福建省普通高中2017届高考数学模拟试卷(文科)(4月份)W

2017年福建省普通高中高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题1．已知集合U={﹣1，0，1}，B={x|x=m2，m∈U}，则∁UA=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．∅ D．{﹣1}2．已知正方形ABCD的边长为1，=，=，=，则||等于（）A．1 B． C．2 D．33．某网店出售一种饼干，共有草莓味、巧克力味、香蕉味、香芋味四种口味，一位顾客在该店购买了两袋这种饼干，“口味”选择“随机派送”，则这位顾客买到的两袋饼干是同一种口味的概率是（）A． B． C． D．4．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．﹣1 D．35．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=b，A=2B，则cosB等于（）A． B． C． D．6．已知递增的等比数列{an}的公比为q，其前n项和Sn＜0，则（）A．a1＜0，0＜q＜1 B．a1＜0，q＞1 C．a1＞0，0＜q＜1 D．a1＞0，q＞17．图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．8﹣π B．8﹣π C．8﹣π D．8﹣π8．函数y=x3+ln（﹣x）的图象大致为（）A． B． C． D．9．执行如图所示的程序框图，若输入a的值为2，则输出b（）A．﹣2 B．1 C．2 D．410．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x，下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．（x）在区间（，）上单调递增C．f（x）的图象关于直线x=对称D．f（x）的图象关于（﹣，0）对称11．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的顶点A1，B1，C1在同一球面上，且平面ABC经过球心，若此球的表面积为4π，则该三棱柱的侧面积的最大值为（）A． B． C． D．312．设F是椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个焦点，P是C上的点，圆x2+y2=与线段PF交于A、B两点，若A、B三等分线段PF，则C的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：13．已知复数z=，则||=．14．已知α是第一象限角，且sin（π﹣α）=，则tanα=．15．过双曲线x2﹣y2=1焦点的直线垂直于x轴，交双曲线于A、B两点，则|AB|=．16．已知函数f（x）=alnx+x2+（a﹣6）x在（0，3）上不是单调函数，则实数a的取值范围是．三、解答题：17．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=1，S5=15，数列{bn}的前n项和Tn满足Tn=（n+5）an（1）求an（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）某通讯商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费（单位；元）月套餐流量（单位，M）A20300B30500这两款套餐都有如下的附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M流量，资费20元/次，依此类推，如果当流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．小王过去50个月的手机月使用流量（单位：M）频率分布表如下：月使用流量分组[100，200]（200，300]（300，400]（400，500]（500，600]（600，700]频数411121841根据小王过去50个月的收集月使用流量情况，回答下列问题：（1）若小王订购A套餐，假设其手机月实际使用流量为x（单位：M，100≤x≤700）月流量费用y（单位：元），将y表示为x的函数；（2）小王拟从A套餐或B套餐中选订一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？并说明理由．19．（12分）在如图所示的多面体中，面ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形．（1）求证：AE∥平面BFC（2）若AD⊥DE，AD=DE=1，AB=2，∠BDA=60°，求三棱锥F﹣AEC的体积．20．（12分）以抛物线Γ的顶点为圆心，为半径的圆交Γ于A、B两点，且AB=2（1）建立适当的坐标系，求Γ的方程；（2）若过点A且与Γ只有一个公共点的直线交Γ的对称轴于点C，点D在线段AB上，直线CD与Γ交于P、Q两点，求证：PC•QD=PD•QC．21．（12分）已知函数f（x）=e﹣x+ax（a∈R）（1）讨论f（x）的最值；（2）若a=0，求证：f（x）＞﹣x2+．[选修4-4坐标系与参数方程方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：θ=（ρ＞0），A（2，0）．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）设C3分别交C1，C2于点P，Q，求△APQ的面积．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|x﹣2|，集合A={x|f（x）＜3}（1）求A；（2）若s，t∈A，求证|1﹣|＜|t﹣|

2017年福建省普通高中高考数学模拟试卷（文科）（4月份）D．A．B．B．C．A．如图所示；：D．B．B．：C．11【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的顶点A1，B1，C1在同一球面上，且平面ABC经过球心，此球的表面积为4π，∴此球半径R=1，如图，设三棱柱正三棱柱ABC﹣A1B1C1的顶点A1，B1，C1所在球面的小圆的半径为r，球心到顶点A1，B1，C1所在球面的小圆的距离为d，则r2+d2=R2=1，∴该三棱柱的侧面积：S=3×≤3×=3=．∴该三棱柱的侧面积的最大值为．故选：C．12．【解答】解：如图，取AB中点H，椭圆另一个焦点为E，连结PE．∵A、B三等分线段PF，∴H也是AB中点，即OH⊥AB设OH=d，则PE=2d，PF=2a﹣2d，AH=，在Rt△OHA中，OA2=OH2+AH2，解得a=5d．在Rt△OHF中，FH=，OH=，OF=c，由OF2=OH2+FH2化简得17a2=25c2，．即C的离心率为．故选：D．13．．【点评】本题考查了复数的混合运算和复数的模，属于基础题．14．已知α是第一象限角，且sin（π﹣α）=，则tanα=．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式，求得tanα的值．【解答】解：∵α是第一象限角，且sin（π﹣α）=sinα=，∴cosα==，则tanα==故答案为．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的应用，属于基础题．15．过双曲线x2﹣y2=1焦点的直线垂直于x轴，交双曲线于A、B两点，则|AB|=2．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其焦点坐标，进而可得直线AB的方程，联立直线AB与双曲线的方程可得AB的纵坐标，由此计算可得线段AB的长度，即可得答案．【解答】解：双曲线的方程为x2﹣y2=1，其焦点坐标为（±，0），直线AB的方程为x=或x=﹣，联立，解可得y=±1，则|AB|=2；故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出点A、B的坐标．16．已知函数f（x）=alnx+x2+（a﹣6）x在（0，3）上不是单调函数，则实数a的取值范围是（0，2）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求导，求出函数是单调函数时，实数a的取值范围，再求补集．【解答】解：函数f′（x）=+a﹣6．①若函数f（x）=alnx+x2+（a﹣6）x在（0，3）上单调递增，则f′（x）=+a﹣6≥0在（0，3）上恒成立，即a≥=﹣2[（x+1）+﹣5]在（0，3）上恒成立，函数g（t）=t+，t∈（1，4），g（t）∈[4，5），∴a≥2；②若函数f（x）=alnx+x2+（a﹣6）x在（0，3）上单调递减，则f′（x）=+a﹣6≤0在（0，3）上恒成立，即a≤=﹣2[（x+1）+﹣5]在（0，3）上恒成立，函数g（t）=t+，t∈（1，4），g（t）∈[4，5），∴a≤0．则函数f（x在（0，3）上不是单调函数，则实数a的取值范围是（0，2）故答案为（0，2）【点评】本题的考点是利用导数研究函数的单调性，对于参数问题要注意进行分类讨论．属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2017•福建模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=1，S5=15，数列{bn}的前n项和Tn满足Tn=（n+5）an（1）求an（2）求数列{}的前n项和．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）运用数列的递推式：当n=1时，b1=T1；n≥2时，bn=Tn﹣Tn﹣1．可得bn=2n+4，则==（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，a2=1，S5=15，即为a1+d=2，5a1+×5×4d=15，解得a1=d=1，则an=a1+（n﹣1）d=n，n∈N*；（2）Tn=（n+5）an=n（n+5），当n=1时，b1=T1=6；n≥2时，bn=Tn﹣Tn﹣1=n（n+5）﹣（n﹣1）（n+4）=2n+4，上式对n=1也成立．则==（﹣），即有数列{}的前n项和为（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（1﹣﹣﹣）=﹣﹣．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列递推式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•福建模拟）某通讯商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费（单位；元）月套餐流量（单位，M）A20300B30500这两款套餐都有如下的附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M流量，资费20元/次，依此类推，如果当流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．小王过去50个月的手机月使用流量（单位：M）频率分布表如下：月使用流量分组[100，200]（200，300]（300，400]（400，500]（500，600]（600，700]频数411121841根据小王过去50个月的收集月使用流量情况，回答下列问题：（1）若小王订购A套餐，假设其手机月实际使用流量为x（单位：M，100≤x≤700）月流量费用y（单位：元），将y表示为x的函数；（2）小王拟从A套餐或B套餐中选订一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？并说明理由．【考点】7C：简单线性规划．【分析】（1）直接由题意写出分段函数解析式；（2）由频数分布表分别写出小王在过去的50个月中，手机月使用流量x∈[100，300]，x∈（300，500]，x∈（500，700]的月份．然后分别求出订购A套餐和订购B套餐的月平均费用，比较大小后得答案．【解答】解：（1）依题意，当100≤x≤300时，y=20；当300＜x≤500时，y=20+20=40；当500＜x≤700时，y=20+20×2=60．∴y=；（2）由频数分布表知，小王在过去的50个月中，手机月使用流量x∈[100，300]的有15个月，x∈（300，500]的有30个月，x∈（500，700]的有5个月．若订购A套餐，月平均费用为：（元）；若订购B套餐，月平均费用为：（元）．∴＞．因此，若以月平均费用作为决策依据，小王应订购B套餐．【点评】本题考查函数在实际问题中的应用，考查概率统计问题，是中档题．19．（12分）（2017•福建模拟）在如图所示的多面体中，面ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形．（1）求证：AE∥平面BFC（2）若AD⊥DE，AD=DE=1，AB=2，∠BDA=60°，求三棱锥F﹣AEC的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出AD∥BC，从而AD∥平面BCF，推导出DE∥BF，从而DE∥平面BCF，进而平面ADE∥平面BCF，由此能证明AE∥平面BCF．（2）设AC∩BD=O，则O为AC中点，连结OE，OF，则VF﹣ABC=VC﹣AEF=2VO﹣AEF=2VA﹣OEF，由此能求出三棱锥F﹣AEC的体积．【解答】证明：（1）∵面ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AD⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴AD∥平面BCF，∵四边形BDEF是矩形，∴DE∥BF，∵DE⊄平面BCF，BF⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF，∵AD∩DE=D，AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，∴平面ADE∥平面BCF，∵AE⊂平面ADE，∴AE∥平面BCF．解：（2）设AC∩BD=O，则O为AC中点，连结OE，OF，则VF﹣ABC=VC﹣AEF=2VO﹣AEF=2VA﹣OEF，在△ABD中，∠BAD=60°，AD=1，AB=2，由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD，∴BD=，∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD，∵DE⊥AD，BD∩DE=D，BD⊂平面BDEF，DE⊂平面BDEF，∴AD⊥平面BDEF，故AD为A到平面BDEF的距离，∵DE=1，∴S△OEF==，∴VA﹣OEF==，∴三棱锥F﹣AEC的体积VF﹣AEC=2VA﹣OEF=．【点评】本题考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归转化思想、函数与方程思想，数形结合思想，是中档题．20．（12分）（2017•福建模拟）以抛物线Γ的顶点为圆心，为半径的圆交Γ于A、B两点，且AB=2（1）建立适当的坐标系，求Γ的方程；（2）若过点A且与Γ只有一个公共点的直线交Γ的对称轴于点C，点D在线段AB上，直线CD与Γ交于P、Q两点，求证：PC•QD=PD•QC．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】方法一：（1）由点到直线的距离公式，即可求得O到直线AB的距离，建立直角坐标系，求得A点坐标，代入即可求得Γ的方程；（2）求导，求得切线方程，代入求得C点坐标，设直线CD的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，及==，则==，作差即可求得=，即可证明PC•QD=PD•QC；方法二：由点到直线的距离公式，即可求得O到直线AB的距离，建立直角坐标系，求得A点坐标，代入即可求得Γ的方程；（2）设切线AC的方程，求得C点坐标，设直线CD方程，求得D点坐标，丨PC丨•丨QD丨=丨PD丨•丨QC丨，只需证y1•（y2﹣2k）=（2k﹣y1）•y2，将直线方程代入抛物线方程即可利用韦达定理即可证明等式成立；方法三：（1）同方法一，（2）求导，求得切线方程及C点坐标，设D（x0，1）及直线CD的方程，分别表示出，，利用韦达定理即可求得﹣=0，证明PC•QD=PD•QC；方法四：（1）同方法一，（2）求导，求得切线方程及C点坐标，设D（，1）及直线CD的方程，分别表示出，，利用韦达定理即可求得﹣=0，证明PC•QD=PD•QC；【解答】解：（1）抛物线Γ顶点为O，圆O半径r=，由AB=2，则O到直线AB的距离d==1，如图以O为原点，过O且垂直于Γ的对称轴的直线与x轴，Γ的对称轴所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，由对称性，不妨设A在y轴的左侧，则A（﹣1，1），B（1，1），设抛物线Γ的方程为x2=2py，（p＞0）由A在抛物线上，代入（﹣1）2=2p，p=，∴抛物线方程x2=y；（2）证明：由（1）可知：抛物线方程为y=x2，则y′=2x，由直线l与抛物线只有一个交点，且与y轴交于C，则直线l为抛物线的切线，则切线的斜率k=y′丨x=﹣1=﹣2，则直线l的方程y﹣1=﹣2（x+1），令x=0，解得：y=﹣1，故C（0，﹣1），设直线CD的方程：y=kx﹣1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），则，整理得：x2﹣kx+1=0，由△=k2﹣4＞0，解得k＜﹣2或k＞2，x1+x2=k，x1x2=1，将y=1代入y=kx﹣1，解得：x=，即D（，1），不妨设C，P，D，Q自上而下顺序排列，由题意可知，x2≠0，且x2﹣≠0，则==，则==，由x1（x2﹣）﹣x2（﹣x1+）=2x1x2﹣（x1+x2）=2﹣×k=0，则=，即=，∴PC•QD=PD•QC．方法二：（1）抛物线Γ顶点为O，圆O半径r=，由丨AB丨=2，则O到直线AB的距离d==1，如图以O为原点，过O且垂直于Γ的对称轴的直线与y轴，Γ的对称轴所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，由对称性，不妨设A在y轴的上方，则A（1，1），B（1，﹣1），设抛物线Γ的方程为y2=2px，（p＞0）由A在抛物线上，代入12=2p，p=，∴抛物线方程y2=x；（2）证明：由直线l与抛物线只有一个交点，且与x轴交于C，则直线l的抛物线的切线，设l的方程x﹣1=m（y﹣1），则，整理得：y2﹣my+m﹣1=0，则△=（﹣m）2﹣4（m﹣1）=0，解得：m=2，则直线l方程x﹣2y+1=0，令y=0，x=﹣1，则C（﹣1，0），由直线CD与抛物线有两个交点，则设CD方程为：y=k（x+1）（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由直线AB的方程为x=1，则D（1，2k），丨PC丨•丨QD丨=（1+）丨y1丨丨y2﹣2k丨=（1+）•y1•（y2﹣2k），丨PD丨•丨QC丨=（1+）丨2k﹣y1丨丨y2丨=（1+）•（2k﹣y1）•y2，由证：丨PC丨•丨QD丨=丨PD丨•丨QC丨，只需证y1•（y2﹣2k）=（2k﹣y1）•y2，即证y1y2﹣k（y1+y2）=0，将x=y﹣1，代入y2=x，整理得：y2﹣+1=0，由△=﹣4＞0，解得：﹣＜k＜0或0＜k＜，y1+y2=，y1y2=1，∴y1y2﹣k（y1+y2）=1﹣k×=0，∴PC•QD=PD•QC；方法三：（1）抛物线Γ顶点为O，圆O半径r=，由AB=2，则O到直线AB的距离d==1，如图以O为原点，过O且垂直于Γ的对称轴的直线与x轴，Γ的对称轴所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，由对称性，不妨设A在y轴的左侧，则A（﹣1，1），B（1，1），设抛物线Γ的方程为x2=2py，（p＞0）由A在抛物线上，代入（﹣1）2=2p，p=，∴抛物线方程x2=y；（2）证明：由（1）可知：抛物线方程为y=x2，则y′=2x，由直线l与抛物线只有一个交点，且与y轴交于C，则直线l为抛物线的切线，则切线的斜率k=y′丨x=﹣1=﹣2，则直线l的方程y﹣1=﹣2（x+1），令x=0，解得：y=﹣1，故C（0，﹣1），设D（x0，1），﹣1＜x0＜1，且x0≠0，则直线CD的方程y=x﹣1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），不妨设C，P，D，Q自上而下顺序排列，由直线CD的方程为y=x﹣1，则==，则==，，整理得：x0x2=2x+x0=0，则△=4﹣4x02＞0，x1+x2=，x1x2=1，﹣===0，∴PC•QD=PD•QC．解法四：（1）抛物线Γ顶点为O，圆O半径r=，由AB=2，则O到直线AB的距离d==1，如图以O为原点，过O且垂直于Γ的对称轴的直线与x轴，Γ的对称轴所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，由对称性，不妨设A在y轴的左侧，则A（﹣1，1），B（1，1），设抛物线Γ的方程为x2=2py，（p＞0）由A在抛物线上，代入（﹣1）2=2p，p=，∴抛物线方程x2=y；（2）证明：由（1）可知：抛物线方程为y=x2，则y′=2x，由直线l与抛物线只有一个交点，且与y轴交于C，则直线l为抛物线的切线，则切线的斜率k=y′丨x=﹣1=﹣2，则直线l的方程y﹣1=﹣2（x+1），令x=0，解得：y=﹣1，故C（0，﹣1），设直线CD的方程：y=kx﹣1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），D（，1），不妨设C，P，D，Q自上而下顺序排列，由题意可知，x2≠0，且x2﹣≠0，则==，则==，则，整理得：x2﹣kx+1=0，由△=k2﹣4＞0，解得k＜﹣2或k＞2，x1+x2=k，x1x2=1，=丨丨=丨丨=，∴=．∴PC•QD=PD•QC．【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式，导数的几何意义，本题方法很多，选择合适的坐标系及适当的解法，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．21．（12分）（2017•福建模拟）已知函数f（x）=e﹣x+ax（a∈R）（1）讨论f（x）的最值；（2）若a=0，求证：f（x）＞﹣x2+．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f′（x）=﹣e﹣x+a，由a≤0，a＞0两种情况分类讨论，利用导数性质能讨论f（x）的最大值和最小值．（2）当a=0时，f（x）=ex，设g（x）=，则g′（x）=﹣e﹣x+x，设h（x）=﹣e﹣x+x，则h′（x）=e﹣x+1＞0，由此利用导数性质能证明f（x）＞﹣x2+．【解答】解：（1）∵函数f（x）=e﹣x+ax（a∈R），∴f′（x）=﹣e﹣x+a，①当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在R上单调递减，故f（x）不存在最值．②当a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣lna）﹣lna（﹣lna，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↓极小值↑f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调减，在（﹣lna，+∞）上单调递增，故f（x）的最小值为f（﹣lna）=a﹣alna．不存在最大值．综上，当a≤0时，f（x）不存在最大值和最小值；当a＞0时，最小值为a﹣alna．不存在最大值．证明：（2）当a=0时，f（x）=ex，设g（x）=，则g′（x）=﹣e﹣x+x，设h（x）=﹣e﹣x+x，则h′（x）=e﹣x+1＞0，∴g′（x）在R上单调增，∵，，∴存在唯一的，使得g′（x0）=0，当x变化时，g（x）与g′（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，x0）x0（x0，+∞）g′（x）﹣0+g（x）↓极小值↑g（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（x0）=，由g′（x0）=0，得+x0=0，∴g（x0）=，∵x0∈（），∴g（x0）=＞=0，∴g（x）≥g（x0）＞0，∴，∴f（x）＞﹣x2+．【点评】本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题．[选修4-4坐标系