河北省唐山市乐亭县2023-2024学年九年级数学第一学期期末综合测试试题含解析

河北省唐山市乐亭县2023-2024学年九年级数学第一学期期末综合测试试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.反比例函数y=巴的图象如图所示，以下结论:

②在每个象限内，y随x的增大而增大；

③若A(-1,h),B(2,k)在图象上，贝!IhVk；

④若P(x,y)在图象上，则，(一x,-y)也在图象上.

其中正确的是

A.①②B.②③C.③④D.①④

9

2.点A(Lyi)、B(3,y2)是反比例函数y=一图象上的两点，则yi、y2的大小关系是()

X

A.yi>yiB.yi=yiC.yi<yiD.不能确定

3.在同一个直角坐标系中，一次函数y=ax+c,与二次函数y=ax?+bx+c图像大致为()

4.如图1,点M从AA8C的顶点A出发，沿Af8fC匀速运动到点C,图2是点M运动时，线段AM的长度了

随时间x变化的关系图象，其中N为曲线部分的最低点，则AA3C的面积为()

5.如图，矩形的中心为直角坐标系的原点。，各边分别与坐标轴平行，其中一边交x轴于点C,交反比例函数

图像于点P,且点P是AC的中点，已知图中阴影部分的面积为8,则该反比例函数的表达式是（）

7.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC=1,将绕点A逆时针旋转30°后得到RtAADE,点B经过的路径为

弧BD,则图中阴影部分的面积是（）

8,若关于x的不等式组，无解，则a的取值范围是（）

x>a-4

A.a<-3B.a<-3C.a>3D.a>3

9.如图，小彬收集了三张除正面图案外完全相同的卡片，其中两张印有中国国际进口博览会的标志，另外一张印有进

博会吉祥物"进宝”.现将三张卡片背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两张，则抽到的两张卡片图案不相冋的

概率为（）

2

D.-

3

10.已知关于x的方程（，〃+4）*2+2*-3»i=0是一元二次方程，则，”的取值范围是（）

A.m<-4B.m/0C.m*-4D.m>-4

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.抛物线y=3（x+2）2+5的顶点坐标是.

12.已知：如图，△ABC的面积为12,点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为

13.如图所示，写出一个能判定△4BCS&5AC的条件

14.如图是抛物线yi=ax?+bx+c（aWO）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1,3）,与x轴的一个交点B（4,0）,

直线yz=mx+n（mWO）与抛物线交于A,B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc>0；③方程ax?+bx+c=3有两个相等的

实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（-1,0）；⑤当1<XV4时，有yzVyi,

15.如图所示，在△ABC中，BC=6,E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D,ZCBP

的平分线交CE于Q,当CQ=；CE时，EP+BP=

16.某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，2018年蔬菜实际产量为121吨，则蔬菜产量的年平均增长率为

k

17.如图，面积为6的矩形。WC的顶点3在反比例函数y=—（x<0）的图像上，则％=.

18.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A,再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点

B,画射线OB,则cosNAOB的值等于.

19.（10分）（1）如图1,在AABC中，点。在边3C上，且8£>=AB=AC,AD^CD,求的度数;

（2）如图2,在菱形EFGH中,NE=72。，请设计三种不同的分法（只要有一条分割线段不同就视为不同分法），

将菱形EFG”分割成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（不要求写画法，要求画出分割线段，标出所得

三角形内角的度数）.

HHH

20.(6分)如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且NBAC=NBDC=NDAE.

①试说明BEAD=CDAE；

②根据图形特点，猜想些可能等于哪两条线段的比?并证明你的猜想，(只须写出有线段的一组即可)

21.(6分)解方程：x(x-3)+6=2x.

22.(8分)如图，AB为。O的直径，射线AP交。O于C点，NPCO的平分线交。。于D点，过点D作。石丄AP

交AP于E点.

(1)求证：DE为。O的切线；

(2)若DE=3,AC=8,求直径AB的长.

23.(8分)如图，以等腰AABC的一腰AC为直径作(DO,交底边BC于点D,过点D作腰AB的垂线，垂足为E,

交AC的延长线于点F.

(1)求证：EF是。O的切线；

(2)证明：ZCAD=ZCDF；

(3)若NF=30。，AD=G，求OO的面积.

24.（8分）为倡导绿色出行，某市推行“共享单车”公益活动，在某小区分别投放甲、乙两种不同款型的共享单车，

甲型、乙型单车投放成本分别为30000元和28000元，乙型车的成本单价比甲型车便宜20元，但两种类型共享单车

的投放量相同，求甲型共享单车的单价是多少元？

25.（10分）已知二次函数y=（x—，〃）（x+"i+4）,其中wi为常数.

（1）求证：不论，”为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点.

（2）若4（一1,a）和8（〃，加是该二次函数图像上的两个点，请判断a、5的大小关系.

26.（10分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点。为圆心的圆的一部分.如果M是。。中弦的中点，EM

经过圆心O交。O于点E,并且C〃=4,EM=6,求。。的半径.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1,C

【解析】分析：因为函数图象在一、三象限，故有m>0,故①错误；

在每个象限内，y随x的增大而减小，故②错；

对于③，将A、B坐标代入，得：h=-m,k,因为m>0,所以，h<k,故③正确;

2

函数图象关于原点对称，故④正确.

因此，正确的是③④.故选C.

2、A

9

【解析】•.•反比例函数y=一中的9>0,

x

•••经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，

XVA(l,j!),8(3,y2)都位于第一象限，且1<3,

•41州2，

故选A.

3、D

【分析】先分析一次函数，得到a、c的取值范围后，对照二次函数的相关性质是否一致，可得答案.

【详解】解：依次分析选项可得：

A、分析一次函数y=ax+c可得，a>0,c>0,二次函数y=ax?+bx+c开口应向上；与图不符.

B、分析一次函数y=ax+c可得，aVO,c>0,二次函数y=ax?+bx+c开口应向下，在y轴上与一次函数交于同一点；与

图不符.

C^分析一次函数y=ax+c可得，a<0,cVO,二次函数y=ax?+bx+c开口应向下；与图不符.

D、一次函数丫=2*+。和二次函数y=ax?+bx+c常数项相同，在y轴上应交于同一点；分析一次函数y=ax+c可得a<0,

二次函数y=ax2+bx+c开口向下；符合题意.

故选：D.

【点睛】

本题考査一次函数、二次函数的系数与图象的关系，有一定难度，注意分析简单的函数，得到信息后对照复杂的函数.

4、C

【分析】根据图象可知点M在AB上运动时，此时AM不断增大，而从B向C运动时，AM先变小后变大，从而得出

AC=AB,及AM丄3c时AM最短，再根据勾股定理求出4W丄时BM的长度，最后即可求出面积.

【详解】解：•.•当4W丄3c时，AM最短

/.AM=3

•由图可知，AC=AB=4

...当AM丄3c时，在中，BM=y/AB2-AM2=/7

:.BC=2BM=2近

:'SABc=gBC・AM=3币

故选：C.

【点睛】

本题考査函数图像的认识及勾股定理，解题关键是将函数图像转化为几何图形中各量.

5、B

【分析】根据反比例函数的对称性以及已知条件，可得矩形OC4。的面积是8,设A(x,y),则根据

孙=8,可得3孙=4,再根据反比例函数系数攵的几何意义即可求出该反比例函数的表达式.

【详解】•.•矩形的中心为直角坐标系的原点O,反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形，且图中阴影部分

的面积为8,

.••矩形0C4。的面积是8,

设A(x,y),则孙=8,

,点P是AC的中点，

设反比例函数的解析式为y=丄，

X

•・•反比例函数图象于点P,

711)

..k=%♦—y=—xy=4,

22

4

...反比例函数的解析式为y=2.

x

故选：B.

【点睛】

本题考査了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数厶的几何意义，得出矩形0C4D的面积是8是解题的关

键.

6、C

【解析】把(2,2)代入y=A求解即可.

X

k

【详解】反比例函数y=y女力0)过点(2,2),

.,"=2x2=4,

故选：C.

【点睛】

本题考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

7、A

【分析】先根据勾股定理得到AB=0,再根据扇形的面积公式计算出S南彩ABD,由旋转的性质得到

RtAADE^RtAACB,于是S阴影部分=$0》£+$a®ABD-SAABC=S扇彩ABD.

【详解】VZACB=90",AC=BC=1,

.,.AB=V2>

.c30〃x（夜）

・・S扇形ABD=_____\_，

3606

又VRtAABC绕A点逆时针旋转30°后得到RtAADE,

JRtAADE^RtAACB,

S阴影部：^=S/\ADE+S扇形ABD_SAABC=S扇形ABD二—，

6

故选A.

【点睛】

本题考査扇形面积计算，熟记扇形面积公式，采用作差法计算面积是解题的关键.

8、A

【解析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的取值范围即可.

x<3。+2

【详解】•••不等式组,无解，

x>a-4

a-423a+2,

解得：a<-3,

故选A.

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小

小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.

9、D

【分析】根据题意列出相应的表格，得到所有等可能出现的情况数，进而找出满足题意的情况数，即可求出所求的概

率.

【详解】设印有中国国际进口博览会的标志为“A”，印有进博会吉祥物“进宝”为3,由题列表为

AAB

A(AA)(AB)

A(AA)(AB)

B（氏A）（民A）

・・.所有的等可能的情况共有6种，抽到的两卡片图案不相同的等可能情况共有4种，

二，

63

故选：D.

【点睛】

本题考査了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

10>C

【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案.

【详解】由题意可知：m+4#）,

:.mW-4,

故选：C.

【点睛】

本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、（-2,5）

【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标.

【详解】解：由y=3（x+2）2+5,根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-2,5）.

故答案为：（-2,5）.

【点睛】

本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h,k）,对称

轴为x=h.

12、1

q

【解析】设四边形BCED的面积为x,则SAADK=12-X,由题意知DE〃BC且DE=；BC,从而得

a.ABC

据此建立关于X的方程，解之可得.

【详解】设四边形BCED的面积为x,则SAADE=12-X,

•・,点D、E分别是边AB、AC的中点，

，DE是AABC的中位线，

ADE/7BC,JgLDE=—BC,

2

.,.△ADE^AABC,

S（DEy\112-x1

则nI二inF^=一=-,即nn-----=-,

SABC\BC）4124

解得：x=L

即四边形BCED的面积为1,

故答案为1.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的

平方的性质.

13、AC2=DCBC（答案不唯一）

【分析】已知有公共角NC,由相似三角形的判定方法可得出答案.

【详解】已知AABC和ADCA中，ZACD=ZBAC；

如果AABCS2\DAC,需满足的条件有：

①NDAC=NB或NADC=NBAC；

@AC2=DC«BC；

故答案为：AC2=DC«BC（答案不唯一）.

【点睛】

此题主要考査了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键.

14、①@©

【解析】①根据拋物线的开口方向以及对称轴为x=l,即可得出a、b之间的关系以及ab的正负，由此得出①正确，根据

抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，可知C为正结合a<0、b>0即可得出②错误，将抛物线往下平移3个单位长度可

知抛物线与x轴只有一个交点从而得知③正确，根据抛物线的对称性结合抛物线的对称轴为x=l以及点B的坐标，即可

得出抛物线与x轴的另一交点坐标，④正确，⑤根据两函数图象的上下位置关系即可解题.

【详解】•••抛物线的顶点坐标A（1,3）,

b

・••对称轴为x=------=1,

2a

.\2a+b=0,①正确，

Va<0,b>0,抛物线与y轴交于正半轴，

c>0,

.*.abc<0,②错误，

•.•把抛物线向下平移3个单位长度得到y=axZ+bx+c-3,此时抛物线的顶点也向下平移3个单位长度，

二顶点坐标为（1,0）,抛物线与x轴只有一个交点，即方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，③正确.

•.•对称轴为x=-2=l,与x轴的一个交点为(4,0),根据对称性质可知与x轴的另一个交点为(-2,0),④错误，

2a

由抛物线和直线的图像可知，当l〈xV4时，有yzVyi.,⑤正确.

【点睛】

本题考查了二次函数的图像和性质，熟悉二次函数的性质是解题关键.

15、1.

【分析】延长BQ交射线EF于M,根据三角形的中位线平行于第三边可得EF〃BC,根据两直线平行，内错角相等

可得NM=NCBM,再根据角平分线的定义可得NPBM=NCBM,从而得到NM=NPBM,根据等角对等边可得

BP=PM,求出EP+BP=EM,再根据CQ=：CE求出EQ=2CQ,然后根据AMEQ和aBCQ相似，利用相似三角形对

应边成比例列式求解即可.

【详解】如图，延长BQ交射线EF于M,

/,EF/7BC.

/.ZM=ZCBM.

TBQ是NCBP的平分线,

/.ZPBM=ZCBM.

/.ZM=ZPBM.

；.BP=PM.

二EP+BP=EP+PM=EM.

1

VCQ=-CE,

，EQ=2CQ.

由EF〃BC得，

AMEQSABCQ,

,•BCCQ.

.*.EM=2BC=2x6=l,

即EP+BP=1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM

并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点.

16、10%

【分析】2016年到2018年是2年的时间，设年增长率为x,可列式100X(1+X)2=12L解出x即可.

【详解】设平均年增长率为x,可列方程

100X(1+X)2=121

解得x=10%

故本题答案应填10%.

【点睛】

本题考查了一元二次函数的应用问题.

17、-1

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得|k|=l,再根据函数所在的象限确定k的值.

k

【详解】解：・・•反比例函数y=、(xvO)的图象经过面积为1的矩形OABC的顶点B,

|k|=l,k=±l,

k

•.•反比例函数y=-(%<0)的图象经过第二象限，

X

故答案为：-1.

【点睛】

k

主要考査了反比例函数y=1(x<0)中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|.

1

18、一.

2

【解析】试题分析：根据作图可以证明AAOB是等边三角形，则NAOB=60。，据此即可求解.

试题解析：连接AB,

由画图可知：OA=OB,AO=AB

，OA=AB=OB,即三角形OAB为等边三角形，

二ZAOB=60°,

cosZAOB=cos60°=—.

2

考点：1.特殊角的三角函数值；2.等边三角形的判定与性质.

三、解答题（共66分）

19、（1）ZB=36°；（2）详见解析.

【分析】（1）设/8=廿，利用等边对等角，可得NC=NB=x°,ZCAD^ZC=x°,根据三角形外角的性质可得

ZADB^ZDAC+ZC^2x0,再根据等边对等角和三角形的内角和公式即可求出x,从而求出NB.

（2）根据等腰三角形的定义和判定定理画图即可.

【详解】证明：（1）设/B=x0

VAB^AC

NC=NB=x°

又,:AD=CD

：.ZCAD=ZC=x°

：.ZADB=ADAC+NC=2x°

又•:AB=BD

：.ZBAD=ZADB=2x°

又V/BAD+ZADB+ZB=180°

...2x+2x+x=180

解出：x=36

AZB=36°

（2）根据等腰三角形的定义和判定定理，画出如下图所示，（任选其三即可）.

vn-\/\/

BBBB

(1)(2)(3)(4)

DDDD

AO

BBBB

(5)(6)(7)(8)

【点睛】

此题考查的是等腰三角形的性质及判定，掌握等边对等角、等角对等边和方程思想是解决此题的关键.

20、(1)证明见解析；

nrATAD

(2)猜想■—=一匕或(——理由见解析

DEADAE

【解析】试题分析：

4/7RF

(1)由已知条件易证NBAE=NCAD,NAEB=NADC,从而可得△AEBsaADC,由此可得——=—,这样就可

ADDC

得至I」BEAD=DCAE；

AfiA17

(2)由(1)中所得△AEBs^ADC可得仝=—,结合NDAE=NBAC可得△BACsaEAD,从而可

ACAD

但BCAC—AB

得：——=——或(——).

DEADAE

试题解析：

®VZBAC=ZDAE,

AZBAC+ZCAE=ZDAE+ZCAE,

SPZDAC=ZBAE,

ZAEB=ZADB+ZDAE,

ZADC=ZADB+ZBDC,

XVZDAE=ZBDC,

AZAEB=ZADC,

.•.△BEA^ACDA,

*BEAE

••_______—_____9

CDAD

即BEAD=CDAE；

2皿BCAC一，AB、

②猜想一=——或(一•)，

DEADAE

ABAEABAC

由厶BEA^ACDA可知,—,即an——=—

ACADAEAD

又；NDAE=NBAC,

/.△BAC^AEAD,

.BCAC-,AB、

DEADAE

21、xi=2,X2=1.

【分析】先去掉括号，再把2x移到等号的左边，再根据因式分解法即可求解.

【详解】解：x(x-1)+6=2x,

x2-lx+6-2x=0,

(x-2)(x-1)=0,

x-2=0或x-1=0,

Xi=2,X2=l.

【点睛】

本题考査了解一元二次方程一因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；

②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次

方程，它们的解就都是原方程的解.

22、(1)证明见解析；(3)1.

【分析】(1)连接OD若要证明DE为。。的切线，只要证明NDOE=90。即可；

(3)过点O作OF丄AP于F,利用垂径定理以及勾股定理计算即可.

【详解】解：连接OD.

VOC=OD,

.,.Z1=Z3.

VCD平分NPCO,

/.Z1=Z3.

.•.N3=N3.

VDE±AP,

:.Z3+ZEDC=90°.

，Z3+ZEDC=90°.

即NODE=90°.

，OD丄DE.

二DE为。。的切线.

(3)过点O作OF丄AP于F.

由垂径定理得，AF=CF.

VAC=8,

.*.AF=4.

VOD±DE,DE丄AP,

四边形ODEF为矩形.

/.OF=DE.

VDE=3,

.♦.OF=3.

在RtAAOF中，OA3=OF3+AF3=43+33=36.

/.OA=6.

.*.AB=3OA=1.

【点睛】

本题考查1.切线的判定；3.勾股定理；3.垂径定理，属于综合性题目，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键.

23、(1)见解析；(2)见解析；(3)兀

【分析】(1)连接OD,AD,证点D是BC的中点，由三角形中位线定理证OD〃AB,可推出NODF=90。，即可得

到结论；

(2)由OD=OC得至UNODC=NOCD,由NCAD+NOCD=90。和NCDF+NODC=90。即可推出NCAD=NCDF；

(3)由NF=30。得到NDOC=60。，推出NDAC=30。，在RtAADC中，由锐角三角函数可求出AC的长，推出。O

的半径，即可求出。O的面积.

【详解】解：(D证明：如图，连接OD,AD,

•；AC是直径，

.•.ZADC=90°,即AD丄BC,

XAB=AC,

ABD=CD,

XAO=CO,

，OD〃AB,

又FE丄AB,

AFE1OD,

JEF是。O的切线；

(2)VOD=OC,

AZODC=ZOCD,

VZADC=ZODF=90°,

/.ZCAD+ZOCD=90°,ZCDF+ZODC=90°,

AZCAD=ZCDF；

(3)在RtAODF中，ZF=30°,

:.ZDOC=90°-30°=60°,

VOA=OD,

JZOAD=ZODA=-ZDOC=30°,

2

在RtAADC中，

AD噂

A。=