高等数学练习题附答案

《高等数学》专业年级学号姓名一、推断题.将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1.收敛的数列必有界.（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.（）3.闭区间上的间断函数必无界.（）4.单调函数的导函数也是单调函数.（）5.若在点可导，则也在点可导.（）6.若连续函数在点不行导，则曲线在点没有切线.（）7.若在[]上可积，则在[]上连续.（）8.若在（）处的两个一阶偏导数存在，则函数在（）处可微.（）9.微分方程的含有随意常数的解是该微分方程的通解.（）10.设偶函数在区间内具有二阶导数，且,则为的一个微小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1.设，则.2.若，则.3.设单调可微函数的反函数为,则.4.设,则.5.曲线在点切线的斜率为.6.设为可导函数,,则.7.若则.8.在[0,4]上的最大值为.9.广义积分.10.设D为圆形区域.三、计算题（每题5分，共40分）1.计算.2.求在（0，+）内的导数.3.求不定积分.4.计算定积分.5.求函数的极值.6.设平面区域D是由围成，计算.7.计算由曲线围成的平面图形在第一象限的面积.8.求微分方程的通解.四、证明题（每题10分，共20分）1.证明：.2.设在闭区间[上连续，且证明：方程在区间内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案一、推断题.将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√.二、填空题.（每题2分，共20分）1.；2.1；3.1/2；4.；5.2/3；6.1；7.；8.8；9.1/2；10.0.三、计算题（每题5分，共40分）1.解：因为且，=0由迫敛性定理知：=02.解：先求对数3.解：原式==24.解：原式==4/55.解：故或当时，，且 （0，0）为极大值点且当时，，无法推断6.解：7.解：令，；则，8.解：令，知由微分公式知：四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设=0令即：原式成立。2.解：上连续且<0,>0故方程在上至少有一个实根.又即在区间上单调递增在区间上有且仅有一个实根.《高等数学》专业学号姓名一、推断题（对的打√，错的打×；每题分，共分）1.在点处有定义是在点处连续的必要条件.2.若在点不行导，则曲线在处肯定没有切线.3.若在上可积，在上不行积，则在上必不行积.4.方程和在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.5.设是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，是其所对应的齐次方程的通解，则为一阶线性微分方程的通解.二、填空题（每题分，共分）1.设则.2.设，当时，在点连续.3.设，则.4.已知在处可导，且，则.5.若，并且，则.6.若在点左连续，且，则与大小比较为7.若，则；.8.设，则.9.设，则.10.累次积分化为极坐标下的累次积分为.三、计算题（前题每题分，后两题每题分，共分）1.;2.设，求;3.;4.;5.设,求.6.求由方程所确定的函数的微分.7.设平面区域是由围成，计算.8.求方程在初始条件下的特解.四、（分）已知在处有极值，试确定系数、，并求出全部的极大值与微小值.五、应用题（每题分，共分）1.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为时，燃料费为每小时元，而其它与速度无关的费用为每小时元.问轮船的速度为多少时,每航行所消耗的费用最小？2.过点向曲线作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）图形绕轴旋转所得旋转体的体积.六、证明题（分）设函数在上的二阶导数存在，且,.证明在上单调增加.高等数学参考答案一、推断题1.√；2.×；3.√；4.×；5.√.二、填空题1.36；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10..三、计算题1.原式2.3．原式=4．设则原式=5．6．两边同时微分得：即故（本题求出导数后，用解出结果也可）7．8．原方程可化为通解为代入通解得故所求特解为：四、解：因为在处有极值，所以必为驻点故又解得：于是由得，从而，在处有微小值，在处有极大值五、1.解：设船速为，依题意每航行的耗费为又时，故得，所以有令，得驻点由极值第一充分条件检验得是微小值点.由于在上该函数到处可导，且只有唯一的极值点，当它为微小值点时必为最小值点，所以求得船速为时，每航行的耗费最少，其值为（元）2.解：（1）设切线与抛物线交点为，则切线的斜率为，又因为上的切线斜率满意，在上即有所以，即又因为满意，解方程组得所以切线方程为则所围成图形的面积为：（2）图形绕轴旋转所得旋转体的体积为：六、证：在上，对应用拉格朗日中值定理，则存在一点，使得代入上式得由假设知为增函数，又，则,于是,从而，故在内单调增加.《高等数学》试卷专业学号姓名一、填空题（每小题1分，共10分）1．函数的定义域为。2．函数上点（０，１）处的切线方程是。3．设在可导且，则＝。4．设曲线过，且其上随意点的切线斜率为，则该曲线的方程是。5．＝。６．＝。7．设，则＝。8．累次积分化为极坐标下的累次积分为。9．微分方程的阶数为。10．设级数发散，则级数。二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，（1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分）1．设函数，则＝（）①②③④ｘ2．时，是（）①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量3．下列说法正确的是（）①若在连续，则在可导②若在不行导，则在不连续③若在不行微，则在极限不存在④若在不连续，则在不行导4．若在内恒有，则在内曲线弧为（）.①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧5．设，则（）①为常数②为常数③④ｘ6．＝（）①０②１③２④３7．方程在空间表示的图形是（）①平行于面的平面②平行于轴的平面③过轴的平面④直线8．设，则（）①②③④9．设，且＝ｐ，则级数（）①在时收敛，时发散②在时收敛，时发散③在时收敛，时发散④在时收敛，时发散10．方程是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分别变量的微分方程④二阶微分方程11．下列函数中为偶函数的是（）12．设在可导，，则至少有一点使（）13．设在的左右导数存在且相等是在可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件14．设，则，则（）15．过点（１，２）且切线斜率为的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④16．设幂级数在（）收敛，则在（）①肯定收敛②条件收敛③发散④收敛性与有关17．设Ｄ域由所围成，则（）三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）１．设求.２．求.３．计算.４．设，求.５．求过点Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程.６．设，求ｄｕ.７．计算.８．求微分方程的通解.９．将展成的幂级数.四、应用和证明题（共15分）１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（比例常数为）求速度与时间的关系。２．（７分）借助于函数的单调性证明：当时，。高等数学参考答案一、填空题（每小题1分，共10分）１．（－１，１）２．２ｘ－ｙ＋１＝０３．５Ａ４．ｙ＝ｘ2＋１５．６．１７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）８．９．三阶１０．发散二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分）1．③2．③3．④4．④5．②6．②7．②8．⑤9．④10．③11．④12．④13．⑤14．③15．③16．①17．②三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）解：２．解：原式＝＝＝８３．解：原式＝４．解：因为５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝所求直线方程为６．解：７．解：原积分＝８．解：两边同除以得两边积分得亦即所求通解为９．解：分解，得＝＝（且）四、应用和证明题（共１５分）１．解：设速度为ｕ，则ｕ满意解方程得由ｕ│0＝０定出ｃ，得２．证：令则在区间［１，＋∞］连续而且当时，因此在［１，＋∞］单调增加从而当时，＝０即当时，《高等数学》专业学号姓名一、推断正误（每题2分，共20分）1.两个无穷大量之和必定是无穷大量.2.初等函数在其定义域内必定为连续函数.3.在点连续，则在点必定可导.4.若点为的极值点，则必有.5.初等函数在其定义域区间内必定存在原函数.6.方程表示一个圆.7.若在点可微，则在点连续.8.是二阶微分方程.9..10.若为连续函数，则必定可导.二、填空题（每题4分，共20分）.设，且，则..，则.三、计算题与证明题（共计60分）.，（5分）；，（5分）。.求函数的导数。（10分）.若在上.证明：在区间和上单调增加.（10分）.对物体长度进行了次测量，得到个数。现在要确定一个量，使之与测得的数值之差的平方和最小.应当是多少？（10分） .计算.（5分）6.由曲线与两直线所围成的平面图形的面积是多少.（5分）.求微分方程满意条件的特解。（5分）.计算二重积分是由圆与围成的区域.（5分）高等数学参考答案一、推断正误（每题2分，共20分）1-5．╳，╳，╳，╳，√.6-10.╳，√，╳，╳，√.二、填空题（每题4分，共20分）三、计算题与证明题。（共计60分）2.令则同理3.令则则当时当时故命题成立。4.令则令5.6.7.方程变形为而=初始条件：8、《高等数学》专业学号姓名一、推断（每小题2分，共20分）1.f(x)在点x处有定义是f(x)在点x处连续的必要条件.()2.无穷小量与有界变量之积为无穷小量.()3.(x)在x处可导,则(x)|在x处也可导.()4.初等函数在其定义域内必连续.()5.可导函数f(x)的极值点肯定是f(x)的驻点.()6.对随意常数k,有.()7.若f(x)在[]上可积,则f(x)在[]上有界.()8.若f()在区域D上连续且区域D关于y轴对称,则当f()为关于x的奇函数时0.()9.2的通解中含有两个独立随意常数.()10.若()在P的两个偏导数都存在,则()在P连续.()二、填空（每空2分，共20分）1.[()]=.2.函数f(x)在[0,3]上满意罗尔定理的条件,定理中的数值=.3.设f(x)=当时(x)在0处连续.4.设,则(0,0)=.5.函数f(x)1在内单调增加;在内单调削