2023届山西省运城市空港新区一中高考数学试题命题比赛模拟试卷七

2023届山西省运城市空港新区一中高考数学试题命题比赛模拟试卷(7)

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数二满足Z—2=0,且Z==9,则2=()

A.3B.3iC.±3D.±3i

2

2.在平面直角坐标系xOy中，已知4,均是圆f+丁=〃2上两个动点，且满足QA04=-上设4，4

到直线x+Gy+〃(〃+1)=0的距离之和的最大值为an,若数列」的前〃项和S“<m恒成立，则实数机的取值

1外

范围是()

A.B.『，+8)C.(|,+8)D.3

—,d-00

2

3.已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱中，P是上底面44GA上的动点.给出

以下四个结论中，正确的个数是()

①与点。距离为百的点p形成一条曲线，则该曲线的长度是]；

②若DP〃面ACB],则。P与面ACC；A所成角的正切值取值范围是与Q；

③若DP=5则OP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6夜.

A.0B.1C.2D.3

22

4.已知石、尸,是双曲线二-与=1(〃>0力>0)的左右焦点，过点工与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一

CTb"

条渐近线于点M，若点M在以线段与工为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是()

A.(2,+oo)B.(73,2)C.(友,百)D.(1,72)

5.记S,为等差数列｛4｝的前“项和.若％=-5,54=-16,则4=()

A.5B.3C.-12D.-13

6.直线丁=依+1与抛物线C：f=4)，交于A,B两点，直线且/与C相切，切点为P,记248的面积

为S,则的最小值为()

9273264

A.--B.----C.---D.----

442727

7.在ABC中，。为边上的中点，且|A8|二l,AC|=2,NBAC=120。，贝！J|AO|=()

]_3V7

旦B.C.一

.~T244

8.已知函数,f(x)=Asin(a)x+/)(其中A>0,6y>(),0<。<乃)的图象关于点M1大,01成中心对称，且与

半,一3),则对于下列判断:

点M相邻的一个最低点为N

①直线x=是函数/(x)图象的一条对称轴;

②点(-是函数的一个对称中心;

③函数y=1与y=-14xV的图象的所有交点的横坐标之和为7万.

其中正确的判断是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

9.一个空间几何体的正视图是长为4,宽为的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该

几何体的体积为()

俯视图

A.B.473C.D.2G

33

10.已知正项数列{4},{〃}满足：尸+设%=%,当C3+C4最小时，。5的值为()

=4+4bn

14一

A.2B.—C.3D.4

11.执行如图所示的程序框图，若输入加=2020,77=520,贝！I输出的1=(

A.4B.5C.6D.7

12.已知复数二满足z（l+i）=4-3i,其中i是虚数单位，则复数二在复平面中对应的点到原点的距离为（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13,则输入的x的值是.

R<MM1x

!fK2Then

Else

7•"工+5

EndIf

Prim尸_______

14.已知｛《,｝是等比数列，且。”>0,02a4+2%%+%4=25,则。3+%=，%的最大值为

15.某公园划船收费标准如表:

船型两人船（限乘2人）四人船（限乘4人）六人船（限乘6人）

每船租金（元/小时）90100130

某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为_____元,

租船的总费用共有种可能.

16.如图，在4ABC中，E为边AC上一点，且AC=3AE，P为BE上一点，且满足AP=〃?AB+〃ACQ〃〉0/>0）,

I3

贝|士+二+3的最小值为.

nm

E

B

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22C

17.（12分）设椭圆C：0+==1（。>/,>0）的左、右焦点分别为F2,下顶点为A，椭圆C的离心率是半，

鸟的面积是G.

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）直线/与椭圆C交于B,。两点（异于A点），若直线与直线AO的斜率之和为1，证明：直线/恒过定点，

并求出该定点的坐标.

18.（12分）已知动圆M恒过点（0,；）,且与直线y=-g相切.

（1）求圆心M的轨迹E的方程；

（2）设P是轨迹E上横坐标为2的点，OP的平行线/交轨迹E于A,B两点,交轨迹E在P处的切线于点T,问：

是否存在实常数X使|27|2=/1|力4|.|76|,若存在，求出X的值；若不存在，说明理由.

19.（12分）某社区服务中心计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶7元，未售出

的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温（单位:摄氏度℃）

有关.如果最高气温不低于25,需求量为600瓶；如果最高气温位于区间［20,25）,需求量为500瓶；如果最高气温低

于20,需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表:

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数414362763

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为“（单位：瓶）时，）'的

数学期望的取值范围？

20.（12分）已知尸是抛物线C：y2=2px（〃>o）的焦点，点A在C上，4到丁轴的距离比|AF|小1.

(1)求。的方程;

(2)设直线A尸与C交于另一点B,M为AB的中点，点。在x轴上，ID4RD3I.若|=指，求直线AE的

斜率.

21.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中，A3〃CO,AO=A3=』CD,ZDAB=60。，点E,尸分别为CD,AP

2

的中点.

(1)证明：PC〃面BEF；

(2)若且Q4=PD,面尸AO,面ABC。，求二面角班一A的余弦值.

Q

22.(10分)已知AABC1中，角A，B,C的对边分别为。,c,已知向量机=(cos8,2cos?——1),〃=(c,匕一2。)

2

且根.〃=0.

(1)求角C的大小；

(2)若AABC的面积为2百，a+b=6,求J

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

设z=。+沅,则彳=。一次,利用z-5=0和z.5=9求得。即可.

【详解】

设2=。+庆，则5=a-bi,

因为z-三=0,贝!)(々+初)一(〃一次)=2。，=0,所以/?=0,

又z-5=9,即=9,所以。=±3,

所以z=±3,

故选:C

【点睛】

本题考查复数的乘法法则的应用，考查共转复数的应用.

2、B

【解析】

由于4,纥到直线工+63；+〃(〃+1)=0的距离和等于4，纥中点到此直线距离的二倍，所以只需求人,纥中点到此

直线距离的最大值即可。再得到4,纥中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，半径和4,纥中点到此直线

距离的最大值的关系可以求出/。再通过裂项的方法求二-的前”项和，即可通过不等式来求解，”的取值范围.

【详解】

22

由。VOB“=—L,得".".COSNAOBL'-,..•乙4"。耳,=120.设线段4纥的中点g,则|。以=泉

222

ML

在圆f+y2=(上，A”纥到直线gy+〃(〃+1)=0的距离之和等于点，到该直线的距离的两倍，点C“到直

„2

线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆/+的圆心(0,())到直线x+Gy+〃(〃+l)=。

故选：B

【点睛】

本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题.

3、C

【解析】

①与点。距离为百的点P形成以2为圆心，半径为0的;圆弧MN,利用弧长公式，可得结论；②当P在4(或

C）时，0P与面AC£A所成角（或N3GO）的正切值为"最小，当P在。I时，0P与面AC£4所成角

3

ND0Q的正切值为0最大，可得正切值取值范围是［亭,夜］;③设P（X,y,1）,则Y+y2+1=3,即*2+y2=2,

可得DP在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和.

【详解】

如图：

①错误，因为D］P=JDP?-DD：=个（6）2-F=3，与点。距离为由的点P形成以R为圆心，半径为0的

,圆弧脑V,长度为、2兀=也兀；

442

②正确，因为面〃面AC4,所以点P必须在面对角线4G上运动，当P在A（或G）时，0P与面ACGA

所成角ND4,。（或N。。。）的正切值为在最小（。为下底面面对角线的交点），当尸在。1时，0P与面ACG4

3

所成角NOQ。的正切值为0最大，所以正切值取值范围是，，血；

③正确，设p（x,y,l）,则/+）2+1=3,即f+y2=2,DP在前后、左右、上下面上的正投影长分别为Jy2+1,

________（I_2j2J-、

J7W，产了，所以六个面上的正投影长度之2（4r石+4r工i+夜）422卜+；'—+.+3=60,

当且仅当P在。时取等号.

【点睛】

本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题.

4、A

【解析】

221

双曲线二-2_=1的渐近线方程为y=±-x,

alra

b

不妨设过点Fi与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=-（x-c）,

a

hrbe

与丫=--x联立，可得交点M（不，-—

a22a

•.•点M在以线段FiFi为直径的圆外，

c2h2c2

.,,|OM|>|OFi|,即有——+—->cS

44a2

二乂>3,即bi>3al

a"

Ac1-a^Sa1,即c>la.

则e=->l.

a

双曲线离心率的取值范围是（1,+oo）.

故选：A.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,

c的关系消掉b得到a,c的关系式，建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的

坐标的范围等.

5、B

【解析】

4x3

由题得4+〃=-5,4a,+—=解得％=-7,d=2,计算可得应.

【详解】

4x3

a2=—5,S4=-16,a}+d——5,4alH———d=—16,解得4=-7,d=2,

a6—q+5d—3.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式，前〃项和公式，考查了学生运算求解能力.

6、D

【解析】

设出A,8坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得同回,再由点到直线的距离公式求得P到A8的距离,

得到的面积为S,作差后利用导数求最值.

【详解】

/、/、fy=Ax+1

设A（X],y）,3（七,%），联立j_4y，得f-4行一4=0

则王+入2=44，y+%=左（玉+々）+2=4%2+2

则|AB|=yx+y2+P=4公+4

r21

由J?=4y,得y===>y

42

2

设P（与，％），则;%=%nx°=2k,yQ=k

则点P到直线y=kx+\的距离d7k—N1

从而S=•d=2（公+1）.7PTT

5-|AB|=2（Z:2+l）-7F+i-4（Z:2+l）=2J3-4J2（J>1）.

令.f（x）=2x3—4x2=>/'（x）=6x?-8x（x>l）

当时，r（x）<0；当x>g时，/'（x）>0

故〃X）*=/0=一露即S-1阴的最小值为福

本题正确选项：D

【点睛】

本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题.解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用

构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.

7、A

【解析】

由。为8C边上的中点，表示出AQ=g（A6+AC）,然后用向量模的计算公式求模.

【详解】

解：。为8C边上的中点，

AD=；（A5+AC）,

A*；（A8+AC）［；（AB+AC

=曲府+AC。+2AB.AC

=B

-v

故选：A

【点睛】

在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.

8、C

【解析】

分析：根据最低点，判断A=3,根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T,再代入最低点可求得解析式为

/'（X）=3sin12x+?

,依次判断各选项的正确与否.

详解：因为M五,0为对称中心，且最低点为N与-,-3

所以A=3,且T=4x=71

2乃

由。

71

所以/（x）=3sin（2x+o）,将N带入得

所以〃x)=3sin[2x+W

TT357r

由此可得①错误，②正确，③当-二4x4・时，042x+:46万，所以与y=l有6个交点，设各个交点坐标

12126

依次为为,工2，七，七，七，4，则%+々+七+彳4+%5+4=7»，所以③正确

所以选C

点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题.

9、B

【解析】

由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积.

【详解】

由题意原几何体是正三棱柱，V='x2x百x4=46.

2

故选：B.

【点睛】

本题考查三视图，考查棱柱的体积.解题关键是由三视图不愿出原几何体.

10、B

【解析】

,d9

%=a.+10b.^=1+——,9,9

由，得如4,41，即。川=1+—；，所以得。3+，4=。3+1+—7,利用基本不等式求出最

“N=a.+b,7+1c,,+l。3+1

小值，得到Q=2,再由递推公式求出。5.

【详解】

f^+10

由网=4+10"得也=%+叫/_”上

14+1=q+2优用an+bn%+]3+i

hnb„

9

即c“+i=l+

c“+l

9

••­。3+=。3+1+—N6,当且仅当6=2时取得最小值,

I1

914

此时，4=1+---7=4，，5=1+

C3+1C4+I5,

故选：B

【点睛】

本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.

11、C

【解析】

根据程序框图程序运算即可得.

【详解】

依程序运算可得：

r=460,i=2,m=520,n=460；r=60,i=3,m=460,n=60；r=40,i=4,m=60,n=40；

r=20,i=5,m=40,n=20；r=0,i=6,

故选：C

【点睛】

本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程.

12、B

【解析】

利用复数的除法运算化简Z,复数Z在复平面中对应的点到原点的距离为Iz|,利用模长公式即得解.

【详解】

由题意知复数2在复平面中对应的点到原点的距离为IzI,

z—.4-.3./=-(-4-3-/)-(-1--/)=-1--7-/=-1--71,.

222

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、8

【解析】

根据伪代码逆向运算求得结果.

【详解】

13

输入y=13,若y=6x,则x=^>2,不合题意

若y=x+5,贝Ux=13—5=8,满足题意

本题正确结果：8

【点睛】

本题考查算法中的丁语言，属于基础题.

【解析】

2

a2a4+243%+44=25na；+2a3a5+a1=25n(a3+a5)=25,•；a“>0a3+a5=5

二.d=%%<=?=>qwm，即知的最大值为g

15>36010

【解析】

列出所有租船的情况，分别计算出租金，由此能求出结果.

【详解】

当租两人船时，租金为：一x9()=720元,

2

当租四人船时，租金为：3x100=400元,

4

当租1条四人船6条两人船时,租金为：100+6x90=640%,

当租2条四人船4条两人船时,租金为：2x100+4x90=560%

当租3条四人船2条两人船时,租金为：3x100+2x90=480元

当租1条六人船5条2人船时,租金为：130+5x90=580元，

当租2条六人船2条2人船时,租金为：2x130+2x90=4407U

当租1条六人船1条四人船3条2人船时，租金为：130+100+3x90=500元,

当租1条六人船2条四人船1条2人船时，租金为：130+2x100+90=420元,

当租2条六人船1条四人船时，租金为：2x130+100=360元，

综上，租船最低总费用为360元，租船的总费用共有10种可能.

故答案为：360,10.

【点睛】

本小题主要考查分类讨论的数学思想方法，考查实际应用问题，属于基础题.

16、15

【解析】

试题分析：根据题意有4P=+=mA8+3〃AE，因为B,P,E三点共线，所以有加+3〃=1,从而有

1313>77QM1<

-+-=(m+3n)(-+-)=3+3+-+—>6+279=12,所以上♦二,•3的最小值是12+3=15.

nmnmnmMW

考点：向量的运算，基本不等式.

【方法点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，属于中档题目，在解题的过程中，关键步骤在于对题

中条件的转化4P=/〃A8+〃AC=mAB+3〃4E，根据B,P,E三点共线，结合向量的性质可知加+3〃=1,从而等

价于已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的最值的问题，两式乘积，最后应用基本不等式求得结果，最

后再加3,得出最后的答案.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17、(1)^+/=1；(2)证明见解析，(2,1).

【解析】

(1)根据离心率和A4与鸟的面积是g得到方程组，计算得到答案.

2mt

(2)先排除斜率为0时的情况，设6(王,凹)，D(^,y),联立方程组利用韦达定理得到*+%

2m2+4

产一4

根据阳8+须。=1化简得到r=2—m,代入直线方程得到答案.

m'+4

【详解】

£_在

a2

2

(1)由题意可得《几=也,解得/=4,6=1,则椭圆。的标准方程是工+>2=].

c2=a2-b24

(2)当直线/的斜率为0时，直线A3与直线AD关于)'轴对称，则直线A3与直线的斜率之和为零，与题设条

件矛盾，故直线/的斜率不为().

设8(西,%),。(毛,力)，直线/的方程为％”+£

V2=]

联立‘4+'—，整理得"+4)V+2机》+产一4=0

x=my-\-t

2mt产一4

则y+%二—X%=

毋+4m2+4

因为直线AB与直线AD的斜率之和为1,所以旗8+旗/)=1，

x+L%+i_x+i.乃+12mx%+f)(y+%)+2r

所以+^AD-----------------1----------------------r

王my\+1fny2+1根2yly2+,“(,+%)+产

2mtt2-42

代入上式，整理得女”+攵.

将X+%=一—2~7，y^=—i~~7

m-+4m~+4t+m

所以——=1,即t=2-/w,

t+m

则直线/的方程为x=my+2-〃z=加()，-l)+2.

故直线/恒过定点(2,1).

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程，直线过定点问题，计算出f=2-桃是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.

18、(1)=2y；(2)存在，

2

【解析】

(1)根据抛物线的定义，容易知其轨迹为抛物线；结合已知点的坐标，即可求得方程；

(2)由抛物线方程求得点P的坐标，设出直线/的方程，利用导数求得点T的坐标，联立直线/的方程和抛物线方程,

结合韦达定理，求得|啊,|烟，进而求得|P7f与|划|国之间的大小关系，即可求得参数/I.

【详解】

(1)由题意得，点M与点(0,；]的距离始终等于点“到直线y=-g的距离，

由抛物线的定义知圆心M的轨迹是以点(0,；]为焦点，直线y=-；为准线的抛物线，

则与=!，。=1.二圆心知的轨迹方程为/=2%

22

(2)因为P是轨迹E上横坐标为2的点，

由(D不妨取"2,2),所以直线。尸的斜率为1.

因为〃/OP,所以设直线/的方程为＞=X+〃"WHO.

由y=5%2,得y=x,则£在点P处的切线斜率为2,

所以E在点P处的切线方程为y=2x—2.

y=x+m,fx=m+2,

由.。。得cc所以丁(加+2,2机+2),

y=2x-2,[y=2m+2,

22

所以|PT『=[("2+2)_2]+[(2m+2)-2y=5m.

y=x+m,

由'c消去y得f一2x—2，〃=0，

x=2y

由A=4+8〃z>0,得小>—且〃zwO.

2

设A(x，y),3(£,必)，

则玉+无2=2,x]x2=-2m.

因为点T,A,3在直线/上，

所以|以|=及|西-(租+2)|,|7B|=V2|X2-(W+2)|,

所以|划・|m=2W-(根+2)中2-(帆+2)|

2

=2,也—(^+2)(%1+x2)+(m+2)|

=21-2m-2(m+2)+(m+2)21=2m2,

所以|PT|2=21Txi

2

."5

••A——

2

故存在％=3，使得7sl.

2

【点睛】

本题考查抛物线轨迹方程的求解，以及抛物线中定值问题的求解，涉及导数的几何意义，属综合性中档题.

19、(1)见解析；(2)[600,800)

【解析】

(1)X的可能取值为300,500,600,结合题意及表格数据计算对应概率，即得解；

(2)由题意得300W/W600,分〃e[500,600],及〃e[300,500),分别得到y与n的函数关系式，得到对应的分

布列，分析即得解.

【详解】

(1)由题意：X的可能取值为300,500,600

4+141

P(X=300)=-------=-

905

P(X=500)=—=-

905

P(X=500)=27+6^3=2

905

故：六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列为

X300500600

工22

P

5I5

(2)由题意得300<"W600.

1。.当〃e[500,600]时,

ln-5n=2H,t>25℃.

利润y=1500x7+2(〃-500)-5n=2500-3n,te[20,25)

300x7+2x(n-300)-5n=1500-3n,re[10,20)

此时利润的分布列为

y2n2500-3n1500—3〃

22

P

555

221

=>Ej=2〃Xg+(2500-3〃)x《+(1500-3〃)x《=1300-〃

[700,800].

2.〃£[300,500)时，

ln—5n-2n/>20

利润y=<9

7x300+2x(n-300)-5/?=1500-3n,t<20

此时利润的分布列为

y2n1500-3〃

4

p

55

41

=>Ey=2nx—+(1500-3n)x—=300+n

n£(y)e[600,800).

综上，的数学期望的取值范围是[600,800).

【点睛】

本题考查了函数与概率统计综合，考查了学生综合分析，数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

20、(1)/=4%(2)+V2

【解析】

(1)由抛物线定义可知5=1,解得P=2,故抛物线。的方程为y2=4x；

k24-22、

(2)设直线Af：y=-r-l),联立y2=4x,利用韦达定理算出A8的中点A/,又IDARQBI,所以

k2k)

21(k2+2

直线DM的方程为旷一7=一7

kk

求出O0+1,0),利用|ZW|=而求解即可.

【详解】

(1)设C的准线为/,过A作A”，/于H,则由抛物线定义，得|AFR4"|,

因为A到b的距离比到)’轴的距离大1，所以孑=1，解得〃=2,

所以。的方程为V=4x

(2)由题意，设直线AE方程为y=

由【丁一"消去y，得左2_—(2父+4)X+公=0,

y=4x,、)

设A(X],y),B(x2,y2),则/+/=2左:4,

K

4

所以M+%=攵(玉+工2)-2女=1,