第35讲 三角函数的应用（教师版）-高一数学同步讲义

第13讲三角函数的应用

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课程标准课标解读

1.掌握三角函数的图象与解析式之间的

对应问题的处理方法.

2.能结合实际生产与生活中与三角函数

之间的密切关系，用三角函数这一数

通过本节课的学习，要求掌握常见的三角函数应用问题

学模式解决与之相关的问题.

的处理方法，了解并掌握数学建模的方法与步骤，能处

3.能处理三角函数相关学科之间的问

理与三角函数相结合的数学问题、物理问题及与之相关

题，用三角函数这一重要工具解决与

的其它学科与生产、生活有密切联系的问题.

数学、物理学及其它学科与之相关联

的问题.

4.掌握数学建模的重要方法与步骤，并

能严谨的应用数学知识解决问题.

漱:知识精讲

*'知识点

1.三角函数模型的简单应用

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规

律、预测等方面发挥着十分重要的作用.

教材中的例2对太阳光照以及潮汐问题的研究为我们展示了怎样运用模型化的思想建立三角函数模型的方

法和过程.

2.三角函数模型应用的步骤

三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数

值，进而使实际问题得到解决.

步骤可记为：审读题意一建立三角函数式一根据题意求出某点的三角函数值一解决实际问题.

这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的

三角函数解析式.

3.三角函数模型的拟合应用

我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的

函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.

TTTT

【即学即练1】把函数产sin（x+§）的图象上所有点向右平移1个单位长度，再将所得图象的横坐标变为原

来的g（纵坐标不变），所得图象的解析式是产sin（s+0）（加>0,附〈兀），则（）

1兀兀

A.co=—,（p=——B.CD=2（/）=一

2393

2兀

C.（o=2f0=0D.CD=2,^=—

【答案】C

TTTTTTJT

【解析】把函数y=sin（X+1）的图象上所有点向右平移点个单位长度得到函数y=sin[（X-^）+^]=sinx的

图象，再将所得图象的横坐标变为原来的!（纵坐标不变），所得图象的解析式是产sin2x,故。=2,%0.

TT

（即学即练2】电流强度/（单位:安）随时间"单位:秒）变化的函数/=Asin（初+9）（4〉0,0〉0,0<9<2）

的图象如图所示，则当仁二一秒时，电流强度是（）

100

A.一5安B.5安

C.5百安D.10安

【答案】A

【解析】由题图可知4=10,—T=——4-——1，即1六一2，所T以。=r」=10的，函数图象过点（0,5）且0<”上7t,

230030050T2

777rl

所以3=不，所以函数为/=10sin（100"+不），当秒时，/=—5安.故选A.

TT

【即学即练3】如图，某港口•天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数）=3sin（—x+9）+k.据此函

6

数可知，这段时间水深（单位:

A.5

C.8D.10

【答案】C

【解析】根据图象得函数的最小值为2,有一3+"2,k=5,最大值为3+48.

【即学即练4】如图所示，质点尸在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为Po（、Q,-V2）,角

速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间［的函数图象大致为（)

D

【答案】c

【解析】因为R）（、历，-V2）,所以/PoOx=一四.因为角速度为1,所以按逆时针旋转时间，后，得

4

7T7TTT

NPOPo=f,所以由三角函数定义，知点2的纵坐标为2sin«——），因此g2|sin«一一）|.令

444

r=0,则d=2|sin（—¥）|二.当/='■时，d=0.故选C.

44

【即学即练5】某弹簧振子做简谐振动，其位移函数为，=疝（切+23>0）,其中f表示振动的时间，y表

示振动的位移，当fe[0,2]时，该振子刚好经过平衡位置（平衡位置即位移为0的位置）5次，则在该过程

中该振子有（）次离平衡位置的距离最远.

A.3B.2C.5D.5或6

【答案】D

【分析】根据题意画出函数的草图，根据函数的图像，得出该振子离平衡位置的距离最远的次数.

【详解】根据题意，画出草图，由图可知2«与,9），fe[0,2]时，该振子离平衡位置的距离最远的次数共5

或6次，

【即学即练6】我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制''度量角，因为在半径不同

的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这

种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角e的面度数为（，则角。的余弦值为

（）A.-且B.--C.；D.@

2222

【答案】B

【分析】利用扇形面积公式，根据面度数定义，求角夕

【详解】由面度数的定义可知.'I=万,即0cose=cos0-g.故选：B

口能力拓展

考法01

1.函数解析式与图象的对应问题

（1）已知函数解析式判断函数图象，可结合函数的有关性质排除干扰项即可得到正确的选项.

（2）函数图象与解析式的对应问题是高考考查的热点，解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的

函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据.

【典例1].己知函数/（x）=3sin（2x+e）,xeR.

（1）用“五点法''作出y=/（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；

（2）请说明函数y=/（x）的图像可以由正弦函数丫;出门、的图像经过怎样的变换得到.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）先由函数解析式，按五个关键点列表，再描点连线，即可得出图像；

（2）根据函数的平移变换以及伸缩变换的原则，即可得出结果.

【详解】

解：（1）按五个关键点列表：

713TC

2x+-71

0T2兀

62

71715兀2/r1171

X

"12nT五

fM030-30

筒图如图所示.

（2）先将函数丫=5也”图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到y=3sinx的图像；再将

得到的图像向左平移2个单位长度，得至1」丫=35也（工+1）的图像；最后将得到的图像上所有点的纵坐标不

变，横坐标变为原来的得到F（x）=3sin（2x+tJ的图像.

【点睛】

本题主要考查三角函数图像的画法，以及三角函数的伸缩变换与平移变换，熟记五.点作图法，以及图像变

换的法则即可，属于常考题型.

（71兀、

【即学即练7】函数11眼05矶-5<》<,的图象是（）

【答案】A

（71兀、

【解析】丁=111（85幻［-5<%<5）是偶函数，，可排除8、D;

兀1

又当X=—时，y=ln—<0,故选A.

32

【名师点睛】该题也可直接利用余弦函数的定义域得到，显然只有选项A满足题意，直接得到正确的选

项.所以该类问题抓住函数的“特性”很重要.

【即学即练8］函数y=sin|x|的图象是（）

【答案】B

【解析】令段)=sin|x|,xSR,则/(—x)=sin|-x|=sin|x|=y(x),.,.函数/(x)=sin|M为偶函数，排除A；

又当工=一时，y=sin|—|=sin—=1,排除D；

2'22

当x=5时，y=sin|——|=sin——=-1,排除C,故选B.

22

【名师点睛】解决函数图象与解析式对应问题的策略

(I)解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、图象

的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据.

(2)利用图象确定函数y=Asin((«x+0)的解析式，实质就是确定其中的参数A,a>,<p.

其中4由最值确定；

3由周期确定，而周期由特殊点求得；

9由点在图象上求得，确定0时;注意它的不唯一性，一般是求刷中最小的夕.

考法02

函数解析式的应用

(1)已知实际问题的函数解析式解决相关问题，题目一般很容易，只需将具体的值代入计算即可.

(2)三角函数模型中函数解析式的应用主要是对相关量物理意义的考查.

【典例2].如图，某海港一天从0~12h的水位高度y(单位：m)随时间f(单位：h)的变化近似满足函

数y=4sin(〃+夕)+6(A>0。>0,()<°<万).

|y/m

0\2610z/h

(1)求该函数的解析式；

(2)若该海港在水位高度不低于6m时为轮船最佳进港时间，那么该海港在0~12h,轮船最佳进港时间总

共多少小时？

(71

【答案】(1)y=4sinl-/+-114+4,0釉12；(2)—h.

【分析】

(1)由图可得人=等=4,〃=竿=4,7=2x00-2)=16,再由周期公式可求出,再把将，=2,

y=8代入可求出勿的值，从而可求得函数的解析式;

(2)由4s喂可J+4..6可求出结果

【详解】

Q_AQ_i_n

(1)由图可知，A=^=4,6=寸=4.

VT=2x(10-2)=16,.-.—=16,解得＜y=g,

CD8

/.y=4sin[*/+e)+4.

jrn

将t=2,y=8代入上式，解得gx2+g=彳+2ATT,kwZ,

82

•:金<(p<冗，：.(p=—,

故该曲线的函数解析式为y=4sin[(/+?)+4,0釉12.

(2)由题意得4sin修，+f]+4..6,即sin仔f+/]..、,解得[+2匕淡吟£学+2&%,keZ,即

(84J<84；26846

214

--+16硼—+16A,keZ.

33

14

V0>12,二当％=0时，即魄小—,

3

14

二该海港在0~12h的轮船最佳进港时间总共为.

【即学即练9】如图，某地一天从6〜14时的温度变化曲线近似满足函数尸AsinQx+0)+6(A>0,。>0,

0<9<兀)，则该函数的表达式为

TT371

【答案】y=10sin(—x+—)+20

84

2兀7t

【解析】由题意可知，函数的周期T=2x(14—6)=16,・・・口=；7

16

30-10

-------=A

2A=10兀

乂〈b20，*,«y=10sin(-x+^)+20.

30+10

-------=h7

2

71371371

20=10sin(—xl04-(^)+20,/.sin(—+9)=0,/.—+(p=knfk^Z.

3n7i3K

XV0<^<n,*.(p=—,.'.y=10sin(——x-\----)+20.

考法03

三角函数在物理学中的应用

【典例3]下图是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题:

(1)写出这个简谐运动的振幅、周期与频率

(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如果从A点算起呢？

(3)写出这个简谐运动的函数表达式.

【答案】⑴振幅为2cm,周期为0.8s,频率为g；

(2)如果从。点算起，到曲线上。点，表示完成了一次往复运动；如果从4点算起，到曲线上E点，表示完

成了一次往复运动；

5%

(3)y=2sin—x,xe[0,+oo).

【分析】

(1)从图像中可以直接得到振幅、计算周期和频率；

(2)从图像中可以看出；

⑶设这个简诺动的函数解析式为丁=入出(8+9)6式0,内),从图像得到A3,9，即可得到解析式.

【详解】

(1)从图像中可以看出：这个简谐运动的振幅为2cm,周期为0.8s,频率为人=3；

0.84

(2)如果从。点算起，到曲线上。点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，到曲线上E点，表示完

成了一次往复运动；

(3)设这个简谐运动的函数解析式为y=Asin(<yx+e),xe[0,M),由图像可知：A=2,*=0,又由

245乃

T=—=0.8,得：co=—.

co2

S乃

所以所求简谐运动的函数解析式为卜=2$111耳为工€[0,+<»).

【典例4]弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间f(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离人(cm)由下面的

TT

函数关系式表示：〃=3sin(2f+—).

4

(1)求小球开始振动的位置；

(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；

(3)经过多长时间小球往返振动一次？

(4)每秒内小球能往返振动多少次？

【解析】(1)令仁0,得/z=3sin2=逑，所以开始振动的位置为(0,—).

422

7T7T

(2)由题意知，当人=3时，t=-,即最高点为(一,3);

88

当仁—3时，厂5一7r，即最低点为(S一IE,一3).

88

27r

(3)T-——=K-3.14,即每经过约3.14s小球往返振动一次.

2

(4)/=1»0.318,即每秒内小球往返振动约0.318次.

【名师点睛】解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此之间的对应关

系导致错解.

【典例5】单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间〃单位：s)的函数关系式为s

=6sin(27t?+-^).

(1)作出函数的图象.

(2)当单摆开始摆动(f=0)时，离开平衡位置的距离是多少？

(3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？

(4)单摆来回摆动一次需多长时间？

【解析】(1)利用“五点法''可作出其图象.

7T

(2)因为当1=0时，s=6sin—=3,所以此时离开平衡位置3cm.

(3)离开平衡位置6cm.

(4)因为T=——=l,所以单摆来回摆动一次所需的时间为Is.

2兀

【名师点睛】三角函数在物理中的应用

三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,

尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.

考法04

三角函数在平面几何中的应用

【典例6】如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，那么折痕长度/取决于角

。的大小.探求/,。之间的关系式，并导出用。表示/的函数表达式.

sin。。+cos20)

【分析】

根据图形判断直角三角形，利用直角三角形求解AE=GEcos2^=/sin0cos2^,由

4E+BE=/sin(98s2，+/sin9=6,求解即可.

【详解】

解：由已知及对称性知，GF=BF=lcos。,GE=BE=lsm0,

乂NGEA=ZGFB=20,

AE=GEcos20=1sin6cos29,

又由AE+BE=/sin9cos盼+/sin°=6得：d疝正8s2。）

【典例7】南开园自然环境清幽，栖居着多种鸟类，热爱动物的南青同学独爱其中形貌雅致的蓝膀香鹊，于

是她计划与生物兴趣小组的同学一起在翔字楼前广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到这

种可爱鸟儿的飘逸瞬间，南同学设计了以下草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1,已知相

机架设于A点处，其可捕捉到图象的角度为45,即NE4Q=45,其中P,Q分别在边BC,C£＞上，记

N8"=e（o麴B45）.

(1)南莺同学的数学老师很欣赏她的计划，并根据她的设计草图编制了此刻你正在思考的这道期中考试试

题，设AC与PQ相交于点R,当6=30时，请你求出：

(i)线段。。的长为多少？

(ii)线段AR的长为多少？

(2)为节省能源，南莺同学计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕

捉到的面积(即四边形APC。的面积，记为S)最大，。应取何值？S的最大值为多少？

【答案】(I)(i)2-73,(ii)瓜-五,(2)

【分析】

(1)如图建立平面直角坐标系，在用D4Q中，直接求解。Q,从而可得。(2-6,1),求出直线P。的方

程，再与直线AC的方程联立可求出点R的坐标，再用两点间的距离公式可求出AR的长；

TTTT

(2)由于3P=ABtan9=tan6,DQ=ADtan(--^)=tan(--0),从而可求出S八期,5从园的值，进而可表

44

示出四边形APCQ的面枳，再用三角函数的性质求出其最大值

【详解】

解：(1)如图建立平面直角坐标系，由于8=30，AB=AD^BC=CD^l,

所以40,0),C(l,l),8(1,0),。(0,1),

由tan<9=t^,得8P=ABtan30°=f，所以P(l,g),

因为ZPAQ=45,ZBAP=30°,所以NOAQ=15°,tan15°=tan(45°-30°)=3符一血好=2一代

1+tan45°tan30°

在Rf.DAQ中，tanZDAQ=—,pjljDQ=ADtanZ.DAQ=tan15°=2->/3,

AD

所以Q(2-G,l),

k=----

1k+m=—G东所以直线尸。为y=-石2#)

设直线产。为丫="+，〃,则3,解得，--XH-----»

33

(2-Bk+m=lm=———

3

直线忙为丁=》,

62>/3

y=----x+----X=yf3-1厂l

ill<33得L，Bp/?(V3-1,V3-1),

y=x

所以AH=7(>/3-1)2+(>/3-1)2=向6-》=瓜-6

TT1T

(2)BP=ABtan6=tan。，QQ=A0tan(一―6>)=tan(一一9)，

44

所以5神=加的=轲45八狈=gA〃QQ=gta吟-⑶,

]]TT

所以S=l-SABP-SADQ=1--tan<9--tan(--0),

1sin。cossin0

=1-----------------------

2cos02(cos0+sin0)

=1------；--------------

2cos-9+2cosesin6

=1-----------:——

1+cos2。+sin20

=1-----------------

V2sin(20+-)+l

4

"出=2-6,当且仅当即。4时取等号,

所以当。时，S取得最大值，最大值为2-&

O

【点睛】

关键点点睛：此题考查三角函数的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，求出直线PQ、AC的方程,

从而可求出点R的坐标，进而可求出AR的长，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题

考法05

三角函数模型的应用

三角函数应用模型的三种模式：

一、给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；

二、给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；

三、搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化

规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题.

【典例8】已知某海滨浴场的海浪高度是时间/(h)的函数，记作)，=4).下表是某日各时的浪高数据.

f(h)03691215182124

y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5

经长期观测，⑺的曲线可近似地看成是函数)，=儿0$皿+。

(1)根据以上数据，求出函数〉=48$函+6的最小正周期T、振幅A及函数表达式；

(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8

时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？

【解析】(1)依题意，得T=12,A=%期:2血=0.5,山皿=1,

A1兀兀

(2)令y=—cos—则2版——<一，<2日H---(氏£Z),

62

.\12jt-3<f<12Jl+3()teZ).又：8<r<20,.-.9<f<15,

从9点到15点适合对冲浪爱好者开放，一共有6个小时.

【名师点睛】解决此类问题的关键在于根据已知数据确定相应的数学模型，然后根据已知条件确定函数解

析式中的各个参数，最后利用模型解决实际问题.

【典例9】心脏跳动时，血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的

读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p")=1l5+25sin160叫

其中p(f)为血压(mmHg),r为时间(min),试回答下列问题：

(1)求函数p⑺的周期；

(2)求此人每分钟心跳的次数；

(3)画出函数p⑺的草图：

(4)求出此人的血压在血压计上的读数.

27t2兀1一

【解析】(1)由于<o=160兀，代入周期公式~,可得7=-----=——(min),所以函数p⑺的周期

1。|160兀80

为Lin.

80

(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率.尸-=80(次).

(3)列表:

1131

t0

32016032080

P⑺11514011590115

描点、连线并向左右扩展得到函数〃⑺的简图如图所示:

(4)由图可知此人的收缩压为140mmHg,舒张压为90mmHg.

【名师点睛】解三角函数应用问题的基本步骤：

读懂题目中的“文字”“图象”“符号”

I审清题意f等语言，理解所反映的实际问题的背

景，提炼出相应的数学问题

整理数据，引入变量，找出变化规律，

建立函运用已掌握的三角函数知识、物理知

数模型识及其他相关知识建立关系式，即建

立三角函数模型

解答函利用所学的三角函数知识解答得到的

数模型三角函数模型，求得结果

得出结论f将所得结论翻译成实际问题的答案

TT

【典例10］如图，在扇形。尸。中，半径。P=l,圆心角/POQ=§,C是扇形弧上的动点，矩形ABCO内

接于扇形.记NPOC=&,求当角a取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.

【答案】a=J时，矩形ABC。的面积，最大面积为立

66

【分析】

由题意可得CD=cosa-木sina,BC=sin«,从而可得矩形A8CO的面积为

I17rlT[7C7T57r

S=CDBC=(cosa--f=sina)sina=-j=sin(2a4--)------,再由o＜。＜一可得—＜2a+—v—,山此可

v3v362,33666

得2a+g=g时，S取得最大值

62

【详解】

在RlQ8C中，8C=sina,OC=cosa,

.,AD7i/r

在向..ADO匚3——=tan—=V3,

OD3

所以OD=—j=AD=—j=BC=sina

所以CD=OC-OD=cosa一&ina

设矩形A8CO的面积为S,则

S=CDBC

、.

=(/cosa——1si.na)-sina

V3

1•，

=sinacosa——j=sm~a

6

=—1si•nc2aH-----1产cosr2a-----1产

22V326

=—Usin(2<z+—)---------------,

y/36273

1八7Czr-i7C_7C5〃"..._TCf1rlTC..।

由0<a<一,得一<2aH—<—,所以।2aH—=—,Q[Jcc——时,

3666626

„115/3

染「耳一法=不，

因此，当a=£时，矩形A8CZ）的面积，最大面积为近，

66

【点睛】

关键点点睛：此题考查三角函数的应用，解题的关键是将四边形A8C£＞的面积表示为

S=CD3C=（cosa-耳sina）.sina=有$也（20!+不）-5万，再利用三角函数的性质可求得其最大值，属

于中档题

fii分层提分

题组A基础过关练

1.简谐运动>=4$曲（5》-不）的相位与初相分别是（）

_7t71

A.5x---,—B.5x—3,4

33

C.5x—3,—D.4,一

33

【答案】C

【分析】

根据相位与初相的概念，直接求解即可.

【详解】

相位是当x=（）时的相位为初相，即-g.

故选：C

2.在两个弹簧上各挂一个质量分别为Mi和例2的小球，它们做上下自由振动.已知它们在时间f（s）时离

开平衡位置的位移si（cm）和S2（cm）分别由下列两式确定：

si=5sin（2f+专），s2=5cos（2f-3）.

则在时间t=,时，si与S2的大小关系是（）

A.S\>S2B.S\<S2

C.5,1=52D.不能确定

【答案】C

【分析】

将『=当2乃代入求值，可得$1=52

【详解】

当时，si=5sin（2x竺+g]=­5,S2=5cos（2x空一=­5,.*.51=52

3136yz\33y

故选：C

3.月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温.某城市一年中12个月的月均温》（单

位：C）与月份X（单位：月）的关系可近似地用函数丫=Asin-（JC-3）+。（x=1,2,3,112）来表示，

O_

已知6月份的月均温为29C,12月份的月均温为17C,则10月份的月均温为（)

A.20CB.20.5CC.21CD.21.5C

【答案】A

【分析】

由题意得出关于A、。的方程组，可得出函数解析式，在函数解析式中令x=10可得结果.

【详解】

Asin—+a=A+a=29(./

2|A=6

由题意可得;,解得”，

AAsi.n——"+,a=a-AA=nl71a=23

2

所以，函数解析式为y=6sinf(x-3)+23,

o

在函数解析式中，令x=10,可得y=6sin今+23=6x(-；)+23=20.

因此，10月份的月均温为20c.

故选：A.

4.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h,低潮时水深为9m,高潮时水深为15m.每天潮涨潮

落时，该港口水的深度y(m)关于时间r(h)的函数图象可以近似地看成函数y=4sin(w+«)+©A>0,。

>0)的图象，其中g江24,且f=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是()

JT

A.y=3sin-r+12B.y=-3sin-/+12

66

IT7T

C.y=3sin—r+12D.y=3cos7f+12

【答案】A

【分析】

由两次高潮的时间间隔12人知7=12,且T=12=生(0>0)得0==，又由最高水深和最低水深得A=3,

co6

k=12,将r=3y=15代入解析式解出夕，进而求出该函数的解析式.

【详解】

由相邻两次高潮的时间间隔为12儿知7=12,且7=12=券@>。),得又由高潮时水深15”和

低潮时水深9/?7,得A=3,k=12,由题意知当f=3时，y=15.故将/=3,y=15代入解析式尸35皿隹/+夕

+12中，得3sinJx3+e|+12=15,得£x3+^=1+24;r(Z£Z),解得g=2%;r(&£Z).所以该函数的解析

16J62

式可以是y=3sin菅1+2&乃+12=3sin3+12.

6

5.在图中，点。为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm,

周期为3s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时.则物体对平衡位置的位移x(单位：cm)

和时间r(单位：s)之间的函数关系式为()

C.x=—sin3，+一

2(2

【答案】D

【分析】

设x=f(f)=Asin(d+s)(0>O),根据振幅确定A,根据周期确定。，根据/(0)=3确定夕，即可得出结

果.

【详解】

设位移x关于时间f的函数为x=/(r)=Asin®+9)(<w>0),

2万27r24

根据题中条件，可得A=3,周期T='=3,故幻=g=q,

coT3

jr

由题意可知当x=0时，取得最大值3,故3sine=3,则9=5+2%"(keZ),

所以x=3sin[-^-f+5+2k;rJ=3sin[7r+5J.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查三角函数的应用，考查由二角函数的性质求参数，属于基础题型.

6.若函数/(x)=sin2x的图象向右平移詈个单位得到的图象对应的函数为g(x),则下列说法正确的是

()

A.g(x)的图象关于》=-看对称B.g(x)在[0,句上有2个零点

C.g(x)在区间与歌|上单调递减D.g(x)在卜别上的值域为当()

【答案】B

【分析】

求出g(x)的解析式，并整理后，根据正弦函数性质判断.

【详解】

由题意g(x)=sin2(x-----)=sin(2x------)=sin(2x+—),

633

g(4)=sin(q+$=g不是函数的最值，》=卡不是对称轴，A错；

由g(x)=sin(2x+f)=0,2x+g=br(AeZ),x="-£,其中g,学是[0,兀]上的零点，B正确；

332636

由2人万H—42XH—<IkrrH-----得ZTTH&x&k兀T-----,kwZ,因此且(工)在(一,—)是递减，在(—,—)上

2321212312126

递增，C错；

时,2x+ye[-^,y],g(x)e[_1,#],D错.

故选:B.

【点睛】

本题考查三角函数图象变换，考查三角函数的性质.掌握正弦函数性质是解题关键.

7.某艺术展览馆在开馆时间段(9：00—16：00)的参观人数(单位：千)随时间f(单位：时)的变化近

似满足函数关系/⑺=Asin[?"F)+5(A>0,94r416),且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观

人数的最大值为()

A.1万B.9千C.8千D.7千

【答案】B

【分析】

利用当7=14时，f(f)=7,求出A=4,由94Y16,利用正弦函数的性质即可求解.

【详解】

卜午两点整即r=14,当r=14时，/(r)=7.

即Asin------F5=7,1.A=4,

6

，'冗11%「7乃7乃

丁当94，416时・，-t-------e—,

36L62_

.♦.当苧时，/⑺取得最大值，且最大值为4+5=9.故选：B

362

【点睛】本题考查/三角函数的性质求解析式、三角函数的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

8.如图所示为2018年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y=Asin(s+3)+

«4>0,。>0,]<夕<万|勺半个周期的图象，则该天8h的温度大约为()

T/t

t/h

A.16℃B.15℃C.14℃D.13℃

【答案】D

【分析】

由最大值和最小值及中间值求得由周期求得。，再由起点求得8（注意图象起点是最低点）.得函数

解析式，然后令x=8代入即可得.

【详解】

由题意得A=Jx(30-10)=10,

/?=1x(30+10)=20,

2万71

72x(14-6)=16,J一=16,