利用函数性质判定方程解的存在性高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

利用函数性质判定方程解的存在性第五章

函数应用方程解法时间图·中国公元50年—100年一次方程、二次方程和三次方程根11世纪·北宋·贾宪三次方程正根数值解法13世纪·南宋秦九韶特殊的高次方程正根解法7世纪·隋唐·王孝通三次或三次以上方程方程解法时间图·西方

一次方程、二次方程的一般解法1541年·意大利塔尔塔利亚三次方程一般解法1802～1829挪威·阿贝尔证明了五次以上一般方程没有求根公式记载了费拉里的四次方程一般解法9世纪·阿拉伯花拉子米1545年·意大利卡尔达诺解方程的历史思考：下列方程有解吗？问题引入有求根公式无求根公式

新知探究利用函数性质判定方程解的存在性探究一：方程的解和相应函数有什么关系？

与之间的关系没有交点(1,0)x2-2x+3=0x2-2x+1=0(-1,0),(3,0)x2-2x-3=0没有实数解x1=x2=1x1=-1,x2=3y=x2-2x+3y=x2-2x+1y=x2-2x-3函数的图象与x轴的交点坐标函数的图像一元二次方程方程的解二次函数完成下列表格，思考一元二次方程的实数解与相应的二次函数图象与x轴的交点有什么关系?问题：方程的实数解就是相应函数图象与x轴交点的横坐标。结论：yxoxyoyxo零点

问题一零点是一个点吗？

问题二

函数都有零点吗？举例说明。

不是

形数三个等价关系例题1.求下列函数的零点.(1)f(x)＝x2＋7x＋6；（1）解解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x1＝－1或x2＝－6，所以函数的零点是－1，－6.(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；（2）解解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.题型一求函数的零点

典例导悟的(2)(1)探究活动：观察下列两组画面,哪一组画面的小马一定过河了？

探究活动探究：怎样判断一个函数是否存在零点呢？将河流抽象为x轴，将小马前后的两个位置抽象为函数y=f(x)图象上两点A和B。f(a)·f(b)<0abx

oyA（a,f(a))B（b,f(b))问题1：A、B两点与x轴满足怎样的关系时它们之间的函数图象与x轴一定会有交点？此时A、B两点的纵坐标满足什么条件呢？abx

oyA（a,f(a))B（b,f(b))(2)(1)若只给条件f(a)·

f(b)<0能否保证y=f(x)在(a,b)有零点，即函数图象与x轴有交点？abx

oyA（a,f(a))B（b,f(b))问题2:要求：

函数图象连续Oyxba例如：不能f(a)·

f(b)<0至少有一个零点利用函数性质判断方程在某个区间上有解的方法：归纳总结

零点存在定理1.正确使用定理，需满足什么条件？若不满足会如何？

零点存在定理：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点.对照函数零点存在定理,每位同学先独立思考后再小组讨论下列几个问题：讨论：2.定理中的至少有一个零点是什么意思？3.如果函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则一定有f(a)·f(b)<0吗？分析：有两个条件缺一不可:(1)函数

y=f(x)在[a,b]上的图象连续;(2)f(a)f(b)﹤0。

定理解读1.正确使用定理，需满足什么条件？若不满足会如何？

零点存在定理：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点.“闭区间连续”“端点值异号”

Oyxba定理解读abOyxba结论：“连续”“异号”若不同时满足，则函数可能有零点也可能没有零点，但若“连续”“异号”都成立，则一定有零点！1.正确使用定理，需满足什么条件？若不满足会如何？①函数

y=f(x)在[a,b]上的图象连续;②f(a)f(b)﹤0。

零点存在定理：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点.

分析：满足定理只能判断零点存在，并不能确定有几个零点。定理解读给定理再加一个什么条件就能保证函数有唯一零点？2.定理中的至少有一个零点是什么意思？1个5个

零点存在定理：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点.xyOxyO定理解读分析：若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点，则不一定有f(a)f(b)﹤0成立.

3.如果函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则一定有f(a)·f(b)<0成立吗？

若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续曲线，则f(a)·f(b)<0是函数y=f(x)在区间

(a,b)内有零点的充分不必要条件.

零点存在定理：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点.概念辨析典例导悟题型二判断函数零点所在区间解：

变式巩固题型二判断函数零点所在区间解：

A课堂练习

课堂练习

通过本节课的学习你学到了哪些数学知识？又学到了哪些重要的数学思想？课堂小结两个知识点三个等价关系三