2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习讲义 第10讲 指数与指数函数

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

第10讲指数与指数函数（精讲）

题型目录一览

①指数幕的化简与求值

②指数函数的图像与性

质

③解指数方程与不等式

④指数函数的综合应用

一、知识点梳理

1.指数及指数运算

（1）根式的定义：

一般地，如果x"=a,那么x叫做。的〃次方根，其中（〃>1,〃eN*）,记为标，〃称为根指数，。称为根底数.

⑵根式的性质：

当“为奇数时，正数的"次方根是一个正数，负数的"次方根是一个负数.

当”为偶数时，正数的“次方根有两个，它们互为相反数.

（3）指数的概念：指数是累运算中的一个参数，。为底数，”为指数，指数位于底数的右上角，导运算表示

指数个底数相乘.

（4）有理数指数幕的分类

〃个

①正整数指数鬲优=a.a/.p②零指数悬。°=1①彳。）；

③负整数指数幕/0,〃eN*）；④0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.

（5）有理数指数累的性质

①优'4=暧+"（〃>0,机，eg）；=am'\a>0,m,〃e。）；

_____m

③（而）"=a"%"'（a>0,b>。，meQ）；④至=〃（a>U，m,77G2）.

2.指数函数

y=ax

0<a<la>l

jL

-o\~1

图象

①定义域R,值域(。，+«)

②/=1,即时x=o,y=i,图象都经过(o，i)点

性质③a'=a,即x=l时，＞等于底数”

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤尤V。时，ax＞1;%＞0时，0＜优＜1尤＜0时，尤＞0时，ax＞l

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

【常用结论】

1.指数函数常用技巧

(1)当底数大小不定时，必须分“4＞1”和两种情形讨论.

(2)当0＜。＜1时，Xf+oo,y-o；。的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.

当。＞1时X.+8,y-o；。的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.

⑶指数函数y="与y=的图象关于V轴对称.

a

二、题型分类精讲

刷真题明导向

一、单选题

1.(2022.北京.统考高考真题)已知函数/(*)=」，则对任意实数尤，有()

1+2

A./(-x)+/(x)=0B.Z(-x)-/(%)=0

C.f(-x)+f(x)=lD./(-x)-/(%)=1

【答案】C

【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误.

112X1

【详解】〃_尤)+〃尤)=----1----=----1----故A错误，C正确;

1+2一”1+2、1+2、1+2龙

12'1,2'-1^2

不是常数，故错误;

1+2'-1+2"-1+2'-2*+1--2'+1BD

故选：C.

2.（2020•全国•统考高考真题）设°1。&4=2,贝"=

【答案】B

【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解

【详解】由。1嗝4=2可得1幅4"=2,所以4"=9,

所以有4一"[,

故选:B.

【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础

题目.

3.（2020•山东•统考高考真题）已知函数y=/（x）是偶函数，当xe（0,+◎时，y="（0＜a＜l）,则该函数在（-9。）

【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.

【详解】当天e（0,+8）时，＞=优（0＜。＜1）,所以〃尤）在（0,+e）上递减,

f（x）是偶函数，所以〃尤）在（-双。）上递增.

注意到a°=l,

所以B选项符合.

故选：B

4.（2021•全国•统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（）

4

A.y=x+2x+4sinx+

C.y=2'v+22--D.y=ln无H------

Inx

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出氏。不符

合题意，C符合题意.

【详解】对于A,y=x2+2x+4=(x+l)2+3>3,当且仅当x=T时取等号，所以其最小值为3,A不符合题意；

4

对于B,因为0＜忖11可41,y=|sinx\+..N2"=4,当且仅当|sinx|=2时取等号，等号取不到，所以其最小值

Sillx\

不为4,B不符合题意；

对于C,因为函数定义域为R,而2*>0,丁=2工+227=2'+金22/=4,当且仅当才=2,即x=l时取等号，所

以其最小值为4,C符合题意；

对于D,y=lnx+二，函数定义域为(0,1)L。,+℃),而InxeR且lnx.0,如当In尤=-1,y=-5,D不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可

解出.

5.(2022•浙江•统考高考真题)已知2"=5,log83=6,贝!]4y=()

【答案】C

【分析】根据指数式与对数式的互化，塞的运算性质以及对数的运算性质即可解出.

14a52_25

【详解】因为2"=5,ft=log83=1log23,即2"=3,所以4»"=不

故选：C.

6.(2020•全国•统考高考真题)若2。2y<3一，-37,则()

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

【答案】A

【分析】将不等式变为2工-3T根据/(。=2,-3T的单调性知x<y,以此去判断各个选项中真数与1的

大小关系，进而得到结果.

【详解】由2*—2〉<3一,—3一，得：2工一3T<2、3一，，

令〃。=2T,

”=2工为R上的增函数，>=3-工为R上的减函数，⑺为R上的增函数，

Qy-x>0,y-x+l>l,.'.ln(y-x+l)>0,贝！JA正确，B错误；

Q|x-y|与1的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到天川的

大小关系，考查了转化与化归的数学思想.

7.(2022•全国•统考高考真题)设。c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【分析】构造函数“x)=ln(l+尤)-尤，导数判断其单调性，由此确定。涉，。的大小.

【详解】方法一：构造法

设f(x)=ln(l+元)-尤(x>-l),因为/'(x)=P--1=-1匚，

当xw(-l,0)时,f\x)>0,当xw(0,+oo)时f'(x)<0,

所以函数f(x)=ln(l+x)-x在(0,+8)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以/(}</(0)=0,所以In]-g<0,故g>ln孩=-ln0.9,即b>c,

191Q--1X1

所以/(-而)</(0)=0,所以In历+而<0,故言”，所以旨。，匕

故4<人，

设g(尤)=xex+ln(lx<l),则g，(x)=(x+i)e*+^^=^~+J

令6(x)=e*(/-1)+1,h\x)=e-v(x2+2x-1),

当O<x<a-1时，h\x)<0,函数g)=e、(x2-1)+1单调递减，

当时，函数〃(x)=e，(/-1)+1单调递增，

又〃(0)=0,

所以当0<尤<&-1时，

所以当0<无<虚-1时，/(以函数8。)=为上+111(1-0单调递增,

所以g(0.1)>g(0)=0,即(Me。」>-In0.9,所以

故选：C.

方法二：比较法

解：a=0Ae°l,匕=7^7，c=-ln(l-O.l),

1—0.1

①lntz-lnZ?=0.1+ln(l-0.1),

令/W=x+ln(l—x),xG(0,0.1］,

1—丫

贝！Ir(x)=i---=--<o,

1-x1-x

故f(x)在(o,o.l］上单调递减,

可得/(0-1)</(0)=0,即ln6z-lnZ?<0,所以a<b；

(2)«-c=O.leol+ln(l-O.l),

令g(x)=xex+ln(l-x),xe(0,0.1］,

।、1(1+x)(1—-1

贝n!|g\x\=xex+ex-——————』----，

v71-x1-x

令k(x)=(l+x)(l-x)ex-1,所以kf(x)=(l-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上单调递增，可得k{x}>4(0)>0,即g'(x)>0，

所以g(x)在(0,0.1］上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以«>c.

故c<a<b.

题型一指数幕的化简与求值

畲策略方法指数幕运算的一般原则

⑴有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算.

⑵先乘除后加减，负指数嘉化成正指数嘉的倒数.

⑶底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.

⑷若是根式，应化为分数指数嘉，尽可能用嘉的形式表示，运用指数嘉的运算性质来解答.

【典例1】计算:

,11「4+41+2

(2)已知：［5+々5=3的值.

〃+。一2

【答案】（1）4（2）|

【分析】（1）利用指数募的运算性质可求得所求代数式的值;

（2）在等式一+/=3两边平方可得出a+a，再利用平方关系可求得a?+a2，代入计算可得出a+的值.

a+a-3a2-^-a-2-2

312

【详解】（1）解：原式=1—2“2“+（33尸—2?=1—2+9—4=4・

］l

(2)解：因为〃则=a+a~+2=99所以，a+a~=79

\7

所以，=/+/2+2=49,可得，〃+。一2=47,

因此竟*.J

【题型训练】

一、单选题

<用+3

1.（2023春・湖南•高三校联考阶段练习）—=（）

l27J

A.9B.-C.3D.也

99

【答案】B

【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值.

故选：B.

2.（2023•全国•高三专题练习）下列结论中，正确的是（）

设则若碑=贝土次

A.”0,LXLvB.72,!]m=

C.若〃+/=3,则对+£=±6D.也一万），=2一兀

【答案】B

【分析】根据分式指数累及根式的运算法则，正确运算，即可判断出正误.

434325

【详解】对于A,根据分式指数塞的运算法则，可得层./_二+1_4方’”，选项A错误；

对于B,4=2,故根=±啦，选项B正确；

对于C,。+：=3，储+/）2=a+“T+2=3+2=5，因为。>0，所以/+小二石，选项C错误;

对于D,42—%J=|2—）=%一2,选项D错误.

故选：B.

二、填空题

3.（2023•全国-周二专题练习）若机H—=3,则—-=

mm~

【答案】7

【分析】在等式机+工=3两边平方，可得出的值.

mm

【详解】在等式，〃+,=3两边平方可得（m+—|=m2++2m•—=m2++2=9,

m\mJmmm

因此，加2H——=7.

m

故答案为：7.

4.（2023・全国•高三专题练习）已知孙<0,化简二次根式上：的值是

y

【答案】Q.

【分析】利用根式的性质进行化简.

【详解】由J-孙2可知,x<0,又孙<0,所以y>。,

所以=y口,所以=Q

,y

故答案为：

3x-3x

5.（2023・全国•高三专题练习）已知〃2%=加+1,贝十〃二

ax+ax

【答案】20-1

【分析】利用立方和公式化简，再代入求值即可.

【详解】6=&+1,

。3%+〃一3工ax+axa2x-I+a~2x1

=a2x-l+a~2x=0+1-1+=2A/2-1.

ax+a~xax+a~xV2+1

故答案为：20-1

a2-h2

6.（2023•全国・IWJ三专题练习）已知a>5>0,a2+b2=4abf则-----的值为.

ab

【答案】2上

【分析】将变形为［+2=4,设”-求出t的值，可化为一工，

即可求得答案.

bababt

【详解】由a>8>0,a2+b2=4ab,W£1±^=4,.­.-+-=4,

abba

设％=—贝！I才>1,贝!）1+—=4,.,.产―4,+1=0,

b9t

解得:2+6，（"2-G舍去），

故a=，一2=/一』=2+6----/==2+6-2+石=2\/3,故答案为：2^/3

abbat2+J3

三、解答题

7.（2023・全国•高三专题练习）（1）i+M0.027^-（-1）-2+810-75+（1）°-3-1；

⑵若1+/=将求/+尸的值•

【答案】⑴-5；(2)14.

【分析】(1)由题意利用分数指数塞的运算法则，计算求得结果.

(2)由题意两次利用完全平方公式，计算求得结果.

【详解】(1)0,027-i-(-1)-2+81075+(1)°-31=0.3-1-36+33+1-；=与-36+27+1-1=-5.

(2)若兀5+工一5=^^，AXH-----F2=6,XH—=4,•*.x2+x-2+2=16,.*.x2+x-2=14.

8.(2023.全国.高三专题练习)⑴计算：由”x层“四x圾4+(而产；

(2)已知是方程V-5x+5=0的两根，求加一加+/+'的值.

y/a+y/b\a-y/b

【答案】⑴16；(2)2誓.

【分析】(1)把根式化为分数指数累，然后由暴的运算法则计算.

(2)由韦达定理箱出。+。,成，求出。-匕，求值式变形后代入已知值即可得.

五

1,11(金41

【详解】(原式=25己X—+(2^x6^)4-4了=5x—+4x6+4,=4+12=16；

1)5

51J

(2)由题意〃+b=5,ab=5,JL(a-b)2=(a+b)2-4ab=52-4x5=5,而〃>人，所以〃一/?=6，

--\[b+y/b—a—2Jab+Z?+a+2Jab+b

所以-----1-----=------=-------

A/G+\fb-\[a—sfb(-\/G+\[b)(y[u—\[b)a-b

2{a+b)10

J5a-b=2下,

题型二指数函数的图像与性质

全策略方法解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析,

从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.

(a>0且"1)的图象可能为()

【分析】根据函数/(x)=d一办+1有两个不同的零点，求出。的范围，再根据函数>=优-。的图象是由函数>=优

的图象向下平移。个单位得到的，作出函数丫=屋-。的大致图象，即可得解.

【详解】因为函数〃x)=d-办+1有两个不同的零点，

所以△=。2-4>0,解得。>2或。<-2,

则在函数丫=。'-〃中。>2,

函数y=°，-。的图象是由函数y=4的图象向下平移a个单位得到的,

所以y=(a>0且"1)的图象可能为B选项.

故选：B.

【典例2］己知函数〃x)=，-2+l(a>0,a#l)的图像恒过一点P,且点「在直线如+"'-1=0(〃掰>0)的图像上,

则的最小值为()

mn

A.4B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】求出函数的图象所过的定点坐标，由此建立人〃的关系，再利用均值不等式“产的妙用求解作答.

【详解】函数/(%)=，-2+1(，>0,awl)中，当％_2=0,即％=2时，恒有/(尤)=2,则点P(2,2),

依题意，2m+2n-l=0,即加+〃=;，又mn>0,因此m

-+-=2(m+«)(-+-)=2(2+-+-)>2(2+2.---)=8,当且仅当卫='，即m=w='时取等号,

mnmnmnVmnmn4

所以工+工的最小值为8.

mn

故选：D

【典例3]比较下列几组值的大小：

⑴(-2.5>和(-2.5*⑵[I]”和(0.4升；

⑷0.4幺5,29,2.516.

42

【答案】⑴(—2.5)=>(-2.5户

⑶CmJ(4)0,425>2,51'6>2”

【分析】(1)(2)(3)(4)利用指数函数的单调性分析比较大小即可

2244

(1)由于(—2.5"=2.5§，(一2.5户=2.5?•

42

••・y=2.5、在R上为增函数，且g>§，

•a2日n--

,•2,55>2,53，艮口(一2.5]>(-2.5)3；

3D_3

(2)由于(0.4"尸.

在R上为减函数,且-3>_1'，

/.(|p<(0.4p；

(3)•••)；=,]在R上为减函数，y=在尺上为增函数，且一3<°，

•••(吴>1,(¥<1,

1_13--

•••(-)2>(-)2；

(4)V0.4-2-5=2.52-5,y=2.5'在R上为增函数，且2.5>1.6>0>-0.2

,2,515>2.51-6>1>2.5”，

二0.4乜5>2.5">24.

【题型训练】

一、单选题

1.（2023•天津河东•一模）如图中，①②③④中不属于函数y=3"y=2\y=中一个的是（）

【答案】B

【分析】根据指数函数的图象的特征即可得答案.

【详解】解：由指数函数的性质可知：

①是y的部分图象；③是y=2,的部分图象；④是>=3、的部分图象;

所以只有②不是指数函数的图象.

故选：B.

2.（2023•全国•高三专题练习）函数y=ox+6优+6的图象可能是（）

【答案】A

【分析】分析各选项中两函数的单调性及其图象与）'轴的交点位置，即可得出合适的选项.

【详解】A选项，函数y=4+b为减函数，贝!

且函数.v=a*+6的图象交，轴正半轴点（0,6+1）,贝!）1+>>。，可得b>-l,

函数y=ax+b为增函数，且函数y=ax+b交y轴正半轴于点（0,6）,则。>0,b>0,A满足;

对于B选项，函数y="+6交y轴于点（0S+1）,函数y="+b交y轴于点（0,6）,

显然6+1>6,B不满足;

对于C选项，函数y="+6交y轴于点（0力+1）,函数,=依+方交y轴于点（0,6）,

显然6+1>。，C不满足；

对于D选项，函数y="+b为减函数，贝!

函数、=办+6为减函数，则〃<0,D不满足.

故选：A.

3.（2023•云南红河•云南省建水第一中学校考模拟预测）函数/（x）="-2+i（其中。>0,。=1）的图象恒过的定点

是（）

A.（2,1）B.（2,2）C.（1,1）D.（1,2）

【答案】B

【分析】令x-2=0可得定点.

【详解】令x-2=0,即x=2,得y=2,

函数〃无）=广2+1（其中〃>0,«=1）的图象恒过的定点是（2,2）.故选：B.

4.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（%）=优--5（4>0且“中1）的图象过定点的〃），则不等式

炉+mx+〃+l<0的解集为（）

A.（1,3）B.（-3,-1）C.（―oo,—3）U（1,+°°）D.（—3,1）

【答案】D

【分析】根据指数型函数的定点求解代入后再求解一元二次不等式.

【详解】当x=2时，/（2）=/2_5=a。-5=1-5=T，故〃?=2,〃=T,所以不等式为f+2>3<0,解得-3〈尤<1,

所以不等式的解集为（-3,1）.

故选：D

22

5.（2023•全国•高三专题练习）函数>=。3-，（0>0,。71）的图像恒过定点4若点人在双曲线L一匕=1（机>o,〃>o）

mn

上，则m-n的最大值为（）

A.6B.-2C.1D.4

【答案】D

【分析】令3-x=0,求得A（3,l）,由点A在双曲线上，得到2-工=1,然后由“1”的代换，利用基本不等式求解.

mn

【详解】令3-尤=0,解得x=3,y=l,

所以A（3,l）,

22

因为点A在双曲线土-乙=1（机>0,〃>0）上，

mn

所以29一」1=1,

mn

所以根―〃=（机-----=10-1——<10-2./----------=4,

\mn）\mnJ\mn

911

-------=1

当且仅当?”，即m=6/=2时，等号成立，

、mn

所以m-n的最大值为4

故选：D

231

6.（2023•天津•一，模）已知〃=3号，b=2“，c=4'，贝U（）

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

【答案】D

【分析】根据指数函数，塞函数的性质即可判断〃<〃，。<〃，再对力，。进行取对数，结合对数函数的性质即可

判断。<人，进而即可得到答案.

21311

【详解】由。=3§=炉，b=24=8i,c=45,

rr111

^Z>=85<8i<95<a,C<a,

1312

43

Xlog2b=log28=-,log2c=log24=-,

则log?c<log?匕，即cvb,

所以cvZ?va.

故选：D.

7.（2023•北京东城・统考二模）设函数〃x）=21I,若/⑺为增函数，则实数。的取值范围是（）

[尤,x>a

A.（0,4]B.[2,4]

C.[2,+oo）D.[4,+oo）

【答案】B

【分析】首先分析函数在各段函数的单调性，依题意可得a>0且/22。，结合y=x2与y=2'的函数图象及增长趋

势求出参数的取值范围.

【详解】因为/'（无）=f；'x~a,当XV。时“的=2,函数单调递增，

[x,x>a

又y=/在（0,+s）上单调递增，在（-8,0）上单调递减，

要使函数/⑺为增函数，贝!|a>0且

又函数y=/与y=2*在（0,+8）上有两个交点（2,4）和（4,16）,

且y=2'的增长趋势比y=f快得多，

y=f与y=2工的函数图象如下所示：

所以当x>4时2工>无"当2cx<4时f>2*,当0<x<2时2">—

所以24a44,即实数。的取值范围是⑵4].

故选：B

8.（2023・浙江•高三专题练习）已知。=1.户2,6=1.升3,。=13」，则（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【分析】利用中间值102比较a,b的大小，再让b,c与中间值13比较，判断b,c的大小，即可得解.

【详解】«=1,112<1,212<1,213=/>,又因为通过计算知10〈I,所以024m,即1.2璃<1.3。$,

又1.2°」<1.3°/，所以1.2门<13<13/=c,所以。<b<c.

故选：B

二、多选题

9.（2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨三中校考二模）点”（X，X）在函数y=e'的图象上，当用e[0,l）,则汨■可能等于

（）

A.-1B.-2C.-3D.0

【答案】BC

【分析】根据目标式的几何意义为y=e,在xe[0.1）部分图象上的动点M&,%）与点A（l,-1）所成直线的斜率3即可

求范围.

【详解】由汜表示“（为乂）与点41，-1）所成直线的斜率3

又M（玉,%）是y=e'在xe[0」）部分图象上的动点，图象如下:

如上图，8（1,e）,则左e（-8,-2],只有B、C满足.

故选：BC

三、填空题

10.（2023•全国•高三专题练习）请写出一个同时满足下列条件①②③的函数/（尤）=.

①/（0）=0；②对任意占,超eR,当西＜々时，/（%1）＜/（%2）；③/（无）＜1.

【答案】1-（答案不唯一）.

【分析】根据/（元）的图像经过原点，且在R上单调递增，又“无）＜1,利用指数函数的图像和性质构造函数即可.

【详解】根据题意知/（x）的图像经过原点，且在R上单调递增，又/（无）＜1.考虑到图像有“渐近线”的指数函数，构

造〃无）=1一曰符合题意.

故答案为：=（答案不唯一）

11.（2023秋・吉林松原•高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知/（x）为R上的奇函数，当尤e[0,+8）时,

/«=2"一一二,则不等式/（3x-l）＜/（1-x）的解集为.

【答案】（-8,1）

【分析】由函数的奇偶性与单调性转化后求解，

【详解】由函数%不与1-工均在0+⑼上单调递增，

故/（X）在[0,内）上单调递增，

而了（x）为R上的奇函数，故/⑺在R上单调递增，

/(3x-l)</(l-x)等价于—X,得

故答案为：（-°0,5）

12.（2023•全国•高三专题练习）若函数y=在（-*周上单调递减，则左的取值范围为.

【答案】SO]

【分析】先画出函数y=|4'-i|,再根据函数在（f,口上单调递减求解.

【详解】解：因为函数y=k'-l|的图象是由函数y=4'的图象向下平移一个单位后，再把位于X轴下方的图象沿X

轴翻折到X轴上方得到的，

函数图象如图所示：

由图象知，其在（F,0]上单调递减，所以k的取值范围是（-8,0].

故答案为：（-8,0]

四、解答题

f（X）

13.（2023•全国•高三练习）已知函数=（。为常数）和函数g（x）=2，-2-，，且加X）=氤为奇函数.

⑴求实数。的值；

（2）设不等式X/（x）＞g。）恒成立，试求实数力的范围.

【答案】⑴1

⑵[1,+CO）

【分析】（1）根据奇函数的定义求出a；

（2）运用参数分离法，构造函数，运用函数的单调性求解.

【详解】⑴下）=『=2；:2：=户为奇函数,..风）+做一））=0,即等+'±£=（…"吗,

g（x）2x-24X-141-14A-14X-1

解得o=l,

经检验符合题意；

（2）由4/（x）＞g。），得2（2，+2-*）＞2,—2-',贝！

'）2X+2T

2"—2r4X-14x+l-2122

2无+2一*4*+14尤+14+14%+1

2

-1<1-<1,

4r+l

・•・实数2的取值范围是口,+刃）;

题型三解指数方程与不等式

多策略方法指数方程或不等式的解法

⑴解指数方程或不等式的依据

①</（*）=ag（x）弓（x）=g（x）.

②a"x）>谈（2当。>1时，等价于/（x）>g（x）；

当Q<a<l时,等价于f（x）<g（x）.

⑵解指数方程或不等式的方法

先利用嘉的运算性质化为同底数嘉，再利用函数单调性转化为一般不等式求解.

【典例1】不等式1<2以对于以€[0,2卜恒成立，贝壮的取值范围是

【答案】（-00）

【分析】由题意结合指数函数的单调性，得+4x对于以q0,2卜恒成立，设/（“二/-以，结合二次函数的

性质可求得答案.

【详解】由g]“<24工得2*+。<24，得-/+”4巧即a<尤?十4尤对于Vxe[0,2卜恒成立，

设/'（尤）=炉+4%=（工+2）2-4,显然，（无）开口向上,对称轴为x=-2,

所以在[0,2]上单调递增，当x=0时，“X）取得最小值0,

则a<0,即a的取值范围为（一双0）.

故答案为：（-8,0）.

【题型训练】

一、单选题

1.(2023・海南•统考模拟预测)已知集合4="|；<2*<41,3={尤[0<尤<3},则A3=()

A.{%[0<%<2}B.|x|-l<x<3}

C.1x|0<x<31D.{止l<x<2}

【答案】A

【分析】先求出集合A,集合的交集运算即可求出Ac3.

【详解】集合A={无|；<2'<4}={尤[-1<无<2},

5={%[0<%<3},

/.AnB={x|0<x<2}.

故选：A.

2.(2023・河北•高三学业考试)设函数/(%)=〈；-।则满足了(%)«2的1取值范围是

[1-log2X,X>1

A.[-1,2]B.[0,2]C.[l,+oo)D.[0,+8)

【答案】D

【分析】根据函数解析式，结合指对数函数的单调性，讨论不同区间对应<2的x范围，然后取并.

fx<lfx>l

【详解】由"一C，可得。；或一"，可得；

1xdX>1

[2<2[l-log2x<2

综上，/(x)<2的X取值范围是。+8).

故选：D

3.(2023・全国•高三专题练习)若关于x的不等式G2W>2W+l(xeR)有实数解，则实数。的取值范围是()

A.(1,-Hx))B.(2,+co)C.[l,+oo)D.[2,+co)

【答案】A

【分析】分离参数将问题转化为。>1+?有解，计算即可.

【详解】由题知。-2忖>2W+l(xeR),而州21，所以“>1+(,

又。<£<1，所以1<1+#2・

因为关于x的不等式a-州>2H+l(xeR)有实数解，

即a>l+/(xeR)有实数解，所以。>1,即

故选：A

4.(2023・全国•高三专题练习)若不等式@「一点<23"/恒成立，则实数。的取值范围是()

A.(0,-1)B.g,+8)C.(0,1)D.(冶)

【答案】B

【详解】分析：首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为无2-2以>-(3X+〃)恒成立，利用判别式

A=（3-2fl）2-4a2<0,从而求得实数。的取值范围.

详解：不等式恒成立，即§产2“<§尸3工+岛，即/_2依>_（3升/）恒成立，即£+（3-2。）尤+/>o

恒成立，所以—。/〃尸而:。，解得a>=,所以实数”的取值范围是J”），故选B.

点睛：该题考查的是有关不等式恒成立，求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要明确指数式的运算法则，

注意应用指数函数的单调性，得到指数所满足的大小关系，利用二次不等式恒成立问题，结合式子的判别式，求得

结果.

二、填空题

5.（2023・全国•高三专题练习）logfl1<l,<1,）<],则实数。的取值范围为.

【答案】/，；]

【分析】分别根据对数和指数函数的单调性解不等式，再求交集即可.

【详解】loga1<1loga1<10gaa,

当a>1时log。1<log.a成立；

当Ova<l时,解得0<4<；.所以4£[o,；）u（l,+8）

MY/。”。，

a2<lo&<lo0w〃<l

•••a的取值范围是

故答案为：

3

6.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（X）=2,+a2T的图象关于原点对称，若〃2元-1）>，则X的取值范围为

【答案】x>l

3

【分析】先求得a的值，再利用函数单调性把不等式〃2x-l）>5转化为2Al>1,解之即可求得x的取值范围.

【详解】定义在R上函数/（行=2,+心2一，的图象关于原点对称，

则〃0）=2°+a.2°=0,解之得。=-1,经检验符合题意

y=2\y=-2'均为R上增函数，则/'（无）=2-2-，为R上增函数,

3

又/⑴=2i_2-=3，

3

则不等式/(2x-l)>］等价于2xT>l,解之得x>l

故答案为：x>l

三、解答题

7.(2023・全国•高三练习)解下列方程：

(l)22x+3-2A-1-l=O;

(2)3x4,+2x9*=5x6”;

⑶10扇工+淤，=20;

(4)lg(2*+x-54)=x(l-lg5).

【答案】⑴x=-l;

(2)尤=0或x=l；

(3)x=g或x=10；

⑷x=54

【分析】(1)(2)根据指数幕的运算法则结合指数函数的性质即得;

(3)(4)根据对数的运算律结合对数函数的性质即得.

【详解】(1)由22"+3-2*T-l=0,可得2x(2*y+3x2，-2=0,

所以(2x2-1"+2)=0,

所以2?2，1=0,即2口=1,

所以x=-l；

(2)由3x4,+2x9*=5x6”,可得3、(2工丫-5x2工、3工+2x(3、)=0,

^T^(2X-3X)(3X2X-2X3X)=0,

所以2*-3*=0或3x2'-2x3x=0,

由2'-3，=0,可得1,故x=0,

由3x2*-2x3*=0,可得2*T=3i,即1j=1,所以x—1=0,即x=l,

所以％=0或%=1；

(3)因为10a=(10峻广=胪'，

所以原方程可化为2•胪*=20,即/'=10,

两边取对数可得lg?x=l,即lgx=±l,

所以尤=10或1=£,

经检验x=10或x=七是原方程的解，

所以尤=10或工=±；

（4）*lg（2r+x-54）=x（l-lg5）,可得Ig（2'+x-54）=xlg2=lg2",

所以2,+尤-54=21

即x=54,经检验满足题意，

所以尤=54.

8.（2023秋•江西鹰潭・高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数了（》）=亍占（aeR）,与/（力的图象关于直线

y=x对称的图象过点（2,1）.

⑴求。的值；

⑵求不等式/（另>:的解集.

【答案】⑴a=—1;

（2）{x[x<log23且XHO}.

【分析】（1）由对称性知"X）的图象过点（1,2）,代入后可得“值；

（2）结合指数函数性质解不等式.

【详解】（1）由题意/（幻的图象过点（L2）,所以/⑴=4=2,«=-1；

2+（7

2X

（2）由（1）f（x）=--------，显然xwO,

2乂-1

33

不等式为七化简得2'<3,x<log32,

所以不等式的解集为{幻尤<1。殳3且xwO}.

题型四指数函数的综合应用

畲策略方法指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结合形成复合函数时，我

们对这类问题的解决方式是进行还原分离，化繁为简，借助函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性

解决问题.

【典例】函数（）（；）3+2£+3

1/X=单调递增区间为（）

A.B.C.（l,+8）D.（3,+co）

【答案】C

【分析】根据复合函数同增异减，即可判断出单调递增区间.

【详解】由八龙）=弓尸.工+3,设a（尤）=一/+2尤+3,贝!|〃&）=］£|"为减函数，

求/（无）=（；）4+2，+3的单调递增区间，等价于求a（x）=-f+2x+3的单调递减区间，

因为“（X）=-（x-1）2+4在（1,+00）单调递减，

所以函数/'（无）=（；）*+"+3的单调递增区间是（L-）,

故选：C.

【典例2】当尤时，不等式l+Z'+k-/）/'〉。恒成立，则实数。的取值范围是（）

A.1-2