乙两公司承建，甲、乙两

公司施工方案及报价分别为：(1)甲公司施工单价yi(万元/米)与施工长度X(米)之间的函数关

系为为=27.8-0.09%,(2)乙公司施工单价丫2(万元/米)与施工长度X(米)之间的函数关系为

y2—15.8—0.05%.

(注：工程款=施工单价X施工长度)

(1)如果不考虑其他因素，单独由甲公司施工，那么完成此项工程需工程款多少万元？

(2)考虑到设备和技术等因素，甲公司必须邀请乙公司联合施工，共同完成该工程.因设备共

享，两公司联合施工时市政府可节省工程款140万元(从工程款中扣除).

①如果设甲公司施工a米(0<a<300),那么乙公司施工______米，其施工单价y?=

万元/米，试求市政府共支付工程款P(万元)与a(米)之间的函数关系式；

②如果市政府支付的工程款为2900万元，那么应将多长的施工距离安排给乙公司施工？

23.(本小题8.0分)

“五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩.如图为某游乐场大型摩天轮的示意图，其

半径是20根，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m.小明乘坐的车厢经过点B时

开始计时.

(1)计时4分钟后小明离地面的高度是多少？

(2)在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31巾以上的空中？

24.(本小题14.0分)

如图，y关于久的二次函数y=—然(x+巾)(久一36)图象的顶点为M,图象交汇轴于4B两点,

交y轴正半轴于。点.以4B为直径作圆，圆心为C.定点E的坐标为(-3,0),连接ED.(m>0)

(1)写出4、B、D三点的坐标；

(2)当爪为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系;

(3)当机变化时，用m表示△AED的面积S,并在给出的直角坐标系中画出S关于机的函数图象

的示意图.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形和圆中四边形是平行四边形、矩形，

所以抽出的图形为四边形的概率是|,

故选：C.

由五张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形和圆，其中抽出的

图形为四边形的概率利用概率公式求解即可求得答案.

此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件力出现加种

结果，那么事件a的概率P(4)=?

2.【答案】c

【解析】解：如图：

过点。作。C14B于C,贝！Me=BC,ZXOC=乙BOC=60°.

在直角△4。。中，sin60°=^,

AC=A0sin60°=2Xy=V3.

AB=2AC=2V3.

故选：C.

过点。作48的垂线，得到直角三角形，在直角三角形中根据三角函数进行计算，然后再由垂径定

理得到48的长.

本题主要考查了垂径定理，关键是掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

3.【答案】C

【解析】解：：x2-4x=3,

.■.X2-4X+4=3+4,即(x—2>=7,

故选：C.

移项后，两边配上一次项系数一半的平方即可得.

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、

因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：设底面圆的半径为r,则:

・•・圆锥的底面周长为|兀，

故选：B.

根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，可以求出底面圆的半径，从而求得圆锥的底面

周长.

本题考查的是弧长的计算，利用弧长公式求出弧长，然后根据扇形弧长与圆锥底面半径的关系求

出底面圆的半径.

5.【答案】D

【解析】解：1团K=2,

1•x2-1•%=2,

■■■x2—x—2=0,

A=(-1)2-4X1X(-2)=9>0,

二方程1Ex=2有两个不相等的实数根.

故选：D.

根据运算“回”的定义将方程1回％=2转化为一般式，由根的判别式/=9>0,即可得出该方程

有两个不相等的实数根.

本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当4>0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问

题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：如图，作。于点C,连接。8,

•・•乙E=30°,OE=6,

1

・•.OC==3,

BC=yJOB2-OC2=V42-32=V7,

•••AB=2BC=2V7.

故选：C.

作。ClAB于点C,连接。B,根据30。所对的直角边等于斜边的一半可得OC=3,根据勾股定理可

得BC的长，再根据垂径定理可得的长.

本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：4、由一次函数的图象可知a>0c〉0,由二次函数的图象可知a<0,两者相矛盾；

B、由一次函数的图象可知a<0c>0,由二次函数的图象可知a<0,c>0,两者相吻合；

C、由一次函数的图象可知a<0c<0,由二次函数的图象可知a>0,两者相矛盾；

。、由一次函数的图象可知a<。c>0,由二次函数的图象可知a〉0,两者相矛盾.

故选：B.

本题可先由一次函数y=ax+c(aK0)图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+

c(a力0)的图象相比较看是否一致.反之也可.

本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是

图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0,图象经过一、三象限；小于0,经过二、

四象限；二次函数的二次项系数大于0,图象开口向上；二次项系数小于0,图象开口向下.

8.【答案】A

【解析】解：连接OF,延长FO交AD于点E,连接。。,

•••CB与。。相切，

OF1BC,

,・,四边形4BCD是正方形，

/.AD//BC,Z,C=90°,

•••FE1AD,

••・四边形EFCO为矩形，AE=DE,

・•.EF=CD,

设。。的半径为R,正方形的边长为％,贝（JOF=R,

OE=x—R,

在RtAODE中，OE2+ED2=OD2,

即0—幻2+弓）2=/?2,

解得

R=O

正方形4BCD的周长的=4x,。。的周长C2=2nR=2兀・江=苧x,

o4

d、57r

•••4>—,

4

・•・Q>。2，

故选：A.

连接。F,延长F。交AO于点E,连接。。，由切线的性质证明FEIA。，设。。的半径为R,正方形

的边长为X,则。F=R,OE=x—R,由勾股定理得出（X—R）2+C）2=R2,解得R=".比较g

与C2的大小则可得出答案.

本题考查了圆的切线性质，垂径定理，正方形的性质，勾股定理，由勾股定理得出正方形的边长

与O。的半径间的关系是解题的关键.

9【答案】(T2)

【解析】

【分析】

根据“平面直角坐标系中任意一点尸Q,y),关于原点的对称点是(一招一/，即关于原点的对称点，

横纵坐标都变成相反数”解答.

本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键.

【解答】

解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，

.•.点(1,-2)关于原点过对称的点的坐标是(-1,2).

故答案为：(-1,2).

10.【答案】110°

【解析】解：••・乙4=50。，

Z.BOC=2乙4=100°,

•••Z.B=30°,Z.BOC=4B+Z.BDC,

■■■乙BDC=4BOC-乙B=100°-30°=70°,

^ADC=180°-Z.BDC=110°,

故答案为110。.

根据圆周角定理求得NBOC=100°,进而根据三角形的外角的性质求得NBDC=70。，然后根据邻

补角求得乙4DC的度数.

本题考查了圆心角和圆周角的关系及三角形外角的性质，圆心角和圆周角的关系是解题的关键.

11.【答案】m>l

【解析】

【分析】

根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的

顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间.

此题主要考查了二次函数的性质，解答该题时，须熟知二次函数的系数与图象的关系、二次函数

的顶点式方程y=(k—%)/—6中的伍b的意义.

【解答】

解：•••二次函数的解析式y=(X-m)2-1的二次项系数是1,

该二次函数的开口方向是向上；

又•••该二次函数的图象的顶点坐标是0,-1),

••.该二次函数图象时，是减函数，即y随X的增大而减小；

而已知中当xWl时，y随久的增大而减小，

•••x<1,x<m,

m>1.

故答案为：m>l.

12.【答案】y=(x-2)2+l

【解析】解：抛物线y=/的顶点坐标为(0,0),

把点(0,0)向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点(2,1),

所以平移后的抛物线的解析式为y=(久一2)2+L

故答案为：y=(x-2)2+l.

先确定抛物线丫=K2的顶点坐标为(0,0),再确定平移后顶点坐标，然后写出平移的顶点式.

本题考查了函数图象与几何变换：抛物线的平移转化为顶点的平移.

13.【答案】一1或0

【解析】解：当a+l=0,即a=-l时，原函数为一次函数y=-2x+1,与x轴交于点©,0)，

a=-1符合题意；

当a+1于0,即aw-l时，•••二次函数y=(a+l)/—2久+1的图象与x轴只有一个交点，

•••△=(-2)2-4xlx(a+l)=0,

解得：a=0.

综上所述：a的值为-1或0.

故答案为：-1或0.

分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况考虑：当二次项系数为零时，由一次函数图象与x轴

只有一个交点，可得出a=-1符合题意；当二次项系数非零时，由根的判别式△=()可求出a值.综

上即可得出a的值.

本题考查了抛物线与工轴的交点，分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况求出a值是解题的

关键.

14.【答案】x<—1或%>3

【解析】

【分析】

本题考查抛物线和不等式，属于简单题.

由抛物线与％轴的一个交点(3,0)和对称轴x=1可以确定另一交点坐标为(一1,0),又y=ax2+

6x+c>0时，图象在久轴上方，由此可以求出久的取值范围.

【解答】

解：・.・抛物线与x轴的一个交点(3,0),而对称轴x=l,

••・抛物线与％轴的另一交点(-1,0),

当y=ax2+bx+c>0时,图象在久轴上方,

止匕时x<-1或x>3,

故答案为尢<一1或%>3.

15.【答案】1—收或1+鱼或—号―苧

【解析】解：；y=(久+M)2+根2+1,

抛物线开口向上，顶点坐标为(一血小2+1),对称轴为直线尢=机，

1

时

••・当？?12-x=-2时对应函数值最大,

将X=—2代入y=(%+m)2+m2+1得y=(-2+m)2+m2+1=4,

解得m=1—应或zn=1+V2,

当mV-g时，久=1时对应的函数值最大，

将％=1代入y=(%+m)2+m2+1得y=(1+m)2+m2+1=4,

解得TH=—1—字或TH=—1+-y(舍)•

故答案为：1—/或1+企■或—1苧.

由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，分类讨论x=-2,久=1时、取最大值.

本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式

的关系.

16.【答案】n-2

【解析】解：•••正方形内接于圆。，

:0aB是等腰直角三角形，

•••正方形的边长为2&cm,

二正方形对角线的长为J(2A/2)2+(2A/2)2=4.

是正方形对角线的一半，

5。=*4=2,S,OAB=^OB-OB=2,S^0AB=^=n，

・•・阴影部分的面积=S扇形OAB-SAOAB=(兀-2)cm2.

因为阴影部分的面积等于扇形40B的面积减去三角形20B的面积，所以只要求出两个的面积，就

可求出阴影部分的面积.

本题利用了圆内接正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，扇形的面积公式

求解.

17.【答案】解：(1);a=1、6=1、c=-1,

.・.△=1-4x1x(-1)=5>0,

(2)v(x-2)(%+1)=0,

•••%—2=0或％+1=0,

解得：x=2或久=-1

【解析】(1)公式法求解可得；

(2)因式分解法求解可得.

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、

因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键

18.【答案】（1）如图:

(2)(-2,5).

【解析】解：（1）将点C,B的坐标分别绕点4按逆时针方向旋转90。，得到对应点C',B',连接两点

即可得到我们所要图形.

（2）结合图象可得到C'坐标为：（—2,5）.

将AABC绕点4按逆时针方向旋转90。，也就是将点C,B的坐标分别绕点4按逆时针方向旋转90。,

连接各点就是我们所求图形.

本题主要考查了旋转的性质，所得图象与原图形全等.

19.【答案】（1）证明：连接D。，如图:

是等边三角形，

•••Z-A—Z.C—60°,

OA=OD,

・•・△是等边三角形，

•••乙ADO=60°

•・•DF1BC,

・•.ZCPF=9O°-ZC=3O°,

・•・乙FDO=180°-乙ADO-乙CDF=90°,

DF1.OD,

・•.D尸为。。的切线;

(2)解：是等边三角形,

1

・•・AD=A0=^AB=2,

・•.CD=AC-AD=2,

中，Z.CDF=30°,

1

...CF=|CD=1,

•••DF=VCD2-CF2=V3;

(3)解：连接OE,

•••4B=60°,OB=OE,

.•.△BOE是等边三角形，

1

.・.BE=OB=^AB=2,

CE=2,

・・•CF=I,

・•.EF=1.

:•S直角梯形FDOE=三回DF=当,

0607Tx222_

八扇秘ED=360=37r，

C_C_r3V32

、阴影='直角梯形FDOE-'扇形PED=~~-371'

【解析】(1)连接DO,由A4BC是等边三角形，。力=OD,可得△O4D是等边三角形，即得NAD。=

60°,根据DF1BC,可得NCDF=30。，即得NFD。=90。，从而OF为。。的切线；

(2)由△是等边三角形，得4。=4。=号48=2,即有CD=2,在Rt△CD尸中，CF=3C。=L

即得DF=VCD2-CF2=A/3;

(3)连接。E,由△BOE是等边三角形，可得CE=2,EF=1，即得S苴潦涕癖0OE=科位F+。。)•。尸=

2

3旧e60?rx22U而升中0_cc_3V32

~T'S扇形OED=360=3;r，从用不出S场影-S直角梯形FDOE-S扇形PED

本题考查圆的综合应用，设计切线的判定、等边三角形判定及性质、30。所对的直角边等于斜边的

一半、勾股定理、梯形及扇形面积等知识，解题的关键是掌握等边三角形性质及梯形、扇形面积

公式.

20.【答案】解:(1)不正确.

若在正方形G4EF绕点4顺时针旋转45。，这时点F落在线段AB或4B的延长线

上.(或将正方形G4EF绕点4顺时针旋转，使得点尸落在线段4B或4B的延长

线上).如图：

设力D=a,AG=b,

则。尸=7a2+2b2>a，

BF=\AB-AF\=\a-也b\<a,

：.DF>BF,即此时DFHBF；

(2)连接BE,可得AADG三△4BE,

则DG=BE.如图，

•••四边形4BCD是正方形，

•••AD=AB,

・・・四边形G4EF是正方形，

AG=AE,

又•・•^DAG+/-GAB=90°,乙BAE+/.GAB=90°,

•••Z.DAG=乙BAE,

・•.△DAG=LBAE,

・•.DG=BE.

【解析】(1)显然，当4F,B在同一直线上时，DF手BF.

(2)注意使用两个正方形的边和90。的角，可判断出△D4G三ABAE,那么DG=BE.

注意点在特殊位置时所得到的关系，判断边相等，通常要找全等三角形.

21.【答案】解：(1)根据题意得：丫=“掾,

即y=—|x2+20x(0<x<15)

(2)当y=200时，即一32+20%=200,

解得％1=%2=20>15,

•••花园面积不能达到200病.

(3)+20久的图象是开口向下的抛物线，对称轴为尤=20,

.,.当0<xW15时，y随x的增大而增大.

••.%=15时，y有最大值，

y最大值=一号x152+20x15=187.5m2

即当久=15时，花园的面积最大，最大面积为187.5血2.

【解析】(1)设花园靠墙的一边长为龙(根)，另一边长为警，用面积公式表示矩形面积；

(2)就是已知y=200,解一元二次方程，但要注意检验结果是否符合题意；即结果应该是0<xW

15.

(3)由于0〈久W15,对称轴久=20,即顶点不在范围内，y随久的增大而增大..•.久=15时，y有

最大值.

本题考查实际问题中二次函数解析式的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题，借助二

次函数解决实际问题.

22.【答案】(300-a)；(0.05a+0.8)

【解析】解：(1)由题意得：(27.8—0.09x300)x300=240(万元).

答：甲公司单独完成此项工程需工程款240万元；

(2)@(300-a),(0.05a+0.8).

由题意，得P=(27.8-0.09a)a+(0.05a+0.8)(300-a)-140

=27.8a-0.09G^—0.05a?+14.2a+100

=-0.14a2+42a+100；

②当P=2900时，一0.14a2+42a+100=2900,

整理，得：a?—300a+20000=0,

解得：

a1=100,a2=200,

则300—a=200或300—a=100.

答：应将200米或100米长的施工距离安排给乙公司施工.

故答案为(300—a),(0.05a+0.8).

(1)把％=300代入为表达式中计算求值；

(2)市政府支付的工程款=甲公司所得工程款+乙公司所得工程款-节省工程款140,分别表示两个

公司所得工程款后便可得P的表达式；

(3)解P=2900B寸关于a的方程，求出a的值，计算300-a便得结论.

此题主要考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列二次函数关系式，注意认真审题，理解合

作时市政府的工程款拨付方式，正确表达两个公司的所得工程款是解决问题的关键.

23.【答案】解：(1)设4分钟后小明到达点C,过点C作CD1OB于点D,即为小明离地的高度,

•­•/.COD=—x4-60°,

OD=^OC=^x20=10(m),

=20-10+1=ll(m).

答：计时4分钟后小明离地面的高度是11m；

(2)••・当旋转到E处时，作弦EF12。交4。的延长线于点连接OE