福建省南平市剑津片区2023-2024学年数学九年级上册期末质量检测试题含解析

福建省南平市剑津片区2023-2024学年数学九上期末质量检测试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.下列图形中，N1与N2是同旁内角的是（）

2,若“是方程/+》_1=0的一个根.则代数式43+2/+2019的值是（）

A.2018B.2019C.2020D.2021

3.把函数y=-3d的图象向右平移2个单位，所得到的新函数的表达式是()

A.,=-3x2-2B.j=-3(x-2)2C.y=-3^+2D.y=-3(x+2)

4.在肋AABC中，ZC=90°,sinA=|,AC=6cw,则BC的长为()

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

5.下列事件属于必然事件的是（）

A.在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球

B.抛掷一枚硬币2次都是正面朝上

C.在标准大气压下，气温为15℃时，冰能熔化为水

D.从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品

6.解方程2(5x-l)2=3(5x-l)的最适当的方法是()

A.直接开平方法.B.配方法C.公式法D.分解因式法

7.将抛物线y=f-6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是()

A.y=(x-4>-6B.y-(x-1)2-3C.y=(x-2)2-2D.y-(JC-4)2-2

8.袋中装有5个白球，3个黑球，除颜色外均相同，从中一次任摸出一个球，则摸到黑球的概率是()

3353

A.—B.—C.—D.一

5884

9.将抛物线y=2(x+lp-3先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度可得抛物线()

A.y=2x2B.y=2(x+2『

C.y=2x2-6D.y-2(x+2)2—6

10.如图，抛物线y=以2+云+,3W0)的对称轴为直线％=_2,与x轴的一个交点在(—3,0)和(-4,0)之间，下列

结论:①4a-Z?=0;②c<0;③-3a+c>0;④若［一卜g,%卜；,为］是该抛物线上的点，则X<%<为；

C.3个D.4个

11.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O,设△OCD的面积为m,△OEB的面积为

亚,则下列结论中正确的是()

B.m=46D.m=l()

12.下列几何体中，主视图是三角形的是（

二、填空题（每题4分，共24分）

13.已知点A关于原点的对称点坐标为（-1,2）,则点A关于x轴的对称点的坐标为

14.如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,且BA=9,AC=12,点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE丄AB

于点E,DF丄AC于点F,点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为.

15.数学学习应经历“观察、实验、猜想、证明”等过程.下表是几位数学家“抛掷硬币”的实验数据:

实验者棣莫弗蒲丰德•摩根费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基

掷币次数204840406140100003600080640

出现“正面朝上”的次数10612048310949791803139699

频率0.5180.5070.5060.4980.5010.492

请根据以上实验数据，估计硬币岀现“正面朝上”的概率为.（精确到0.1）

16.如图，直线A8与相交于点O,OA=4cm,ZAOC=30°,且点A也在半径为1cm的。尸上，点P在直线A3上,

QP以lc,〃/s的速度从点A出发向点B的方向运动s时与直线相切.

D

AB

C

_.a2„.2a+b

17.已知一=一,则-----=____________.

b5a

18.已知二次函数y=（-x+"）（x+3）的图象经过点M,N,M,N的横坐标分别为仇6+3,点M,N的位置随。的变

化而变化，若M,N运动的路线与），轴分别相交于点A8,且%-。=加（”为常数），则线段AB的长度为.

三、解答题（共78分）

19.（8分）观察下列等式：

第1个等式为：金方=正一1第2个等式为：7去万=6—四；第3个等式为：7匕=2-6；…根据等

式所反映的规律，解答下列问题：

（D猜想：第〃个等式为（用含的代数式表示）；

（2）根据你的猜想，计算：,右।一叩+…厶,、~、

1+V2V2+V3V2019+V2020

20.（8分）一只不透明的袋子中装有3个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球.

（1）“其中有1个球是黑球”是_事件；

（2）求2个球颜色相同的概率.

21.（8分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元.每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决

定降价促销.

（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；

（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？

22.（10分）（1）问题发现

如图1,在中，AB=AC=2血,NB4C=9（）°，点。为的中点，以CD为一边作正方形CDEF,点

E恰好与点A重合，则线段况与AF•的数量关系为；

（2）拓展探究

在（D的条件下，如果正方形CQE尸绕点C旋转，连接BE,CE,AF,线段8E与Ab的数量关系有无变化?请仅

就图2的情形进行说明；

（3）问题解决.

当正方形CDEF旋转到8、E、尸三点共线时，直接写出线段AE的长.

23.(10分)如图，在A4BC中，AB=AC=2jI5,BC=4,圆。是ZVLBC的外接圆.

(1)求圆。的半径；

(2)若在同一平面内的圆尸也经过B、C两点，且24=2,请直接写出圆P的半径的长.

24.(10分)计算:(；尸-0cos45--(2020+ir)°+3tan300

25.(12分)如图，在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC.在平面内任取一点O,连结AO(AD<AB),将线段A。

绕点A逆时针旋转90。，得到线段AE,连结。E,CE,BD.

(1)请根据题意补全图1;

(2)猜测80和CE的数量关系并证明；

(3)作射线5D,CE交于点P,把AAOE绕点A旋转，当NEAC=90。，AB=2,AO=1时，补全图形，直接写出尸3的

26.已知关于x的方程mx?-(m+3)x+3=0(mo0).

(1)求证：不论m为何值，方程总有实数根；

(2)当m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、C

【解析】分析：

根据同旁内角的定义进行分析判断即可.

详解：

A选项中，N1与N2是同位角，故此选项不符合题意；

B选项中，N1与N2是内错角，故此选项不符合题意；

C选项中，N1与N2是同旁内角，故此选项符合题意；

D选项中，N1与N2不是同旁内角，故此选项不符合题意.

故选C.

点睛：熟知“同旁内角的定义：在两直线被第三直线所截形成的8个角中，夹在被截两直线之间，且位于截线的同侧

的两个角叫做同旁内角”是解答本题的关键.

2、C

【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案.

【详解】解：由题意可知：a2+a=\

Aa3+2a2+2019=cz(a2+cz)+a2+2019=«+«2+2019=2020

故答案为：C.

【点睛】

本题考査的知识点是根据一元二次方程的解求代数式的值，解题的关键是将已给代数式进行变形，使之与所给条件有

关系，即可得解.

3、B

【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答.

【详解】二次函数y=-3x'的图象向右平移1个单位，

得：y=-3(x-1)I

故选：B.

【点睛】

本题考査的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.

4、C

【分析】根据角的正弦值与三角形边的关系结合勾股定理即可求解.

4

【详解】1•在RtAABC中，ZC=90°,AC6cm,sinA=-,

••sinA=-----——9

AB5

设BC=4x,则AB=5x,

：AC2+BC2=AB2,即6?+(4x)2=(5x)2,

解得：x=2,

/.BC=4x=8(cm),

故选：C.

【点睛】

本题考査了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

5、C

【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件，据此逐一判断即可.

【详解】A.在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，一定不会发生，是不可能事件，不符合题意，

B.抛掷一枚硬币2次都是正面朝上，可能朝上，也可能朝下，是随机事件，不符合题意，

C.在标准大气压下，气温为15℃时，冰能熔化为水，是必然事件，符合题意.

D.从车间刚生产的产品中任意抽一个，可能是正品，也可能是次品，是随机事件，不符合题意，

故选：C.

【点睛】

本题考査了必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在

一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

6、D

【详解】解：方程可化为[2(5x-l)-3](5x-l)=0,

即(10x-5)(5x-l)=0,

根据分析可知分解因式法最为合适.

故选D.

7,D

【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新

的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.

【详解】解：y=f—6x+5=(x—3)2—4,即抛物线的顶点坐标为(3,-4),

把点(3,T)向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为(4,-2),

所以平移后得到的抛物线解析式为y=(x-4)2-2.

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故“不变，所以求平移后的抛物线解析式通常

可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶

点坐标，即可求出解析式.

8、B

【解析】先求出球的总个数，根据概率公式解答即可.

【详解】因为白球5个，黑球3个一共是8个球，所以从中随机摸出1个球，则摸出黑球的概率是

8

故选B.

【点睛】

本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

9、A

【分析】根据抛物线平移的规律：上加下减，左加右减，即可得解.

【详解】平移后的抛物线为y=2(x+l—lp—3+3=2/

故答案为A.

【点睛】

此题主要考查抛物线平移的性质，熟练掌握，即可解题.

10、C

【分析】根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②；由x=-l时y>0可判断

③；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x=-2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断④.

【详解】•.•抛物线的对称轴为直线》=-2=-2,

2a

：.4a-b=0,所以①正确；

•与X轴的一个交点在(-3,())和(40)之间，

.•.由抛物线的对称性知，另一个交点在(-1,0)和(0,0)之间，

.•.抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即cVO,故②正确；

,由②、①知，x=-l时y>0,且〃=4a,

即a—Z?+c=a—4a+c=—3a+c>0,所以③正确；

丁点与点%］关于对称轴直线工=一2对称，

:.X=%，

•.•抛物线的开口向下，且对称轴为直线％=-2,

.•.当》>-2,函数值随x的增大而减少，

•一，

22

•••%>为，

•••。=丁2>%，故④错误;

综上：①②③正确，共3个，

故选：C.

【点睛】

本题考査了二次函数与系数的关系：对于二次函数丁=加+笈+，（。。（）），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大

小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点；抛物线与x轴交点个数

由/=-4ac决定.

11、B

SACPR/BE、2

【解析】试题分析：TABaCD,.♦.△OCDSAOEB,又；E是AB的中点，；.2EB=AB=CD,...不亠=（右）~,

3AoeDCD

即、5=（丄）2,解得m=46.故选B.

m2

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质.

12、C

【分析】主视图是从正面看所得到的图形，据此判断即可.

【详解】解：A、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；

B、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；

C、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；

D、六棱柱的主视图是长方形，中间还有两条竖线，故此选项错误；

故选：C.

【点睛】

此题主要考査了几何体的三视图，解此题的关键是熟练掌握几何体的主视图.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、（1,2）

【分析】利用平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，求岀点A的坐标，再利用平面内两点关

于x轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出A点关于x轴的对称点的坐标.

【详解】解：•••点A关于原点的对称点的坐标是（-1,2）,

二点A的坐标是（1,-2）,

.••点A关于x轴的对称点的坐标是（1,2）,

故答案为：（1,2）.

【点睛】

本题考查的知识点是关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标.解决本题的关键是掌握好对称点的

坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标

互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

18

14、—

5

【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DEAF是矩形，可得EF=AD,根据垂线段最短和三角形面积即可解

决问题.

【详解】解：VZBAC=90°,且BA=9,AC=12,

...在Rt4ABC中，利用勾股定理得：BC=y/B^+AC12=V92+122=15,

VDE±AB,DF±AC,ZBAC=90°

:.ZDEA=ZDFA=ZBAC=90°,

•••四边形DEAF是矩形,

.♦.EF=AD,GF=—EF

2

...当AD丄BC时，AD的值最小,

此时，AABC—ABxAC=—BCxAD,

22

BAxAC9x1236

.♦.AD=

BC~15-T

:.EF=AD=m，因此EF的最小值为y

XVGF=—EF

2

13618

••GF二—X—=—

255

18

故线段GF的最小值为:

y

【点睛】

本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于

中考常考题型.

15>0.1

【分析】由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0」左右波动，则根据频率估计概率可得到硬帀出现“正面朝上”的概

率为0.1.

【详解】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.1左右波动，

所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.1.

故答案为0.1.

【点睛】

本题考査了利用频率估计概率，随实验次数的增多，值越来越精确.

16、1或5

【分析】分类讨论：当点P在射线OA上时，过点P作PE丄AB于点E,根据切线的性质得到PE=lcm,利用30度角

所对的直角边等于斜边一半的性质的OP=2PE=2cm,求出（DP移动的距离为4-2-l=lcm,由此得到。P运动时间；当

点P在射线OB上时，过点P作PF丄AB于点F,同样方法求出运动时间.

【详解】当点P在射线OA上时，如图，过点P作PE丄AB于点E,则PE=lcm,

VNAOC=30。，

，OP=2PE=2cm,

...0P移动的距离为4-2-l=lcm,

二运动时间为;=Is；

当点P在射线OB上时，如图，过点P作PF丄AB于点F,则PF=lcm,

■:N4OC=30。，

.".OP=2PF=2cm,

...◎P移动的距离为4+2-l=5cm,

二运动时间为：=5s；

故答案为：1或5.

【点睛】

此题考査动圆问题，圆的切线的性质定理，含30度角的直角边等于斜边一半的性质，解题中注意运用分类讨论的思想

解答问题.

【分析】根据比例式设a=2k,b=5k,代入求值即可解题.

【详解】解：，设a=2k,b=5k,

b5

2a+h4k+5k9

:.------=-------=-

a2k2

【点睛】

本题考查了比例的性质,属于简单题，设k法是解题关键.

18、27

【分析】先求得点M和点N的纵坐标，于是得到点M和点N运动的路线与字母b的函数关系式，则点A的坐标为(0,

-3m),点B的坐标为(0,-27-3m),于是可得到A3的长度.

【详解】:y=(-l+。)(％+3)过点M、N,且3〃一。=加即。=38一根，

:.y=(r+34-㈤(％+3),

AyM=(-Z?+3Z?-m)(Z?+3),

yN=(—/?—3+3b—加乂8+3+3),

丁点A在y轴上，即b=0,

把人=0代入%=(—8+3人一%)(8+3),得：y=-3m,

・••点A的坐标为(0,-3m),

•・•点B在y轴上，即人+3=0,

b=—39

把〃=一3代入%=(一匕-3+3匕一㈤伍+3+3),得：y=-27-3m,

.•.点B的坐标为(0,-27-3m),

二AB=\-3m-(-27-3m)|=27.

故答案为：27.

【点睛】

本题主要考査的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，正确理解题意、求得

点A和点B的坐标是解题的关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)厂ly——=’"+]_«；(2)-1

\Jn+\Jn+\

【分析】(1)根据已知的三个等式，可观察出每个等式左边的分母经过将加号变为减号后取相反数作为化简结果，由

此规律即可得出第〃个等式的表达式；

(2)根据(1)中的规律，将代数式化简后计算即可得出结果.

【详解】解:(1),:「E-

A/〃+。〃+1(yjn+l+\ln)(\ln+1—\ln)n+\—n

：.第«个等式为下一戸yG；

(2)计算：

—/l+...+.1^-=-72020

1+V20+由V2019+V2020

=(V2-1+V3-V2+...+V2020-A/2019)->/2020

=(72020-1)-72020

=-1

【点睛】

本题考査了数字的变化类规律，解答本题的关键是发现数字的变化特点，写出化简结果即可求出代数式的值.

20、(1)随机

(2)-

5

【解析】试题分析：(1)直接利用随机事件的定义分析得出答案；

(2)利用树状图法画出图象，进而利用概率公式求出答案.

试题解析：(1)“其中有1个球是黑球”是随机事件；

故答案为随机；

(2)如图所示：

黑1黑2黒3白1白2

/IV.ZN\/IV./IV.，

变至3S1白]罢】学3白1白2郛黝白1S2爭1整建62黒1殿黑361

一共有20种可能，2个球颜色相同的有8种，

c2

故2个球颜色相同的概率为：==二.

205

考点：列表法与树状图法.

21、（1）两次下降的百分率为10%；

（2）要使每月销售这种商品的利润达到110元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.1元.

【分析】（1）设每次降价的百分率为X,（1-x）2为两次降价后的百分率，4（）元降至32.4元就是方程的等量条件，

列出方程求解即可；

（2）设每天要想获得110元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方

程求出其解即可

【详解】解：（1）设每次降价的百分率为x.

40x（1-x）2=32.4

x=10%或190%（190%不符合题意，舍去）

答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率为1。％；

（2）设每天要想获得110元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，

由题意，得

（40-30-y）（4x^+48）=510

解得：y।=i.i>y2=2.i>

•••有利于减少库存，，y=2.1.

答：要使商场每月销售这种商品的利润达到110元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.1元.

【点睛】

此题主要考査了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前

后的平衡关系，列出方程，解答即可.

22、（1）BE=y/2AF；（2）无变化，说明见详解；（3）逐一正或#+J5

【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得出AB=0AD,再得出AD=AF,即可得出结论；

CF

（2）先利用等腰直角三角形和正方形的性质得：—,并证明夹角相等即可得出△ACFS^BCE,进而得出结论;

CBCE

（3）分当点E在线段BF上时和当点E在线段BF的延长线上时讨论即可求得线段AF的长.

【详解】解：（1）在RtAABC中，AB=AC,

•；D是BC的中点，

.*.AD=-BC=BD,AD丄BC,

2

.•.△ABD是等腰直角三角形，

.*.AB=V2AD,

•正方形CDEF,

，DE=EF,

当点E恰好与点A重合，

:.AB=V2AD=V2AF,即BE=近AF,

故答案为：BE=V2AF；

(2)无变化；

如图2,在用AABC中，AB^AC

二ZABC=ZACB=45°,：.sinZABC=—=—

CB2

在正方形CDEF中，ZFCE=-ZFCD=45°

2

在阳△CEF中，cosNFCE=0=显

CE2

•CA-CF

**CB-CE

VZFCA+ZACE=ZACE+ZECB=45°

ANFCA=NECB

在AFC4和AECB中

CACF

<~CB~~CE

NFCA=NECB

:.AFC4s\ECB

：•BE=y[2AF

线段BE和AF的数量关系无变化.

(3)瓜-近或娓+6.

当点E在线段BF上时，

如图2,

•正方形CE>EF,由(1)知AB=V5AD=0AF,

.*.CF=EF=CD=2,

在RtZXBCF中，CF=2,BC=4,

根据勾股定理得，BF=2百，

.*.BE=BF-EF=2V3-2,

由⑵得，BE=6AF，

-,.AF=V6-V2；

当点E在线段BF的延长线上时，如图，

同理可得，BF=2V3,

BE=BF+EF=2百+2,

•**AF=-^6+V2,

综上所述，当正方形CDEE旋转到&E、尸三点共线时，线段A/的长为指-忘或遅+0.

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，

解题的键是判断出AACFsaBCE.

23、(1)y；(2)2逐或2畑

【分析】(1)过点A作4)丄BC,垂足为。，连接08,。。，根据垂直平分线的性质可得。在AZ)上，根据垂径定

理即可求出BD,再根据勾股定理即可求出AD,设04=08=〃，根据勾股定理列出方程即可求出半径；

(2)根据垂直平分线的判定可得点P在BC的中垂线上，即点P在直线AD上，然后根据点A和点P的相对位置分

类讨论，然后根据勾股定理分别求出半径即可.

【详解】(1)过点厶作厶。丄BC,垂足为O,连接。8,OC

VAB^AC,ADIBC

•••AO垂直平分8c

'：OB=0C

.•.点。在8c的垂直平分线上，即。在AD上.

V3c=4

ABD=-BC=2

2

•.•在放AABZ)中，ZADB=90°>AB^2y/iQ

AD=yjAB2-BD2=6

设以=QB=r,则OD=6—厂

,:在RtAOBD中,NODB=9U,

；•OD2+BD2=OB2，即(6-r)2+22=r2

解得r=12,即圆。的半径为W.

33

(2)I,圆P也经过3、C两点，

，PA=PB

...点P在BC的中垂线上，即点P在直线AD上

①当点P在A下方时，此时AP=2,如下图所示，连接PB

根据勾股定理PB=JB£>2=2石；

②当点P在A上方时，此时AP=2,如下图所示，连接PB

.♦.PD=AD+AP=8

根据勾股定理PB=7BD2+PD2=