自动控制原理课件

第1章自动控制的一般概念★本章主要内容及重点★自动控制的基本原理★自动控制系统示例★自动控制系统分类★对自动控制系统的基本要求本章主要内容

本章介绍了自动控制理论的应用领域、发展过程和分类。通过一些控制系统实例讨论了手动控制、自动控制、自动控制系统的工作原理、方框图、系统分类等相关基本概念。最后介绍了本课程将要介绍的主要内容，以利于读者从总体上把握本课程的相关知识。

本章重点

要求掌握手动控制与自动控制、自动控制系统及其工作原理与组成、方框图、开环控制与闭环控制、系统输入量与输出量的相关基本概念。了解本课程将要学习的内容。

课程的性质和特点自动控制是一门技术学科，从方法论的角度来研究系统的建立、分析与设计。《自动控制原理》是本学科的技术基础课，（1）自动控制理论的基础课程，该课程与其它课程的关系。自动控制理论电机与拖动模拟电子技术线性代数微积分（含微分方程）复变函数、拉普拉斯变换电路理论大学物理（力学、热力学）信号与系统（2）自动控制理论已经发展为理论严密、系统完整、逻辑性很强的一门学科。从基本反馈控制原理发展到：自适应控制、优化控制、鲁棒控制、大系统控制、智能控制

讨论的对象：因果系统、工程系统系统的广义性：经济、社会、工程、生物、环境、医学课程特点：研究系统的共性问题

实际系统物理模型数学模型方法（系统组成分析、设计1-1自动控制的基本原理人工控制与自动控制：水箱水位控制问题水位测量与变送执行器控制器给定眼手脑水位控制工作原理人工控制：眼、脑、手、水箱+阀门自动控制：传感器、控制器、执行器、水箱+阀门人脑手水箱系统眼h控制器执行器水箱系统传感器h反馈：将输出量通过一定的方式送回到输入端，并与输入信号比较产生偏差信号过程称为反馈负反馈：输入信号—反馈信号（输出信号）输出偏差减小正反馈：输入信号+反馈信号反馈控制、闭环控制按偏差进行控制一、反馈控制原理龙门刨床速度控制系统n要求：工件加工过程中不允许刨床速度波动过大措施：利用速度反馈对刨床速度进行自动控制龙门刨床速度控制系统原理图SMTG-kFDKZCF龙门刨床速度控制系统原理：（详见P3图1-2）系统基本部件及功能：主（拖动）电动机SM输入：电枢端电压ua

输出：电动机速度n测速发电机TG+电位器输入：n输出：ut触发器CF+晶闸管整流器KZ输入：uk

输出：ua给定电位器输出：uo放大器FD输入：工作原理：设直流电动机SM的励磁恒定、外部负载Mt系统方框图比较电路整流器放大器测速发电机触发器电动机二、反馈控制系统的基本组成反馈控制系统：被控对象、控制装置控制装置：由具有一定职能的各种基本元件（部件）组成。测量元件、给定元件、比较元件放大元件、执行元件、校正元件测量元件串联校正反馈校正执行元件放大元件被控对象局部反馈主反馈一些基本概念前向通路：从输入端沿箭头方向到输出端的传输通路主反馈通路：输出经过测量元件到达输入端的通路主回路：前向通路+主反馈通路内回路：局部前向通路+局部反馈通路单回路系统、多回路系统反馈控制系统受到的外部作用参考（有用）输入：决定系统被控量的变化规律扰动：系统外部扰动、系统内部扰动自动控制系统的基本控制方式反馈控制方式：按偏差进行控制，较高的动静态控制性能；结构、线路复杂，系统分析与设计较复杂。开环控制（顺序控制）：系统输出量对系统的输入量不产生影响，结构简单、调整方便、成本低有两种方式：按给定量控制如龙门刨床速度控制系统将测速发电机的输出断开，调节CF的输入电压来调节电机速度按扰动量控制利用可测量的扰动量，产生补偿作用复合控制方式：（1）按偏差控制+按扰动补偿控制（2）按偏差控制+按给定补偿控制电压放大电压放大功率放大SMTG负载其它新控制方式：最优控制、预测控制、自适应控制、模糊控制、神经网络控制等。电压放大器功率放大器电阻R电动机测速发电机电压放大器MC1-2自动控制系统示例函数记录仪飞机-自动驾驶仪系统电阻炉微机温度控制系统飞行模拟器的视景系统1-3自动控制系统分类分类方法按控制方式：开环控制、闭环控制、复合控制按元件类型：机械系统、电气系统、机电系统、液压系统、气动系统、生物系统等。按系统功能：温度、压力、位置按系统性能：线性与非线性、连续与离散、定常与时变按参考量变化规律：恒值、随动、程序控制一、线性连续控制系统由系数判定线性时变系统、线性定常系统线性定常系统根据参考输入量又可分为：恒值控制系统、随动系统、程序控制系统系统主要特点：（1）恒值控制系统

参考输入是个常值，要求被控量也等于常值。外部扰动的存在，被控量偏离参考量而出现偏差，控制系统根据偏差产生控制作用，以克服扰动的影响，使被控量恢复到给定的常值。（2）随动系统参考输入是预先未知的随时间任意变化的函数，要求被控量以尽可能小的误差跟随参考输入量变化。（3）程序控制系统参考输入是按预定规律随时间变化的函数，要求被控量迅速、准确地复现。线性定常离散系统二、非线性控制系统非线性系统的线性化1-4对自动控制系统的基本要求1.对自动控制系统基本要求稳定性（稳）、快速性（快）、准确性（准）“稳”与“快”是说明系统动态（过渡过程）品质。系统的过渡过程产生的原因：系统中储能元件的能量不可能突变。“准”是说明系统的稳态（静态）品质稳定性是保证控制系统正常工作的先决条件线性控制系统的稳定性由系统本身的结构与参数所决定的，与外部条件无关。快速性是系统在稳定的条件下，衡量系统过渡过程的形式和快慢，通常称为“系统动态性能”。

过渡过程时间、超调量准确性是在系统过渡过程结束后，衡量系统输出（被控量）达到的稳态值与系统输出期望值之间的接近程度。稳态误差2.典型外部输入信号（1）阶跃函数（信号）（2）斜坡函数（信号）（3）脉冲函数（信号）（4）正弦函数（信号）第2章控制系统的数学模型本章主要内容与重点控制系统的时域数学模型控制系统的复域数学模型控制系统的结构图本章主要内容本章重点

本章介绍了建立控制系统数学模型和简化的相关知识。包括线性定常系统微分方程的建立、非线性系统的线性化方法、传递函数概念与应用、方框图及其等效变换、梅逊公式的应用等。

通过本章学习，应着重了解控制系统数学模型的基本知识，熟练掌握建立线性定常系统微分方程的建立、传递函数的概念和应用知识、控制系统方框图的构成和等效变换方法、典型闭环控制系统的传递函数的基本概念和梅逊公式的应用。2-1控制系统的时域数学模型线性、定常、集总参数控制系统的微分方程线性元件的微分方程电气元件组成的系统（电路系统）列写系统运动方程前，要先确定输入变量、输出变量LCR机电系统微分方程：电枢电压控制直流电动机电枢回路电压平衡方程SM负载若以角速度为输出量、电枢电压为输入量，消去中间变量，直流电动机的微分方程为电磁转矩方程电动机轴上转矩平衡方程当电枢回路的电感可以忽略不计若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略不计，则上式可进一步简化求质量m在外力F的作用下，质量m的位移x的运动。设系统已处于平衡状态，相对于初始状态的位移、速度、加速度弹簧-质量-阻尼器（S-M-D）

机械位移系统m齿轮系的运动方程J1J2基本关系式齿轮1和齿轮2的运动方程（1）以齿轮1的角速度为输出，外部为输入（1）（2）列写元件微分方程的步骤：（1）确定元件的输入量、输出量（2）由物理或化学规律，列写微分方程；（3）消去中间变量，得到输入、输出之间关系的微分方程（1）以齿轮2的角速度

为输出，外部为输入控制系统微分方程的建立基本步骤：（1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定系统中各个基本部件（元件）（2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效应（3）消去中间变量速度控制系统的微分方程-k2SM负载-k1TG系统输出

系统输入参考量控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机运放1运放2功放直流电动机减速器（齿轮系）测速发电机消去中间变量控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为*比较R-L-C电路运动方程与M-S-D机械系统运动方程相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系线性系统的性质：具有可叠加性、均匀性（齐次性）线性定常微分方程求解方法直接求解法：通解+特解自由解+强迫解（零输入响应+零状态响应）变换域求解法：Laplace变换方法

非线性元件微分方程的线性化实际的物理元件都存在一定的非线性，例如弹簧系数是位移的函数电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关电动本身的摩擦、死区小偏差线性化法

设连续变化的非线性函数平衡状态A为工作点在平衡状态点运用台劳级数展开为具有两个自变量的非线性函数的线性化增量线性方程2-2控制系统的复域数学模型复域数学模型传递函数传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念频率法、根轨迹法一、传递函数的定义与性质定义设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：在零初始条件下，由传递函数的定义得例1：试求：RLC串联无源网络的传递函数例2

试求：电枢控制直流电动机的传递函数根据线性叠加原理，分别研究到和到的传递函数传递函数的性质（1）因果系统的传递函数是s的有理真分式函数，具有复变函数的性质。（2）传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入信号的形式无关。G(s)二、传递函数的零点与极点（3）传递函数与微分方程可相互转换。（4）传递函数的Laplace反变换是系统的脉冲响应。z1z2称为传递系数或根轨迹系数传递函数写成因子连乘积的形式称为传递系数或增益或放大系数传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统自由运动的模态，而且在强迫运动中也会包含这些自由运动的模态。三、传递函数极点和零点对输出的影响自由运动的模态输入函数零状态响应前两项具有与输入函数相同的模态后两项由极点决定的自由运动模态，其系数与输入函数有关传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重，例如输入信号，零状态响应分别为各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，取决于零点相对于极点的距离。例如：z1z2四、典型元部件的传递函数电位器

一种线位移或角位移变换为电压量的装置单个线绕式圆环电位器（角位移型）空载时的传递函数由一对电位器组构成的误差检测器，空载时的传递函数当负载不能忽略时，必须考虑负载效应。考虑具有负载效应时的电位器输入输出关系E测速发电机

测量角速度并转换为电压量的装置，一般有交流和直流两种。*永磁式直流测速发电机：TG或不再具有线形关系,若很大,例如则有TG交流测速发电机

在定子上有两个互相垂直放置的线圈激磁线圈：输入频率一定、电压一定输出线圈：产生与角速度成比例的交流电压电枢控制直流伺服电动机：无源网络

用途：在控制系统中引入无源网络作为校正元件，用复阻抗方法可直接求出无源网络的传递函数

2-3控制系统的结构图控制系统的结构图：描述系统各元部件之间的信号传递关系的一种图形化表示，特别对于复杂控制系统的信号传递过程给出了一种直观的描述。系统结构图的组成与绘制系统结构图一般有四个基本单元组成：（1）信号线；（2）引出点（或测量点）；（3）比较点（或信号综合点）表示对信号进行叠加；（4）方框（或环节）表示对信号进行变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。电压测量装置方框结构图被测电压：指示的测量电压：电压测量误差：系统组成：比较电路、机械调制器、放大器两相交流伺服电动机、指针机构比较电路：调制器：放大器：两相伺服电动机：绳轮传动机构：测量电位器：系统结构图无源网络的方框结构图结构图的等效变换和简化任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。等效变换的原则：变换前后的变量之间关系保持不变（1）串联等效（2）并联（3）反馈闭环传递函数：前向通道传递函数：输入端对应比较器输出E(s)到输出端输出C(s)所有传递函数的乘积，记为G(s)

反馈通道传递函数：输出C(s)到输入端比较器的反馈信号B(s)之间的所有传递函数之乘积，记为H(s)开环传递函数：反馈引入点断开时，输入端对应比较器输出E(s)到输入端对应的比较器的反馈信号B(s)之间所有传递函数的乘积，记为GK(s),GK(s)=G(s)H(s)（4）比较点和引出点的移动移动前后保持信号的等效性

*结构图等效变换的规则简化系统结构图，并求系统传递函数

简化过程：（1）G3(s)和G4(s)之间的引出点后移，由G3(s)、G4(s)和H3(s)组成的内反馈回路计算等效传递函数：（2）将G2(s)、G34(s)和H2(s)*1/G4(s)组成的内反馈回路简化，计算等效传递函数（3）将G1(s)、G23(s)和H1(s)组成的主反馈回路简化，计算系统的传递函数例2-15试简化图示系统结构图，并求系统传递函数。

例2-16试简化图示系统结构图，并求系统传递函数。MASON增益公式从源点到阱点的传递函数（或总增益）从源点到阱点的前向通路总数从源点到阱点的第k条前向通路总增益流图特征式所有单独回路之和两、两不接触回路增益的乘积之和三、三不接触回路增益的乘积之和流图余因子闭环系统的传递函数输入信号作用下的闭环传递函数扰动作用下的闭环传递函数输入和扰动共同作用式，系统输出响应为闭环系统的误差传递函数

，则有以为输出量时的传递函数误差传递函数若并且第3章线性系统的时域分析法◆本章主要内容与重点◆

典型响应的性能指标◆一阶系统的时域分析◆二阶系统的时域分析◆

控制系统的稳定性和代数判据◆稳态误差的分析和计算本章主要内容

本章介绍了控制系统时域性能分析法的相关概念和原理。包括各种典型输入信号的特征、控制系统常用性能指标、一阶、二阶系统的暂态响应、脉冲响应函数及其应用、控制系统稳定性及稳定判据、系统稳态误差等。本章重点

通过本章学习，应重点掌握典型输入信号的定义与特征、控制系统暂态和稳态性能指标的定义及计算方法、一阶及二阶系统暂态响应的分析方法、控制系统稳定性的基本概念及稳定判据的应用、控制系统的稳态误差概念和误差系数的求取等内容。３.1典型响应和性能指标一.典型初状态二．典型外作用

1单位阶跃1（t）图3.1典型外作用

1t>=0

0t<0

2.单位斜度t*1(t)

t*1(t)=

tt>=00t<00t≠0 3.单位理想脉冲

4正弦asinωt

且∞t=0δ（t）=L[δ(t)]=1]

三典型时间响应1.

单位阶跃响应Φ（s）*R(s)=Φ(s)*1/sh(t)=L-1[Φ(s)*1/s]2.

单位斜坡响应Ct(s)=Φ（s）*R(s)=Φ(s)*1/s²Ct(t)=L-1[Φ(s)*1/s2]3.

单位脉冲响应K(s)=Φ（s）*R(s)=Φ（s）*1=Φ（s）K(t)=L-1[Φ(s)]四．阶跃响应的性能指标图3.2单位阶跃响应曲线及性能指标１、峰值时间tp

指输出响应超过稳态值而达到第一个峰值所需时间。２、超调量σ%

指暂态过程中输出响应的最大值超过稳态值的百分数。３、调节时间ts

指当c（t）和c（∞）之间误差达到规定允许值（一般取c（∞）的±５％，有时取±２％）并且以后不再超过此值所需的最小时间。４、稳态误差еss

对单位负反馈系统，当时间t趋于无穷大时，系统的单位阶跃响应的实际值（即稳态值）与期望值（即输入量１（t））之差，定义为稳态误差，即

еss=1-с(∞)3-2一阶系统分析1.

数学模型图3.3一阶系统典型结构Φ（s）=C(s)/R(s)=1/(Ts+1)一阶系统微分方程一．

单位阶跃响应

图3.4一阶系统单位阶跃响应曲线响应曲线的初始斜率

σ%=0ts=3T(对应5%误差带)ts=4T(对应2%误差带)ess=1-h(∞)=1-1=0性能指标三解：

1.

ts=3T=3*0.1=0.3秒2.

例3.1一阶系统如图所示，试求系统单位阶跃响应的调节时间ts.如果要求ta=0.1秒，试问系统的反馈系统应调整为何值？T=0.01/KH

ts=3T=0.03/KH0.1=0.03/KHKH=0.3图3.5系统结构图-例3.2试证一阶响应曲线的次割距相等，且等于T。

tB-tA=T图3.6一阶系统响应的次割距证：3-3二阶系统分析1.

数学模型

1.

单位阶段响应h(t)的一般式C1=ωn2/(s1-s2)s1;C1=ωn2/(s2-s1)s2图３.７二阶系统动态结构

则单位阶跃响应一般式-二阶系统的响应特点和特征根的性质ξ>1称过阻尼，由上知，s1

，s2为两个不等的负实根。ξ=1称临界阻尼，s1

，s2为一对相等的负实根-ωn0<ξ<1称为欠阻尼，特征根将为一对实数部为负的共轭复数。ξ=0称0阻尼，s1

，s2由上可看出为一对虚实部的特征根ξ<0则称负阻，系统将出现正实部的特征根。1.

过阻尼二阶系统的单位阶跃响应图3.8过阻尼二阶系统h(t)曲线ξ>=0.75%误差带四临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应s1,2=-ωn欠阻尼二阶系统的动态性能分析在图中称为阻尼角无零点欠阻尼二阶系统的动态性能指标计算公式（1）延迟时间的计算在绘制出

ntd和之间的关系曲线，利用曲线拟合方法，当阻尼比在欠阻尼时或（2）上升时间的计算（3）峰值时间的计算（4）超调量的计算根据超调量的定义，并考虑到P.83图3-13给出了欠阻尼二阶系统阻尼比与超调量之间的关系。（5）调节时间的计算为了简化调节时间的计算，一般用包络线来代替实际响应估算调节时间。在，误差带时，可用以下近似估算公式：也可以用以下公式估算：二阶系统单位阶跃响应的性能指标归纳如下：或实际上，上述各项性能指标之间的存在矛盾，例如上升时间（响应速度）和超调量（阻尼程度或相对稳定性）过阻尼二阶系统的动态过程分析

过阻尼系统响应缓慢，对于一般要求时间响应快的系统过阻尼响应是不希望的。但在有些应用场合则需要过阻尼响应特性：例如（1）大惯性的温度控制系统、压力控制系统等。（2）指示仪表、记录仪表系统，既要无超调、时间响应尽可能快。另外，有些高阶系统可用过阻尼二阶系统近似。过阻尼动态性能指标：延迟时间、上升时间、调节时间因为求上述指标，要解一个超越方程，只能用数值方法求解。利用曲线逆合法给出近似公式（1）延迟时间计算（2）上升时间计算p.86图3-16（3）调节时间计算p.86图3-17例：角度随动系统如图所示，设K为开环增益，T=0.1(s)为伺服电动机的时间常数。若要求：单位阶跃响应无超调，而且，求K的取值、系统的延迟时间和上升时间解：因为考虑系统尽量快的无超调响应，则可选阻尼比为临界阻尼二阶系统的单位斜坡响应（1）欠阻尼单位斜坡响应（2）临界阻尼单位斜坡响应（3）过阻尼单位斜坡响应P.89例3-3（1）改变开环增益就相当于改变了系统阻尼比，单位阶跃响应的超调量和单位斜坡响应稳态误差对阻尼比的要求正好相反，难以折衷；（2）若能选择某个开环增益，满足稳态与动态要求，但难以满足扰动作用下的稳态误差要求；（3）在有些系统不能降低系统的开环增益来换取较小的超调量。二阶系统性能的改善改善二阶系统性能的两种方法：比例-微分控制测速反馈控制（1）比例-微分控制1以角度随动系统为例(a)比例控制[0，t1)系统阻尼小，修正转矩过大；输出超调[t1,t3)转矩反向，起制动作用，但惯性与制动转矩不够大，仍超调[t3,t5)误差又为正，修正转矩又为正，力图使输出趋势减小……(b)控制措施：附加误差的微分量

[0，t2)内减小正向修正转矩，增大反向制动转矩；[t2,t4)内减小反向制动转矩，增大正向修正转矩理论分析：比例-微分控制对系统性能的影响有零点二阶系统比例-微分控制不改变系统的自然频率，但增大了系统的阻尼比。适当选择开环增益和微分时间常数，既可减小系统斜坡输入时的稳态误差，又可使系统具有满意的阶跃响应性能。P.92给出了：（1）求上升时间的关系曲线；（2）峰值时间；（3）超调量；（4）调节时间

结论：（1）微分控制可增大系统阻尼，减小阶跃响应的超调量，缩短调节时间；（2）允许选取较高的开环增益，减小稳态误差；（3）微分对于噪声（高频噪声）有放大作用，在输入端噪声较强时，不用比例-微分控制。（2）测速反馈控制开环增益结论：（1）测速反馈可以增加阻尼比，但不影响系统的自然频率；（2）测速反馈不增加系统的零点，对系统性能改善的程度与比例-微分控制是不一样的；（3）测速反馈会降低系统原来的开环增益，通过增益补偿，可不影响原系统的稳态误差。P.94例3-5给出无测速反馈和有测速反馈控制的性能指标P.95给出比例-微分控制与测速反馈控制的各自的优缺点3-4控制系统的稳定性和代数判据一.稳定性的定义

如小球平衡位置b点,受外界扰动作用,从b点到点，外力作用去掉后,小球围绕b点作几次反复振荡,最后又回到b点,这时小球的运动是稳定的。

如小球的位置在a或c点,在微小扰动下,一旦偏离平衡位置,则无论怎样,小球再也回不到原来位置,则是不稳定的。定义:若系统在初始偏差作用下,其过渡过程随时间的推移,逐渐衰减并趋于零,具有恢复平衡状态的性能,则称该系统为渐近稳定,简称稳定。反之为不稳定。我们把扰动消失时,系统与平衡位置的偏差看作是系统的初始偏差。线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数,而与外作用及初始条件无关,是系统的固有特性。二.稳定的充要条件设系统的闭环传递函数为:

由于系统的初始条件为零,当输入一个理想的单位脉冲δ(t)时,则系统的输出便是单位脉冲过渡函数k(t),如果,则系统稳定。若是线性系统特征方程的根,且互不相等,则上式可分解为

式中则通过拉式变换,求出系统的单位脉冲过渡函数为欲满足,则必须各个分量都趋于零。式中为常数,即只有当系统的全部特征根都具有负实部才满足。

稳定的充要条件是:系统特征方程的全部根都具有负实部,或者闭环传递函数的全部极点均在s平面的虚轴之左。特征方程有重根时,上述充要条件完全适用。三.劳思稳定判据不必求解特征方程的根,而是直接根据特征方程的系数,判断系统的稳定性,回避求解高次方程的困难。

1.系统稳定的必要条件:特征方程中所有项的系数均大于0.只要有一项等于或小于0,则为不稳定系统。充分条件:Routh表第一列元素均大于0。2.Routh表的列写方法特征方程为则Routh表为(在下页中)

则系统稳定的充要条件:劳思表中第一列元素全部大于0。若出现小于0的元素,则系统不稳定。且第一列元素符号改变的次数等于系统正实部根的个数。例:

则系统不稳定,且有两个正实部根。（即有2个根在S的右半平面。一次方程:a1,a0同号则系统稳定。二次方程:a1,a2,a0同号则系统稳定。三次方程:a0,a1,a2,a3均大于0,且a1a2>a3a0,则系统稳定。3劳思判据应用（1）劳思表不但可判断系统的稳定性，而且可以选择使系统稳定的调节器参数的数值(分析参数对稳定性的影响)。（2）利用劳思表能判断特征根的位置分布情况。例1试分析系统结构参数对稳定性的影响,系统的闭环传递函数为式中，Kk为系统的开环放大系数。解：系统特征方程为

列劳斯表，整理得假设T1=T2=T3，则使系统稳定的临界放大系数Kk为=8。如果取T2=T3，T1=10T2，则使系统稳定的临界放大系数变为Kk=24.2。由此可见，将各时间常数的数值错开，可以允许较大的开环放大系数。

例2:结构图如图所示,试分析τ取何值能保证系统稳定.解:求系统特征方程建立劳思表:

根据劳思判据,要保证系统稳定,劳思表第一列的系数应大于0.例3:系统结构如下图所示,求能保证系统稳定的局部反馈系数kf的数值。系统结构图方法1:

特征方程:

即:根据劳思判据……kf>0

另一种方法:

系统特征方程:根据劳思判据……

kf>0例4确定系统稳定的K、T值。解:系统的特征方程为列出劳斯表要使系统稳定，第一列元素的符号均应大于零。由此得则稳定条件为：

,0<K<

例5：设系统特征方程为，试判别系统的稳定性，并分析有几个根位于垂线与虚轴之间。解：列出劳斯表。劳斯表第一列无符号变化，所以系统稳定。令代入原特征方程，得到如下特征方程：劳斯表中第一列元素符号变化一次，所以有一个特征方程根在垂线右边。

例6:已知系统的特征为:

试判断使系统稳定的k值范围,如果要求特征值均位于s=-1垂线之左。问k值应如何调整?解:特征方程化为:

列劳思表:

所以使系统稳定的k值范围是若要求全部特征根在s=-1之左,则虚轴向左平移一个单位，令s=s1-1代入原特征方程,得:

整理得:列劳思表:第一列元素均大于0,则得:4.两种特殊情况情况1:劳思表中某一行的第一个元素为0,其它各元素不全为0,这时可以用任意小的正数ε代替某一行第一个为0的元素。然后继续劳思表计算并判断。例:

当ε很小时,

则系统不稳定，并有两个正实部根。情况2:劳思表中第k行元素全为0,这说明系统的特征根或存在两个符号相异,绝对值相同的实根,或存在一对共轭纯虚根,或存在实部符号相异,虚部数值相同的共轭复根，或上述类型的根兼而有之。

此时系统必然是不稳定的。在这种情况下,可作如下处理。

(1).用k-1行元素构成辅助方程.(2).将辅助方程为s求导,其系数作为全零行的元素,继续完成劳思表。例:系统的特征方程为：列劳思表:列辅助方程第一列符号改变一次,有一个正实部根,系统不稳定。解辅助方程得：解得符号相异，绝对值相同的两个实根和一对纯虚根可见其中有一个正实根。3-5稳态误差的分析和计算

稳态性能是控制系统的又一重要特性,它表征了系统跟踪输入信号的准确度或抑制扰动信号的能力。而稳态误差的大小,是衡量系统性能的重要指标。一.误差和稳态误差

1.定义:e(t)为系统误差,Cr(t)为希望输出,c(t)为实际输出。稳态误差:

系统的静态误差与系统的结构有关,还与输入信号的大小及形式有关。而系统的稳定性的只取决于系统的结构。2.稳态误差的计算(1).拉氏变换的终值定理当输入信号为时,可用终值定理计算静态误差,谐波(正弦,余弦)输入时不能应用此定理。(2).根据误差定义求稳态误差的方法

a.求误差响应传递函数b.误差响应的象函数c.误差响应的原函数d.求极值即为稳态误差。如系统同时存在输入信号和扰动信号,则系统误差的求法如下：R(s)N(s)E(s)++

为系统对输入信号的误差传递函数,

为系统对扰动信号的误差传递函数。则:

例:已知系统的结构图如下,试求系统在输入信号r(t)=t和扰动信号n(t)=-1(t)同时作用下系统的稳态误差ess解:理想情况偏差信号E(S)＝0，则系统在输入信号作用下的希望输出为：2n(t)=-1(t)r(t)=tE(s)-C(s)

对于扰动信号N(s)而言,理想的情况就是扰动信号引起的输出为0,即希望系统的输出一点都不受扰动的影响。系统在输入信号和扰动信号作用下的实际输出为:G1(s)N(s)R(s)E(s)-C(s)H(s)G2(s)则R(s)和N(s)引起的系统误差为:

在本题中,首先要判断系统的稳定性,如果系统不稳定,不可能存在稳态误差。特征方程为:即:所以系统稳定。根据推导出的公式:

系统的误差与系统的结构有关,还与外作用(输入信号,扰动)的大小及形式有关。二.输入信号作用下系统稳态误差的分析只有输入信号作用时,系统的误差为:

假设系统为单位反馈,则

开环传递函数

当γ=0,1,2分别称为0型系统,Ⅰ型系统,Ⅱ型系统(一般γ不大于2)

则

将kp,kv,ka定义为稳态误差系数。阶跃输入下用kp表示为位置误差系数。速度输入下用kv表示为速度误差系数。加速度输入下用ka表示为加速度误差系数。系统静态误差系数稳态误差型别0型Ⅰ型Ⅱ型前提:单位反馈H(s)=1

提高系统的型别,增大系统的开环增益,都会提高系统的精度,但这样又会降低稳定性,必须综合考虑。例:某控制系统的结构图为试分别求出H(s)=1和H(s)=0.5时系统的稳态误差。-解:当H(s)=1时,系统的开环传递函数为则系统稳态误差当H(s)=0.5时,

若上列在H(s)=1时,系统的允许误差为0.2,问开环增益k应等于多少?

当时,上例的稳态误差又是多少?

因为0型系统在速度输入和加速度输入下的稳态误差为无穷大,根据叠加原理,ess=∞三.扰动作用下系统稳态误差的分析理想情况下,系统对于任意形式的扰动作用,其稳态误差应当为0,但实际上这是不可能的。如果输入信号R(s)=0,仅有扰动N(s)作用时,系统误差为:

扰动作用下的稳态误差,实质上就是扰动引起的稳态输出的负值,它与开环传递函数

G(s)=G1(s)G2(s)H(s)及扰动信号N(s)有关,还与扰动作用点的位置有关。r(t)=0-C(t)(a)r(t)=0-C(t)(b)

作用点不同,稳态误差也不同。在扰动作用点之前的前向通路中增加一个积分环节用（比例积分调节器）代替r(t)=0-C(t)(b)

提高扰动作用点前的积分环节个数和增益,可以减小或消除扰动引起的稳态误差,但同样会降低系统的稳定性。

综上所述,为了减小输入信号引起的稳态误差，可以提高开环传递函数的积分环节个数和增益。

为了减小扰动作用引起的稳态误差，可以提高扰动作用点之前传递函数中积分环节的个数和增益。而这样都会降低系统的稳定性，而提高开环增益还会使系统动态性能变差，有些控制系统既要求有较高的稳态精度，又要求有良好的动态性能，利用上述方法难以兼顾。为此我们用下列方法减小和消除稳态误差。四.减小和消除稳态误差的方法

1.按干扰补偿.

如果加于系统的干扰是能测量的,同时干扰对系统的影响是明确的,则可按干扰补偿的办法办法提高稳态精度。G2(s)Gn(s)G1(s)C(s)R(s)E(s)N(s)-+在扰动作用下的输出为:完全消除扰动对系统输出的影响。增加补偿装置，使系统的稳态输出不受扰动的影响，也就是系统在扰动作用下的稳态误差为0。例:系统输出:-R(s)=0N(s)C(s)补偿装置放大器滤波器

若选则系统的输出不受扰动的影响,但不容易物理实现。因为一般物理系统的传递函数都是分母的阶次高于或等于分子的阶次。如果选则在稳态情况下,这就是稳态全补偿,实现很方便。2.按给定输入补偿.如果要求对误差实行全补偿R(s)G1(s)G2(s)Gr(s)-C(s)补偿装置

同样,全补偿也难以实现,通常采用稳态补偿的方法来减小或消除系统在输入信号作用下的稳态误差。不引入补偿装置，则系统开环传递函数为Ⅰ型系统,所以在速度输入信号作用下,存在常值稳态误差引入按输入补偿的作用Gr(s),则如果选则但在物理上难以实现。如果取,则这样即实现稳态补偿。第四章线性系统的根轨迹法●本章主要内容与重点●根轨迹方程●根轨迹绘制的基本法则●广义根轨迹

本章阐述了控制系统的根轨迹分析方法。包括根轨迹的基本概念、绘制系统根轨迹的基本条件和基本规则,参量根轨迹和零度根轨迹的概念和绘制方法，以及利用根轨迹如何分析计算控制系统的性能（稳定性、暂态特性和稳态性能指标等）。本章重点本章主要内容

学习本章内容,应重点掌握根轨迹的基本概念、绘制根轨迹的条件、系统根轨迹的绘制规则和利用根轨迹分析系统的稳定性、暂态特性和稳态性能,参量根轨迹的概念和绘制方法,理解零度根轨迹的基本概念和绘制方法。4-1根轨迹方程特征方程的根运动模态系统动态响应（稳定性、系统性能）根轨迹开环系统（传递函数）的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在s平面上的轨迹称为根轨迹。若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程的根与闭环传递函数的极点是一一对应的。例二阶系统的根轨迹开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。根轨迹与系统性能稳定性考察根轨迹是否进入右半s平面。稳态性能开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数。但是由开环传递函数绘制根轨迹，K是根轨迹增益，根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。动态性能由K值变化所对应的闭环极点分布来估计。对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根轨迹。根轨迹法图解法求根轨迹。从开环传递函数着手，通过图解法来求闭环系统根轨迹。闭环零、极点与开环零、极点之间的关系设控制系统如图所示和

：前向通路增益：前向通道根轨迹增益：反馈通道根轨迹增益结论：（1）闭环系统的根轨迹增益=开环前向通道系统根轨迹增益。（2）闭环系统的零点开环前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点所组成。（3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益均有关。根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。根轨迹方程由闭环传递函数当求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。根轨迹方程根轨迹方程可以进一步表示为相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）模值条件（幅值条件）：4-2根轨迹绘制的基本法则可变参数为根轨迹增益相角条件：180o相轨迹规则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。简要证明：又从在实际系统通常是，则还有条根轨迹终止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有个无限远（无穷）零点。有两个无穷远处的终点有一个无穷远处的起点规则2：根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m）或与开环有限零点数m相等（n<m)根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连续变化。实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数或共轭复数。规则3：根轨迹渐近线当n>m时，则有（n-m)条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。与实轴夹角与实轴交点例1设单位反馈系统的前向传递函数为（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴（1）（3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线与实轴夹角与实轴交点图示P.1354-6规则4：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。这个结论可以用相角条件证明。由相角条件图示证明：P.136图4-7规则5：根轨迹分离点两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）。分离点（会合点）的坐标d由下列方程所决定：或注：（1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。（2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。（3）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。例2绘制图示系统大致的根轨迹解（1）开环零点开环极点根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。（2）实轴上根轨迹（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点（4）分离点（用试探法求解）例3：设单位反馈系统的传递函数为试绘制系统的根轨迹。解（1）一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；有一个无穷远处的零点。（2）渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹（-

，-2]。（3）分离点（4）由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（-2，j0)，半径为规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴的夹角。终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实轴的夹角。例4规则7：根轨迹与虚轴的交点交点对应的根轨迹增益和角频率可以用劳斯判据或闭环特征方程（）确定。例5设系统开环传递函数试绘制系统大致的根轨迹。解（1）无开环零点，开环极点在实轴上根轨迹[-3，0]。（2）有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点（3）分离点（4）起始角（出射角）（5）与虚轴的交点运用劳斯判据由第一列、第三行元素为零由辅助方程规则8：闭环极点之和、闭环极点之积与根轨迹分支的走向若开环传递函数的积分环节个数结论：（1）若n-m2闭环极点之和=开环极点之和=常数表明：在某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动，而另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能维持闭环极点之和为常数。（2）对于1型以上（包括1型）的系统，闭环极点之积与开环增益值成正比。闭环极点的确定对于特定的K*值下的闭环极点，可以借助根轨迹图用模值条件确定。根据K*值，通常用试探法先确定在实轴上的闭环极点，然后确定其它的闭环极点。例6确定K*=4的闭环极点。因为已知分离点于是可知K*=4对应的闭环极点在分离点两侧。经过若干次试探，找出满足模值条件的两个闭环极点另外两个根可以从特征方程求出P.144图4-15给出了一些不同开环零极点分布时，其根轨迹大致走向。4-3广义根轨迹广义根轨迹是指根轨迹参数除了开环增益之外的所有根轨迹。参数根轨迹，开环零点个数大于开环极点个数的根轨迹，具有正反馈内环的零度根轨迹等。参数根轨迹

以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹引入等效开环传递函数的概念等效开环传递函数注意：在此的等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。例1：设单位反馈系统的开环传递函数为其中开环增益可自行选定。试分析时间常数对系统性能的影响。解：闭环特征方程要绘制参数根轨迹，首先要求出等效开环传递函数的极点等效开环极点注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极点，则运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的根轨迹方程为：在本例中，K可自行选定，选定不同K值，然后将G1(s)的零、极点画在s平面上，在令绘制出变化时的参数根轨迹。附加开环零点的作用1.附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。设开环传递函数为

附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择，当时，表明不存在有限零点。令为不同的数值，对应的根轨迹见P.150图4-25所示：（a）无开环零点；（b）；（c）（d）2.附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。零度根轨迹在非最小相位系统，此时相角条件为在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，其相角条件为具有这类相角条件的相轨迹称为：零度根轨迹零度根轨迹的绘制以具有正反馈内回路的的系统为例。具有正反馈内回路系统如图所示，外回路是采用负反馈加以稳定，为了分析整个系统的性能，通常首先要确定内回路的零、极点，这就相当于绘制具有正反馈系统的根轨迹。等效为相角方程（幅角条件）和模方程（模值条件）与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没有变化。所以零度根轨迹的绘制的规则只要考虑相角条件所引起的某些规则的修改。规则3：渐近线的夹角与实轴夹角与实轴交点规则4：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为偶数。这个结论可以用相角条件证明。规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）起始角（出射角）：终止角（入射角）：P.152表4-3列出了零度根轨迹绘制法则例3设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为试绘制该回路的根轨迹图。（1）系统的开环零极点分布为有三条根轨迹分支，实轴上的根轨迹（-

，-3]，[-2，）。（2）根轨迹的渐近线（n-m)=2条，渐近线夹角（3）确定出射角（4）确定分离点（5）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对应的开环增益为例3设飞机的纵向运动时的开环传递函数为试绘制飞机纵向运动的根轨迹图。（1）开环传递函数中具有右半s平面的零点，开环系统为非最小相位系统。（2）开环系统传递函数具有负号，相当于是具有正反馈性质。令

第五章线性系统的频域分析本章主要内容与重点频率特性的基本概念极坐标图对数坐标图奈奎斯特稳定判据稳定裕度闭环系统频率特性系统时域指标估算本章主要内容本章介绍了控制系统频率分析法的相关概念和原理。包括频率特性的基本概念和定义、开环频率特性的极坐标图表示法、波特图表示法、控制系统稳定性的频率特性分析法及其应用、控制系统闭环频率特性、闭环频率特性与时域性能的关系等。本章重点通过本章学习，应重点掌握频率特性的概念与性质、典型环节及系统开环频率特性的极坐标图和波特图的绘制和分析方法、控制系统稳定性的频域分析法、系统稳定裕度的概念和求法、闭环频率特性的求法、闭环系统性能指标的频域分析法等。2、开环幅相曲线绘制开环幅相曲线绘制方法：（1）由开环零点-极点分布图，用图解计算法绘制；（2）由开环幅频特性和相频特性表达式，用计算法绘制。（3）由开环频率特性的实部和虚部表达式，用计算法绘制。概略地绘制幅相曲线的方法例1设RC超前网络，其传递函数试绘制其幅相特性。例2某零型反馈控制系统，系统开环传递函数试概略绘制系统的开环幅相曲线。与虚轴的交点：由于含有两个惯性环节，当由此可见，若包含n个惯性环节，则有由此可见，若包含n个惯性环节，m个一阶微分环节，则有当开环传递函数包含有微分环节时，幅相曲线会出现凹凸，幅值和相位不再是单调变化的。例如开环传递函数含有积分环节时的开环幅相曲线例3设某单位反馈系统的开环传递函数为假设，试概略绘制开环幅相曲线，并进行分析。起点与终点：幅相曲线的渐近线是横坐标为，平行与虚轴的直线令2型系统包含两个积分环节，例如起点与终点：当包含一阶微分环节，这时的幅相曲线也可能出现凹凸，例如起点与终点：若T1大于其它时间常数，幅相曲线如图所示，与实轴、虚轴的交点可以用对应的实部、虚部表达式求出。基本规律：设（1）（2）（3）幅相曲线与实轴、虚轴的交点求取。（4）不包含一阶微分环节，包含一阶微分环节的幅相曲线。0型3型2型1型3、开环对数频率特性曲线的绘制设传递函数由n个典型环节串联组成，n个典型积分环节分别以表示，则有对数幅频曲线和对数相频曲线是由n个典型环节对应曲线的叠加后得到的。例1设单位反馈系统，其开环传递函数试绘制近似对数幅频曲线和对数相频曲线，并修正近似对数幅频曲线。解：典型环节分别为绘制典型环节Bode图的数据：转折频率对数幅频特性曲线分析：（1）低频段斜率为-20db/dec，斜率由积分个数所决定。（2），曲线的分贝值为20logK,左端直线与零分贝线的交点频率为K值。（3）在惯性环节交接频率11.5(rad/sec)处，斜率从-20db/dec变为-40db/dec。16.9dB一般近似对数幅频特性的特点：（1）最左端直线斜率为（2）的分贝值，最左端直线及其延长线的分贝值为20logK。（4）最左端直线（或其延长线）与零分贝线的交点频率（3）在交接频率处，曲线斜率发生改变，改变的多少取决于典型环节的类型。例2试绘制以下传递函数的对数幅频曲线解：（1）（2）绘制最左端的直线：斜率-20dB/dec直线，在过17.5(dB)这一点的直线。或绘制过零分贝线的这一点的斜率为-20dB/dec的直线。（3）根据各环节的交接频率绘制近似对数幅频特性。（4）修正近似的对数幅频特性。4、最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统：系统稳定，而且在右半s平面没有零点。否则就是非最小相位系统。举例：对于最小相位系统：幅频特性与相频特性具有一一对应关系；而非最小相位系统就没有这样的关系。如已知最小相位系统的幅频特性就可以直接写出系统的传递函数。例3：已知最小相位系统的开环对数幅频特性如图所示，试确定系统开环传递函数。系统开环传递函数：不稳定环节（1）不稳定惯性环节（2）不稳定振荡环节不稳定惯性环节的频率特性num1=1;den1=[0.51];bode(num1,den1)num2=1;den2=[0.5-1];bode(num2,den2)不稳定振荡环节和振荡环节的幅相曲线和对数频率特性不稳定一阶微分环节和一阶微分环节的幅相曲线和对数频率特性num=1;den=[1/4-1/21];bode(num,den)不稳定的二阶微分环节和二阶微分环节的幅相曲线、对数频率特性曲线num=[1/4-1/21];den=1;bode(num,den)延迟环节幅相曲线：复平面上单位圆，圆心在原点，半径为1。对数频率特性：延迟环节是非最小相位系统。例1绘制以下具有延迟环节的开环传递函数的频率特性幅相特性和对数频率特性5-4奈奎斯特稳定判据频域稳定判据：奈奎斯特稳定判据和对数稳定判据频域稳定判据的特点：开环频率特性曲线判断闭环系统稳定性研究系统参数和结构改变对稳定性的影响研究包含延迟环节系统的稳定性奈氏判据可推广到某些非线性系统的稳定性1、奈奎斯特稳定判据设系统的前向通道传递函数G(s)、反馈通道的传递函数H(s)分别为若G(s)和H(s)没有零点与极点相消，则有设辅助函数注意：*（1）辅助函数的零点是闭环传递函数的极点辅助函数的极点是开环传递函数的极点（2）辅助函数的零、极点个数相同（3）F(s)与G(s)H(s)在复平面上的几何关系幅角原理

从s平面上任一点s，通过F(s)的影射关系，在F(s)平面上的找到相应的象。设：在s平面上选择一个A点开始，作一条顺时针包围某个零点的围线，其不包围也不通过其它极点和零点。在F(s)平面上，F(s)是对应于从B点出发又回到B的围线。设分别是向量沿着围线顺时针绕行一周的相角变化量。考察s沿着围线F(s)的相位变化量为结论：这表明：F(s)曲线从B开始，绕原点顺时针方向转了一圈。若在s平面的顺时针围线内，包围的是某个极点，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点逆时针方向转了一圈。即幅角原理：如果在围线内有Z个零点、P个极点，则s沿着顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点逆时针转过的圈数为

R=P-Z当R为负，表明是顺时针包围的圈数。奈奎斯特稳定判据在s平面上的围线扩展到整个右半s平面（包括虚轴），这时R=P-ZP：辅助函数F(s)在右半s平面的极点数Z：辅助函数F(s)在右半s平面的零点数，即闭环的极点数注意到辅助函数与开环传递函数之间的关系：

F(s)=1+G(s)H(s)G(s)H(s)=F(s)-1F(s)围绕（0，j0)的圈数G(s)H(s)围绕（-1，j0）的圈数。又由辅助函数的定义：F(s)的分子多项式就是闭环系统的特征方程。结论：闭环系统稳定的充要条件是Z=0，则有R=P即：G(s)H(s)逆时针包围（-1，j0）点的次数=右半s平面开环极点数。当特征方程有纯虚根，闭环系统临界稳定，G(s)H(s)曲线（奈奎斯特曲线）过（-1，j0）点，此时圈数R是不定的。奈奎斯特判据：反馈控制系统稳定的充分必要条件是：奈奎斯特曲线反时针包围（-1，j0）点的圈数R等于开环传递函数在右半s平面的极点数P，即R=P。（1）若P=0，系统开环稳定，闭环系统稳定的充要条件：奈氏曲线不包围（-1，j0)点。（2）若

，则系统闭环不稳定，在右半s平面上闭环特征根的个数Z=P-R。例1设单位反馈系统的试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。解：（1）绘制的曲线。系统是闭环稳定的。（2）用奈氏判据判定闭环系统的稳定性例2具有单位反馈的非最小相位系统试分析闭环系统的稳定性。解：（1）绘制奈氏曲线（2）若R=P=1，则系统闭环稳定。这就要求K>1；当K=1系统是临界稳定。2、开环系统（传递函数）临界稳定时，奈氏围线的修改开环传递函数G(s)H(s)在虚轴上有极点（开环极点），则就是辅助函数F(s)=1+G(s)H(s)的奇点，而奈氏围线不允许通过奇点，为此需对奈氏围线进行修改，如图所示。例1已知系统开环传递函数修改后奈氏围线的映射有一个开环极点s=0，作无穷小半径的围线。

在围线上S在无穷小半圆上逆时针转过半圈，映射到G(s）平面上则为一条顺时针绕行半圈的圆弧曲线，半径为无穷大对于型系统，在G(s)平面上，半径为无穷大，顺时针方向绕行个半圈的圆弧曲线。3、判断稳定性的实用方法绘制的奈氏曲线，按奈氏曲线包围临界点圈数N和开环传递函数在右半s平面的极点数P，确定闭环特征方程正实部根的个数。若Z=0，则系统闭环稳定，否则闭环不稳定。对于型系统的奈氏曲线：补画一条半径为无穷大，逆时针方向绕行的圆弧，这样可得完整的部分奈氏曲线。例2设单位反馈系统，其开环传递函数试用奈氏判据判断系统稳定性。解：开环幅相大致曲线如图所示曲线顺时针包围（-1，j0）点一圈，N=-1。P=0，Z=P-2N=2。闭环系统不稳定。用在区间，奈氏曲线的正、负穿越的次数来确定N4、对数频率稳定判据对数频率稳定判据的依据是和奈氏稳定判据的依据是一样的，关键是在对数频率特性图（对数幅频图和对数相频图）上如何确定N。考察以下开环幅相曲线与Bode图的对应情况：当开环传递函数包括积分环节时，在对数相频特性上要补画这一段频率变化范围的相角变化曲线。

例如系统闭环不稳定。

对数频率稳定判据：已知开环系统在右半s平面的极点数P，开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频曲线对-180o线的正、负穿越之差，然后确定条件稳定系统考察图示系统的奈氏曲线P=0（1）开环增益K增加到足够大，系统闭环不稳定。（2）开环增益足够小，系统闭环不稳定。5-5稳定裕度表征系统稳定程度的两个指标：相角裕度，幅值裕度h开环幅相曲线与阶跃响应的关系相角裕度和幅值裕度的定义结论：对于最小相位系统，若相角裕度大于零，幅值裕度大于1，则系统闭环稳定；这些值越大稳定程度越好。否则系统闭环不稳定。例1设单位反馈系统的开环传递函数为试分别计算K=2,K=20时，系统的相角裕度和幅值裕度。解：一般要求系统具有45~70的相角裕度。对于最小相位系统，当相角裕度在30~70之间时，则要求幅频曲线在截止频率处的斜率大于-40dB/dec,通常采用-20dB/dec。5-6闭环频率特性对于单位反馈系统，闭环和开环系统频率特性的关系

对于一般系统的闭环和开环系统频率特性的关系对于要求确定系统频带宽度，谐振峰值和谐振频率等性能指标就要求绘制闭环系统的频率特性。对于非单位反馈系统闭环频率特性的绘制，只要经过上述处理即可。考察开环幅相曲线求得不同频率对应的闭环幅值和相角后，就可得闭环频率特性，画出闭环频率特性曲线。在工程上常用等M和等N圆图或尼柯尔斯图线，直接由单位反馈系统的开环频率特性曲线绘制闭环频率曲线。等M圆图

可以作闭环幅频特性曲线假设开环频率特性和闭环频率特性分别为则有令M为常数，则上式表示为一个圆。P.214图5-82等M圆图等N圆图