函数的单调性第二课时高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

函数的单调性

（第二课时）导数在研究函数中的应用复习回顾一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：

在某个区间(a,b)上，如果f′(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；

在某个区间(a,b)上，如果f′(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.

注意

在某个区间(a,b)上，如果f′(x)=0恒成立

，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上无单调.

新课引入判断函数的单调性观察函数的图象函数单调性的定义利用导数的正负问题1如何探究函数的单调性？问题2如何利用导数研究形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数的单调性？问题2：如何利用导数研究形如

f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数的单调性？原函数定义域导函数求导运算导函数的正负原函数的单调性解不等式函数单调性与导数的关系用导数研究不含参数的函数单调性：例3解：x(－∞,－1)－1(－1,2)2(2,－∞)f′(x)f(x)xyO-11•2•和把函数定义域划分成三个区间，在各个区间的正负，以及的单调性如表所示：追问1对于且，有函数的定义域为.……解：（定义法）追问2

相较于利用函数单调性定义的方法，利用导数研究三次函数单调性有何优势？不熟悉的、复杂的函数熟悉的、简单的函数转化如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？方法总结利用导数研究函数y=f(x)的单调性的一般步骤：第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.第2步，求出导数f′(x)的零点；第1步，确定函数f(x)的定义域；利用导数研究函数y=f(x)的单调性的优势：不熟悉的、复杂的函数熟悉的、简单的函数转化当堂达标1.判断下列函数的单调性，并求出单调区间:解：x(－∞,－1)－1(－1,1)1(1,－∞)f′(x)f(x)xyO-1•1•课本P891.判断下列函数的单调性，并求出单调区间:解：x1(1,－∞)f′(x)f(x)xyO•1•课本P89证明：课本P89问题1：能否探究函数增减的快慢与导数有什么关系？问题1：能否探究函数增减的快慢与导数有什么关系？探究研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,＋∞)上增长快慢的情况.xyO1•(1)xyO(2)结论生成

一般地，设函数y=f(x)，在区间(a,b)上：

如果导数的绝对值越小，函数在区间(a,b)上变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”；反之，如果导数的绝对值越大，函数在区间(a,b)上变化得较快，函数的图象就比较“陡峭”.追问：如何理解函数y=f(x)增减的快慢与函数在某一范围内导数的绝对值有关？一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.f′(x)例4xyO1•解：3.函数y=f′(x)的图象如图所示，试画出函数y=f(x)图象的大致形状.xyOabedc解：xyOabedcf′(x)f(x)总结：函数的单调性与其导函数的正负的关系：注意：此关系常常用于已知函数的单调性，求函数中参数的取值范围.在某个区间(a,b)内反之1.用导数研究含参函数的单调性：2.利用导数单调性求参数的取值范围：利用函数单调性求参数的取值范围解法：当堂达标

【练习1】已知函数

f(x)＝mx3－2x2（m∈R）.

若函数

g(x)＝f(x)－mx2在[1,3]上单调递增，求实数

m的取值范围.

解：由题意得，g(x)＝mx3－(m＋2)x2，则

g′(x)＝3mx2－2(m＋2)x，

由

g(x)在区间

[1,3]上是增函数，得

g′(x)＝3mx2－2(m＋2)x

≥0对于1≤x≤3恒成立，所以

m(3x－2)≥4，因为3x－2＞0，所以m≥，

记

h(x)＝

，则

m≥h(x)max，而函数

h(x)在

[1,3]上为减函数，

则

h(x)max＝h(1)＝4，所以

m≥4，故实数

m的取值范围是

[4,＋∞).3.设函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1,＋∞)内是增函数,求实数a的取值范围．解：f

′(x)＝3x2＋a.∵f

(x)在(1,＋∞)内是增函数，∴3x2＋a≥0对x∈(1,＋∞)恒成立，即a≥－3x2对x∈(1,＋∞)恒成立.又当x∈(1,＋∞)时，－3x2<－3，∴a≥－3.∴实数a的取值范围是[－3,＋∞)巩固训练43.利用导数解决不等式问题：练习：1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0,若当x>0时，xf'(x)+f(x)>0,则不等式xf(x)>0的解集是

.例5已知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf'(x),则不等式f(x+1)>(x－1)f(x2－1)的解集是()A.(0,1)B.(2,+∞)C.(1,2)D.(1,+∞)2.定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),若对∀x∈R,都有2f(x)+xf'(x)<2成立，则使x2f(x)-f(1)<x2-1成立的实数x的取值范围是()A.{x|x≠±1}B.(-1,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)B构造：令g(x)=xf(x)构造：令g(x)=xf(x)构造：令g(x)=x2f(x)-x2C(－∞,－2)∪(2,+