数学物理中的偏微分方程

关于数学物理中的偏微分方程2

数学物理方程指从物理学或其他各门自然科学、技术科学中的某些物理问题导出的偏微分方程(有时也包括积分方程、微分积分方程等)。它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和与空间变量的导数之间的制约关系。连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理方程的范围。

教学目的通过本课程的教学使学生获得有关偏微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三类典型方程定解问题的解法，进一步扩大学生的数学知识面，为后继课程提供必要的数学基础。第2页,共81页，2024年2月25日，星期天3参考书目《数学物理方程》,王明新,清华大学出版社。《数学物理方程》，姜礼尚，高教出版社。《工程技术中的偏微分方程》，潘祖梁，浙江大学出版社。第3页,共81页，2024年2月25日，星期天41.1偏微分方程的一些基本概念第4页,共81页，2024年2月25日，星期天5一.偏微分方程（partialdifferentialequation)（PDE）的基本概念自变量未知函数偏微分方程的一般形式第5页,共81页，2024年2月25日，星期天6PDE的阶：PDE的解

古典解广义解概念是指这样一个函数，它满足方程，并且在所考虑的区域内有m阶连续偏导数。线性PDE非线性PDE半线性PDE拟线性PDE完全非线性PDE自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．第6页,共81页，2024年2月25日，星期天7线性PDE：PDE中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。例如：常系数线性PDE:不然称为变系数的．齐次线性PDE:不然称为非齐次的．线性PDE的主部:具有最高阶数偏导数组成的部分．主部第7页,共81页，2024年2月25日，星期天8PDE中对最高阶导数是线性的。例如：半线性PDE：完全非线性PDE：PDE中对最高阶导数不是线性的。拟线性PDE：拟线性PDE中，最高阶导数的系数仅为自变量的函数。例如：非线性PDE第8页,共81页，2024年2月25日，星期天9举例（未知函数为二元函数）1.2.变换解为：解为：第9页,共81页，2024年2月25日，星期天10举例（未知函数为二元函数）4.3.解为：变换解为：第10页,共81页，2024年2月25日，星期天115.不易找出其通解，但还是可以找出一些特解任意解析函数的实部和虚部均满足方程。也是解6.特解都不易找到KDV方程举例（未知函数为二元函数）`第11页,共81页，2024年2月25日，星期天127.拟线性PDE8.拟线性PDE9.半线性PDE10.半线性PDE11.完全非线性PDE第12页,共81页，2024年2月25日，星期天131.2三个典型的方程

第13页,共81页，2024年2月25日，星期天14举例(多元函数)拉普拉斯(Laplace)方程热传导方程波动方程第14页,共81页，2024年2月25日，星期天15物理模型与定解问题的导出第15页,共81页，2024年2月25日，星期天16弦振动方程的导出第16页,共81页，2024年2月25日，星期天17

一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微小横振动。假设这运动发生在同一平面内，求弦上各点位移随时间变化规律。

弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。第17页,共81页，2024年2月25日，星期天物理背景：

波的传播和弹性体振动。弦振动方程的导出

首先，考察弦横振动这个物理问题：给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其长度为l，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的运动规律。

把实际问题提炼为数学模型时必须做一定的理想化假设，以便抓住问题的最本质特征。第18页,共81页，2024年2月25日，星期天基本假设：1.弦的质量是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。

弦可以视为一条曲线，线密度为常数。

（细弦）2.弦在某一个平面内作微小横振动。

弦的位置始终在一直线段附近，弦上各点在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。

（微幅）3.弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲。

弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长变形与张力的关系服从虎克定律。

（横振动）基本规律：牛顿第二定律（冲量定律）第19页,共81页，2024年2月25日，星期天弦线上任意一点在t时刻沿y轴上的位移研究对象：

在右图所示的坐标系，用u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移。在这条弦上任意取一弦段(x,x+Δx)，它的弧长为：

由假设3，弦线张力T(x)总是沿着弦在x处的切线方向．由于弦只在垂直x轴的方向进行横振动，因此可以把弦线的张力T(x)在x轴的方向的分量看成常数Ｔ。对于图中选取的弦段而言，张力在x轴的垂直方向上的合力为：假设2和假设3第20页,共81页，2024年2月25日，星期天在时间段(t,t+Δt)内该合力产生的冲量为：另一方面，在时间段(t,t+Δt)内弦段(x,x+Δx)的动量变化为：于是由冲量定理：从而有：第21页,共81页，2024年2月25日，星期天进一步由Δt，Δx的任意性，有

假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则弦段(x,x+Δx)上的外力为：它在时间段(t,t+Δt)内的冲量为：第22页,共81页，2024年2月25日，星期天类似地，三维波动方程可以表示为：于是有：第23页,共81页，2024年2月25日，星期天简化假设：(2)振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。牛顿运动定律：横向：纵向：其中：第24页,共81页，2024年2月25日，星期天其中：其中：第25页,共81页，2024年2月25日，星期天………一维波动方程令：------非齐次方程自由项------齐次方程忽略重力作用：第26页,共81页，2024年2月25日，星期天非均匀弦的强迫横振动方程一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述：弹性杆的纵向振动管道中气体小扰动的传播………等等

因此，一个方程反应的不止是一个物理现象，而是一类问题。第27页,共81页，2024年2月25日，星期天282+1维波动方程或膜振动方程

一块均匀的拉紧的薄膜，离开静止水平位置作垂直于水平位置的微小振动，其运动规律满足其中：u(x,y,t)表示在t时刻、膜在(x,y)

点处的位移f(x,y,t)表示单位质量所受的外力a2=T/

：T表示张力、为线密度第28页,共81页，2024年2月25日，星期天293+1维波动方程或声波方程n+1维波动方程第29页,共81页，2024年2月25日，星期天301.4定解条件和定解问题第30页,共81页，2024年2月25日，星期天

列出微分方程的目的是要从微分方程中求得具体问题的解或者研究解的性质。前面我们看到，弦振动方程描述的是弦作微小横振动时的位移函数u(x,t)所应满足的一般性规律。仅仅利用它并不能完全确定一条弦的具体运动状况。这是因为弦的运动还与其初始状态以及边界所处的状况有关系，因此对于具体的弦振动问题而言，还需要结合实际问题附加某些特定条件。

例如:在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和x=l两点，即

u(0,t)=0，

u(l,t)=0，这两个等式称为边界条件。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为这两个等式称为初始条件。边界条件和初始条件总称为定解条件。把微分方程和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：定解条件第31页,共81页，2024年2月25日，星期天要在区域上（见右上图）求上述定解问题的解，就是要求这样的连续函数u(x,t)

，它在区域0<x<l,t>0中满足波动方程(2.1)；在x轴上的区间[0,l]上满足初始条件(2.2)；并在边界x=0和x=l上满足边界条件(2.3)和(2.4)。

一般称形如(2.3)和(2.4)的边界条件为第一类边界条件，也叫狄利克雷（Dirichlet）边界条件。定解条件第32页,共81页，2024年2月25日，星期天波动方程的初始条件1、初始条件——描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度定解条件第33页,共81页，2024年2月25日，星期天(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边界条件——描述系统在边界上的状况波动方程的三类边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k的弹簧的支承。或诺依曼（Neumann）边界条件狄利克雷（Dirichlet）边界条件第34页,共81页，2024年2月25日，星期天

同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。定解条件第35页,共81页，2024年2月25日，星期天定解问题定解问题适定性概念(1)初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3)混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。

把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。定解问题的检验

解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应的微小变动。第36页,共81页，2024年2月25日，星期天37经典的定解问题举例维波动方程(弦振动方程)的初值问题第37页,共81页，2024年2月25日，星期天38经典的定解问题举例热传导方程的初值问题第38页,共81页，2024年2月25日，星期天39经典的定解问题举例二维调和方程的边值问题第一边值问题（Dirichlet）第二边值问题（Neumann）第三边值问题（Robin）第39页,共81页，2024年2月25日，星期天40经典的定解问题举例热传导方程的初、边值问题第40页,共81页，2024年2月25日，星期天41何为适定性？存在性唯一性连续依赖性（稳定性）适定性若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的。稳定性：只要定解条件的偏差足够小，相应的定解问题解的偏差也将非常小．第41页,共81页，2024年2月25日，星期天

除了研究定解问题的适定性外，数理方程中还经常研究的问题包括：解的正则性（光滑性）、解的渐近性（包括衰减性）和定解问题的求解方法（精确解、渐近解、数值解）等。定解问题适定性概念第42页,共81页，2024年2月25日，星期天43定解问题的适定性定解问题PDE定解条件初值条件initialcondition边值条件boundarycondition初、边值条件初值问题、边值问题、混合问题第43页,共81页，2024年2月25日，星期天44热传导方程第44页,共81页，2024年2月25日，星期天45热传导分析：设杆长方向为x轴，考虑杆上从x到x+dx的一段(代表)，其质量为dm=ρdx，热容量为cdm。设杆中的热流沿x轴正向，强度为q(x,t)，温度分布为u(x,t)，则问题：一根长为L的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为k，比热为c，线密度为ρ。求杆内温度变化的规律。由能量守恒定律

cdmdu=dQ=[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt=-qx(x,t)dxdt于是有cρut=-qx由热传导定律q(x,t)=-kux(x,t)代入前面的式子，得到cρut=kuxxut=a2uxx第45页,共81页，2024年2月25日，星期天46推广：情况：内部有热源(或侧面不绝热)分析：设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为F(x,t)，代表段的吸热为Fdxdt方程：cρut=kuxx+Fut=a2uxx+f，f=F/(cρ)第46页,共81页，2024年2月25日，星期天47稳定场方程第47页,共81页，2024年2月25日，星期天48产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。形式：在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为零。分类：无外界作用情况拉普拉斯方程：Δu=utt+uyy+uzz=0有外界作用情况泊松方程：Δu=utt+uyy+uzz=f(x,y,z)典型应用静电场方程：Δu=-ρ/ε稳定温度分布：Δu=-F/k第48页,共81页，2024年2月25日，星期天数学物理方程的分类在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方程描写了不同物理现象及其过程．49

第49页,共81页，2024年2月25日，星期天50

二阶线性PDE方程的分类两个自变量，齐次主部目的：通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类。非奇异（1）第50页,共81页，2024年2月25日，星期天51复合求导第51页,共81页，2024年2月25日，星期天52系数之间的关系（2）（1）（3）第52页,共81页，2024年2月25日，星期天53其他系数之间的关系（3*）第53页,共81页，2024年2月25日，星期天54考虑如若能找到两个相互独立的解那么就作变换从而有（4）第54页,共81页，2024年2月25日，星期天55假设是方程的特解，则关系式是常微分方程（4）（5）的一般积分。反之亦然。引理

由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微分方程（5）的一般积分。第55页,共81页，2024年2月25日，星期天56定义称常微分方程（5）为PDE（1）的特征方程。称（5）的积分曲线为PDE（1）的特征曲线。（6）第56页,共81页，2024年2月25日，星期天57记定义方程(1)在点M处是双曲型：椭圆型：抛物型：若在点M处，有若在点M处，有若在点M处，有第57页,共81页，2024年2月25日，星期天58双曲型PDE右端为两相异的实函数它们的一般积分为由此令，方程（1）可改写为双曲型方程的第一标准型双曲型方程的第二标准型第58页,共81页，2024年2月25日，星期天59抛物型PDE由此得到一般积分为由此令，其中与独立(线性无关)的任意函数。第59页,共81页，2024年2月25日，星期天60由于由此推出第60页,共81页，2024年2月25日，星期天61因此，方程（1）可改写为抛物型方程的标准型而第61页,共81页，2024年2月25日，星期天62椭圆型PDE右端为两相异的复数由此推出两族复数积分曲线为其中第62页,共81页，2024年2月25日，星期天63由此令从而方程（1）可改写为，满足方程（4）椭圆型方程的标准型第63页,共81页，2024年2月25日，星期天64例1抛物型方程令第64页,共81页，2024年2月25日，星期天65例2双曲型方程第65页,共81页，2024年2月25日，星期天66例3Tricomi方程椭圆型双曲型抛物型第66页,共81页，2024年2月25日，星期天67第67页,共81页，2024年2月25日，星期天叠加原理弦振动方程的达朗贝尔解法第68页,共81页，2024年2月25日，星期天叠加原理从本节开始我们讨论弦振动方程的各类定解问题。在此之前，先介绍叠加原理在物理学研究中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独（假设其他原因不存在）产生的效果的累加。这就是叠加原理。典型例子：力和加速度的关系，万有引力场的可叠加性复杂的声音——各种单音的叠加电磁场中的叠加原理第69页,共81页，2024年2月25日，星期天则对于任意的常数C1、C2，函数是方程的解。例如：若u1(x,t)是方程的解，而u2(x,t)是方程的解，因此，弦振动方程满足叠加原理线性方程都满足叠加原理第70页,共81页，2024年2月25日，星期天线性方程解（线性系统）具有叠加特性

几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上)第71页,共81页，2024年2月25日，星期天弦振动方程的达朗贝尔解法先从最简单的情形入手，即首先考察边界的影响可以忽略不计的情况（如果所考察的物体（弦线）长度很长，而我们所关注的又只是在较短时间内且距离边界较远的一段范围中的运动情况，那么边界条件的影响就可以忽略，并不妨把所考察的物体的长度视为无限长）。这样的情况下，定解问题归结为如下形式：

这个定解问题中，定解条件只有初始条件，故通常称为初值问题(也称柯西（Cauchy）问题）。相应地，前一节中的定解问题(1.1)~(1.4)由于既有初始条件，又有边界条件，故称为初边值问题或混合问题。方程(1.5)中的自由项f(x,t)是由于外力作用产生的，因此方程(1.5)中f(x,t)恒为零的情况对应于自由振动；f(x,t)不为零的情况对应于强迫振动。第72页,共81页，2024年2月25日，星期天

下面，我们求解上述初值问题。首先注意到微分方程及定解条件都是线性的。对于这种定解问题，同样存在叠加原理，即若u1(x,t)和u2(x,t)分别是下述初值问题和的解，那么u=u1(x,t)+u2(x,t)就一定是原初值问题(1.5)、(1.6)的解(证明作为课后习题)。这样求解初值问题(1.5)、(1.6)就转化为分别求解齐次方程带非齐次边界条件的初值问题(I)和非齐次方程带齐次初始条件的初值问题(II)单独初始振动状态对振动过程的影响。单独考虑外力因素对振动过程的影响。第73页,共81页，2024年2月25日，星期天

首先，我们考察代表自由振动情况的初值问题(I)，它可以通过自变量变换的方法求解。引如新自变量：ξ=x-at，η=x+at。利用复合函数求导的法则，有类似地，从而，方程(1.7)就化为，这个方程可以直接求解。把它关于η积分一次，再关于ξ积分一次，就可以得到它的通解为u(ξ,η)=F(ξ)+G(η)，其中，F和G是任意两个可微分的单变量函数。代回原来的自变量，方程(1.7)的通解表示为u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)。第74页,共81页，2024年2月25日，星期天

利用这个通解表达式，就可以利用初始条件(1.8)来决定函数F和G，进而求出初值问题(I)的解。把上述通解表达式代入初始条件(1.8)，得到：(1.12)式是一个简单的常微分方程，求解它得到由(1.11)和(1.13)式联立求解可以得出函数F和G把它们代入方程(1.7)的通解表达式就得到了初值问题(I)的解第75页,共81页，2024年2月25日，星期天

这个公式(1.14)称为达朗贝尔公式。从以上推导过程可以看出：如果初值问题(I)有