河北省保定市安国市2023-2024学年九年级数学第一学期期末考试模拟试题含解析

河北省保定市安国市2023-2024学年九年级数学第一学期期末考试模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，点B,C,D在。。上，若NBCD=130。，则NBOD的度数是（）

A.50B.60°C.80°D.100°

2.如图，若A、B、C、D、E,甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC与△口£¥、相似，则点F应是甲、

乙、丙、丁四点中的（）.

A.甲B.乙C.丙D.T

3.已知二次函数的图象（04xW4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）

A.有最大值1.5,有最小值-2.5B.有最大值2,有最小值1.5

C.有最大值2,有最小值-2.5D.有最大值2,无最小值

4.若点4（西,-6）,3（々，-2）,。（七，2）在反比例函数y=匹t1（加为常数）的图象上，则,七的大小

X

关系是（）

A.xt<x2<x3B.x3<x2<x[C.x2<x3<玉D.x2<xt<x3

5.关于2,6,1,10,6这组数据，下列说法正确的是（）

A.这组数据的平均数是6B.这组数据的中位数是1

C.这组数据的众数是6D.这组数据的方差是10.2

6.已知点（X1,Ji）,（X2,J2）是反比例函数y=3图象上的两点，且0VX1VX2,则户的大小关系是（）

x

A.（）<J1<J2B.O<J2<J1C.J1<J2<OD.j2<Jt<0

7.下列成语中描述的事件必然发生的是（）

A.水中捞月B.日出东方C.守株待兔D.拔苗助长

8.如图，AABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8cm,底边BC长10cm,要把它加工成一个矩形零件，使矩形

DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D,G分别在AB,AC上，则四边形DEFG的最大面积为（）

B.20cm2

C.25cm2D.10cm2

9.下列关系式中，y是x的反比例函数的是（）

y。1

A.y=4xB.—=3C.y—-----D.y=x2-1

xx

10.已知一个三角形的两个内角分别是40。，60°,另一个三角形的两个内角分别是40。，80。，则这两个三角形（）

A.一定不相似B.不一定相似C.一定相似D.不能确定

11.如图，函数产力（A#0）的图象经过点3（2,0）,与函数y=2#的图象交于点A,则不等式0Vfcr+方V2x的解

集为（）

A.1cx<2B.x>2C.x>0D.0<x<l

12.有一副三角板，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，如图，将这副三角板直角顶点重合拼

放在一起，点8,C,E在同一直线上，若BC=2,则A户的长为（）

BCE

A.2B.2G-2C.4-2y/3D.26-戈

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，。。的半径为2,AB为。O的直径，P为AB延长线上一点，过点P作。O的切线，切点为C.若PC=26,

则BC的长为

14.在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同•从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放

回，并搅均，不断重复上述的试验共5000次，其中2000次摸到红球，请估计袋中大约有白球个-

15.如图，直线A3与相交于点O,OA=4cm,NAOC=30。，且点A也在半径为1cm的。尸上，点尸在直线A3上,

QP以lcm/s的速度从点A出发向点B的方向运动s时与直线C。相切.

16.小明掷一枚硬币10次，有9次正面向上，当他掷第10次时，正面向上的概率是.

k

17.在2,3,-4这三个数中，任选两个数的积作为攵的值，使反例函数>=—的图象在第二、四象限的概率是.

x

18.若。。的直径是4,圆心O到直线，的距离为3,则直线，与OO的位置关系是.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，是。。的直径，”是。4的中点，弦8丄45于点”，过点。作DE丄C4交C4的延长线

于点E.

（1）连接AO,求NQ4O；

(2)点尸在上，?CDF45，DF交AB于点N.若DE=6，求FN的长.

20.(8分)在一个不透明的盒子中装有4张卡片.4张卡片的正面分别标有数字1,2,3,4,这些卡片除数字外都相同，将卡

片搅匀.

(1)从盒子任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数卡片的概率是：;

(2)先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概

率(请用画树状图或列表等方法求解).

21.(8分)已知，抛物线y=-必+加+,经过点A(-1,0)和C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点尸，使/M+PC的值最小？如果存在，请求出点尸的坐标，如果不存在，请说

明理由；

(3)设点M在抛物线的对称轴上，当△版4C是直角三角形时，求点M的坐标.

22.(10分)在AABC中，ZACB=90，AC=BC=6,以点8为圆心、1为半径作圆，设点M为。8上一点,

线段CM绕着点C顺时针旋转90,得到线段C7V,连接3M、AN.

(1)在图中，补全图形，并证明=.

(2)连接MN,若MN与。B相切，则/BMC的度数为.

(3)连接8N,则8N的最小值为；8N的最大值为.

23.(10分)某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A.器乐，B.舞蹈，C.朗诵，。.唱歌.每名学生

从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整

的统计图：

请结合图中所给信息，解答下列问题

(1)本次调查的学生共有人；

(2)补全条形统计图；

(3)七年级一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同

学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率.

24.(10分)计算：V16+20-|-3|+(--)

2

25.(12分)解方程：x2-4x-12=1.

26.计算题：

(1)计算：^2sin45°+cos230°”211600-tan450；

(2)已知是锐角，2sin(〃—15°)=,求」y=—cosa—tan—

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、D

【分析】首先圆上取一点A,连接AB,AD,根据圆的内接四边形的性质，即可得NBAD+NBCD=18()。，即可求得/BAD

的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案.

【详解】圆上取一点A,连接AB,AD,

•.,点A、B,C,D在＜30上，ZBCD=130°,

.*.ZBAD=50o,

.•.ZBOD=100°.

故选D.

【点睛】

此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质.此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅

助线的作法.

2、A

【分析】令每个小正方形的边长为1,分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点F

对应的位置.

【详解】解：根据题意，^ABC的三边之比为1：夜：行

要使△ABCS2\DEF,则aDEF的三边之比也应为1：J5：百

经计算只有甲点合适，

故选：A.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定定理：

(1)两角对应相等的两个三角形相似.

(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

(3)三边对应成比例的两个三角形相似.

3、C

【详解】由图像可知，当x=l时，y有最大值2;当x=4时，y有最小值-2.5.

故选C.

4、D

【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出X”X2,X3的大小关系，本题得以解决.

【详解】解：••,反比例函数y=如出(m为常数)，m2+l>0,

x

.•.在每个象限内，y随x的增大而减小，

>■>1~+1

•.•点A(xi,-6),B(x2,-2),C(X3,2)在反比例函数y=(m为常数)的图象上，；-6<-2<0<2,

x

/.X2<X|<X3,

故选：D.

【点睛】

本题考査反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答.

5、C

【分析】先把数据从小到大排列，然后根据算术平均数，中位数，众数的定义得出这组数据的平均数、中位数、众数,

再利用求方差的计算公式求出这组数据的方差，再逐项判定即可.

【详解】解：数据从小到大排列为：1,2,6,6,10,

中位数为：6；

众数为：6；

平均数为：(x(l+2+6+6+10)=5；

方差为：丄5)2+(2-5)2+(6—5『+(6—+(10—5)2]=10.4.

故选：C.

【点睛】

本题考査的知识点是平均数，中位数，众数，方差的概念定义，熟记定义以及方差公式是解此题的关键.

6、B

【分析】根据反比例函数的系数为5>0,在每一个象限内，y随x的增大而减小的性质进行判断即可.

【详解】V5>0,

...图形位于一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，

又

故选：B.

【点睛】

本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征.注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内.

7、B

【分析】根据事件发生的可能性大小判断.

【详解】解：A、水中捞月，是不可能事件

8、日出东方，是必然事件；

C、守株待兔，是随机事件；

拔苗助长，是不可能事件；

故选B.

【点睛】

本题主要考查随机事件和必然事件的概念，解决本题的关键是要熟练掌握随机事件和必然事件的概念.

8、B

【解析】设矩形DEFG的宽DE=x,根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出DG,再根据矩形的面积列式整

理，然后根据二次函数的最值问题解答即可.

【详解】如图所示：

设矩形DEFG的宽DE=x,则AM=AH-HM=8-x,

,矩形的对边DG〃EF,

/.△ADG^AABC,

.AMDG

••,

AHBC

解得DG=3(8-X),

4

四边形DEFG的面积=2(8-x)x=-—(x,-8x+16)+10=-—(x-4),+10,

444

所以，当x=4,即DE=4时，四边形DEFG最大面积为lOcml

故选B.

【点睛】

考査了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形DEFG的宽表示出

长是解题的关键.

9、C

【解析】根据反比例函数的定义判断即可.

【详解】A、y=4x是正比例函数；

B、工=3,可以化为y=3x,是正比例函数；

X

c、y=-丄是反比例函数；

X

D、y=x?-l是二次函数；

故选C.

【点睛】

本题考査的是反比例函数的定义，形如y=&(k为常数，14用)的函数称为反比例函数.

x

10、C

【解析】试题解析：•••一个三角形的两个内角分别是40,60,

,第三个内角为80,

又•.•另一个三角形的两个内角分别是40,80,

,这两个三角形有两个内角相等，

这两个三角形相似.

故选C.

点睛：两组角对应相等，两三角形相似.

11、A

【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当x>l时，直线y=lx都在直线丫=1«^^

的上方，当xVl时，直线y=kx+b在x轴上方，于是可得到不等式0Vkx+b<lx的解集.

【详解】设A点坐标为(x,1),

把A(x,1)代入y=lx,

得lx=L解得x=l,

则A点坐标为(1,1),

所以当x>l时，lx>kx+b,

••・函数y=kx+b(k#)的图象经过点B(1,0),

/.x<l时，kx+b>0,

二不等式0Vkx+b<lx的解集为IVxVL

故选A.

【点睛】

本题考査了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0

的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所

构成的集合.

12、D

【分析】根据正切的定义求出AC,根据正弦的定义求出CF,计算即可.

【详解】解：在Rt^ABC中，BC=2,NA=30°,

BC厂

AC=-------=2，

tanA

贝!IEF=AC=25

VZE=45°,

.,.FC=EF«sinE=76»

-,.AF=AC-FC=2百-V6，

故选：D.

【点睛】

本题考查的是特殊角的三角函数值的应用，掌握锐角三角函数的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、2

【分析】连接OC,根据勾股定理计算OP=4,由直角三角形3（）度的逆定理可得NOPC=30。，则NCOP=60。，可得AOCB

是等边三角形，从而得结论.

【详解】连接OC,

YPC是OO的切线,

.,.OC±PC,

...ZOCP=90°,

VPC=273,OC=2,

OP=7OC2+PC2=722+(2V3)2=4,

.,.ZOPC=30°,

ZCOP=60°,

VOC=OB=2,

.,.△OCB是等边三角形，

.,.BC=OB=2,

故答案为2

【点睛】

本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属

于中考常考题型.

14、1

【解析】根据口袋中有12个红球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可.

2()0()2

【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率是黑=三，口袋中有12个红球，

50005

设有X个白球，

解得：x=12,

答：袋中大约有白球1个.

故答案为：L

【点睛】

此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键.

15、1或5

【分析】分类讨论：当点P在射线OA上时，过点P作PE丄AB于点E,根据切线的性质得到PE=lcm,利用30度角

所对的直角边等于斜边一半的性质的OP=2PE=2cm,求出。P移动的距离为4-2-l=lcm,由此得到。P运动时间；当

点P在射线OB上时，过点P作PF丄AB于点F,同样方法求出运动时间.

【详解】当点P在射线OA上时，如图，过点P作PE丄AB于点E,则PE=lcm,

VNAOC=30。，

.•.OP=2PE=2cm,

:.OP移动的距离为4-2-l=lcm,

•••运动时间为;=ls；

当点P在射线OB上时，如图，过点P作PF丄AB于点F,则PF=lcm,

VNAOC=30°,

.*.OP=2PF=2cm,

:.OP移动的距离为4+2-l=5cm,

二运动时间为：=5s；

故答案为：1或5.

此题考査动圆问题，圆的切线的性质定理，含30度角的直角边等于斜边一半的性质，解题中注意运用分类讨论的思想

解答问题.

16->一.

2

【分析】根据概率的性质和概率公式即可求出，当他掷第10次时，正面向上的概率.

【详解】解：•••掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，

她第10次掷这枚硬币时，正面向上的概率是：丄.

2

故答案为：丄.

2

【点睛】

本题考查了概率统计的问题，根据概率公式求解即可.

17、2

3

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，并求出k为负值的情况数，再利用概率公

式即可求得答案.

【详解】解：画树状图得:

开始

•••共有6种等可能的结果，任选两个数的积作为k的值，k为负数的有4种,

k42

，反比例函数y=—的图象在第二、四象限的概率是：-=-

x63

2

故答案为：y

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法

适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.

18、相离

【解析】r=2,d=3,则直线/与。0的位置关系是相离

三、解答题(共78分)

19、(1)60°;(2)V2.

【解析】(1)根据垂径定理可得AB垂直平分CD,再根据M是OA的中点及圆的性质，得出AOAD是等边三角形即

可；

(2)根据题意得出NCNF=90。，再由RtZXCDE计算出CD,CN的长度，根据圆的内接四边形对角互补得出NF=60。,

从而根据三角函数关系计算出FN的值即可.

【详解】解：(1)如图，连接OD,

,•・AB是。。的直径，CD丄45于点M

，AB垂直平分CD,

•；M是OA的中点，

：.OM=-OA=~OD

22

二ZDOM=60°,

又♦.♦OA=OD

...△OAD是等边三角形

.•.ZOAD=60°.

(2)如图，连接CF,CN,

TOA丄CD于点M,

•••点M是CD的中点，

，AB垂直平分CD

/.NC=ND

VZCDF=45°>

.,.ZNCD=ZNDC=45°,

.,.ZCND=90°,

.•,ZCNF=90°,

由（1）可知，ZAOD=60°,

/.ZACD=30o,

又丄C4交C4的延长线于点E,

二ZE=90°,

在Rt/^CDE中，ZACD=30°,DE=E，

，CD=2百

在RtZ\CND中，ZCND=90°,ZNCD=ZNDC=45°,CD=2^3,

:.CN=CDsin450=2下,八一=屈

2

由（1）可知，ZCAD=2ZOAD=120°,

.•.ZF=180o-120°=60°,

.•.在RL^CFN中，ZCNF=90°,NF=60。，CN=瓜,

CNx/6

FN==正

tan6006

【点睛】

本题考査了圆的性质、垂径定理、圆的内接四边形对角互补的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数的应用，综合

性较大，解题时需要灵活运用边与角的换算.

12

20、（1）—；⑵；.

23

【解析】（D共4张卡片，奇数卡片有2张，利用概率公式直接进行计算即可；（2）画出表格，数出总情况数，数出

抽取的2张卡片标有数字之和大于4的情况数，再利用概率公式进行计算即可

21

【详解】（1）共4张卡片，奇数卡片有2张，所以恰好抽到标有奇数卡片的概率是一=一

42

⑵表格如下

Q9

一共有12种情况，其中2张卡片标有数字之和大于4的有8种情况，所以「=白=：

123

12

答：从盒子任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是一，抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率为彳.

23

【点睛】

本题主要考查利用画树状图或列表求概率问题，本题关键在于能够列出表格

21、（1）y=—f+2x+3；（2）当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（1,2）；（3）点M的坐标为（1,1）、（1,2）、

【解析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）连接BC交抛物线对称轴于点P,此时PA+PC取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，

由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图

象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；

⑶设点M的坐标为（l,m）,则CM=M^71m3，AC=/O-（_1）]2+（3-0）2=回，

AM=J[l_（_l）F+（m-0）2,分，AMC=90、/ACM=90和/CAM=90三种情况，利用勾股定理可得出

关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标.

【详解】解：（1）将4（一1,0）、。（0,3）代入.=-/+法+0中,

-1-b+c=0（h=2

{c=3,解得：c=3,

抛物线的解析式为y=-丁++3.

（2）连接BC交抛物线对称轴于点尸，此时P4+PC取最小值，如图1所示.

当y=0时，有一d+2x+3=0，

解得：玉=-1,々=3,

二点8的坐标为(3,0).

抛物线的解析式为y=-/+2%+3=-(X—1尸+4,

抛物线的对称轴为直线x=l.

设直线BC的解析式为y^kx+d(k^Q),

将3(3,0)、C(0,3)代入丁=依+4中，

3k+d=0(k=-\

{d=3,解得：4=3,

直线8c的解析式为y=-x+3.

当x=l时，y--x+3=2,

二当PA+PC的值最小时，点尸的坐标为(1,2).

(3)设点M的坐标为

则。/=厶_0)2+(〃?_3)2,AC=J[0_(_l)]2+(3-0)2=回,吋0)2.

分三种情况考虑：

22

①当ZAMC=90时，有AC2=AM2+CN2,gpio=l+(,w-3)+4+m,

解得：旳=1,网=2,

二点M的坐标为(1,1)或(1,2)；

②当NACM=90时，有AM?=厶。2+。〃2,即4+根？=10+l+O-3>,

解得：加=g,

点M的坐标为

③当NCAM=90时，有CM?=厶例？+厶。2,即1+。〃—3y=4+m？+10,

2

解得：m———

8或：

综上所述：当二M4C是直角三角形时，点M的坐标为（1,1）、0,2）、1,

\3)

【点睛】

本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以

及勾股定理，解题的关键是：0）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物

线的对称性找出点P的位置；⑶分/AMC=90、/ACM=90和—CAM=90三种情况，列出关于m的方程.

22、（1）证明见解析；（2）45或135；（3）1;3

【分析】（D根据题意，作出图像，然后利用SAS证明AA/CBM&VC4,即可得到结论；

（2）根据题意，由MN与。B相切，得到NBMN=90°,结合点M的位置，即可求出的度数；

（3）根据题意，当点N恰好落在线段AB上时，BN的值最小；当点N落在BA延长线上时，BN的值最大，分别求

出BN的值，即可得到答案.

【详解】解：（1）如图，补全图形，

A

证明：ZACB=NMCN=9QP

..ZMCB^ZNCA,

•:CM=CN,CB=CA,

..^MCB^^NCA,

BM=AN；

(2)根据题意，连接MN,

•；MN与。8相切，

AZBMN=90",

VAMNC是等腰直角三角形,

AZCMN=45°,

如上图所示，ZBMC=90°-45°=45°;

如上图所示，ZBMC=900+45°=135°;

综合上述，N8MC的度数为：45°或135°；

故答案为：45°或135。；

(3)根据题意，当点N