2022-2023学年河北省石家庄重点学校九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄重点学校九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共52.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，在一块直角三角板ABC中，乙4=30。，则sbM的值是（

A-\

B.—L

2B----------、

C.g

2

D.6

3

2.下列事件中，是随机事件的是（）

A.晴天太阳从东方升起

B.从一个只装有白球的袋中摸球，摸出红球

C.任意画一个三角形，其内角和是360。

D.随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数

3.如图，在AABC中，DE//BC,如果4。=3,BD=6,AE=2,.那么CE的值为（）A

A.4DX--\E

B.6Z_A

C.8BC

D.9

4.把二次函数y=/+2x-6配方成顶点式为()

A.y=(x—l)2—7B.y=(%4-l)2—7

C.y=(%+2)2—10D.y=(%—3)2+3

5.如图，已知48是半圆。的直径，乙D=125°,。是弧4c上任意一点,那么MACD――

的度数是()43

AOB

A.25°B.35°C.45°C).40°

6.二次函数旷=/一3刀+1的图象大致是（）

7.若一个圆内接正多边形的中心角是60。，则这个多边形是（）

A.正九边形B.正八边形C.正七边形D.正六边形

8.在对一组样本数据进行分析时，佳琪列出了方差的计算公式：s2=（l-4）2+（3-4）2+（4；4）2+（6-4）2+（6-4）2,

由公式提供的信息，则下列说法错误的是（）

A.样本的平均数是4B.样本的众数是4C.样本的中位数是4D.样本的总数71=5

9.河堤的横断面如图所示，堤高BC=6m,迎水坡的坡比为1：<3.则48的B

长是（）「7;......

A.127n।

DB.,6mCA

C.12A/-3m

D.6yJ~3m

10.2019年在武汉市举行了军运会，在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可

1

X2

以看作是抛物线y=4-+x+"的一部分（如图），其中出球点B离地面。点的距B

离是上米，球落点的距离是（）OAx

A.1米B.3米C.5米D.

11.如图，以点。为位似中心，把AABC放大得到△A'B'C',且位似比为2：5,以

下说法中错误的是（）

A.^ABC^^A'B'C

B.A。：AA'=2：5

C.AB：A'B'=2：5

D.AC//A'C

12.下面是李老师编辑的一份文档，由于粗心，作法的步骤被打乱了：

已知：如图，乙4cB是△ABC的一个内角.

求作：AAPB=AACB.

作法：

①以点。为圆心，04为半径作△ABC的外接圆；

②在弧4CB上取一点P,连结AP,BP,所以44PB=乙4cB.

③分别以点4和点B为圆心，大于得力^的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点，作直线

MN；分别以点B和点C为圆心，大于gBC的长为半径作弧，两弧相交于E,F两点，作

直线EF；与直线MN交于点0.

正确的作图步骤应该是（

A.①③②B.③②①C.③①②D.②①③

13.关于反比例函数y=%点（a,b）在它的图象上，下列说法中错误的是（）

A.当x<0时，y随工的增大而减小B.图象位于第一、三象限

C.点（b,a）和（-b,-a）都在该图象上D.当x<1时，y>4

14.如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B,C两点间的距离，在河的岸边与BC平行的直线EF上点

A处测得4EAB=37。，4凡4c=60。，已知河宽18米，则B,C两点间的距离为（）

（参考数据:sin37°«cos37°«tan37°«1）

BC

A.（18+6「）米B.（24+10«5）米C.（24+6q）米D.（24+18「）米

15.二次函数y=ax24-hx+c（Q,b,c为常数，且a。0）中的％与y的部分对应值如表.下列结论错误的是（）

X-i0123

y0343

A.a<0B.2a+b=0

,盖住的数是0

C.当X>1时，y的值随X的增大而增大D.表中

16.如图，点/为AABC的内心，AB=5,AC=4,BC=3,将乙1CB平移使其

顶点与/重合，则图中阴影部分的面积为（）

A.1

「26

,25

D|

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

17.如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形若把某些小扇形涂上红色，使转

动的转盘停止时，指针指向红色的概率吟则涂上红色的小扇形有一个.

18.如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太

阳与海平线交于A,B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘

米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为8分钟，则①现

在“图上”太阳与海平线的位置关系是；②“图上”太阳升起的

平均速度为厘米/分.

19.某公司分别在4,B两城生产同种产品，共80件，A城生产产品的总成本y（万元）由两部分和组成，一部

分与x（产品数量，单位：件）的平方成正比，比例系数为a；另一部分与x成正比，比例系数为b,生产中得

到表中数据.B城生产产品的每件成本为60万元.

x（件）1020

y万元5001200

①a------一,b=______；

②当4城生产件时，这批产品的总成本的和最少，最小值为万元.

20.如图，等边三角形△4BC的边长为16,动点P从点B出发沿BC运动到点C,连接4P,A

作44Po=60。，PD交AC于点、D./\

①若PC=12,贝"CD的长为；//

②动点P从点B运动到点C时，点。的运动路径长为./

BPC

三、解答题（本大题共3小题，共32.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.（本小题12.0分）

某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人,

进行“网络安全”现场知识竞赛.把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用》表示：90

100为网络安全意识非常强，80Wx<90为网络安全意识强，x<80为网络安全意识一般）.

收集整理的数据制成如下两幅统计图：

甲组学生竞赛成绩统计图乙组学生竞赛成绩统计图

分析数据:

平均数中位数众数

甲组8380c

乙组ab90

根据以上信息回答下列问题：

(1)填空：a=______，b=______,c=_____»

(2)己知该校九年级有1200人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？

(3)现在准备从甲乙两组满分的同学中抽取两名同学参加校级比赛，求抽取的两名同学恰好一人来自甲组,

另一人来自乙组的概率.

22.(本小题11.0分)

已知：抛物线y=t2—«-乃2与％轴交于点a、B两点，C为抛物线顶点.曲线段MN是双曲线上的一段，点

M(3,3),点N(a,l).

(1)如图，当抛物线经过点M(3,3)时，

①请求出这个抛物线的解析式，并求出点4、B的坐标；

②该抛物线是否存在一点异于点C的点。使得%4加=SMBC，若存在请求出点。坐标，若不存在请说明理由;

③若尸+4,、2)为抛物线上两点，且m>0，直接写出yi、及的大小关系.

(2)若抛物线y=产一«一为2与曲线段MN有交点，则满足条件的整数t有个.

23.(本小题9.0分)

如图，在边长为6的等边三角形ABC中，动点P从点4出发，沿48边向终点B运动，同时，动点Q从点B出发,

沿BC边向终点C运动，两者速度均为每秒1个单位长度，运动时间为3以PQ为直径在PQ右侧作半圆0.

(1)当P在4处时，半圆。落在三角形4BC内部的弧MN长为；

(2)当半圆。与8c除点Q外，另有交点G时，若NQOG=30。，求/BPQ的度数；

(3)直接写出：当t为何值时，半圆。正好与等边三角形ABC的一边相切.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：•：ZC=90°,AA=30°,

..1

•»SITLA=2,

故选：A.

利用特殊角的三角函数值，即可解答.

本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：4、晴天太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；

8、从一个只装有白球的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件，不符合题意；

C、任意画一个三角形，其内角和是360。，是不可能事件，不符合题意；

。、随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，符合题意；

故选：D.

根据事件发生的可能性大小判断即可.

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不

可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也

可能不发生的事件.

3.【答案】A

【解析】解：

ADAE

・'・---=----.

DBCE

—3——2,

6CE

・•・CE=4,

故选：A.

利用平行线分线段成比例定理求解.

本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型.

4.【答案】B

【解析】解：y=/+2x—6=(%2+2x+1)-6—1=(x+I)2—7.

故选：B.

由于二次项系数是1,直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式.

本题考查了二次函数解析式的三种形式：

(1)一般式：y=a/+bx+c(a40,a、b、c为常数);

(2)顶点式：y=a(x-ft)2+fc；

(3)交点式(与％轴)：y=a(x-xJCx-x2).

5.【答案】B

【解析1解：•••四边形4BCD为圆的内接四边形，

•1,NB+4。=180°,

v/.D=125°,

则NB=180°-ZD=55°,

••・AB是半圆。的直径，

乙ACB=90°,

•••^BAC=90°一乙B=90°-55°=35°,

故选：B.

由AB为半圆的直径，根据圆周角定理可得直径所对的圆周角为直角，可得乙4cB为直角，在三角形力BC中,

4BAC与NB互余，由4BAC的度数求出NB的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，进而求得答案.

此题考查了圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，涉及的知识有：直径所对的圆周角为直角，直角三角

形的两个锐角互余，以及圆内接四边形的对角互补，利用了转化的思想，熟练掌握以上知识是解本题的关

键.

6.【答案】B

【解析】解：,.,二次函数y=x2—3x+1,a=1>0,b=—3<0,c=1,

该函数的图象开口向上，对称轴在y轴的右侧，与y轴交于正半轴，

故选：B.

根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质，可以得到该函数图象的开口方向，对称轴所在的位置，

与y轴的交点位置，然后即可判断哪个选项符合题意.

本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

7.【答案】D

【解析】解：设这个多边形的边数是n,

由题意得，—=60°,

n

解得，n=6,

故选：D.

根据正多边形的中心角的计算公式计算即可.

本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：由题意知，这组数据为1、3、4、6、6,

所以这组数据的样本容量为5,中位数为4,众数为6,平均数为匕胃处=4,

故选：B.

先根据方差的公式得出这组数据为1、3、4、6、6,再根据样本容量、中位数、众数和平均数的概念逐一求

解可得答案.

本题主要考查方差、样本容量、中位数、众数和平均数，解题的关键是根据方差的定义得出这组数据.

9.【答案】A

【解析】解：vRthABC<=>p,BC=6m,迎水坡4B的坡比为1：

BC：AC=1：3，

•••AC=y/~3-BC=6V3(m)，

•••AB=VAC2+BC2=12(m).

故选：A.

在Rt△力BC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面力B的长.

本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用坡度和勾股定理解答.

10.【答案】C

【解析】解：令y=0,则一;/+%+[=0,

解得：尤1=5,x2=-1(舍去)，

•••球落地点4到。点的距离是5米.

故选：C.

根据解析式与x轴的交点得出球落地点力到。点的距离.

本题主要考查二次函数的应用，利用函数的性质求最值是解题的关键.

11.【答案】B

【解析】解：•••以点0为位似中心，把AABC放大得到△A'B'C',且位似比为2：5,

•••△ABC-^A'B'C,AO：AA'=2：7,AB：A'B'=2：5,AC//A'C,

故选项A、C、。说法正确，不符合题意，选项B说法错误，符合题意；

故选：B.

根据位似图形是相似图形、相似三角形的性质判断即可.

本题考查的是位似变换，掌握位似变换的概念和性质是解题的关键.

12.【答案】C

【解析】解：正确的作图步骤应该是：③①②，

故选：C.

根据同弧所对的圆周角相等求解.

本题考查了作图，掌握圆周角定理是解题的关键.

13.【答案】D

【解析】解：A.-k=4>0,

.,.当x<0时，y随x的增大而减小，选项A不符合题意；

B-k=4>0,

・・・反比例函数y=f勺图象位于第一、三象限，选项6不符合题意；

C?.,点Q,b）在反比例函数y=:的图象上，

・•・ab=4,

・•.点（瓦a）和都在反比例函数y=1的图象上，选项C不符合题意；

。.当久=1时，y=4,且当无<0时，y随汇的增大而减小，

・•・当％VI时，、>4或、<0,选项。符合题意.

故选：D.

A.利用反比例函数的性质，可得出当％<0时，y随汇的增大而减小；

8.利用反比例函数的性质，可得出反比例函数y=：的图象位于第一、三象限；

C.利用反比例函数图象上点的坐标特征，可得出点（b,a）和（-也-a）都在反比例函数的图象上；

。.利用反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，可得出当％<1时，y>4.

本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，逐一分析四个选项的正误是解题的关

键.

14.【答案】C

【解析】解：作4DJLBC于点D,如图,

•­•BC//EF,

・•・乙

DBA=Z-EAB,Z.DCA=Z-CAFf

•••4EAB=37°,Z.CAF=60°,

・・・乙DBA=37°,Z.DCA=60°,

AD=30米，tanziDBA=绘，tanZ.DCi4=架

DDCU

4-BD9V3-A。

解得BD=24米，CD=6，7米,

•••BC=BD+CD=(24+6/3)米,

故选：C.

根据题意和题目中的数据，利用平行线的性质和锐角三角函数，可以表示出BD和CD,然后即可得到BC的

长.

本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答.

15.【答案】C

【解析】解：由表格可得抛物线经过(0,3),(2,3),

••・抛物线对称轴为直线x=1,

・•.(L4)为抛物线顶点，抛物线开口向下,

a<0,故A正确，不合题意;

•••抛物线对称轴为直线x=1,

2=1,

2a

2a+b=0,故8正确，不合题意;

••・抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=1,

.•.当%>1时，y的值随x的增大而减小，故C错误，符合题意;

••・抛物线对称轴为直线x=1,

.•.(一1,0)的对称点为(3,0),

.1.表中盖住的数是0,故o正确，不合题意.

故选：C.

由表格可得抛物线经过(0,3),(2,3),从而可得抛物线的对称轴及顶点坐标，进而求解.

本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题关键.

16.【答案】B

【解析】解：如图，

•••AB=5,AC=4,BC=3,

•••AC2+BC2=AB2,

“=90°,

•••点/为△ABC的内心，

4/平分NB4C,即平分4ABC,

^CAl=/.DA1,乙CBI=LEBI,

•••乙4cB平移使其顶点与/重合，

AID//AC,1E//BC,

：./.CAI=^DIA,ACBl=AEIB,乙IDE=4CAB,乙1ED=LABC,

•••/-DIA=Z.DA1,Z.EIB=Z.EBI,△DIE^LACB,

•••DI=DA,El=EB,IE：ID：DE=3：4：5,

设AD=IE=3x,BE=ID=4x,DE=5x,

由4。+。后+8后=48得，

3x+4x+5%=5>

X——5f

12

•••ID=4x="IE—7,

34

„15525

"SADIE=2X3X4=24'

故选:B.

连接4、BI,可证得4D=DI,IE=BE,△D1E-4ACB,进而设AD=IE=3x,BE=ID=4x,DE=5x,

进而求得x的值，进一步得出结果.

本题考查了内心的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解决问题的关键是熟练掌

握有关基础知识.

17.【答案】3

【解析】解：12x；=3(个).

故涂上红色的小扇形有3个.

故答案为:3.

先根据题意可知指针指向红色的概率是。，而共有12个等分区，结合概率公式即可求出答案.

4

本题考查了概率公式，掌握概率公式的求法，即概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键，是一道常

考题型.

18.【答案】相交1

【解析】解：①结合图形，依题意得：“图上”太阳与海平线的位置关系是相交；

故答案为：相交.

②设圆心为。，过点。作0E1AB于E,直线0E交圆于C,D,如图：

海平idr

:.0A=0D=5cm,AE=BE=1/2AB=4cm,

在RMAOE中，由勾股定理得：0E=-4E2=3(cm)，

DE=OD+OE=5+3=8(cm),

“图上”太阳升起的平均速度为：8+8=1(厘米/分).

故答案为：L

①结合图形依题意即可得出答案；

②设圆心为。，过点。作OE，AB于E,直线0E交圆于C,D,先利用勾股定理得求出OE=3cm,进而得DE=

8cm,据此可求出“图上”太阳升起的平均速度.

此题主要考查了垂径定理及其推论，勾股定理等，理解垂径定理及其推论，灵活运用勾股定理进行计算是

解答此题的关键.

19.【答案】140104700

【解析】解：①根据题意得：y=ax2+bx,

元:So和%分别代入，

zgflOOa+10b=500

何(400Q+20b=1200

(a=1

...®=40,

故答案为：1,40：

②由①知：4城生产产品的总成本为：y=x2+40x,

设当4城生产m件时，这批产品的总成木的和最少，最小值为w万元

则8城生产(80-爪)件，

根据题意得：w=m2+40m+60(80-m),

得卬=(m-10产+4700,

va=1>0,

・•.当m=10时，这批产品的总成本的和最少，最小值为4700万元，

故答案为:10,4700.

①首先根据题意得：y=ax2+bx,再利用待定系数法即可求得a、b的值；

②首先由①知：4城生产产品的总成本为：y=x2+40x,设当4城生产TH件时，这批产品的总成本的和最

少，最小值为w万元，根据题意得：iv=m2+40m+60(80-m),再根据二次函数的性质，即可求得.

本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，准确求得二次函数的解析式，熟

练运用二次函数的性质是解决本题的关键.

20.【答案】38

【解析】解：①•・・△A8C是等边三角形，

・・.乙B=匕。=60°,AB=BC=16,

vZ-APD+Z.DPC=+乙BAP,/.APD=60°,

・・・(DPC=乙BAP,

・•・△PCD^^ABP,

・・・CD：PB=PC：AB,

vPC=12,

・・・PB=BC-PC=16-12=4,

：•CD：4=12：16,

ACD=3,

故答案为：3.

②设PB=x,CD=y,

•・•△PCD~AABP,

・・•CD：PB=PC：AB,

-：PC=BC-PB=16-x,

・••y：x=(16—x)：16,

[y=E(16—x)x=一2(X-8)2+4,

.•.当x=8时，y有最大值4,

・•・当P运动到BC中点时，C。最大是4,

•••当P从BC中点运动到C时，D又回到C,

.•.点。的运动路径长为4+4=8.

故答案为：8.

①由三角形外角的性质，等边三角形的性质，可以证明APCO-AABP,即可求出CD的长.

②设PB=x,CD=y,由△PC£)sA48P,得到y关于x的函数关系式，即可求出C。的最大值，从而求出。运

动路径长.

本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹，关键是明白。运动的轨迹.

21.【答案】858080

【解析】解：(1)乙组的平均数a=70x3+80+誉4+100x2=35(分)，

将乙组的10名同学的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是90,即中位数b=90,

甲组10名同学成绩出现次数最多的是80分，共出现6次，因此众数是80分，即c=80,

故答案为：85,90,80；

(2)1200540(A),

答：该校八年级1200名学生中网络安全意识非常强的大约有540人；

(3)甲组1名，乙组2名满分的同学中任意选取2名，所有可能出现的结果如下：

人

甲乙1乙2

甲乙1甲乙2甲

乙1甲乙1乙2乙1

乙2甲乙2乙1乙2

共有6种可能出现的结果，其中两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有4种,

所以两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为金=I

(1)根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；

(2)求出样本中，网络安全意识强的所占的百分比即可估计总体中的百分比，进而计算出相应的人数；

(3)列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的定义进行计算即可.

本题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数平均

数的计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果是计算概率的关键.

22.【答案】3

【解析】解：(1)①将点M的坐标代入抛物线的表达式得：3=t2一•一3)2,

解得：t=2,

故抛物线的表达式为：y=4—(2—x)2=—(%—2产+4；

令y——(%—2)2+4=0,

解得：x=0或4,

故点4、B的坐标分别为(0,0)、(4,0)；

②由y=-0-2)2+4知，顶点c(2,4),

SAAB。=S44BC>

y。=-4，

当y=-4时，y=—(x—2/+4=-4,

解得：x=2+2V-2>

即点。的坐标为(2+24,一4)或(2-2—2-4);

③由抛物线的表达式知，其对称轴为x=m,

当m>0时，点尸离对称轴的距离比点E离对称轴的距离远，

-71>、2；

(2)设反比例函数的表达式为：y=,,

将点M的坐标代入上式得：3甘，

解得：k=9,

将点N的坐标代入上式得：1=，

解得：Q=9,

即点N(9,l),

当抛物线过点M时，由(1)知：t=2,

将抛物线过点N时，则1=/一«-9)2,

解得：t=4.5,

若抛物线y=t2-(t-x)2与曲线段MN有交点，

则2<t<4.5

即t=2或3或4,即符合条件的t有3个，

故答案为：3.

(1)①用待定系数法即可求解；

②由SA48D=S&ABC，得到丫£>=-4,进而求解；

③当zn>0时，点F离对称轴的距离比点E离对称轴的距离远，进而求解；

(2)当抛物线过点M时，由(1)知：t=2,同理可得抛物线过点N时，t=4.5,进而求解.

本题考查二次函数综合题，涉及到反比例函数的应用、二次函数