中考数学专题复习课件第30讲图形的性质（四边形）矩形专题练习

备战2024中考数学专题复习第30讲图形的性质（四边形）——矩形专题练习一．矩形的性质二．矩形的判定三．矩形的判定与性质一．矩形的性质1.已知一矩形的两边长分别为7cm和12cm,其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长分别为(____)A.6cm和6cmB.7cm和5cmC.4cm和8cmD.3cm和9cm【解析】解：∵矩形ABCD中，BE是角平分线．∴∠ABE=∠EBC．∵AD∥BC．∴∠AEB=∠EBC．B∴∠AEB=∠ABE∴AB=AE．当AB=12cm时：则AE=12cm,不满足题意．当AB=7cm时：AE=7cm,则DE=5cm.故选：B．2.菱形具有而矩形不一定具有的性质是(____)A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.四条边相等【解析】解：A、两组对边分别平行，矩形和菱形都具有，故本选项不符合题意；B、对角线相等，矩形具有，菱形不具有，故本选项不符合题意；C、对角线互相平分，矩形和菱形都具有，故本选项不符合题意；D、四条边都相等，矩形不具有，菱形具有，故本选项符合题意．D故选：D．3.如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC交AD于E，若∠DBC=22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角(虚线也视为角的边)有(____)A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】解：由折叠知△BDC≌△BDC，∴∠C′BD=∠CBD=22.5°，∠C′=∠C=90°，D∴∠C′BC=45°，又∵∠ABC=90°，∴∠ABE=45°，易得：∠AEB=45°，∠C′ED=45°，∠C′DE=45°．综上所述共有5个角为45°，故选：D．4.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，则BD的长为(____)A.2B.4C.6D.8【解析】解：∵矩形ABCD，AC、BD是矩形ABCD的对角线，AC=4，∴BD=AC=4．故选：B．B5.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是(____)A.对角线相等B.对角线垂直C.邻边垂直D.邻角互补【解析】解：∵菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，∴菱形具有而矩形不一定具有的是对角线垂直，故选：B．B6.如图，在矩形ABCD中，点O为对角线BD上一点，过点O作EF∥BC交AB，CD于点E，F，作GH∥CD交AD，BC于点G，H，连结EG，要求出△AEG的面积，只需要知道(____)A.矩形EBHO与矩形GOFD的面积之积B.矩形EBHO与矩形GOFD的面积之商C.矩形EBHO与矩形GOFD的面积之和D.矩形EBHO与矩形GOFD的面积之差

A

7.如图，在矩形ABCD中，DE∥AC，CE∥BD．AC=4，则四边形OCED的周长为(____)A.6B.8C.10D.12【解析】解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形ODEC为平行四边形，∴DE=OC，CE=OD，∵四边形ABCD为矩形，B∴AC=BD，OD=OC=OA=OB，∴OD=OC=2，∴DE=CE=2，∴四边形OCED的周长为8．故选：B．

【解析】解：连接OD，B____∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，∴O，B，D三点共线，∴BD=AC=6，OC=OA=OD=OB=3，∵OM⊥AD，∴AM=DM，∴OM是△ABD的中位线，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，

9.如图，矩形ABCD为小型台球桌面，AD=200cm,CD=90cm,球在点E处，AE=30cm,小花瞄准BC上F点将球打出去，经过反弹后(∠EFB=∠DFC)，球刚好到点D的位置，则CF的长是(____)________A.110cmB.120cmC.130cmD.100cmB

10.如图，矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，AD=3，AB=4，点E是CD边上一点，过点E作EH⊥BD于点H，EG⊥AC于点G，则EH+EG的值是(____)C.3D.4

A

11.如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m,其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m.有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的不可能为200m2．其中，正确结论的个数是(____)A.0B.1C.2D.3B

12.如图，两个长方形的一部分重叠在一起(白色重叠部分也是一个长方形)，则阴影部分的周长可表示为(____)A.7a+4bB.4a+6bC.7a+7bD.6a+4b

A=7a+4b.故选：A．

B

【解析】解：①∵四边形ABCD是矩形，A∴EB=ED，∵BO=DO，∴OE平分∠BOD，故①正确；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD=∠BAD=90°，∴∠ABD+∠ADB=90°，∵OB=OD，BE=DE，∴OE⊥BD，∴∠BOE+∠OBE=90°，∴∠BOE=∠BDA，∵∠BOD=45°，∠OAD=90°，∴∠ADO=45°，∴AO=AD，∴△AOF≌△ABD(ASA)，∴OF=BD，故②正确；③∵△AOF≌△ABD，∴AF=AB，连接BF，如图1，

___∵G是OF的中点，∠OAF=90°，∴AG=OG，∴∠AOG=∠OAG，∵∠AOD=45°，OE平分∠AOD，∴∠AOG=∠OAG=22.5°，∴∠FAG=67.5°，∠ADB=∠AOF=22.5°，∵四边形ABCD是矩形，∴EA=ED，∴∠EAD=∠EDA=22.5°，∴∠EAG=90°，∵∠AGE=∠AOG+∠OAG=45°，∴∠AEG=45°，∴AE=AG，∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；故选：A．15.如图，在矩形ABCD中，下列结论中一定正确的是(____)A.AD=CDB.AC=BDC.OA=ABD.CD=BC【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，故B正确；当矩形ABCD的邻边相等，即四边形ABCD为正方形时，AD=CD，BCD=BC，而题中并没有这一条件，故A不正确，D不正确；当矩形ABCD的对角线AC=2AB时，OA=AB，而题中并没有这一条件，故C不正确，故选：B．

【解析】解：∵在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BOC=120°，∴AC=BD，∠AOB=60°，D

17.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OB=3，则AC的长为____．【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AO=BO=CO=DO，∵OB=3，∴AC=2AO=2BO=6，故答案为：6．618.如图，在长方形ABCD中，∠2比∠1大41°，则∠AEB的度数为_________(用度分秒形式表示)【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，AD∥BC∴∠2+∠1=90°，且∠2-∠1=41°，∴∠2=65°30′∵AD∥BC∴∠AEB=∠2=65°30′故答案为：65°30′65°30′19.如图，在矩形ABCD中，点M、N分别在BC、CD上，点E、F分别是AM、MN的中点．若AB=3cm,BC=4cm,则EF的最大值为

cm.

20.矩形是特殊的平行四边形．____(判断对错)【解析】解：有一个内角是直角的平行四边形是矩形，所以矩形是平行四边形．故答案为：对．对21.如图，木工师傅在工件上作平行线时，只要用角尺画出工件(长方形ABCD)边缘的两条垂线即可，则a∥b,理由是___________________________．【解析】解：如图，____∵∠1=∠2=90°，∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．故答案为：同位角相等，两直线平行22.如图，小平作了一幅长为40cm、宽为30cm的长方形画作，并在画作下方加了一个长为40cm、宽为xcm的长方形简介，则画作和简介所组成的大长方形面积为_______________cm2．【解析】解：大长方形面积=40×(30+x)=(1200+40x)cm2．故答案为：(1200+40x)．(1200+40x)23.如图，在矩形ABCD中，点P在边AD上，E、F分别为BC、PB的中点，若AB=6，则线段EF的最小值为____．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，E、F分别为BC、PB的中点，∴PC=2EF，线段EF最小时，线段PC取得最小值，∴当P点与D点重合时，PC最小，最小值为6，∴EF的最小值为3．3故答案为：3．24.如图，长方形ABCD中，AB=12cm,BC=8cm,点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x=_______时，△APE的面积等于16．【解析】解：①如图1，___当P在AB上时，∵△APE的面积等于16，2或11

25.如图所示，四边形ABCD为矩形，AE⊥EG，已知∠1=25°，则∠2=______【解析】解：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠DFE=∠2∵∠DFE=∠1+∠E=115°∴∠2=115°故答案为：115°115°26.在矩形ABCD中，两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=5，则这个矩形的对角线长为____．

10即矩形对角线长为10．故答案为：10．27.如图，在平面直角坐标系中，图案由全等的4个长方形纸片摆成的．若点A(-3，7)，则点B的坐标为________．

(7，2)故答案为：(7，2)．28.如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是

．【解析】解：延长BC到G，使CG=EF，连接FG，____∵EF∥CG，EF=CG，

29.在矩形ABCD中，BC=3AB，点P在直线BC上，且PC=AB，则∠APB的正切值为

．【解析】解：(1)如图1所示，_______∵BC=3AB，PC=AB，∴BP=2PC，又∵四边形ABCD是矩形，

30.如图，四边形OABC是矩形，A(2，1)，B(0，5)，点C在第二象限，则点C的坐标是_________．【解析】解：作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，如图所示：则∠AMO=∠BNC=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∵A(2，1)，B(0，5)，∴OM=2，AM=1，OB=5，∵四边形OABC是矩形，∴BC=AO，∠AOC=90°，BC∥OA，(-2，4)

31.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为

．【解析】解：如图，____∵AE⊥BE，∴点E在以AB为直径的半⊙O上，连接CO交⊙O于点E′，∴当点E位于点E′位置时，线段CE取得最小值，

32.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，将△BCD沿射线BD平移a个单位长度(a＞0)得到△B'CD'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的值为

．【解析】解：分两种情况：①如图1，∠D'AB'=90°，延长C'B'交AB于G，过点D'作D'H⊥AB，交BA的延长线于H，

34.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，AF=CE．求证：AE=CF．

∴AB-BE=CD-DF，∴AE=CF．35.如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上，BE=DF，求证：AE=CF．

∴AE=CF．36.长方形ABCD中嵌入了如图2所示的5个相同的正方形和一个三角形，E，F，G，H分别在长方形的边AB，BC，CD和DA上．已知AB=22m,BC=20m,求嵌入图形的总面积．【解析】如图，可以将每个正方形依长方形的长与宽的方向构造成“弦图”，显然，所有的直角三角形都相同．设它的直角边分别为a与b,由图可知，

综上所述，嵌入图形的总面积是40×5+20=220(m2)．答：嵌入图形的总面积为220m2．37.如图，在矩形ABCD中，AB=ED，∠BEF=90°．(1)求证：AE=DF；(2)若AB=4cm,BC=6cm,求四边形BCFE的面积．【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，∵∠BEF=90°，∴∠AEB=90°-∠DEF=∠DFE，在△AEB和△DFE中，

38.数学课上，老师要求同学们把一个长方形分割成一个平行四边形和两个三角形，小聪割法如图所示(A、B为边的中点)．小聪说：“我画的阴影部分的面积和空白部分的面积相等．”他说得对吗？请用你喜欢的方式说明理由．【解析】解：他说的对，理由如下：假设点A所在的平行四边形的底的长度为2a,对应的高为h,∴阴影部分的面积为：2a÷2×h=ah,三角形的面积和为：a×h÷2+a×h÷2=a×h=ah,所以阴影部分的面积等于三角形面积之和，即空白部分的面积与阴影部分的面积相等．39.如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接DE并作DE的垂直平分线交AD于F，连接EF并作EF的垂直平分线交AD于G，连接EG．以E为圆心，EG为半径画弧交BC于H，连接EH．(1)∠BHE与∠ADE有怎样的数量关系？答：_______________；(2)证明(1)中的结论．【解析】(1)解：∠BHE与∠ADE的数量关系为∠BHE=4∠ADE，故答案为：∠BHE=4∠ADE；(2)证明：∵DE的垂直平分线交AD于F，∠BHE=4∠ADE∴FD=FE，∴∠FDE=∠FED，∴∠GFE=∠FDE+∠FED=2∠FDE，∵EF的垂直平分线交AD于G，∴GF=GE，∴∠GFE=∠GEF，∴∠AGE=∠GFE+∠GEF=2∠GFE=4∠FDE=4∠ADE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∵E为AB的中点，∴EA=EB，

40.如图，ABCD是长方形，其中AB=8，AE=6，ED=3．并且F是线段BE的中点，G是线段FC的中点．求三角形DFG(阴影部分)的面积．

二．矩形的判定41.下列图形一定为矩形的是(____)A.____B.____C._____D.____【解析】解：A、只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意；CB、只有两个角是直角，进而证明有一组对边平行，无法证明该四边形是矩形，不符合题意；C．有两个邻角是直角，可以证明边长为3的两边平行且相等，可证明该四边形是矩形或正方形，符合题意；D、有两个邻角是直角，可以证明对边平行，但是不一定相等，所以无法证明该四边形是矩形，不符合题意；故选：C．42.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若添加一个条件，使得▱ABCD为矩形，该条件是(____)A.AC=BDB.AC⊥BDC.∠ABD=∠CDBD.∠ABD=∠CBD【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故选：A．A43.如图，延长▱ABCD的边AD到E，使DE=AD，连接BE，DB，EC．再添加一个条件，不能使四边形BCED成为矩形的是(____)A.AB=BEB.BE⊥DCC.∠ADB=90°D.CE⊥DE【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵DE=AD，B∴DE=BC，∴四边形BCED是平行四边形，A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴∠BDE=90°，∴平行四边形BCED是矩形，故选项A不符合题意；B、∵BE⊥DC，∴平行四边形BCED是菱形，故选项B符合题意；C、∵∠ADB=90°，∴∠BDE=180°-∠ADB=90°，∴平行四边形BCED是矩形，故选项C不符合题意；D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴平行四边形BCED是矩形，故选项D不符合题意；故选：B．44.在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是(____)A.AD=BC且AC=BDB.AD=BC且∠A=∠BC.AB=CD且∠A=∠CD.AB∥CD且AC=BD【解析】解：A．∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；CB．∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠B，∴∠A=∠B=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C．∵AD∥BC，∴∠A+∠B=∠C+∠D=180°，∵∠A=∠C，∴∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；D、∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：C．45.工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师傅此种检验方法依据的道理是___________________________________．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．对角线相等的平行四边形是矩形46.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=3，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长度为____．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴当OB=OA，即AC=BD时，▱ABCD为矩形，此时OB的长度为3．故答案为：3．347.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE=3，AF=2，则HC=____，△ABC的面积是____．【解析】解：∵D是AB的中点，四边形BCHG是矩形，∴AD=BD，∠G=∠AFD=90°，在△ADF和△BDG中，212

48.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，其中AD∥BC，AB∥CD，AC=2OB，求证：四边形ABCD是矩形．【解析】证明：∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴BD=2OB，∵AC=2OB，∴AC=BD，∴▱ABCD是矩形．49.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．【解析】证明：∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴平行四边形OBEC是矩形．50.如图，在▱ABCD中，过点C作CE∥BD交AD的延长线于点E．(1)若AD=BD，求证：四边形BCED是菱形；(2)连接BE，当BE与AB满足什么数量关系时，四边形BCED是矩形？并说明理由．【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵CE∥BD，∴四边形BCED为平行四边形，∵AD=BD，∴BC=BD，∴平行四边形BCED是菱形；(2)解：当BE=AB时，四边形BCED是矩形，理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∵BE=AB，∴BE=CD，∴平行四边形BCED是矩形．51.如图，线段AD和BC相交于点O，OB=OC，∠ABO=∠DCO=90°．点E，F分别是线段AO，OD的中点．(1)求证：OE=OF；(2)当∠A=30°时，求证：四边形BECF是矩形．【解析】证明：(1)∵∠ABO=∠DCO=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠D，在△AOB与△DOC中，

三．矩形的判定与性质52.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点(不与点A，B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB=2，∠BAD=60°，则EF的最小值为

．【解析】解：连接OP，____∵四边形ABCD是菱形，

【解析】(1)证明：连接OC，

∴∠DEC=90°，∵DP是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DP，∴∠PDE=90°，∴四边形DECP是矩形；(2)解：如图补全图形，

54.如图，在△ABC中，点O是AB边的中点，过点O作直线MN∥BC，∠ABC的平分线和外角∠ABD的平分线分别交MN于点E，F．(1)求证：四边形AEBF是矩形；(2)若∠ABC=60°，AB=6cm,求四边形AEBF的面积．【解析】(1)证明：∵MN∥BC，∴∠OEB=∠CBE，∠OFB=∠DBF，∵BE平分∠ABC，BF平分∠ABD，∴∠OBE=∠EBC，∠OBF=∠DBF，∴∠OEB=∠OBE，∠OFB=∠OBF，∴EO=BO，FO=BO∴EO=FO=BO．∵点O是AB的中点，∴AO=BO，∴四边形AEBF是平行四边形，∵EO=BO=FO=AO，∴AB=EF，∴四边形AEBF是矩形；(2)解：由(1)知，四边形AEBF是矩形，∠AEB=90°，

55.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE=