高考二轮复习理科数学课件高考满分大题2数列求和方法及其综合应用

高考满分大题二数列求和方法及其综合应用考点一错位相减法求和例1(2021全国乙,文19)设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足已知a1,3a2,9a3成等差数列.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明:解题技巧

“同幂对位”破解数列中错位相减法求和

分析模型形如{an·bn}(其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列)的数列求和同幂对位求解关键是通过“错位”的方式把两式中幂指数相同的项对齐,这样便于找出两式作差后剩余式子的特征三个注意点(1)差式的项数:两式作差之后,余项一般为(n+1)项;(2)差式的特征:除去前一项和最后一项,中间(n-1)项是一个等比数列;(3)差式的意义:两式作差得到的是(1-q)Sn,需要进行运算求出Sn对点训练1(2023全国甲,理17)已知数列{an}中,a2=1,设Sn为{an}的前n项和,2Sn=nan.(1)求{an}的通项公式;解

(1)由题意可知,2Sn=nan,①当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-1,②①-②得2an=nan-(n-1)an-1,∴(n-1)an-1=(n-2)an.考点二裂项相消法求和例2(2023山东济南一模)已知各项均为正数的数列{an},其前n项和记为Sn,且满足对∀n∈N*,都有2Sn=+an.(1)求数列{an}的通项公式;规律方法

裂项相消法求和的解题策略

基本步骤(1)裂项:观察数列的通项,将通项公式拆成两项之差的形式;(2)累加:将裂项之后的各项相加,写出和式;(3)消项:将中间可以消去的项相互抵消,将剩余的有限项相加,得到数列的前n项和余项规律余项呈现对称性,具体表现在:(1)项数:即前边余几项,后边也余几项;(2)顺序:前边余第几项,后边就余倒数第几项对点训练2(2023甘肃兰州一诊)已知数列{an}中,a1=1,对任意的i∈N*都有an+i-an=i.(1)求数列{an}的通项公式;解

(1)∵对任意的i∈N*,都有an+i-an=i,∴当i=1时,an+1-an=1.又a1=1,∴数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,∴an=n.考点三分组求和或并项求和例3(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,2(Sn-n+2)=an+1,a2=10,bn=an-1.(1)求证:{bn}是等比数列;【教师讲评—触类旁通】

分析1:(1)问证明数列{bn}是等比数列,也就是证明数列{an-1}是等比数列,所以应先根据已知2(Sn-n+2)=an+1,得到数列{an}的递推关系,然后转化为数列{an-1}的递推关系即可得证;分析2:(2)问中{cn}的奇数项和偶数项对应不同的数列,所以分奇、偶项分别求解.显然奇数项是一个等比数列,但要注意其公比不是3,而是32=9;偶数项的求和需要利用裂项相消法求解;分析3:数列分组求和的关键在于根据通项公式的结构特征准确分组,通过分组将其转化为两个或多个简单数列的求和,从而达到最终目标.对点训练3(12分)(2023山东临沂一模)已知数列{an}为等比数列,a1=1,a3+1是a2与a4的等差中项,Sn为{an}的前n项和.(1)求{an}的通项公式及Sn;考点四等差、等比数列的综合问题例4(2023山东青岛一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,S2,S4,S5+4成等差数列,a2,a4,a8成等比数列.(1)求Sn;解题技巧

1.证明与判断一个数列是等差(或等比)数列的要求不同,证明必须是严格的,不能用通项公式或前n项和公式的形式证明.2.无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,通过变形、整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列的通项公式或前n项和公式解决问题.对点训练4(2023新高考Ⅰ,20)设等差数列{an}的公差为d,且d>1.令,记Sn,Tn分别为数列{an},