第1章 二次函数（单元测试）（解析版）

班级________姓名________学号________分数________第1章二次函数注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线的顶点坐标（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抛物线的顶点式写出顶点坐标即可【详解】解：是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标，故选：A．【点睛】此题考查了抛物线的顶点式和顶点坐标，熟练掌握抛物线顶点式是解题的关键．2．（2023·浙江·九年级假期作业）下列函数中，其图象一定不经过第三象限的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别根据正比例函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的性质进行解答．【详解】解：A．∵开口向上，对称轴是直线，且函数图像过点，则函数图像过一，二，三，四象限，故本选项不符合题意；B．∵的系数，∴函数图像过一，三象限，故本选项不符合题意；C．在中，，，则函数过一，二，四象限，故本选项符合题意；D．∵中，，∴函数图像过一，三象限，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了正比例函数的性质．反比例函数的性质．二次函数的图象与性质．一次函数的性质，解题的关键是根据系数的符号判断图象的位置．3．（2023·浙江·九年级假期作业）对于的性质，下列叙述正确的是（

）A．顶点坐标为 B．对称轴为直线C．当时，有最大值 D．当时，随增大而减小【答案】B【分析】对于，其顶点坐标为，对称轴为，当时，随的增大而增大，根据性质逐一分析即可．【详解】解：抛物线，所以抛物线的顶点坐标为：，对称轴为：，，图象开口向上，当时，有最小值为，当时，随的增大而增大，故A，C，D不符合题意；B符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是抛物线的性质，结合抛物线的图象掌握抛物线的性质是解本题的关键．4．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数的图象开口向上，若点，，都在该函数图象上，则，，三者之间的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计算出，，的值，然后比较它们的大小．【详解】解：当时，；当时，；当时，；∵二次函数的图象开口向上，∴，∴∴．故选：C．【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把坐标代入解析式．5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，抛物线的对称轴是直线，则下列结论正确的是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抛物线开口向上，与y轴交与y轴负半轴，得到，根据抛物线对称轴为直线，得到，由此即可判断A；根据当时，，即可判断B；根据当时，，即可判断C、D．【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交与y轴负半轴，∴，∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，∴，故A结论正确，符合题意；∵当时，，∴，故B结论错误，不符合题意；∵当时，，∴，∴，∴，故C、D结论错误，不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．6．（2023·浙江·九年级假期作业）某炮兵部队实弹演习发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间x与高度y的关系为．若此炮弹在第5秒与第16秒时的高度相等，则在下列哪一个时间段炮弹的高度达到最高．（

）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒【答案】B【分析】二次函数是一个轴对称图形，到对称轴距离相等的两个点所表示的函数值也是一样的．【详解】解：根据题意可得：函数的对称轴为直线，与差值最小，即当时函数达到最大值．故选：B．【点睛】本题主要考查的是二次函数的对称性，理解“如果两个点到对称轴距离相等，则所对应的函数值也相等”是解决这个问题的关键．7．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据a的符号变化判断反比例函数和二次函数所在象限即可得出答案．【详解】解：当时，的图像开口向上，过一、二象限；的图像位于一、三象限，可知，D正确；当时，的图像开口向下，过三、四象限；的图像位于二、四象限，无此选．故选：D【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的图像，理解函数表达式中的系数与函数图像的关系是解题的关键．8．（2023·浙江·九年级假期作业）游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（

）秒．

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根据函数图象即可解答．【详解】由函数图象发现当摆锤第一次到达左侧最高点到第一次到达右侧最高点一共用了4秒，从右侧最高点回到左侧最高点也是4秒，∴摆锤从A点出发再次回到A点需要秒，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象，正确从图象中获取信息是解题的关键．9．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形是正方形，点E是线段上的动点，以为边作正方形，连接，M为的中点，且，则线段的最小值是(

)

A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】取的中点N，连接交于P，正方形的边长为，利用中位线定理求出，利用四边形是矩形求出EP，继而求出，利用二次函数的顶点式求的最小值，从而得到的最小值．【详解】解：取的中点N，连接交于P，设正方形的边长为，即，

∵N是的中点，M为的中点，，∴，，∴又∵四边形是正方形，∴四边形是矩形，，，∴∵，∴∴当时，，即故选：B．【点睛】本题考查中位线定理，勾股定理，正方形的性质，矩形的判定与性质，二次函数的最值等知识，正确画出图形是解题的关键．10．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或，则如下四个值中有可能为m的是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由时，x的取值范围为或，可得和是方程的两个根，则根据根与系数的关系可求出，从而可得出，进而可得，即将．将点代入函数解析式可得，结合图象法利用a的取值范围确定m的取值范围即可求解．【详解】解：当时，，∴．∵当时，x的取值范围为或，∴和是方程的两个根，∴，∴，∴，∴是函数的对称轴．又∵当时，x的取值范围为或，∴，∴．∵函数经过点，∴，∴，∴，∴，∴∴m的可能取值为1．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程，不等式的关系，无理数的估算等知识，较难．熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）11．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）抛物线的对称轴是直线，则．【答案】2【分析】根据抛物线的对称轴公式即可求解．【详解】解：∵的对称轴是直线，，∴，解得．故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴是直线是解题的关键．12．（2023·浙江·九年级假期作业）如果抛物线在对称轴左侧呈上升趋势，那么的取值范围是．【答案】【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则可得的取值范围．【详解】解：抛物线在对称轴左侧呈上升趋势，抛物线开口向下，，故答案为：．【点睛】本本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．13．（2023·浙江·九年级假期作业）若关于的方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在第象限．【答案】四【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到a的取值范围，结合顶点判断即可得到答案；【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，∴，，∴抛物线的顶点在第四象限，故答案为：四；【点睛】本题考查一元二次方程判别式与根的情况及抛物线的顶点，解题的关键是熟练掌握方程有两个不等的实数根及抛物线顶点坐标．14．（2023·浙江·九年级假期作业）已知直线与抛物线有两个不同的交点、，且点是抛物线的顶点，当时，的取值范围是．【答案】或【分析】根据点在直线上，可求出直线解析式，用含的式子表示点，再将二次函数变形为顶点式，把点代入，由此即可求解．【详解】解：把代入，得，在直线上，，在抛物线上，，，、是两个不同的交点，，，，当时，；当时，．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的综合，掌握一次函数，二次函数图像的性质，交点的意义等知识是解题的关键．15．（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）如图1是一扇铝合金窗框，窗框可以看成由如图2所示的两个矩形组成，现用长的铝合金窗材料做成窗框（不考虑材料加工时的损耗，不计材料的厚度），则当窗框的长为时，窗框的采光面积最大（用含a的式子表示）．【答案】/【分析】设为x，窗框的采光面积为S，则，，根据矩形面积列出函数关系式，根据二次函数的性质求出答案即可．【详解】解：设为x，窗框的采光面积为S，则，，∴窗框的采光面积，∵，∴当时，S取最大值为，即当为时，窗框的采光面积最大．故答案为：【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键．16．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点F为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上存点Q，当点Q的坐标为时为等腰三角形．【答案】【分析】首先利用抛物线解析式求出顶点和对称轴，设点，若为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．【详解】解：∵抛物线∴抛物线顶点F为,其对称轴为：，∵当时，，，∴抛物线与x轴交点A、B坐标分别为：，，∴可设点，则可求得：，，．i）当时，有，解得（与F点重合，舍去），，∴；ii）当时，有，即，，∴、．iii）当时，有，解得：，∴点Q坐标为：．综上所述，存在点Q，使为等腰三角形，点Q的坐标为．故答案为．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于符合条件的等腰三角形可能有多种情形，需要分类讨论．三、解答题（8小题，共66分）17．（2023·浙江·九年级假期作业）已知关于x的函数．若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值．【答案】，【分析】根据题意得到方程组，解方程组求得，根据二次函数的性质即可得到结论；【详解】解：将代入得，将和代入得：，解得：，∴，当时，．【点睛】本题主要考查了二次函数解析式求解和二次函数最值计算，准确计算是解题的感觉．18．（2023·浙江·九年级假期作业）某架飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系．由电子监测获得滑行时间与滑行距离的几组数据如下：滑行时间x/s滑行距离y/m(1)根据上述数据，求出满足的函数关系式；(2)飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？【答案】(1)(2)飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行的时间是【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）根据题意和二次函数的性质，当滑行距离取最大值时求出对应的滑行时间即可．【详解】（1）解：根据表格可以得出函数图像过点，，∴，解得：，∴函数关系式为：．（2）根据题意，飞机着陆后滑行一段距离停下来，此时滑行距离取得最大值，∵函数关系式为，且，当时，最大值，∴飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行的时间是．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式．19．（2023·浙江·九年级专题练习）已知抛物线的对称轴为．(1)求的值；(2)若当时，抛物线与轴有且只有一个交点，求的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据对称轴公式进行解答；（2）①当时，抛物线与x轴只有一个交点；②当时，抛物线与轴有且只有一个交点，则当时，当时，解不等式组即可．【详解】（1）解：∵对称轴为．∴，解得；（2）由（1）得，①∵抛物线与轴有且只有一个交点，∴，解得；②当时，抛物线与轴有且只有一个交点，∴，解得∴的取值范围是或【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，关键是综合应用二次函数的性质解题．20．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）如图，需在公园外的一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的平面直角坐标系，最左边的抛物线可以用表示，已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为，到墙边的距离分别为，．(1)求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离．(2)若该墙的长度为，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案？【答案】(1)1(2)5【分析】（1）根据题意求得，，解方程组求得拋物线的函数关系式为；根据抛物线的顶点坐标公式得到结果；（2）令，即，解方程得到，即可得到结论．【详解】（1）根据题意得：，，把B，C代入得，解得：，∴拋物线的函数关系式为；∴图案最高点到地面的距离；（2）令，即，∴，∴，∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．21．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知顶点为的抛物线与x轴交于A，B两点，直线过顶点C和点B．(1)求m的值；(2)求函数的解析式．【答案】(1)(2)【分析】（1）将代入中求解m即可；（2）先求得点B坐标，再将B、C坐标代入中求解即可．【详解】（1）解：∵直线过顶点C，，∴；（2）解：由得直线解析式为，当时，，则，将、代入中，得，解得，∴抛物线的解析式为．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数和二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法步骤是解答的关键．22．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）任务主题：探究某型号汽车的刹车性能素材收集：1．通过百度搜索信息，国际通用的汽车刹车距离计算公式为刹车距离反应距离滑行距离，其中为汽车速度，为刹车距离，为司机反应系数，为汽车刹车性能系数．2．某型号汽车刹车性能测试数据如下表：速度305060反应距离91518滑行距离92536刹车距离184054任务1：数据反馈，通过上述材料中的数据，计算出司机的反应系数和该型号汽车的刹车性能系数．任务2：数据评判，若该司机驾驶该型号汽车在限速的高速公路上发生事故，事后测得汽车的滑行距离为，请判断该车是否超速．任务3：数据反思，若一般人的反应系数的范围为，为了提升汽车刹车性能，确保一般人驾驶该车在测速为以内，刹车距离均小于，则汽车刹车性能至少要提升到多少？【答案】任务1：，；任务2：没有超速；理由见解析；任务3：至少提升到【分析】任务1：选择其中一列数据代入公式，然后解方程即可；任务2：根据滑行距离为，可得，解方程得出的值再和比较即可；任务3：根据及题意，当或时分别代入公式得到，，求解后比较即可得出答案．【详解】解：任务1：根据表格中的数据可得：当，时，得：；当，时，得：．∴司机的反应系数为和该型号汽车的刹车性能系数；任务2：∵汽车的滑行距离为，∴，解得：或（负数不符合题意，舍去），∵，∴该车没有超速；任务3：当时，得：，解得：，当时，得：，解得：，∴汽车刹车性能至少要提升到．【点睛】本题考查二次函数的应用，利用待定系数法求二次函数的解析式．正确理解题意并求出函数的解析式是解题的关键．23．（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图1，地面上两根等长立柱，之间悬挂一根近似成抛物线的绳子．解答下列问题：(1)两根等长立柱，的高度是______米；并求出绳子最低点离地面的距离．(2)因实际需要，在离为米的位置处用一根立柱撑起绳子(如图2)，使左边抛物线F1的最低点距为米，离地面米，求MN的长．(3)将立柱的长度提升为米，通过调整的位置，使抛物线对应函数的二次项系数始终为，设离的距离为米，抛物线的顶点离地面距离为米，当2时，求的取值范围．【答案】(1)；绳子最低点离地面的距离为米(2)的长度为米(3)的取值范围是：【分析】（1）根据解析式令，得出，将解析式配方成顶点式，求得顶点坐标即可求解；（2）根据，对称轴，得出，根据题意得出的顶点坐标，进而求得解析式，令，即可求得的长；（3）根据题意可知根据抛物线的对称性可知抛物线的顶点在的垂直平分线上，待定系数法求得的解析式，得出是关于的二次函数，且对称轴为，进而根据与时，分别求得的值，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】（1）抛物线与y轴交与点，令，得，∴，∵两根等长立柱，，∴，∵，∴抛物线顶点为最低点，∵，∴绳子最低点离地面的距离为：米；故答案为：；米；（2）由（1）可知，对称轴为，则，，，由题意可得：抛物线的顶点坐标为：，设的解析式为：，将代入得：，解得：，∴抛物线为：，当时，，∴的长度为：米；（3）∵，∴根据抛物线的对称性可知抛物线的顶点在的垂直平分线上，∴顶点的横坐标为：，∴抛物线的顶点坐标为：，∴抛物线的解析式为：，把代入得：，解得，∴，∴是关于的二次函数，又∵由已知，在对称轴的左侧，∴随的增大而增大，∴当时，，解得：(不符合题意，舍去)，当时，，解得：，(不符合题意，舍去)，∴的取值范围是：【点睛】本题考查