期末必刷真题03（解答易错60道提高练七下浙教）-【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题（解析版）【浙教版】

【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】期末必刷真题03（解答易错60道提高练，七下浙教）一．解答题（共60小题）1．（2022春•丽水期末）如图，在三角形ABC中，点D在AB上，DE∥AC交BC于点E，点F在AC，∠AFD＝∠BED．（1）试说明：DF∥BC；（2）若∠A+∠B＝120°，求∠FDE的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）60°．【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠BED＝∠C，再根据∠AFD＝∠BED证得∠C＝∠AFD，根据同位角相等，两直线平行证得结论；（2）已知∠A+∠B＝120°，可求得∠C＝60°，进而求得∠DEB，再利用DF∥BC证得结论．【详解】解：（1）∵DE∥AC，∴∠BED＝∠C，∵∠AFD＝∠BED，∴∠C＝∠AFD，∴DF∥BC；（2）∵∠A+∠B＝120°，∴∠C＝60°，∵AC∥ED，∴∠DEB＝∠C＝60°，∵DF∥BC，∴∠FDE＝∠DEB，∴∠FDE＝60°．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．2．（2022春•湖州期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余，F是DE上一点，连结OF．（1）ED是否平行于AB，请说明理由；（2）若OD平分∠BOF，∠OFD＝80°，求∠1的度数．【答案】（1）DE∥AB，证明见解析；（2）∠1的度数为40°．【分析】（1）利用已知证得∠D+∠AOD＝180°，进而得出答案；（2）由平行线的性质得到∠BOF＝100°，根据角平分线的定义得到∠BOD＝50°，最后根据平角的定义得出答案．【详解】解：（1）ED∥AB，理由如下：∵∠D与∠1互余，∴∠D+∠1＝90°，∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠D+∠1+∠COD＝180°，∴∠D+∠AOD＝180°，∴ED∥AB；（2）解：∵ED∥AB，∴∠BOF+∠OFD＝180°，∵∠OFD＝80°，∴∠BOF＝100°，∵OD平分∠BOF，∴∠BOD=12∠BOF＝∴∠1＝180°﹣∠COD﹣∠BOD＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∴∠1的度数为40°．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．3．（2022春•柯桥区期末）如图，CE平分∠BCF，∠DAC＝126°，BC∥EF，∠ACF＝∠FEC＝18°．（1）求证：AD∥EF；（2）若∠AEC＝72°，求∠DAE的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）54°．【分析】（1）先根据平行线的性质，得到∠ACB的度数，根据∠DAC的度数，可得出∠ACB+∠DAC＝180°，即可得到AD∥BC，进而得出AD∥EF；（2）先求∠AEF，再求∠B，再根据AD∥BC，即可得到∠DAE的度数．【详解】解：（1）∵BC∥EF，∠FEC＝18°，∴∠BCE＝∠FEC＝18°，∵CE平分∠BCF，∴∠BCE＝∠ECF＝18°，∵∠ACF＝18°，∴∠ACB＝18×3＝54°，∵∠DAC＝126°，∴∠ACB+∠DAC＝180°，∴AD∥BC，∴EF∥AD；（2）∵∠AEC＝72°，∠FEC＝18°，∴∠AEF＝54°，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∴∠B＝54°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠B＝54°．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．4．（2022春•嵊州市期末）如图，AB∥CD，∠A＝∠BCD．（1）判断AD与BC是否平行，并说明理由．（2）若∠A﹣∠B＝80°，CE⊥AD于点E，求∠DCE的度数．【答案】（1）AD∥BC，理由见解答过程；（2）40°．【分析】（1）根据平行线的性质结合等量代换得出∠D+∠BCD＝180°，即可判定AD∥BC；（2）根据平行线的性质结合题意求出∠A＝130°，则∠D＝50°，再根据三角形外角性质求解即可．【详解】解：（1）AD∥BC，理由如下：∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝∠BCD，∴∠D+∠BCD＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A﹣∠B＝80°，∴∠A＝130°，∵∠A+∠D＝180°，∴∠D＝50°，∵CE⊥AD，∴∠D+∠DCE＝90°，∴∠DCE＝40°．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．5．（2022春•南浔区期末）如图，已知AB∥CD，∠2+∠3＝180°．（1）求证：AD与EC平行；（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝66°，试求∠FAB的度数．【答案】（1）证明见解答过程；（2）57°．【分析】（1）根据平行线的性质推出∠2＝∠ADC，求出∠ADC+∠3＝180°，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质求出∠BDC度数，根据角平分线的定义求出∠2＝∠ADC＝33°，∠FAD＝∠AEC＝90°，代入∠FAB＝∠FAD﹣∠2求出即可．【详解】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠2＝∠ADC，∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°，∴AD∥EC；（2）解：∵AB∥CD，∠1＝66°，∴∠BDC＝∠1＝66°，∠2＝∠ADC，∵DA平分∠BDC，∴∠ADC=12∠BDC＝∴∠2＝∠ADC＝33°，∵CE⊥FE，∴∠AEC＝90°，∵AD∥EC，∴∠FAD＝∠AEC＝90°，∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣33°＝57°．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．6．（2022春•绍兴期末）如图，点P在∠ABC内，点E、F分别在∠ABC的边BA、BC上，连结PE、PF，ED平分∠AEP，若∠B＝∠PFC，∠PED＝36°，求∠P的度数．【答案】72°【分析】由∠B＝∠PFC可得PF∥AB，从而得到∠P＝∠AEP，再根据ED平分∠AEP，∠PED＝36°求出∠AEP，也就是∠P的度数．【详解】解：∵ED平分∠AEP，∴∠AEP＝2∠PED＝72°．∵∠B＝∠PFC，∴PF∥AB．∴∠P＝∠AEP＝72°．即∠P的度数为72°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．7．（2022春•婺城区期末）如图，直线MN分别交直线AB，CD于点P，Q，射线QE交AB于点F．已知∠1＝∠2＝∠3．（1）判断直线AB与 CD的位置关系，并说明理由．（2）若∠1＝55°，求∠4的度数．【答案】（1）AB∥CD，理由见解答过程；（2）125°．【分析】（1）根据对顶角相等并结合题意得到∠APN＝∠2，即可判定AB∥CD；（2）根据平行线的性质及邻补角的定义求解即可．【详解】解：（1）AB∥CD，理由如下：∵∠1＝∠APN，∠1＝∠2，∴∠APN＝∠2，∴AB∥CD；（2）∵∠1＝55°，∠1＝∠3，∴∠3＝55°，∵AB∥CD，∴∠BFQ＝∠3＝55°，∵∠4+∠BFQ＝180°，∴∠4＝125°．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．8．（2022春•新昌县期末）如图，CD⊥AB于D，已知：∠1＝∠B，∠CFE＝90°．（1）判断∠1与∠2是否相等，并说明理由；（2）若∠AED+∠ACB＝200°，求∠ACB的度数．【答案】（1）∠1＝∠2，理由见解答过程；（2）100°．【分析】（1）根据垂直的定义推出∠CFE＝∠CDA＝90°，则EF∥AB，根据平行线的性质即可得解；（2）结合（1）推出DE∥BC，根据平行线的性质求解即可．【详解】解：（1）∠1＝∠2，理由如下：∵CD⊥AB于D，∴∠CDA＝90°，∵∠CFE＝90°，∴∠CFE＝∠CDA，∴EF∥AB，∴∠1＝∠2；（2）∵∠1＝∠2，∠1＝∠B，∴∠2＝∠B，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB，∵∠AED+∠ACB＝200°，∴∠ACB＝100°．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．9．（2022春•仙居县期末）如图1，有一张四边形ABCD纸片，AD∥BC，点E，F分别在AD，BC上，把纸片沿EF折叠，点D，C分别与点G，H重合，FH交线段AD于点P．（1）求证：∠GEA＝∠HFB；（2）如图2，∠D＝70°，猜想当∠EFC多少度时，GH∥AD，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠EFC＝35°时，GH∥AD，证明见解析．【分析】（1）根据AD∥BC得到GE∥HF，进而得到∠GEA＝∠HPA，而∠HPA＝∠HFB，等量代换得出结论；（2）当GH∥AD时，∠G+∠GEP＝180°，所以∠GEP＝110°，根据折叠的性质可知，∠GEF＝∠DEF，根据平行线的性质可得∠EFC＝∠AEF，设∠EFC＝x，列出方程即可求出∠EFC的度数．【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴GE∥HF，∠HPA＝∠HFB，∴∠GEA＝∠HPA，∴∠GEA＝∠HFB；（2）解：当∠EFC＝35°时，GH∥AD．理由如下：∵AD∥BC，∴∠EFC＝∠AEF，∵∠EFC＝35°，∴∠AEF＝35°，根据折叠的性质可知，∠GEF＝∠DEF，∴∠GEF＝∠DEF＝180°﹣35°＝145°，∴∠AEG＝145°﹣35°＝110°，∵∠G＝∠D＝70°，∴∠G+∠AEG＝180°，∴GH∥AD．∴当∠EFC＝35°时，GH∥AD．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．10．（2022春•上虞区期末）如图1，已知点E，F分别是直线AB，CD上的点，点M在AB与CD之间，且AB∥CD．（1）若∠EMF＝80°，则∠AEM+∠CFM＝80°．（2）如图2，在图1的基础上，作射线EN，FN交于点N，使∠AEN=13∠AEM，∠CFN=13∠CFM，设∠EMF＝α，猜想∠（3）如图3，在图1的基础上，分别作射线EP，FP交于点P，作射线EQ，FQ交于点Q，若∠AEP=1m∠AEM，∠CFP=1m∠CFM，∠BEQ=1n∠BEM，∠DFQ=1【答案】（1）80°．（2）∠ENF=13（3）n∠Q+m∠P＝360°．【分析】（1）过点M作MP∥AB，利用平行线的性质，把∠AEM+∠CFM转化为∠EMF，从而求得度数．（2）过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，利用平行线的性质，把∠EMF转化为∠AEM+∠CFM，把∠ENF转化为∠AEN+∠CFN，得出∠ENF=13∠EMF，从而用α表示出∠（3）利用（2）的结论，同时利用两直线平行，同旁内角互补得出∠BEM+∠DFM+∠M＝360°，进而找到∠P与∠Q间的数量关系．【详解】解：（1）过点M作MG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MG，∴∠AEM＝∠EMG，∠GMF＝∠CFM，∴∠AEM+∠CFM＝∠EMG+∠GMF＝∠EMF＝80°．故答案为：80°．（2）∠ENF=13过点M作MG∥AB，由（1）知，∠EMF＝∠AEM+∠CFM，过点N作NH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NH，∴∠AEN＝∠ENH，∠HNF＝∠CFN，∴∠ENF＝∠ENH+∠HNF＝∠AEN+∠CFN，∵∠AEN=13∠AEM，∠CFN=1∴∠ENF=13∠AEM+=13（∠AEM+∠=13∠∵∠EMF＝α，∴∠ENF=13（3）n∠Q+m∠P＝360°．理由如下：由（2）的结论可知，∠P=1m∠M，∠Q＝∠BEQ+∠DFQ，∠BEM+∠DFM+∠M＝∵∠BEQ=1n∠BEM，∠DFQ=1∴∠Q=1n∠BEM+1=1n（∠BEM+∠=1n（360°﹣∠∴∠M＝360°﹣n∠Q，∵∠M＝m∠P，∴360°﹣n∠Q＝m∠P，即n∠Q+m∠P＝360°．【点评】本题考查平行线的性质，其中作平行线将角转化是解题的关键．11．（2022春•嵊州市期末）已知射线AM∥CN（M，N在射线CA的右侧），点B在射线AM上，点D在射线CN上，点E在射线CA上（不与点A重合），且满足∠BAC+∠BED＝180°．（1）如图1，点E在线段AC上．①若∠BED＝60°，∠ABE＝20°，求∠CDE的度数．②探究∠CDE与∠AEB的数量关系，并说明理由．（2）设∠BED＝α，60°＜α＜90°，∠AEB与∠EDN的平分线交于点P，请用α的代数式表示∠EPD的度数．【答案】（1）①∠CDE＝40°；②∠AEB＝∠CDE，理由见解析；（2）∠EPD＝90°﹣α或180°﹣α．【分析】（1）①过点E作EF∥AM，由平行线的性质得∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，进而得∠ABE+∠CDE＝∠BED，便可求得结果；②根据∠BAC+∠BED＝180°，∠BAC+∠ABE+∠AEB＝180°，得∠BED＝∠ABE+∠AEB，由①知，∠BED＝∠ABE+∠CDE，便可得∠AEB＝∠CDE；（2）分两种情况：当点E有线段AC上时；当点E有CA的延长线上时；分别用α的代数式表示∠EPD的度数．【详解】解：（1）①过点E作EF∥AM，如图，∵AM∥CN，∴AM∥EF∥CN，∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，∴∠ABE+∠CDE＝∠BEF+∠DEF＝∠BED，∵∠BED＝60°，∠ABE＝20°，∴20°+∠CDE＝60°，∴∠CDE＝40°；②∠AEB＝∠CDE，理由如下：∵∠BAC+∠BED＝180°，又∵∠BAC+∠ABE+∠AEB＝180°，∴∠BED＝∠ABE+∠AEB，由①知，∠BED＝∠ABE+∠CDE，∴∠AEB＝∠CDE；（2）当点E有线段AC上时，如图，∵∠AEB＝∠CDE，∠CDE+∠EDN＝180°，∴∠AEB+∠EDN＝180°，∵∠AEB与∠EDN的平分线交于点P，∴∠PEB+∠PDE＝90°，∵∠BED＝α，∴∠EPD＝180°﹣（∠PED+∠PDE）＝90°﹣α；当点E有CA的延长线上时，过E作EF∥AM，如图，∵AM∥CN，∴AM∥EF∥CN，∴∠CDE＝∠DEF，∠ABE＝∠BEF，∴∠CDE﹣∠ABE＝∠DEF﹣∠BEF＝∠BDE＝α，∴∠CDE＝∠ABE+α，∴∠EDN＝180°﹣∠CDE＝180°﹣∠ABE﹣α，∴∠EDP=12∠EDN＝90°-12α∵∠BAC+∠BED＝180°，∴∠BAC＝180°﹣α，∴∠AEB＝∠BAC﹣∠ABE＝180°﹣α﹣∠ABE，∴∠BEP=12∠AEB＝90°-12α∴∠DEP＝∠DEB﹣∠BEP=3∴∠EPD＝180°﹣∠DEP﹣∠EDP＝180°﹣α；综上，∠EPD＝90°﹣α或180°﹣α．【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是作辅助线构造平行线．12．（2022春•滨江区期末）如图，直线MN分别与直线AB和CD交于点E，F，且满足∠1+∠2＝180°．（1）试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）作∠AEF的平分线EG交CD于点G，过点G作GH⊥EG交MN于点H．若∠DGH＝40°，求∠1的度数．【答案】（1）AB∥CD．（2）80°．【分析】（1）利用邻补角的定义及已知得出∠1＝∠CFE，即可判定AB∥CD；（2）由GH⊥EG，可得∠EGF＝50°，再由平行线的性质和角平分线的性质可得∠1的度数．【详解】解：（1）AB∥CD，理由如下：∵∠1+∠2＝180°，又∵∠2+∠CFE＝180°，∴∠1＝∠CFE，∴AB∥CD；（2）∵GH⊥EG，∠DGH＝40°，∴∠EGF＝50°，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠EGF＝50°，∵EG平分∠AEF，∴∠AEF＝100°．∴∠1＝80°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质．熟记平行线的判定与性质及注意“数形结合”数学思想的运用是解题的基础．13．（2022春•西湖区期末）如图1，将长方形纸片ABCD沿MN折叠得到图2，点A，B的对应点分别为点A′，B'，折叠后A′M与CN相交于点E．（1）若∠B′NC＝48°，求∠A′MD的度数．（2）设∠B′NC＝α，∠A′MN＝β．①请用含α的代数式表示β．②当MA′恰好平分∠DMN时，求∠A′MD的度数．【答案】（1）48°；（2）①β＝90°-a②60°．【分析】（1）根据平行线得性质求解；（2）①根据平行线的性质及及折叠的性质求解；②根据折叠的性质及角平分线的定义求解．【详解】解：（1）∵NB′∥A′M，∴∠A′EC＝∠B′NC＝48°，∵CN∥MD，∴∠A′MD＝∠A′EC＝48°．（2）①由（1）得：∠A′MD＝∠B′NC＝α，又∵2∠A′MN+∠A′MD＝180°，∴β＝90°-a②∵MA′恰好平分∠DMN，∴∠A′MD＝180°÷3＝60°．【点评】本题考查了平行线的性质，结合折叠的性质是解题的关键．14．（2022春•普陀区期末）如图1，直线AB∥CD，另一直线EF⊥AB分别交AB、CD于M、N，将射线MA绕点M以每秒2°的速度逆时针旋转到MA′，同时射线NC绕点N以每秒3°的速度顺时针旋转到NC′，旋转的时间为t（0＜t＜60）秒．（1）如图2，当t＝12秒时，射线MA′与NC′相交于点P，求∠MPN的度数．（2）如图3，当射线MA′与NC′平行时，求t的值．（3）当射线MA′与NC′互相垂直时，求t的值．【答案】（1）60°；（2）36；（3）18或54．【分析】（1）过点P作PQ∥CD，则PQ∥AB，利用平行线的性质得∠AMP＝∠MPQ，∠QPN＝∠PNC，再利用角的和差关系可得答案；（2）根据平行线的性质得∠A'MN＝∠MNC'，则90﹣2t＝3t﹣90，解方程即可；（3）分两种情形：2t+3t＝90或2t﹣90+3t﹣90＝90，分别解答即可．【详解】解：（1）过点P作PQ∥CD，则PQ∥AB，∴∠AMP＝∠MPQ，∠QPN＝∠PNC，∴∠MPN＝∠PMA+∠PNC＝2×12+3×12＝60°；（2）∵MA'∥NC'，∴∠A'MN＝∠MNC'，∴90﹣2t＝3t﹣90，∴t＝36；（3）①∵2t+3t＝90，∴t＝18，②∵2t﹣90+3t﹣90＝90，∴t＝54，综上所述，t的值为18或54．【点评】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．15．（2022春•椒江区期末）已知射线AB⊥射线AC于点A，点D，F分别在射线AB，AC上，过点D，F作射线DE，FG，使∠BDE+∠AFG＝90°，如图1所示．（1）试判断直线DE与直线FG的位置关系，并说明理由．（2）如图2，已知∠ADE的角平分线与∠AFG的角平分线相交于点P．①当∠BDE＝60°时，则∠DPF＝135°；②当∠BDE＝α（α≠60°）时，∠DPF的大小是否保持不变？若不变，请说明理由；若改变，请求出∠DPF的度数．（3）当∠BDE沿射线AB平移且∠BDE＝α时，请直接写出∠ADE的角平分线与∠AFG的角平分线所在直线相交形成的∠DPF的度数．【答案】（1）DE∥FG，理由见解答过程；（2）①135°；②∠DPF的大小保持不变，理由见解答过程；（3）∠DPF的度数是135°或45°．【分析】（1）过A作AK∥DE，可得∠BDE＝∠BAK，而∠BDE+∠AFG＝90°，∠BAK+∠KAC＝90°，即有∠AFG＝∠KAC，故FG∥AK，从而DE∥FG；（2）①过P作PT∥DE，由∠BDE＝60°，得∠ADE＝120°，∠AFG＝30°，而FP平分∠AFG，DP平分∠ADE，可得∠GFP＝15°，∠PDE＝60°，∠FPT＝∠GFP＝15°，∠DPT＝180°﹣∠PDE＝120°，故∠DPF＝∠FPT+∠DPT＝135°；②过P作PT∥DE，由∠BDE＝α，与①类似方法可得∠FPT＝∠GFP＝45°-12α，∠DPT＝180°﹣∠PDE＝90°+12α，即得∠DPF＝∠FPT+∠（3）分两种情况：当P在∠AFG内部时，由（2）可知，此时∠DPF＝135°；当P在∠AFG外部时，过P作PQ∥DE，可得∠DPF＝∠DPQ﹣∠QPM＝45°．【详解】解：（1）DE∥FG，理由如下：过A作AK∥DE，如图：∴∠BDE＝∠BAK，∵∠BDE+∠AFG＝90°，∠BAK+∠KAC＝90°，∴∠AFG＝∠KAC，∴FG∥AK，∴DE∥FG；（2）①过P作PT∥DE，如图：∵∠BDE＝60°，∴∠ADE＝120°，∠AFG＝30°，∵FP平分∠AFG，DP平分∠ADE，∴∠GFP＝15°，∠PDE＝60°，由（1）知，DE∥FG，∴PT∥DE∥FG，∴∠FPT＝∠GFP＝15°，∠DPT＝180°﹣∠PDE＝120°，∴∠DPF＝∠FPT+∠DPT＝135°；故答案为：135°；②∠DPF的大小保持不变，理由如下：过P作PT∥DE，如图：∵∠BDE＝α，∴∠ADE＝180°﹣α，∠AFG＝90°﹣α，∵FP平分∠AFG，DP平分∠ADE，∴∠GFP＝45°-12α，∠PDE＝90°-由（1）知，DE∥FG，∴PT∥DE∥FG，∴∠FPT＝∠GFP＝45°-12α，∠DPT＝180°﹣∠PDE＝90°+∴∠DPF＝∠FPT+∠DPT＝135°；（3）当P在∠AFG内部时，如图：由（2）可知，此时∠DPF＝135°；当P在∠AFG外部时，过P作PQ∥DE，如图：∴PQ∥DE∥FG，设∠BDE＝β，∴∠ADE＝180°﹣β，∠AFG＝90°﹣β，∵DP平分∠ADE，PF平分∠AFG，∴∠PDE＝90°-12β＝∠∠MFG＝45°-12β＝∠∴∠DPF＝∠DPQ﹣∠QPM＝（90°-12β）﹣（45°-12综上所述，∠DPF的度数是135°或45°．【点评】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线及角的平移，解题的关键是作平行线，利用平行线性质解决问题．16．（2022春•东阳市期末）如图，AB、CD被AC所截，AB∥CD，∠CAB＝108°，点P为直线AB上一动点（不与点A重合），连CP，作∠ACP和∠DCP的平分线分别交直线AB于点E、F．（1）当点P在点A的右侧时；①若∠ACP＝36°，则此时CP是否平分∠ECF，请说明理由．②求∠ECF的度数．（2）在点P运动过程中，直接写出∠APC与∠AFC之间的数量关系．【答案】（1）①CP是否平分∠ECF，理由见解答；②36°；（2）当P在点A的右侧时，∠APC＝2∠AFC；当P在点A的左侧时且CF在A的右侧时，∠APC+2∠AFC＝180°，当P在点A的左侧时且CF在A的左侧时，2∠AFC﹣∠APC＝180°．【分析】（1）①利用平行线及角平分线的定义求解；②利用角的和差求解；（2）分类讨论，利用平行线的性质求解．【详解】解：（1）①∵AB∥CD，∠CAB＝108°，∴∠ACD＝72°，∵∠ACP和∠DCP的平分线分别交直线AB于点E、F，∴∠ACE＝∠ECP=12∠ACP＝18°，∠PCF＝∠DCF=12∠∴∠ECP＝∠PCF，∴CP平分∠ECF；②∴∠ECF＝∠ECP+∠PCF＝36°；（2）当P在点A的右侧时，∠APC＝∠AFC+∠PCF，∵AB∥CD，∴∠AFC＝∠DCF＝∠PCF，∴∠APC＝∠AFC+∠PCF＝2∠AFC；当P在点A的左侧时且CF在A的右侧时，如图：∵∠APC+∠AFC+∠PCF＝180°，∴∠APC+2∠AFC＝180°；当P在点A的左侧时且CF在A的左侧时，如图：∵AB∥CD，∴∠5＝∠APC，∠AFC＝∠1+∠2+∠5，∵∠1＝∠2+∠3，∠1+∠2＝∠3+∠4，∴∠2+∠3+∠2＝∠3+∠4，∴2∠2＝∠3，∵∠AFC﹣∠APC＝∠1+∠2＝∠3+∠4＝180°﹣∠AFC，∴2∠AFC﹣∠APC＝180°．【点评】本题考查了平行线的性质求解，分类讨论思想是解题的关键．17．（2022春•湖州期末）已知EM∥BN．（1）如图1，求∠E+∠A+∠B的度数，并说明理由．（2）如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．（3）如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥EF交BN于点G，若∠A＝∠BFG，请直接写出∠EFB的度数．【答案】（1）∠E+∠EAB+∠B＝360°，理由见解答；（2）∠A＝2∠EFD，理由见解答；（3）∠EFB的度数为30°．【分析】（1）过点A作AC∥EM，利用平行线的性质可得∠E+∠EAC＝180°，再结合已知可得AC∥BN，然后利用平行线的性质可得∠B+∠BAC＝180°，进行计算即可解答；（2）利用（1）的结论可得：∠AED+∠ABN＝360°﹣∠A，再利用角平分线的定义可得∠DEF=12∠AED，∠DBC=12∠ABC，然后利用平行线的性质可得∠EDF＝∠DBC（3）设AB与EM交于点H，利用平行线的性质可得∠AHM＝∠ABN，∠FDM＝∠FBG，再利用角平分线的定义可得∠FED=12∠AED，∠FBG=12∠ABG，从而可得∠FDM=12∠ABG，然后利用三角形的外角进行计算可得∠A＝2∠EFD，再设∠EFD＝x，则∠A＝2x，根据已知可得∠BFG＝2x，最后根据垂直定义可得∠【详解】解：（1）∠E+∠EAB+∠B＝360°，理由：过点A作AC∥EM，∴∠E+∠EAC＝180°，∵EM∥BN，∴AC∥BN，∴∠B+∠BAC＝180°，∴∠E+∠EAC+∠B+∠BAC＝360°，∴∠E+∠EAB+∠B＝360°；（2）∠A＝2∠EFD，理由：由（1）可得：∠AED+∠A+∠ABN＝360°，∴∠AED+∠ABN＝360°﹣∠A，∵EF平分∠AED，BD平分∠ABN，∴∠DEF=12∠AED，∠DBC=1∵EM∥BN，∴∠EDF＝∠DBC=12∠∵∠EFD＝180°﹣（∠DEF+∠EDF）＝180°﹣（12∠AED+12＝180°-12（∠AED+∠＝180°-12（360°﹣∠＝180°﹣180°+12=12∠∴∠A＝2∠EFD；（3）如图：设AB与EM交于点H，∵EM∥BN，∴∠AHM＝∠ABN，∠FDM＝∠FBG，∵EF平分∠AED，∴∠FED=12∠∵BF平分∠ABG，∴∠FBG=12∠∴∠FDM=12∠∵∠EFD＝∠FDM﹣∠FEM，∴∠EFD=12∠ABG-=12（∠ABG﹣∠=12（∠AHM﹣∠=12∠∴∠A＝2∠EFD，∴设∠EFD＝x，则∠A＝2x，∵∠A＝∠BFG，∴∠BFG＝2x，∵FG⊥EF，∴∠EFG＝90°，∴∠EFD+∠BFG＝90°，∴x+2x＝90°，∴x＝30°，∴∠EFB的度数为30°．【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．18．（2022春•拱墅区期末）如图，BE平分∠CBD，交DF于点E，点G在线段BE上（不与点B，点E重合），连接DG，已知∠BEF+∠DBE＝180°．（1）试判断AC与DF是否平行，并说明理由．（2）探索∠ABG，∠BGD，∠GDE三者之间的等量关系，并说明理由．（3）若∠BDG＝（m+1）∠GDE，且∠BGD+n∠GDE＝90°（m，n为常数，且为正数），求mn【答案】（1）AC与DF平行，理由见解答过程；（2）∠ABG+∠BGD﹣∠GDE＝180°；（3）2．【分析】（1）根据角平分线的定义结合题意推出∠BEF+∠CBE＝180°，即可判定AC∥DF；（2）过点G作GH∥AC，根据平行线的性质及角的和差即可求出∠ABG+∠BGD﹣∠GDE＝180°；（3）根据平行线的性质结合（1）（2）求解即可．【详解】解：（1）AC与DF平行，理由如下：∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE=12∠∵∠BEF+∠DBE＝180°，∴∠BEF+∠CBE＝180°，∴AC∥DF；（2）∠ABG、∠BGD、∠GDE三者之间的等量关系是∠ABG+∠BGD﹣∠GDE＝180°，理由如下：过点G作GH∥AC，如图：则∠ABG+∠BGH＝180°，由（1）知：AC∥DF，∴GH∥DF，∴∠DGH＝∠GDE，∴∠ABG+∠BGD﹣∠GDE＝∠ABG+∠BGH+∠DGH﹣∠GDE＝180°；（3）∵∠BDG＝（m+1）∠GDE，且∠BGD+n∠GDE＝90°，∴∠BDE＝（m+2）∠GDE，∠BGD＝90°﹣n∠GDE，由（1）知：AC∥DF，∠CBE＝∠DBE=12∠∴∠ABD＝∠BDE＝（m+2）∠GDE，∴∠DBE=12∠CBD=12（180°﹣∠ABD）＝90°∴∠ABG＝∠ABD+∠DBE＝90°+m+22∠由（2）知，∠ABG+∠BGD﹣∠GDE＝180°，∴90°+m+22∠GDE+90°﹣n∠GDE﹣∠GDE＝∴m+22∠GDE＝n∠GDE+∠GDE∴m+22=n∴m＝2n，即mn的值为2【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．19．（2022春•仙居县期末）解方程组x-甲：由①﹣②，得3x＝3；乙：由②得3x+（x﹣3y）＝5③；把①代入③得3x+8＝5．（1）上述两种消元过程是否正确？你的判断是C．A．甲乙都正确B．只有甲正确C．只有乙正确D．甲乙都不正确（2）请选择一种你喜欢的方法解此方程组．【答案】（1）C；（2）x=-【分析】（1）认真检查，注意符号求解；（2）利用消元法求解．【详解】解：（1）甲：①﹣②得：﹣3x＝3，所以甲是错的；乙采用了整体代入法是正确的；故选：C．（2）由②得3x+（x﹣3y）＝5③；把①代入③得3x+8＝5．解得：x＝﹣1，把x＝﹣1代入①得：﹣1﹣3y＝8，解得：y＝﹣3，所以方程组的解为：x=-【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，熟悉有理数的运算是解题的关键．20．（2021春•台州期末）解下列方程组：（1）x+y=3x-y=1（2）2(x+1)+3(y-【答案】（1）为x=2y=1（2）为x=0y=-1【分析】（1）将方程相加，利用加减消元法解答即可；（2）方程②×2后，利用加减消元法解答即可．【详解】解：（1）x+y=3①①+②得，2x＝4，解得x＝2，将x＝2代入①得，2+y＝3，解得y＝1，所以方程组的解为x=2y=1（2）2(x+1)+3(y-②×2得，2（x+1）﹣2（y﹣1）＝6③，①﹣③得，5（y﹣1）＝﹣10，解得y＝﹣1，将y＝﹣1代入②得，x+1﹣（﹣1﹣1）＝3，解得x＝0，所以方程组的解为x=0y=-1【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法．21．（2020秋•西湖区校级期末）解方程（组）（1）0.4x+0.90.5（2）2(x-y)3【答案】（1）x＝1.5；（2）x=1y=2【分析】（1）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．（2）应用加减消元法，求出方程组的解即可．【详解】解：（1）由0.4x+0.90.5可得：4x+95-去分母，可得：3（4x+9）﹣5（3+2x）＝15，去括号，可得：12x+27﹣15﹣10x＝15，移项，可得：12x﹣10x＝15﹣27+15，合并同类项，可得：2x＝3，系数化为1，可得：x＝1.5．（2）2(x-y)3由①，可得：5x﹣11y＝﹣17③，由②，可得：﹣x+7y＝13④，①×7+②×11，可得24x＝24，解得x＝1，把x＝1代入③，可得：5×1﹣11y＝﹣17，解得y＝2，∴原方程组的解是x=1y=2【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．22．（2021春•奉化区校级期末）已知关于x，y的方程组4x-3y=1mx+(m-1)y=3的解满足4x+y＝3【答案】见试题解答内容【分析】根据等式的性质，二元一次方程组的解法即可得到答案．【详解】解：由题意可得4x-解得x=5将x=58y=12代入mx+（m﹣158m+12（m﹣1解得m=28【点评】本题考查了二元一次方程的解，能够正确利用等式的性质解二元一次方程组是解题的关键．23．（2020春•下城区期末）关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1．（1）当x=3y=1时，求c（2）当a=12时，求满足|x|＜5，|y|＜（3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a=13，即可求得c（2）当a=12时，方程为12x+32y=5（3）由题意，得a（x+y﹣1）＝2﹣y①，x、y均为正整数，则x+y﹣1是正整数，a是正整数，则2﹣y是正整数，从而求得y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，即可求得a＝1，此时方程的正整数解是x=1y=1【详解】解：（1）∵b＝a+1，c＝b+1．∴c＝a+2，由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a=1∴c＝a+2=7（2）当a=12时，12化简得，x+3y＝5，∴符合题意的整数解是：x=-4y=3，x=（3）由题意，得ax+（a+1）y＝a+2，整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①，∵x、y均为正整数，∴x+y﹣1是正整数，∵a是正整数，∴2﹣y是正整数，∴y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，∴a＝1，此时，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整数解是x=1y=1【点评】本题考查了二元一次方程的解，绝对值的性质，熟知一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是解答此题的关键．24．（2022春•新昌县期末）游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．如果每位男孩看到的蓝色游泳帽是红色游泳帽的两倍，而每位女孩看到的蓝色游泳帽比红色游泳帽多12顶，你知道男孩与女孩各有多少人吗？【答案】游泳池里男孩和女孩分别为20人，9人．【分析】根据每位男孩看到蓝色游泳帽是红色游泳帽的2倍，而每位女孩看到蓝色游泳帽比红色游泳帽多12顶，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得游泳池里男孩和女孩各几人，本题得以解决．【详解】解：设游泳池里男孩x人，女孩y人，根据题意得：x-解得，x=20y=9答：游泳池里男孩20人，女孩9人．【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．25．（2012秋•义乌市校级期末）某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．（1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售利润最多，你选择哪一种进货方案？【答案】见试题解答内容【分析】（1）因为要购进两种不同型号电视机，可供选择的有3种，那么将有三种情况：甲乙组合，甲丙组合，乙丙组合．等量关系为：台数相加＝50，钱数相加＝90000；（2）算出各方案的利润加以比较．【详解】解：（1）解分三种情况计算：①设购甲种电视机x台，乙种电视机y台．x+y=501500x+2100y=90000解得x=25y=25②设购甲种电视机x台，丙种电视机z台．则x+z=501500x+2500z=90000解得：x=35z=15③设购乙种电视机y台，丙种电视机z台．则y+z=50解得：y=87.5z=-37.5（2）方案一：25×150+25×200＝8750．方案二：35×150+15×250＝9000元．答：购甲种电视机25台，乙种电视机25台；或购甲种电视机35台，丙种电视机15台．购买甲种电视机35台，丙种电视机15台获利最多．【点评】本题主要考查学生的分类讨论思想和对于实际问题中方程组解的取舍情况．弄清题意，合适的等量关系，列出方程组仍是解决问题的关键．本题还需注意可供选择的将有三种情况：甲乙组合，甲丙组合，乙丙组合．26．（2022春•西湖区期末）现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．（1）如图1，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长．（2）如图2，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为x和y．①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的12，求x和y满足的关系式（不含a，b【答案】（1）10，25；（2）①13②x2﹣2xy+y2＝0．【分析】（1）根据大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，列出方程组计算可求小长方形的相邻两边长．（2）①分别求出1个小长方形的周长与大长方形的周长，再求出它们的比值即可求解；②根据长方形的面积公式即可求解．【详解】解：（1）依题意有：x+2y=602x+y=45解得x=10y=25故小长方形的相邻两边长是10，25；（2）①∵1个小长方形的周长为2（x+y），1个大长方形的周长为2（2x+y+x+2y）＝6（x+y），∴2（x+y）：6（x+y）=1故1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值13②依题意有：（2x+y）（x+2y）﹣3xy＝2×3xy，化简得x2﹣2xy+y2＝0．故x和y满足的关系式为x2﹣2xy+y2＝0．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．27．（2022春•上虞区期末）为创建省文明卫生城市，某街道将一公园进行绿化改造．计划种植甲、乙两种花木，甲种花木每棵进价800元，乙种花木每棵进价3000元，共需107万元；每种植一棵甲种花木需人工费30元，每种植一棵乙种花木需人工费80元，共需人工费32000元．（1）求计划种植甲、乙两种花木各多少棵？（2）如果承包植树的老板安排28人同时种植这两种花木，每人每天能种植甲种花木20棵或乙种花木5棵，应分别安排多少人种植甲种花木和乙种花木，才能确保同时完成各自的任务？【答案】见试题解答内容【分析】（1）设甲种花木x棵、乙种花木y棵．此问中的等量关系：①甲种花木每棵进价800元，乙种花木每棵进价3000元，共需107万元；②每种植一棵甲种花木需人工费30元，每种植一棵乙种花木需人工费80元，共需人工费32000元；列出方程组计算即可求解．（2）设安排a人种植甲种花木，则安排（28﹣a）人种植乙种花木，根据时间的等量关系列出方程求解即可．【详解】解：（1）设甲种花木x棵、乙种花木y棵，依题意有800x+3000y=107000030x+80y=32000解得x=400y=250故甲种花木400棵、乙种花木250棵；（2）设安排a人种植甲种花木，则安排（28﹣a）人种植乙种花木，依题意有40020a解得a＝8，经检验，a＝8是原方程的解，则28﹣a＝28﹣8＝20．故安排8人种植甲种花木，则安排20人种植乙种花木，才能确保同时完成各自的任务．【点评】考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．28．（2022春•诸暨市期末）陈师傅要给一块长6米，宽5米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长是宽的3倍，已知一块A款瓷砖和一块B款瓷砖的价格和为150元，2块A款瓷砖价格和3块B款瓷砖价格相等．请回答以下问题：（1）分别求出每款瓷砖的单价；（2）陈师傅购买瓷砖时，A款瓷砖在以原价8折的价格进行促销活动，结果陈师傅共花了6600元购买两种瓷砖，且两种瓷砖的数量相差不超过20块，则两种瓷砖各买了多少块？（3）陈师傅打算将长6米，宽5米长方形地面的四周都铺上B款瓷砖，中间部分全部铺上A款瓷砖（如图所示），铺地时B款瓷砖恰好用了52块，则铺地时要用多少块A款地砖？【答案】（1）A款正方形瓷砖每块60元，B款长方形瓷砖每块90元；（2）A款瓷砖买了50块，B款瓷砖买了50块，或A款瓷砖买了55块，B款瓷砖买了44块，或A款瓷砖买了45块，B款瓷砖买了56块；（3）铺地时要用36块A款地砖．【分析】（1）列方程组求解；（2）设未知数列方程，再根据条件求其正整数解；（3）根据题意，先求A瓷砖的面积，再根据面积求瓷砖的数量．【详解】解：（1）设A款正方形瓷砖每块x元，B款长方形瓷砖每块y元，根据题意得：x+y=1502x=3y解得：x=90y=60答：A款正方形瓷砖每块90元，B款长方形瓷砖每块60元；（2）设A款正方形瓷砖买了a块，B款长方形瓷砖买了b块；由题意得：90×解得：a=50b=50或a=55b=44或答：A款瓷砖买了50块，B款瓷砖买了50块，或A款瓷砖买了55块，B款瓷砖买了44块，或A款瓷砖买了45块，B款瓷砖买了56块；（3）设B款瓷砖的宽是a米．则长为3a米，需要A款瓷砖x块，由题意得：2(解得：a＝0.25，x＝36，经检验，a是原方程的解，答：铺地时要用36块A款地砖．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，根据题意设出未知数列出方程组是解题的关键．29．（2022春•绍兴期末）（1）计算：3﹣2+（﹣1）2﹣（2022﹣π）0；（2）化简：（x﹣1）2﹣x（x﹣2）．【答案】（1）19（2）1．【分析】（1）先将原式进行乘方运算，再通过加减法运算即可得出答案；（2）根据整式的运算法则直接计算即可求解．【详解】解：（1）原式=19+=1（2）原式＝x2﹣2x+1﹣x2+2x＝1．【点评】本题考查实数的运算，单项式乘多项式，零指数幂等知识点，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则．30．（2022春•柯桥区期末）计算下列各题：（1）（﹣1）2022﹣（2022﹣π）0+（-12）﹣（2）（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）．【答案】（1）﹣8；（2）5y2﹣4xy．【分析】（1）根据实数指数幂的计算方法计算即可；（2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可．【详解】解：（1）原式＝1﹣1+（﹣8）＝﹣8；（2）原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2＝5y2﹣4xy．【点评】本题主要考查实数指数幂，完全平方公式及平方差公式的知识，熟练掌握实数指数幂，完全平方公式及平方差公式的知识是解题的关键．31．（2022春•鄞州区期末）给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为（3，2，﹣1）；（2）求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式的乘积；（3）若有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结果为2x4+x3﹣10x2﹣x+2，直接写出（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值为﹣6．【答案】（1）（3，2，﹣1）；（2）x4﹣8x2+16；（3）﹣6．【分析】（1）根据特征系数对的定义即可解答；（2）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可；（3）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令x＝﹣2即可得出答案．【详解】解：（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为（3，2，﹣1），故答案为：（3，2，﹣1）；（2）∵有序实数对（1，4，4）的特征多项式为：x2+4x+4，有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式为：x2﹣4x+4，∴（x2+4x+4）（x2﹣4x+4）＝x4﹣4x3+4x2+4x3﹣16x2+16x+4x2﹣16x+16＝x4﹣8x2+16；（3）根据题意得（px2+qx﹣1）（mx2+nx﹣2）＝2x4+x3﹣10x2﹣x+2，令x＝﹣2，则（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝2×16﹣8﹣10×4+2+2，∴（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝32﹣8﹣40+2+2，∴（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝﹣12，∴（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）＝﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，给x赋予特殊值﹣2是解题的关键．32．（2022春•诸暨市期末）如图①，长方形ABCD的边长分别为a、b，请认真观察图形，解答下列问题：（1）若用四个完全相同的长方形ABCD拼成如图②的正方形，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系式：（2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若．x+y＝7，xy＝6，求x﹣y的值．（3）若将长方形ABCD的各边向外作正方形（如图③），若四个正方形周长之和为32，四个正方形面积之和为20，求出长方形ABCD的面积．【答案】（1）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）±5；（3）3．【分析】（1）根据图②中各个部分面积与总面积之间的关系可得答案；（2）利用（1）的结论，进行计算即可；（3）设长方形ABCD的长AB＝m，宽BC＝n，利用四个正方形周长之和为32，四个正方形面积之和为20得，m+n＝4，m2+n2＝10，根据（m+n）2＝m2+n2+2mn求出mn的值即可．【详解】解：（1）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；图②中，大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，阴影部分是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2，周围4个长方形的面积和为4ab，所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）∵x+y＝7，xy＝6，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝49﹣24＝25，∴x﹣y＝±5；（3）设长方形ABCD的长AB＝m，宽BC＝n，由四个正方形周长之和为32，四个正方形面积之和为20得，4m×2+4n×2＝32，2m2+2n2＝20，即m+n＝4，m2+n2＝10，由（m+n）2＝m2+n2+2mn得，mn==16-10＝3，即长方形ABCD的面积为3．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景、平方差公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的关键．33．（2022秋•临海市期末）【教材呈现】已知a+b＝5，ab＝3，求（a﹣b）2的值．【例题讲解】同学们探究出解这道题的两种方法：方法一方法二∵（a+b）2＝a2+2ab+b2∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab∵a+b＝5，ab＝3，∴a2+b2＝25﹣6＝19∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2∴（a﹣b）2＝19﹣6＝13∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab∵a+b＝5，ab＝3，∴（a﹣b）2＝13．（1）请将方法二补充完整；【方法运用】（2）解答以下问题：已知a+1a=4【拓展提升】（3）如图，以Rt△ABC的直角边AB，BC为边作正方形ABDE和正方形BCFG．若△ABC的面积为5，正方形ABDE和正方形BCFG面积和为36，求AG的长度．【答案】（1）4ab；（2）a2-2+1（3）4．【分析】（1）根据题目的推理过程，即可填空；（2）根据(a+1a（3）设AB＝a，BC＝b，则AG＝a﹣b，根据（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝36﹣20＝16，即可求解．【详解】解：（1）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故答案为：4ab；（2）∵(a+∴(a-（3）设AB＝a，BC＝b，则AG＝a﹣b，由题意可得：a2+b2＝36，12∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝36﹣20＝16．∵a﹣b＞0，∴a﹣b＝4，即AG＝4．【点评】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是能够找到和的完全平方公式和差的完全平方公式的联系．34．（2022春•嘉兴期末）小王同学在学习完全平方公式时，发现a﹣b，a+b，a2+b2，ab这四个代数式之间是有联系的，于是他在研究后提出了以下问题：（1）已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值．（2）已知m-1m=3，求（3）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，正方形AEHG、正方形EBKF和正方形NKCM都在它的内部，且BK＞KC．记AE＝a，CM＝b，若a2+b2＝18cm2，求长方形PFQD的面积．请解决小王同学提出的这三个问题．【答案】（1）3；（2）±13，（3）7cm2．【分析】（1）根据完全平方公式进行计算即可；（2）求出（m-1m）2＝9，根据（m+1m）2＝（m-（3）由题意可知，长方形PFQD的面积为ab，由三个正方形的边长之间的关系可得b﹣a＝2，由a2+b2＝18cm2，可求出ab即可．【详解】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，a+b＝4，a2+b2＝10，∴ab=(a+b)（2）∵m-1m∴（m-1m）2＝∴（m+1m）2＝（m-1m）2∴m+1m=（3）正方形EBKF的边长可以表示为6﹣a，8﹣b，所以6﹣a＝8﹣b，即b﹣a＝2，阴影部分的面积为ab，∵a2+b2＝18，b﹣a＝2，∴ab==18-4＝7（cm2），即长方形PFQD的面积为7cm2．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．35．（2021春•北仑区期末）某居民小区响应党的号召，开展全民健身活动．该小区准备修建一座健身馆，其设计方案如图所示，A区为成年人活动场所，B区为未成年人活动场所，其余地方均种花草．（1）活动场所和花草的面积各是多少；（2）整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的多少倍．【答案】（1）12a2+94πa2；48a2-94（2）5．【分析】（1）根据题意表示出活动场所和花草的面积即可；（2）根据题意列出关系式，利用多项式除以单项式法则计算即可．【详解】解：（1）活动场所面积：4a×3a+π（32a）2＝12a2+94π花草的面积：（a+4a+5a）（1.5a+3a+1.5a）﹣[4a×3a+π（32a）2＝60a2﹣12a2-94π＝48a2-94πa（2）根据题意得：（a+4a+5a）（1.5a+3a+1.5a）÷（3a×4a）＝10a•6a÷12a2＝5．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．36．（2022春•上虞区期末）图1是一个长为2b，宽为2a的长方形，沿虚线平均分成四块，然后按图2拼成一个正方形．解答下列问题．（1）图2中阴影部分的面积可表示为（b﹣a）2；对于（b﹣a）2，（b+a）2，ab，这三者间的等量关系为（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab．（2）利用（1）中所得到的结论计算：若x+y＝﹣3，xy=-74，则x﹣y＝±（3）观察图3，从图中你能得到怎样的一个代数恒等式？再根据你所得到的这个代数恒等式探究：若m2+4mn+3n2＝0（n≠0），试求mn【答案】（1）：（b﹣a）2；（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab；（2）±4；（3）﹣1或﹣3．【分析】（1）根据拼图以及各部分面积之间的关系可得答案；（2）由（1）的关系式进行计算即可；（3）由面积之间的关系可得（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；由m2+4mn+3n2＝0可得（m+n）（m+3n）＝0，即m+n＝0或m+3n＝0，进而求出答案．【详解】解：（1）阴影部分是边长为b﹣a的正方形，因此面积为（b﹣a）2，根据拼图以及面积之间的关系可得，（b﹣a）2，（b+a）2，ab，这三者间的等量关系为（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab，故答案为：（b﹣a）2；（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab；（2）由（1）可得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝9+7＝16，∴x﹣y＝±4，故答案为：±4；（3）整个长方形是长为a+3b，宽为a+b，因此面积为（a+3b）（a+b），整个长方形的面积也可看作8个部分的面积和，即a2+4ab+3b2，因此有（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；∵m2+4mn+3n2＝0（n≠0），即（m+n）（m+3n）＝0，∴m+n＝0或m+3n＝0，∴mn=-1或m【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是得出正确答案的关键．37．（2022春•拱墅区期末）如图，在正方形ABCD中放入两张边长分别为a和b的正方形纸片，已知HK＝c，正方形ABCD的面积记为S，阴影部分面积分别记为S1，S2．（1）用含a，b，c的代数式分别表示KI，GD．（2）若c＝2，且S1＝S2，求a+bab（3）若a＝b，试说明S﹣3（S1﹣S2）是完全平方式．【答案】（1）KI＝b﹣c，GD＝b﹣c．（2）12（3）见解题过程．【分析】（1）通过KI＝HI﹣HK，GD＝AD﹣AG计算．（2）先找到a，b的关系，再计算．（3）根据完全平方公式的特征判断．【详解】解：（1）KI＝HI﹣HK＝b﹣c，GD＝AD﹣AG＝a+b﹣c﹣a＝b﹣c．（2）S1＝GD×GL＝（a﹣c）（b﹣c）＝ab﹣ac﹣bc+c2，S2＝c2．∵S1＝S2．∵ab﹣bc﹣ac＝0，∴ab＝c（a+b），∴a+bab（3）当a＝b时，S1﹣S2＝ab﹣ac﹣bc＝a2﹣2ac，S＝AD2＝（a+b﹣c）2＝（2a﹣c）2，∴S﹣3（S1﹣S2）＝（2a﹣c）2﹣3a2+6ac＝4a2﹣4ac+c2﹣3a2+6ac＝（a+c）2．∴S﹣3（S1﹣S2）是完全平方式．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，正确表示线段的长度是求解本题的关键．38．（2022春•普陀区期末）因式分解：（1）m2﹣m；（2）x3﹣4x2+4x．【答案】（1）m（m﹣1）；（2）x（x﹣2）2．【分析】（1）原式提取公因式即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：（1）原式＝m（m﹣1）；（2）原式＝x（x2﹣4x+4）＝x（x﹣2）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．39．（2022春•婺城区期末）在当今“互联网+”的时代，密码与我们生活已经紧密联系在一起．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：先将一个多项式分解因式，再计算各因式所得的值，最后将各因式的值进行组合．如：将多项式x（x2﹣9）+2（x2﹣9）因式分解的结果为（x+2）（x+3）（x﹣3），当x＝15时，x+2＝17，x+3＝18，x﹣3＝12，此时，可获得密码171812或171218或181712等．根据上述方法，解答以下问题：（1）对于因式分解结果为（x+2）（x﹣1）的多项式，当x＝21时，用“因式分解”法获得的密码为2320，2023．（2）当x＝20，y＝2时，对于多项式x3﹣xy2，用“因式分解”法可以产生哪些数字密码（求出四个即可）？（3）已知多项式x3+ax2+bx+3因式分解成三个一次式，当x＝23时，用“因式分解”法可以得到密码202224，求a，b的值．【答案】（1）2320，2023．（2）202218，201822，182022，182220，222018，221820．（3）a＝﹣3，b＝﹣1．【分析】（1）把x＝21直接代入x+2和x﹣1，将两个数排序，从而获得密码．（2）先提公因式，然后用平方差公式将多项式因式分解，然后把x和y的值代入求得3个因式的值，然后把这3个数进行组合得出密码．（3）由密码得出三个一次因式的值分别为20，22，24，它们分别可以看成x﹣3，x﹣1，x+1，然后计算这3个因式的乘积，其结果与x3+ax2+bx+3相同，其多项式的二次项系数＝a，一次项系数＝b．【详解】解：（1）当x＝21时，x+2＝23，x﹣1＝20，此时，可获得密码2320，2023．故答案为：2320，2023．（2）x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），当x＝20，y＝2时，x+y＝22，x﹣y＝18，此时，可获得密码202218，201822，182022，182220，222018，221820．（3）当x＝23时，用“因式分解”法可以得到密码202224，∴x3+ax2+bx+3用“因式分解”法可以分解出的三个一次因式分别位（x﹣3），（x﹣1），（x+1），（x﹣1）（x+1）（x﹣3）＝（x2﹣1）（x﹣3）＝x3﹣3x2﹣x+3，∴a＝﹣3，b＝﹣1．【点评】本题考查因式分解的应用，在多项式因式分解的基础上，由给定的字母的取值确定获得的密码．40．（2022春•南浔区期末）小伟同学的错题本上有一道练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母M和N表示），污染后的习题如下：（30x4y2+M+12x2y2）÷（﹣6x2y）＝N+3xy﹣2y．（1）请你帮小伟复原被污染的M和N处的代数式，并写出练习题的正确答案；（2）爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式x2y+xy+y相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由．【答案】（1）M＝﹣18x3y2，N＝﹣5x2y，正确答案为：﹣5x2y+3xy﹣2y．（2）﹣4x2y+4xy﹣y．能够分解，分解结果为：y（2x﹣1）2．【分析】（1）根据多项式与单项式的除法法则计算．（2）先求正确答案与x2y+xy+y的和，再因式分解．【详解】解：（1）由题意得：N＝30x4y2÷（﹣6x2y）＝﹣5x2y，M＝3xy×（﹣6x2y）＝﹣18x3y2．∴正确答案为：﹣5x2y+3xy﹣2y．（2）﹣5x2y+3xy﹣2y+x2y+xy+y＝﹣4x2y+4xy﹣y．这个和能够因式分解，﹣4x2y+4xy﹣y＝﹣y（4x2﹣4x+1）＝﹣y（2x﹣1）2．【点评】本题考查多项式除以单项式及因式分解，掌握相应法则是求解本题的关键．41．（2022春•金东区期末）通常情况下，a+b不一定等于ab，观察下列几个式子：第1个：2+2＝2×2；第2个：3+32=第3个：4+43=4我们把符合a+b＝ab的两个数叫做“和积数对”．（1）写出第4个式子．（2）写出第n个式子，并检验．（3）若m，n是一对“和积数对”，求代数式-3(m+n)【答案】（1）第4个式子为5+54=（2）第n个式子（n+1）+n+1n=（n+1检验过程见解答．（3）14【分析】（1）、（2）根据已知条件得出的规律，直接写即可．（3）m，n是一对“和积数对”，所以可设m+n＝mn＝x，化简式子，代入再化简即可．【详解】解：（1）第4个式子为5+54=（2）第n个式子（n+1）+n+1n=（n+1检验：左边=n(n+1)（3）∵m，n是一对“和积数对”，∴m+n＝mn，设m+n＝mn＝x，原式=-3(m+n【点评】本题考查了新定义和化简求值问题，解题关键是读懂题意，根据新定义的规律解决问题．42．（2022春•东阳市期末）教材中的探究：通过用不同的方法计算同一图形面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径．例如，选取图①中的正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）请根据图③写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算（x﹣2y﹣3）2；（2）若x2+y2+z2＝1，xy+yz+xz＝3，求x+y+z的值．（3）试借助图①的硬纸片，利用拼图的方法把二次三项式3a2+7ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内．【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（x﹣2y﹣3）2＝x2+4y2+9﹣4xy﹣6x+12y；（2）±7；（3）图形见解答，3a2+7ab+2b2＝（3a+b）（a+2b）．【分析】（1）利用大正方形的面积＝3个小正方形的面积+6个矩形的面积可列出代数恒等式，再根据所写恒等式计算（x﹣2y﹣3）2；（2）将x2+y2+z2＝1，xy+yz+xz＝3代入（1）中所得结论．计算即可求得x+y+z的值；（3）画出图形，再分解即可．【详解】解：（1）由题意可得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，则（x﹣2y﹣3）2＝x2+4y2+9﹣4xy﹣6x+12y；（2）由（1）得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，把x2+y2+z2＝1，xy+yz+xz＝3代入上式，得：（x+y+z）2＝1+2×3＝7，∴x+y+z＝±7；（3）如图所示：3a2+7ab+2b2＝（3a+b）（a+2b）．【点评】本题考查了分解因式的应用，长方形的面积，完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和化简能力．43．（2022春•普陀区期末）观察下面的等式：11×3=12（1-13），12×4（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）．（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】（1）1n(n+2)=1（2）推理说明过程见解答．【分析】（1）观察已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）等式右边括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到结果，比较左边即可得证．【详解】解：（1）根据题意得：1n(n+2)=1（2）等式右边=12[=1=1则1n(n+2)=1【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．44．（2022春•定海区期末）化简：4xx言言同学的解答如下：4xx言言同学的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．【答案】不正确，解题过程见解答．【分析】利用分式的基本性质通分后化简即可．【详解】解：不正确，通分得：4x=4x-2(x+2)=2(x-2)=2【点评】本题考查了分式的通分，分式的化简约分，关键要掌握分式的基本性质．45．（2022春•余姚市校级期末）先化简代数式a2【答案】aa-2，0【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，根据分式有意义的条件得出a不能为2，﹣2，1，取a＝0，把a＝0代入化简结果，再求出答案即可．【详解】解：a=(a-1=(a-1=(a-1)2=a-1=a-1+1=a要使分式a2-2a+1a2-4÷(1-3a+2)+1a-2有意义，a﹣2≠0，所以a不能为2，﹣2，1，取a＝0，当a＝0时，原式=00-2【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．46．（2022春•南浔区期末）先化简，再求值：(1+2x+1)÷x2+6x+9x2-1，并从﹣1【答案】x-1x+3，-【分析】先根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．【详解】解：原式=x+1+2x+1=x+3x+1•=x-1由分式有意义的条件可知：x不能取±1，﹣3，当x＝0时，原式==-【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．47．（2022秋•仙居县期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1）m的正方形，两块试验田收获了相同数量的小麦．（1）哪种小麦的单位面积产量高？请说明理由．（2）若“丰收1号”与“丰收2号”小麦单位面积产量之比为10：11，求a的值．【答案】（1）丰收2号”小麦的单位面积产量高，见解答过程；（2）a＝21．【分析】（1）由于两块试验田的收获数量相同，则面积大的单位产量反而小，据此可求解；（2）根据题意列出相应的式子进行求解即可．【详解】解：（1）“丰收2号”小麦的单