2024年高考数学一轮复习（新高考版）10.2 排列与组合

§10.2排列与组合

【考试要求】1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利

用排列、组合解决简单的实际问题.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.排列与组合的概念

名称定义

排列从n个不同元素中取按照一定的顺序排成一列

组合出机(加W〃)个元素作为一组

2.排列数与组合数

(1)排列数：从”个不同元素中取出皿，*W〃)个元素的所有丕回幽的个数，用符号型表示.

⑵组合数：从〃个不同元素中取出皿加个元素的所有不同组合的个数,用符号组表示.

3.排列数、组合数的公式及性质

,n!

(1)A片一〃(〃一1)(〃一2)…(〃一相+1)一/、，(〃，且加《〃).

(〃rn)：

公式

A”1n!

(2)C；?-A„,-W!(〃_孙(…GN,且mW").特别地,cS=i

(1)0!=1；A；；=nJ_.

性质

/O—八「in—_1_ex1

〃一。〃；cw+i—Lzr十万万

【常用结论】

1.排列数、组合数常用公式

(l)A；r=(n-ffj+l)A；r'.

(2)A尸〃AW

(3)(〃+1)!一〃!=〃•〃！.

⑷比£=〃*.

(5)C，+C；；L।+…+，+1+，=CWL

2.解决排列、组合问题的十种技巧

(1)特殊元素优先安排.

(2)合理分类与准确分步.

(3)排列、组合混合问题要先选后排.

(4)相邻问题捆绑处理.

(5)不相邻问题插空处理.

(6)定序问题倍缩法处理.

(7)分排问题直排处理.

(8)“小集团”排列问题先整体后局部.

(9)构造模型.

(10)正难则反，等价转化.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“或“X”)

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(X)

(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(V)

(3)若组合式8=孰'，则成立.(X)

(4)A；；'=〃("-1)(〃一2)…(〃一/).(X)

【教材改编题】

1.A4+G等于()

A.35B.47C.45D.57

答案B

7X6X5

解析Ai+d=4X3+T—r-T=47.

JAZA1

2.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是()

A.18B.24C.30D.36

答案C

解析选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C2a=18(种)，选出的3人中有1名

男同学2名女同学的方法有ClCg=12(种)，故3名学生中男、女生都有的选法有C3C!+C1G

=30(种).

3.将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参

加，则不同的安排方案共有种.

答案36

解析第一步，先从4名学生中任取两人组成一组，与剩下2人分成三组，有C4=6(种)不同

的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三地，则有A$=6(种)不同的方法.故共有

6X6=36(种)不同的安排方案.

・探究核心题型

题型一排列问题

例1(1)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型

场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中

一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种

数为（）

A.576B.288C.144D.48

答案B

解析根据题意，雪上技巧项目必须由女队员展示，有2种情况，剩下3人表演其他3个项

目，有Ag=6（种）情况，而4个项目之间的排法有Ag=24（种）顺序，则有2X6X24=288（种）

展示方案.

（2）用0,123,4,5这六个数字可以组成个无重复数字且不大于4310的四位偶数.

答案110

解析①当千位上排1或3时，符合题意的共有A1A3A4个.

②当千位上排2时，符合题意的共有A1A?个.

③当千位上排4时，形如40XX,42XX的偶数各有A3个符合题意，形如41XX的偶数有

AjA!个符合题意，形如43XX的偶数只有4310和4302这两个数符合题意.

故共有A1A!A，+A1A3+2A!+A1A!+2=IIO（个）符合题意.

思维升华对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际

进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，

对于分类过多的问题可以采用间接法.

跟踪训练1（1）（2023・武汉模拟）源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发

展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实

验.在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A,B两道程序既

不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（）

A.18种B.36种C.72利।D.108种

答案B

解析先排A,8两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2,3,4道程序选两

个放A,B,共有AW种放法；再排剩余的3道程序，共有Ag种放法.

则共有A/A§=36（种）放法.

（2）8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有

种排法.

答案5760

解析先排甲、乙，有Ai种排法，再排丙，有A1种排法，其余5人有Ag种排法，故不同的

排法共有A3AUH5760（种）.

题型二组合问题

例2（1）（多选）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的

有（）

A.如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法

B.如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法

C.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法

D.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法

答案CD

解析如果4人全部为男生，选法有C?=15（种），故A错误；

如果4人中男生、女生各有2人，男生的选法有C2=15（种），女生的选法有C?=6（种），则4

人中男生、女生各有2人的选法有15X6=90（种），B错误；

如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有C9=28（种），故

C正确；

在10人中任选4人，有Cfo=21O（种），甲、乙都不在其中的选法有点=70（种），

故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有210—70=140（种），故D正确.

（2）在某场新闻发布会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中依次选出3名来提问，

要求3人中既有国内记者又有国外记者，且不能连续选国内记者，则不同的选法有（）

A.80种B.180种C.260种D.420种

答案C

解析根据题意，分2种情况讨论，

①选出的3人中有1名国外记者、2名国内记者，

则有CgCjA3=8O（种）选法，

②选出的3人中有2名国外记者、1名国内记者，

则有C!C?A3=180（种）选法,

由分类加法计数原理可知，共有80+180=260（种）选法.

思维升华组合问题常有以下两类题型

（1）“含有”或“不含有"问题：''含"，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，

则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

（2）“至少"或''最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，

考虑逆向思维，用间接法处理.

跟踪训练2（1）从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动，要求至少有一名女生参

加，则不同的选派种数为（）

A.12B.24C.34D.60

答案C

解析由题可知，选派4人去的总的选派种数为G=35,选派4人全部是男生的选派种数为

1,所以至少有一名女生参加的不同的选派种数为35—1=34.

（2）如图，从上往下读（不能跳读,即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣字,

又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念），构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”

的不同读法总数为.

爱

国国,

荣荣®荣@

校校校校⑥

做做做做做

市市ill市市市

西西西西西

卓卓卓卓

越越越

学学

生

答案252

解析构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法需10步完成（从上一个字到下一个

字为一步），其中5步是从上往左下角方向读，余下5步是从上往右下角方向读，故共有不同

读法C%=252（种）.

题型三排列与组合的综合问题

命题点1相邻、相间问题

例3（多选）有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正确的是（）

A.全体站成一排，女生必须站在一起有144种排法

B.全体站成一排，男生互不相邻有1440种排法

C.任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种

D.全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种排法

答案BCD

解析对于A,将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有A才种排法，

再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有内种排法，

故共有Ai=576（种）排法，故A错误；

对于B,先排女生，将4名女生全排列，有A1种排法，

再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排

男生，有Ag种排法，

故共有A$Ag=l440（种）排法，故B正确；

对于C,任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有CgX2Xl=

70（种），故C正确;

对于D,若甲站在排尾，则有A2种排法，若甲不站在排尾，则有A!A!A9种排法，

故共有M+A!A!Ag=3720（种）排法，故D正确.

命题点2定序问题

例4有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左

到右，女生从矮到高排列（不一定相邻），不同的排法共有种.

答案840

解析7名学生的排列共有A4种，其中女生的排列共有A并中，按照从左到右，女生从矮到高

AZ

的排列只是其中的一种，故有衰=A3=840（种）不同的排法.

命题点3分组、分配问题

例5（1）（2023・岳阳模拟）中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体,

不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字,

汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独

特的艺术，我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现

有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同

的分法种数为（）

国因烟

A.60B.90C.120D.150

答案D

解析满足条件的分法可分为两类，

第一类，一人三张，另两人各一张，符合条件的分法有CS3种，即60种，

第二类，其中一人一张，另两人各两张，符合条件的分法有黄AS种，即90种，

由分类加法计数原理可得，满足条件的不同分法种数为150.

（2）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安

排6名航天员开展实验，其中每个舱安排2人.若甲、乙两人不被安排在同一个舱内做实验,

则不同的安排方案共有（）

A.20种B.36种

C.72种D.84种

答案C

解析将6名航天员每个舱安排2人开展实验的所有安排方法数为crse,

其中甲、乙两人被安排在同一个舱内做实验的安排方法数为Ci笔-A3,

所以满足条件的不同的安排方案数为cr支之一c务普小3=90—18=72.

思维升华求解排列、组合应用问题的常用方法

捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列

对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面

插空法

元素排列的空档中

定序问题对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

跟踪训练3（1）（多选）已知A,B,C,D,E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（）

A.若A,8不相邻，共有72种排法

B.若4不站在最左边，8不站在最右边，有72种排法

C.若A在8右边有60种排法

D.若4,B两人站在一起有48种排法

答案ACD

解析对于A,若A,B不相邻，共有A$Ai=72（种）排法，故A正确；

对于B,若A不站在最左边，B不站在最右边，利用间接法有A9—2Ai+A3=78（种）排法，故

B错误；

对于C,若A在B右边有/|=60（种）排法，故C正确；

对于D,若A,B两人站在一起有A5A才=48（种）排法，故D正确.

（2）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，同类

节目不相邻的排法种数是（）

A.72B.120C.144D.168

答案B

解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺

序有三种：“小品，小品，相声”、“小品，相声，小品”和“相声，小品，小品”.对于

第一种情况，形式为“口小品歌舞小品口相声口”，有人支3*=36（种）安排方法；同理，第

三种情况也有36种安排方法；对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品口

相声口小品口”,有A3A?=48（种）安排方法，故共有36+36+48=120（种）安排方法.

（3）将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安

排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有种.（用数字作答）

答案1680

解析先选出3人，有CS种选法，再从剩下的6人中选出3人，有C/种选法，最后剩下的3

人为一组，有Cg种选法.

由分步乘法计数原理以及每A3中只能算一种不同的分组方法，可知不同的安排方案共有

..A3",'■-A^=1680（种）.

课时精练

c基础保分练

1.若A/=6C＞则m等于（）

A.9B.8C.7D.6

答案C

一二/m(m-1)(m—2)(m-3)

解析因为A/=6c1,所以m(m-1)(〃?-2)=6X/-----

4Aaz\ZA1

即1=F=,解得机=7.

2.将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方

法的种数为（）

A.10B.20C.30D.40

答案B

解析将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿

舍2名，而另一个宿舍3名，共有Cg&A3=2O（种）.

3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在

两端，不同的排法共有（）

A.1440种B.960种

C.720种D.480种

答案B

解析先将5名志愿者排好，有A2种排法，2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中，

先将2位老人排好，有A乡种排法，再把它作为一个元素插入空隙中，有4种插法.所以共有

不同的排法4A3Ag=960（种）.

4.由0,1,2,…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝

对值等于8的有（）

A.98个B.105个C.112个D.210个

答案D

解析当个位数字与百位数字为0,8时，有A执2个；当个位数字与百位数字为1,9时，有A：

A，A3个，所以个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的共有AaA3+A}A}A3=21O（个）.

5.将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号为

1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为（）

A.15B.20C.30D.42

答案C

解析四个篮球分成三组有d种分法，三组篮球进行全排列有AS种分法，标号为1,2的两个

篮球分给同一个小朋友有种分法，所以有GA5—Ag=36—6=30（种）分法.

6.（2023・济宁模拟）2022年7月19日，亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日

在杭州举办第19届亚运会，为了办好这届体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛前志

愿者招募，此举得到在杭大学生的积极参与.某高校3位男同学和2位女同学通过筛选加入

志愿者服务，通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，这四

个项目都有人参加，要求2位女同学不安排在一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需

要必须分开，则不同的安排方法种数为（）

A.144B.150C.168D.192

答案D

解析由题可得，参与志愿者服务的项目人数为2,1,1」，

若没有限制则共有Cg-AW=240（种）安排方法；

当两个女同学在一起时有A3=24（种）安排方法；

当男同学小王、女同学大雅在一起时有A才=24（种）方法，

所以按题设要求不同的安排方法种数为240—24—24=192.

7.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组.其中可

以构成三角形的组数为（）

A.208B.204C.200D.196

答案C

解析任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为

3Ch二是4条竖线上的3个点，其组数为4色；三是4条对角线上的3个点，其组数为4c3,

所以可以构成三角形的组数为C：2-3CA8G=200.

8.（多选）现有4个编号为123,4的不同的球和4个编号为1,2,3,4的不同的盒子，把球全部

放入盒子内.则下列说法正确的是（）

A.恰有1个盒子不放球，共有72种放法

B.每个盒子内只放一个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种

C.有2个盒子内不放球，另外两个盒子内各放2个球的放法有36种

D.恰有2个盒子不放球，共有84种放法

答案BCD

解析对于A,恰有1个盒子不放球，先选1个空盒子，再选一个盒子放两个球，

则ClCiM=144W72,故A不正确；

对于B,编号为1的球有C!种放法，把与编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号盒

子或者其他两个盒子，共有1+C1=3（种），

即3X3=9（种），故B正确；

对于C,首先选出两个空盒子，再取两个球放剩下的两个盒子中的一个，共有&&=36（种）,

故C正确；

对于D,恰有2个盒子不放球，首先选出两个空盒子，再将4个球分为3,1或2,2两种情况，

放入盒子，共有食©Q+C2）=6X14=84（种）,故D正确.

9.（2022•大同模拟）在5G,AI,MR等技术的支持下，新闻媒体推出诸多创新触媒产品，将

5G技术引入新闻生产，有效扩展了新闻的应用场景，云采访、云访谈、云直播等云端对话成

为报道的新常态.现有4名新闻媒体记者采用云采访、云访谈、云直播三种方式进行报道，

每种方式至少有一名记者采用，则不同的安排方法种数为.

答案36

解析依题意将4名新闻媒体记者分成三组，共有C4种方法，

再将其进行全排列共有A3种方法，

由分步乘法计数原理得，共有CSAg=36（种）安排方法.

10.某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服

务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工

作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，

则不同的分配方案种数是.

答案216

解析根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有

黑日•A新中分法，

然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有A*种分法，

所以共有笔刊•A*Ag=216（种）不同的分配方案.

应综合提升练

11.（2023,苏州模拟）阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着

3名女孩和2名男孩共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位

母亲互不相邻照顾孩子；3名女孩相邻且不排最前面也不排最后面：为了防止2名男孩打闹，

2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法共有（）

A.144种B.216种

C.288种D.432种

答案C

解析第一步：先将3名母亲全排列，共有A3种排法；

第二步：将3名女孩“捆绑”在一起，共有A$种排法；

第三步：将“捆绑”在一起的3名女孩作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择I个插

入，有A4种排法；

第四步：首先将2名男孩之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男

孩插入由女孩与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有&Q种排法.

所以不同的排法共有A认认1C1C1=288（种）.

12.把座位编号为123,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，

至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为（用数字作答）.

答案96

解析先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，

则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于