《数学史》第13章20世纪数学概观(Ⅲ)

第13章20世纪数学概观(Ⅲ)现代数学成果十例

13.1哥德尔不完全性定理

哥德尔是奥地利著名数学家,不完备性定理是他在1931年于《论<数学原理>及有关系统中的形式不可判定命题》中提出来的。这一理论使数学根底研究发生了划时代的变化,更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑哥德尔哥德尔〔1906—1978〕生于捷克的布尔诺，卒于美国普林斯顿。早年在维也纳大学攻读修读理论物理、根底数学，后来又转研数理逻辑、集合论。但1940年代中就将注意力投放在哲学上，并参加哲学小组活动。1930年获博士学位。其博士论文证明了「狭谓词演算的有效公式皆可证」。之后在维也纳大学工作。1938年到美国普林斯顿高等研究院任职，1948年参加美国籍。1953年成为该所教授。

哥德尔开展了冯·诺伊曼和伯奈斯等人的工作，其主要奉献在逻辑学和数学根底方面。在20世纪初，他证明了哥德尔不完全性定理,这一著名结果发表在1931年的论文中。他还致力于连续统假设的研究，在1930年采用一种不同的方法得到了选择公理的相容性证明。3年以后又证明了〔广义〕连续统假设的相容性定理，并于1940年发表。他的工作对公理集合论有重要影响，而且直接导致了集合和序数上的递归论的产生。性格哥德尔是个要求严格的人。因此，他很多的想法在生前都没有正式发表甚至记录，要逝世后从其手稿找出。他不喜欢谈论自己或受到注目。哥德尔曾要求王浩在死后才可以发表一篇有关他的传记。他在学术研究之外的东西，都不公开发表意见。他亦讨厌旅行。他自幼多病，而且从小便患了疑病症。他还患过抑郁症。后来他在普林斯顿的医院绝食而死，因为他认为那些食物有毒。

国籍

虽然他的传记列出很多国家，他通常被视为奥地利人。他出生在奥匈帝国的布尔诺，在十二岁时成为捷克斯洛伐克公民，在二十三岁时成为奥地利公民。当希特勒吞并奥地利时，哥德尔自动成为德国人。1948年4月，哥德尔夫妇宣誓成为美国公民。在获得美国公民前接受面试时，假设不是爱因斯坦等老朋友的拼命阻止，哥德尔对美国宪法较真的探究将使例行的审核程序难以进行下去。

哥德尔第一不完全定理设系统S包含有一阶谓词逻辑与初等数论，如果S是一致的，那么下文的T与非T在S中均不可证。哥德尔第二不完全定理如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。

第一不完备性定理任意一个包含算术系统在内的形式系统中，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被否认。第二不完备性定理任意一个包含算术系统的形式系统自身不能证明它本身的无矛盾性。但是哥德尔不完全性定理的影响远远超出了数学的范围。它不仅使数学、逻辑学发生革命性的变化，引发了许多富有挑战性的问题，而且还涉及哲学、语言学和计算机科学，甚至宇宙学。2002年8月17日，著名宇宙学家霍金在北京举行的国际弦理论会议上发表了题为《哥德尔与M理论》的报告，认为建立一个单一的描述宇宙的大统一理论是不太可能的，这一推测也正是基于哥德尔不完全性定理。

哥德尔不完全性定理的影响

哥德尔不完全性定理的影响

哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。无怪乎大数学家外尔发出这样的感慨：“上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。”13.2高斯-博内公式的推广

高斯－博内公式有许多重要应用，其中之一就是关于曲面上向量场奇点的庞加莱定理:设S是紧致无边界的可定向曲面。对于S上任何只有孤立奇点的向量场,它在所有奇点处的指标之和等于S的欧拉示性数。因为球面〔以及与球面同胚的闭曲面〕的欧拉示性数为2,所以球面上的向量场必有奇点。这一点可比喻如下：假设把地球上各地的风速看成一个向量场，那么任何时候地球上总有一个地方没有风。

陈省身生于1911年，15岁考上南开大学，是第一位获得国际数学界最高荣誉“沃尔夫数学奖”的华人。1943年，32岁的陈省身完成了关于高斯-博内公式的简单内蕴证明，这篇论文被誉为数学史上划时代的论文，他因此被国际数学界尊称为“微分几何之父”。1985年，陈省身创办南开大学陈省身数学研究所，培养了大批优秀的青年数学家，为我国的数学事业做出了重大奉献。2000年，89岁的陈省身叶落归根，定居母校南开大学，九旬高龄时仍亲自为本科生讲课、指导研究生。

13.3米尔诺怪球米尔诺约翰·米尔诺〔1931－〕，美国数学家。他的主要奉献在于微分拓扑、K-理论和动力系统及其著作。他曾获得1962年度菲尔兹奖、1989年度沃尔夫奖及2011年度阿贝尔奖。生平

米尔诺出生于美国新泽西州奥兰治。在普林斯顿大学就读本科期间，证明了Fary–Milnor定理。之后，他在进入普林斯顿大学的研究生院，并完成了论文《IsotopyofLinks》。获得博士学位后，他继续在普林斯顿工作。1962年，米尔诺因他在微分拓扑领域的工作获得菲尔兹奖。之后，他又获得了美国国家科学奖章〔1967年〕、LeroyPSteelePrize〔1982年，2004年，2011年〕、沃尔夫奖〔1989年〕。他还著有许多出色的书籍。这些书通俗，简洁而又严谨。2011年，他因其“在拓扑，几何和代数的开拓性发现”获得了阿贝尔奖。作为回应，他告诉《新科学家》，“这感觉非常好”(“Itfeelsverygood”)，并说“早上6点的总是让人感到意外。”

微分拓扑学在20世纪50年代由于米尔诺等的工作而进入了黄金时期。此前，数学家们都以为在流形上只存在一种微分结构。但1956年，美国数学家米尔诺却在七维球面上找到了28种不同的微分结构。这一令人震惊的结论为这种七维流形赢来了“米尔诺怪球”的著称。

米尔诺怪球触发的微分拓扑学的开展可以说是奇峰迭起。其中尤以4维欧几里得空间微分流形的有关结论最为引人注目。

1980年以前，数学家们已经证明了，除4维外，所有的欧几里得空间都只具有一种微分结构。1982年，英国牛津大学的数学家唐纳尔逊证明了在4维欧几里得空间上存在着与通常不同的微分结构。也就是说世界数学家和物理学家们从牛顿时代以来所惯用的微分结构并不是唯一可能的。不久又有人证明了在4维欧几里得空间上可以有无穷多种微分结构，通常的微分结构只不过是其中之一。究竟是什么原因造成了四维时空的与众不同。数学家们目前还不能答复这个事关重大的问题。

13.4阿蒂亚-辛格指标定理阿蒂亚-辛格指标定理可以表达为：“对任何一个线性椭圆微分算子D，下面的公式成立：D的分析指标=D的拓扑指标。”阿蒂亚-辛格指标定理M.F.阿蒂亚生于英国，阿蒂亚给出了阿蒂亚-辛格指标定理，解决了李群表示论等，把不动点原理推广到一般形式。阿蒂亚1929年4月22日生于伦敦，1949年入剑桥三一学院学习，1952年毕业，1955年获博士学位，1954—1958年任研究员，1958—1961年任讲师，1961年去牛津大学任高级讲师，1963—1969年任塞维尔几何讲座教授：1969一1972年任美国普林斯顿高等研究院数学教授。1973年回牛津任皇家学会研究教授，199O年回剑桥任三一学院院长。阿蒂亚-辛格指标定理阿蒂亚的最重大奉献是同辛格在1963年证明了指标定理，把拓扑不变量通过解析不变量来表示。由这个定理可以推出许多数学上的重要定理，其证明也涉及数学上诸多领域，特别是偏微分算子和他参与建立的K理论。K理论是第一个重要的广义上同调理论。有广泛应用，英国拓扑学家亚当斯〔J.Adams〕曾用来解决球面上独立向量场的数目问题。到1970年阿蒂亚启动新一轮研究，即标准理论和拓扑与几何关系，进而导致20世纪最后25年低维拓扑及几何和理论物理如量子场论与弦论的奇妙关系的发现，它把拓朴、几何和物理都带到一个全新的境界。

阿蒂亚是英国伦敦皇家学会会员，美国国家科学院和法国科学院外籍院士，1983年获爵上称号，1990—1995年任皇家学会会长，1990年他任新建牛顿数学科学研究所首任所长，在这些位置上对科学政策、教育与研究方向发挥重大作用。

13.5孤立子与非线性偏微分方程〔1965〕

13.6四色问题〔1976〕

13.7分形与混沌〔1977〕