宜丰中学2023-2024学年高二年级上册开学考试数学试卷（含解析）

2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.下列函数中定义域为R的是（）

1

A.y=JxB.y=（x-l）°C.y=x2+3D.y=—

.x

2.已知向量a,〃满足|：|=1,ab=-\>则a・（2a-〃）=（）

A.4B.3C.2D.0

3.直线3+y+2=0的倾斜角及在y轴上的截距分别是（）

A.60°,2B.60°,-2C.120°,-2D.120°,2

4.己知直线/i：(。-2)x+ay+2=0,l2：x+(a—2)y+a=0,则口丄/是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

已知sin(5n+«)=5sinf—+crj,则sin2a+sin?

5.a—()

A,竺20

D.

26li

6.如图，平行四边形ABC。中，点E为8c的中点，点尸在线段AE上,S.AF=2FE,记a=48，b=AD，

则BF=()

12,c12,

A.-a——bB.——a+—b

3343

〃51,n117

C.——a+—bD.——a+—h

8333

7.八一广场是南昌市的心脏地带，八一南昌起义纪念塔是八一广场的标志性建筑，塔座正面镌刻“八一南

昌起义简介”碑文，东、西、南三门各有一副反映武装起义的人物浮雕，塔身正面为“八一起义纪念塔''铜胎

鎏金大字，塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组

成.现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进

行测量，并绘制出测量方案示意图，A为纪念塔最顶端，8为纪念塔

的基座（3在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取

C、。两点，测得CZ）的长为江已知兴趣小组利用测角仪可测得的

角有厶8、厶CD、ZBCD、ZADC,NBZX7,则根据下列各组中的

测量数据，不能计算岀纪念塔高度A6的是()

A.m,ZACB,/BCD,/BDCB.m,厶CB,/BCD,ZACD

C./n,ZACB,ZACD,ZA£>CD.m,ZACB,/BCD,/ADC

且对任意的0＜根＜〃，都有"")一"〃)＜0,且"4)=0,则

8.已知函数/（X）是定义在R上的奇函数,

m-n

不等式/（一*_2）-/0+2）>0的解集为（

)

x

A.(-6,0)B.(—00,—6)(2,-l-oo)

C.(—oo,—6)(0,2)D.(F,-6)(-2,0)(2,田)

二、多选题(每小题5分，共20分)

9.下列式子表示正确的是：()

A.120=—radB.tcin(—)=-1

34

C.sin(^-cr)=-cosaD.。为第二象限的角，贝iJcosacO

10.下列说法正确的是()

A.过(玉/),伍,先)两点的直线方程为曰=三?

B.直线x-y-4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是8

C.点(1,0)关于直线y=x+l的对称点为

D.直线，^^—^^〃^。(相《刈必过定点

11.已知函数f(x)=2sin[x-^Jcos(x-：J,贝I](

A.〃x)的最小正周期为2万B.函数〃x)的图象关于仁,0

C.》=-专是函数“X)图象的一条对称轴

5TT

D.将函数g(x)=cos%-sin2x的图象向右平移二个单位后得到函数“X)的图象

12.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂

直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖廣”，如图在堑堵ABC-A円G中,

AC1BC,且A4,=A8=2.下列说法正确的是()

A.四棱锥B-AACG为“阳马”

B.四面体AACB的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为近兀

c.四棱锥8-AACG体积最大值为:

D.四面体AGCB为“鳖廣”

三、填空题(每小题5分，共20分)

13.若复数(l-2i)(a+i)是纯虚数，则实数a的值为.

2AX>3

14.已知函数/(x)=；一、,则/(l+log23)=_______.

J~IXI1),<3

15.函数〃x)=3sin；cos；+瓜in［-咚+胆，若对于任意的-14x4号有”“对恒成立，则实数，號的

最小值是.

16.已知函数/(x)=sin胃+e*”,有下列四个结论：①图象关于直线x=l对称；②/"⑴的最大值是2；©/(x)

的最大值是-1,;④/'(x)在区间［-2015,2015］上有2015个零点.其中正确的结论是

(写出所有正确的结论序号).

四、解答题(70分)

17.(10分)已知直线/1：ox+y+2=0(aeR).

⑴若直线4在x轴上的截距为2,求实数。的值；

(2)若直线乙与直线32x-y+l=0平行，求两平行线之间的距离.

18.(12分)设“万卜戸+丁十6是定义在卜久田上的奇函数.

⑴求〃的值；

(2)若〃x)在［0,2］上单调递增，且/(加)+/(加-1)>0,求实数〃?的取值范围.

19.(12分)在中，角AB,C的对边分别为a,b,c,已知4a=3仇8=2A.

(1)求8$8；

(2)若a=9,求ABC的面积.

20.(12分)如图，ABC中，AC=BC=—AB,ABED是正方形，平面A6£D丄平面ABC,若G、尸分

2

别是EC、8。的中点.f----------------

⑴求证：GF〃平面A8C;卜

(2)求证：平面BCE丄平面4C£>.V.y/

21.(12分)已知_MC的三个内角A,8,C对应的三条边分别为“，b,c,且有：吗-cosC+；注=0.

sinB2sinB

(1)求角B的大小；

(2)设AC=9,若点M是边AC上一点，且AM=gA/C,AM=MB,求二MM的面积.

22.(12分)已知如图平面四边形ABC。，AB=AD^2,ZBAD=60°,ZBCD=30°,8D丄8现将△ABO

沿即边折起，使得平面至。丄平面BCD,,点尸为线段A£>的中

(1)求证：5P丄平面AGD；/

(2)若“为C。的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值；8个~

(3)在(2)的条件下，求二面角的平面角的余弦值.\―

2023-2024学年高二上学期开学考试数学答案

1.C2.B3.C4.B5.A

6.D解析：因为平行四边形A3C。中，E是BC的中点，AF=2FE,AD=a,AB=b,

所以BF=BE-FE=BE」AE=BE-L（AB+BE）=--AB+-BE=--AB+-X-BC=--AB+-BC

33、丿3333233

=—ABH—40=—ciH—匕.故选：D.

3333

7.B解析：对于A,由a,可以解△BCD,又AB=BCtanNACB,可求塔高度AB,故选项

A能计算出纪念塔高度AB；对于B,在△88中，由8=加，ZB8无法解三角J形，

在“A8中，由8=加，NACO无法解三角形，在V3C4中，已知两角N4CB,NABC无法

解三角形，所以无法解出任意三角形，故选项B不能计算出纪念塔高度A8；对于n,C,由

CD=m,ZACD,NA£>C可以解ACZ),可求AC,又A8=ACsinNACB,即一':‘可求

塔高度A8,故选项C能计算出纪念塔高度A8；'D

对于D,如图，过点B作8E丄C£>于点E,连接AE,由题意知，丄平面BCD,CDu平面BCD,所以

ABLCD,因为BEAB=A,BE,ABu平面ABE,所以8丄平面ABE,AEu平面ABE,所以C£>丄AE,

ECBCECEC

则cosNACE='，由cosNACB=，,cosNBC£>=,，cosNACE=，知

ACACBCAC

cosZACE=cosZACB-cosZBCD,,故可知NAQ)的大小，由NACO,NADC,加可解一AC£),可求AC,

又AB=AC-sinNAC8,可求塔高度A8,故选项D能计算出纪念塔高度AB；故选：B.

8.D解析：因为对任意的OVwVn,都有‘<0,此时根-Z0,则/(6)讨(“)，所以f(x)在

m-n

(0,+8)单调递减，因为函数“X)是定义在R上的奇函数，所以“X)在(-8,0)单调递减,

/H)=-/(4)=0,所以当x<—4和0<x<4时，F(x)>0；当T<r<0和x>4时，/(x)<0.

卜〃x+2)=_2〃x+2)〉0,即由x+2)V0,所以]*広或忆。或或

XX7[x+2<-4[0<x+2<4[x+2>4

亠右—，所以Z-6或-2<x<0或A>2或x无解，所以原不等式解集为(9,-6)(-2,0)(2,田)

故选：D

9.ABD10.BD11.BCD

12.AD解析：底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，.•.在堑堵ABC-AB|G中，

AC1BC,侧棱AA丄面ABC,A：BCu面ABC,则叫丄BC,又AC丄BC,且44,AC=A,则BC丄

面AACG，.•.四棱锥B-AACG为“阳马”，对;c：W4=AC2+BC2>2AC-BC.即ACW

1I74

当且仅当AC=8C=&时取等号，=-5Vcc,xBC=-AAlxACxBC=-ACxBC<~,错；D：由

AC1BC,即AG丄8C,又AG丄GC且3CcGC=C,BC,GCu面BB£C,：.AG丄面BB,C,C,BC、u

面B3CC,

AG丄BC-则VAfG为直角三角形，由BC，面A41Gc,ACu面/^GC,.^.BC丄AC,则为

直角三角形，由“堑堵’’的定义得AGC为直角三角形，eqs为直角三角形.四面体AGC8为“鳖朧”,

对；B：由C知.ABC为直角三角形，侧棱AA丄面4BC,易知△AAB,Z\AAC为直角三角形，

而.ABC为直角三角形，则外接球球心。位于AB的中点，则外接球半径R==百=&,

则球的表面积为4兀紹=4兀x(V5)=8兀，错.故选：AD.

13.-214.12

15.°解析：/(x)=3sin—cos-+\/3sin2-+=—sin-+—f1-cos—>1-^^+/??

2八丿444222212)2

rz.(x7ty兀,，2兀TtXTlTl..「.亠「兀兀］r_r厶冃i,小、r3

=V3sin---,--<x<—,.y=7ismz在上的最小值为一；，

［26丿333266L36J2

\/任)最小值为-；3+小，令-3>〃此0,解得加暁3则实数用的最小值是3:故答案为：!3

16.①②解析：对于①，・・・y=sin号的图象关于对称，y=e+T的图象关于对称，・・・/a)的图象

冗y

关于直线x=l对称，故①正确，对于②，•；-l$sinfsi,0<eT*TKl,；.x=l时，/(X)的最大值是2,

2rr)x--

故②正确，③不正确，对于④，；y=sinT的周期为T=四=4,x=4及+LZwZ时，y=\,函数图象关于

直线x=l对称，函数y=eTT的图象关于直线*=1对称，且*=1时，y=eTT

取得最大值1,力1时，0<e""<i，作出函数片sin号和y=e+T的图象，

如图，在不含x=l的每个周期区间上，它们都有两个交点，因此在［-2015,-3)

上有1006个交点，在［3,2015)上有1006个交点，x=2015时，sinm詈=-1,

不是交点，而在区间”3,3)上，由图可知它们有4个交点，所以在［-2015,2015］上这两个图象有2016个交

点，即原函数有2016个零点.故④错.故答案为：①②

17.(1)。二一1(2)手

18.解：(1)因为函数“X)是定义在［-2,2］上的奇函数，贝1］〃0)=。=0,

当6=0时，/(X)=X5+X3,且/(_X)=(—対+(_”3=_(15+%3)=_/(%),

即f（x）是定义在［-2,2］上的奇函数，符合题意，所以匕=0.

（2）若“X）在［0,2］上单调递增，且/（x）是奇函数，可知"X）在［-2,0］上单调递增，且在x=0处连续不

断，所以“X）在［-2,2］上是增函数，因为“闻+/（6一1）>0,则“咐>一〃机-1）=〃1一%），

-2<m<2

可得一2W机-142,解得3M2,所以实数机的取值范围是（g,2

m>\-m

19.解：（1）由4a=33及正弦定理得：4sinA=3sinB,由3=2A得:

2

sin5=sin2A=2sinAcosA./.4sinA=6sin4cosA,由0vAv兀知sinA>0,「.cosA=一

3

cosB=cos2A=2cos2A-1=——

9

知cosB=-，由余弦定理庁=/+c?-2accosB得:

（2）：当a=9时，代入44=3。得：6=12,由⑴

144=81+c2+2cr整理得：?+2c-63=0,解得:c=7,由(1)知：sinA=Jl-cos2A=

铝4凉

—bcsinA=—x7x12x

22

法二：当a=9时，代入4q=3。得：6=12,由⑴得：sin7l=-COS2A=

•■-SinB=Sin2A=2XTXt=¥，由A+8+I得。=A(A+以

+1、¥=齊'■•-w4«fcinc4x9xi2x^=14^-

/.sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=手x

2

法三：当。=9时，代入4a=3b得：8=12,由（1）得：cosA=§,由余弦定理"二庁十。?一力70cosA得：

8I=144+C2-16C,整理得：C2-16C+63=0,解得：。=9或。=7,若c=9,则ABC为等腰三角形，此

时4=。，由B=2A及内角和定理得：A=与cosAng矛盾，不合题意，「.c=7,

=乎,S&ABC=^bcsinA=^x7x12x^=14后.

*/sirM=-cos2A

2（）.解：（1）证明：如图，取BE的中点4,连接HF,GH.G,F分别是EC和比）的中点，

HF//DE.又四边形ADE8为正方形，.•.£>£■〃AB,从而HF〃AB.

3Cu平面ABC,〃60平面48。，，〃6〃平面48(7,同理〃平面ABC,又

HGHF=H,HG,HFu平面〃GF,；•平面"GF〃平面ABC,

GFu平面HGF,则GF//平面ABC\

(2)为正方形，:.AD1AB.又平面他匹丄平面ABC,且平面ABEDc平面

ABC=AB,AOu面AOEB,丄平面ABC,：BCu平面ABC,ADIBC,

设/W=l,AC=BC=-AB,：.AC=BC=也,：.CA2+CB2=AB2,：.ACIBC.

22

又ADAC=A,AD,ACu平面AC。，.1BC丄平面ACD,而BCu平面BCE,.•.平面BCE丄平面AC。.

sinAsin「

21.解：(1)依题意得，-——cosC+——=0,则有2sinA—2sinB8sC+sinC=0,故:

sinB2sinB

2sin(B4-C)-2sinBcosC+sinC=0.即：2cosBsinC+sinC=0,因为。£(0,兀)，所以sinCwO,所以

1Ojr

cos8=-；,又Be(O,7t),所以B=?.

(2)如图，由所以AM=3,MC=6,BM=AM^3.在ABC中，由余弦定理得

b2=a2+c2-2accosB,即〃+c?+讹=81.①，又由于2AM=MC，所以

_____1__1/\21-24__21__24-__

BM=BA+AM=BA+-AC=BA+-(BC-BA]=-BA+-BCBM=-BA+—BC+-BABC,

33、丿33999

4八]4

即9=入。+Aa2+N"c°sB，所以/+402-2改=81.②

999

②一①得3c2=3“c,所以"=c,代入①得。=C=3X/L在△8WC中，

BM2+BC2=32+(3>/3)2=36=MC2,所以ABMC是以ZMBC为直角的三角形，

所以ASMC的面积为丄X3X3G=M，由于AM=[MC,知*L=M=〈，

222SBMCMC2

故一ABM的面积为唯.

4

22(1)因为AB=AZ),ZBAD=60°,所以△A8O为等边三角形，因为P为AQ的中点，所以3尸丄4).

取BO的中点E,连接AE,AB=AD,则AE1BD,因为平面丄平面BCD,平面ABDc平面BCD=BD,

AEu平面曲，所以AE丄平面SCO,又CDu平面8CO,所以AE丄8,

因为AD丄CD,ADr>AE=A,AE,ADu平面ABD,所以CO丄平面ABD,

因为BPu平面42，所以8丄BP,

又因为C£>AD=D,CD,4)u平面AC。，所以3P丄平面AC。.

(2)过点M作丄尸C,垂足为H.如图所示，

由(1)知，3P丄平面48,因为MWu平面AC。，所以BP丄MH,

BPPC=P,BP,PCu平面8PC,所以MW丄平面BPC,

所以ZMPC为MP与平面BPC所成角.

由(1)知，8丄平面45。，瓦)u平面4?。，所以8丄BQ,

在RtBCD中，因为/3C£>=30。，BD=2,所以QC=———=2拒,

tan/BCD

因为M为C£>的中点，所以MD=CM=gcD=百,

在RtPOM中，PM=JPD2+MD。=&+(厨=2,

在RtPDC中，PC=