广西壮族自治区南宁市第三十七中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年广西壮族自治区南宁市第三十七中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）1．（3分）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x≥﹣22．（3分）在Rt△ABC，两条直角边长分别为6和8，则斜边长为（）A．6 B．7 C．10 D．53．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列各组线段中，能组成直角三角形的是（）A．3，5，7 B．5，12，13 C．5，6，10 D．7，14，155．（3分）下列计算，结果正确的是（）A． B． C． D．6．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC7．（3分）如图，一棵树被强风折断，折断处C点距地面3米，则这棵树的高度为（）A．2米 B．5米 C．7米 D．8米8．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，∠AOB＝120°，AD＝2（）A．2 B．2 C．4 D．89．（3分）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．14 C．25 D．16910．（3分）如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8．分别以其三边为直径作半圆（）A．5π B．24 C．36π D．4811．（3分）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定12．（3分）如图，点E在正方形ABCD外，连接AE、BE、DE，BF＝10，则下列结论：①△AEB≌△AFD；②EF⊥EB；③点B到直线AE的距离为3；④S△ABF+S△ADF＝40．其中正确的结论有（）个A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题有6小题，每小题2分，共12分）13．（2分）计算的结果为．14．（2分）在▱ABCD中，∠A＝60°，则∠D＝°．15．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AC⊥BC．则BD＝．16．（2分）如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数﹣1的点重合，AB＝1，以点A为圆心，则点E表示的数为．17．（2分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时∠AOB＝60°，若衣架打开时∠AOB＝120°，则此时Acm．18．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF．三、解答题（本题有8小题，共72分.）19．（8分）计算：（1）；（2）（）（）+（）÷．20．（6分）先化简，再求值：（1﹣）+，其中a＝．21．（10分）如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；（3）连接BE，若∠DBE＝25°，求∠AEB的度数．22．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，F，连接BE，DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．23．（10分）如图，把一块直角三角形ABC（其中∠ACB＝90°）土地划出一个△ADC后，AD＝4米，BC＝12米（1）根据条件，求AC的长度：（2）判断△ACD的形状，并说明理由．（3）图中阴影部分土地的面积是平方米．24．（10分）阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知a＝2﹣6a﹣1的值．”聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：因为a＝．所以．所以（a﹣1）2＝2，所以a2﹣2a+1＝2．所以a2﹣2a＝1，所以3a2﹣6a＝3，所以3a2﹣6a﹣1＝2．请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：（1）的有理化因式是，＝．（2）化简+…+．（3）若，求﹣2a2+12a+3的值．25．（10分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折到△AB'E（1）求证：AM＝MF；（2）当点E是边BC的中点时，求CM的长；（3）当CF＝4时，求CM的长．26．（10分）在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合）连结AP．（1）如图①，过点B作BQ⊥AP垂足于点O，交CD于点Q．求证：△ABP≌△BCQ；（2）如图②，E是AP的上一点，过点E作MN⊥AP，N．求证：AP＝MN；（3）如图③，连接BD交MN于点F．用等式表示线段FN，EF，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）1．（3分）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x≥﹣2【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，则x﹣2≥7，解得：x≥2．故选：C．2．（3分）在Rt△ABC，两条直角边长分别为6和8，则斜边长为（）A．6 B．7 C．10 D．5【解答】解：根据勾股定理可知：斜边＝，故选：C．3．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵＝，＝8，＝，故选：B．4．（3分）下列各组线段中，能组成直角三角形的是（）A．3，5，7 B．5，12，13 C．5，6，10 D．7，14，15【解答】解：A、∵52+42＝34，78＝49，∴52+62≠72，∴不能组成直角三角形，故A不符合题意；B、∵122+52＝169，132＝169，∴122+32＝132，∴能组成直角三角形，故B符合题意；C、∵22+64＝61，102＝100，∴55+62≠105，∴不能组成直角三角形，故C不符合题意；D、∵72+143＝245，152＝225，∴78+142≠152，∴不能组成直角三角形，故D不符合题意；故选：B．5．（3分）下列计算，结果正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是同类二次根式，故错误；B、，故错误；C、，故正确；D、，故错误；故选：C．6．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC【解答】解：A、AB∥DC，故此选项不合题意；B、AB∥DC，故此选项符合题意；C、AO＝CO，故此选项不合题意；D、AB＝DC，故此选项不合题意；故选：B．7．（3分）如图，一棵树被强风折断，折断处C点距地面3米，则这棵树的高度为（）A．2米 B．5米 C．7米 D．8米【解答】解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，∴折断的部分长为：＝5（米），∴折断前高度为5+2＝8（米）．即：这棵树折断之前的高度是8米．故选：D．8．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，∠AOB＝120°，AD＝2（）A．2 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝BO＝OD，∵∠AOB＝120°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴BD＝2AD＝4，∴AB＝＝＝3，∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝4，故选：C．9．（3分）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．14 C．25 D．169【解答】解：根据题意，结合勾股定理a2+b2＝13，四个三角形的面积＝4×ab＝13﹣5，∴2ab＝12，联立解得：（a+b）2＝13+12＝25．故选：C．10．（3分）如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8．分别以其三边为直径作半圆（）A．5π B．24 C．36π D．48【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6，根据勾股定理得：AB＝＝10，以BC为直径的半圆的面积是：π×（）2＝7π，以AC为直径的半圆的面积是：π×（）2＝π，以AB为直径的面积是：π×（）2＝π，△ABC的面积是：AC•BC＝24，∴阴影部分的面积是4π+π+24﹣．故选：B．11．（3分）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定【解答】解：∵由图可知：4＜a＜10，∴a﹣4＞2，a﹣11＜0，∴原式＝+＝a﹣4+11﹣a＝8．故选：A．12．（3分）如图，点E在正方形ABCD外，连接AE、BE、DE，BF＝10，则下列结论：①△AEB≌△AFD；②EF⊥EB；③点B到直线AE的距离为3；④S△ABF+S△ADF＝40．其中正确的结论有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∴∠EAB+∠FAD＝90°，∵AE⊥AF，∴∠EAB+∠BAF＝90°，∴∠EAB＝∠FAD，在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD（SAS），∴结论①正确；②∵，AE⊥AF，∴△AEF为等腰直角三角形，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴∠AFD＝180°﹣∠AFE＝180°﹣45°＝135°，由①可知：△AEB≌△AFD，∴∠BEA＝∠AFD＝135°，∴∠BEF＝∠BEA﹣∠AEF＝135°﹣45°＝90°，∴EF⊥EB，∴结论②正确；③过点B作BG⊥AE交AE的延长线于G，如图：由②可知：△AEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，∴在Rt△AEF中，，由勾股定理得：，∵∠BEF＝90°，∴△BEF为直角三角形，在Rt△BEF中，EF＝8，由勾股定理的：，∵∠BEA＝135°，∴∠BEG＝180°﹣∠BEA＝180°﹣135°＝45°，又BG⊥AE，∴△BGE为等腰直角三角形，即BG＝EG，在Rt△BGE中，BG＝EG，由勾股定理得：BG5+EG2＝68，∴2BG2＝36，∴，即：点B到直线AE的距离为，∴结论③正确；④由①可知：△AEB≌△AFD，∴S△AEB＝S△ADF，∴S△ABF+S△ADF＝S△ABF+S△AEB＝S四边形AEBF，∵，，∴S四边形AEBF＝S△AEF+S△BEF＝16+24＝40．∴S△ABF+S△ADF＝40．∴结论④正确．综上所述：正确的结论是①②③④，共有6个．故选：D．二、填空题（本题有6小题，每小题2分，共12分）13．（2分）计算的结果为3．【解答】解：×＝＝＝2，故答案为：3．14．（2分）在▱ABCD中，∠A＝60°，则∠D＝120°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣60°＝120°．故答案是120．15．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AC⊥BC．则BD＝4．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝6，OB＝OD，∵AC⊥BC，∴AC＝＝＝4，∴OC＝4，∴OB＝＝＝2，∴BD＝3OB＝4，故答案为：4．16．（2分）如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数﹣1的点重合，AB＝1，以点A为圆心，则点E表示的数为．【解答】解：在长方形ABCD中，AD＝﹣1﹣（﹣4）＝3，∴，则点A到该交点的距离为，∵点A表示的数为﹣1，∴该点表示的数为：，故答案为：．17．（2分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时∠AOB＝60°，若衣架打开时∠AOB＝120°，则此时A（18﹣18）cm．【解答】解：如图1，过点O作OC⊥AB于点C，∵OA＝OB＝18cm，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∴∠OAC＝30°．∴OC＝OA＝9cm．∴AC＝＝9．∴AB＝5AC＝18cm．∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝18cm，∴A，B两点之间的距离扩大了：（．故答案为：（）．18．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF．【解答】解：如图，BC的下方作∠CBT＝30°，使得BT＝AD，AT．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF＝，∵AD＝BT，∠ADF＝∠TBE＝30°，∴△ADF≌△TBE（SAS），∴AF＝ET，∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝2，∴AT＝＝＝，∴AE+AF＝AE+ET，∵AE+ET≥AT，∴AE+AF≥，∴AE+AF的最小值为，故答案为．三、解答题（本题有8小题，共72分.）19．（8分）计算：（1）；（2）（）（）+（）÷．【解答】解：（1）＝++＝．（2）（）（）÷＝（4﹣2）+（﹣）＝1+2﹣＝3﹣．20．（6分）先化简，再求值：（1﹣）+，其中a＝．【解答】解：（1﹣）+，＝+，＝，把a＝代入，得原式＝＝＝．21．（10分）如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；（3）连接BE，若∠DBE＝25°，求∠AEB的度数．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CDB（SSS）；（2）如图所示，（3）解：如图3，∵EF垂直平分BD，∠DBE＝25°，∴EB＝ED，∴∠DBE＝∠BDE＝25°，∵∠AEB是△BED的外角，∴∠AEB＝∠DBE+∠BDE＝25°+25°＝50°．22．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，F，连接BE，DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠AED＝∠CFB，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF；（2）证明：由（1）知△ADE≌△CBF，则DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BE＝DE，∴四边形EBFD为菱形．23．（10分）如图，把一块直角三角形ABC（其中∠ACB＝90°）土地划出一个△ADC后，AD＝4米，BC＝12米（1）根据条件，求AC的长度：（2）判断△ACD的形状，并说明理由．（3）图中阴影部分土地的面积是24平方米．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝12米，∴（米）；（2）△ACD是直角三角形，理由：∵CD＝4米，AD＝4米∴AD2+CD8＝AC2＝25，∴∠ADC＝90°，∴△ACD是直角三角形；（3）S阴影＝S△ABC﹣S△ACD＝＝＝30﹣6＝24（平方米）．故答案为：24．24．（10分）阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知a＝2﹣6a﹣1的值．”聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：因为a＝．所以．所以（a﹣1）2＝2，所以a2﹣2a+1＝2．所以a2﹣2a＝1，所以3a2﹣6a＝3，所以3a2﹣6a﹣1＝2．请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：（1）的有理化因式是+，＝+．（2）化简+…+．（3）若，求﹣2a2+12a+3的值．【解答】解：（1）∵（﹣）（+，∴﹣的有理化因式是+；∴＝＝+；故答案为：+，+；（2）原式＝﹣+﹣+﹣…+﹣＝﹣；（3）∵a＝＝＝3+，∴a﹣3＝，∴（a﹣3）2＝7，∴a6﹣6a+9＝2，∴a2﹣6a＝﹣4，∴﹣2a2+12a＝8，∴﹣2a2+12a+6＝7．25．（10分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折到△AB'E（1）求证：AM＝MF；（2）当点E是边BC的中点时，求CM的长；（3）当CF＝4时，求CM的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠F＝∠BAF，由折叠性质可得：∠BAF＝∠MAF，∴∠F＝∠MAF，∴AM＝MF，（2）∵点E是边BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝8，∵四边形ABCD是矩形，BC＝8，∴AB∥CD，∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠F＝∠BAF，∵∠AEB＝∠FEC，∴△AEB≌△FEC（AAS），∴AB＝CF＝6，设CM＝x，∴AM＝MF＝x+2，DM＝6﹣x，在Rt△ADM中，AM2＝AD8+DM2，∴（x+6）5＝82+（3﹣x）2，解得：x＝，∴CM的长为；（3）当CF＝2时，设CM＝x第一种情况，如图，∴AM＝MF＝x+4，DM＝6﹣x，在Rt△ADM中，AM8＝AD2+DM2，∴（x+3）2＝86+（6﹣x）2，解得：x＝，∴CM的长为；第二种情况，如