2023年高考真题-理科数学（含答案）

2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)

理科数学

、选择题

1>2-5-

I.设1+1+1,贝l]z=

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【解析】

【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共朝复数的定义确定其共轨复数即可.

则2=1+2.

故选：B.

2.设集合。=R,集合〃={x|x<l},N={x[-l<x<2},则{x|x»2}=()

A.电(A/UN)B.2VUQ/M

C.d(MnN)D.MuQN

【答案】A

【解析】

[分析]由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{x|x>2)即可.

【详解】由题意可得"UN={x|x<2},则d(/UN)={x|xN2},选项A正确;

={x|x>1},则^^^1/="匕〉-1},选项B错误；

wriN={x|-l<x<l},则d(/cN)={x|xW—l或x»l},选项C错误；

dN={x|x4-l或x22},则{x|x<l或x22},选项D错误；

故选：A.

3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积

为()

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】

【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其

表面积即可.

【详解】如图所示，在长方体48cz中，AB=BC=2,/4=3,

点〃,/,J,K为所在棱上靠近点4,G，〃，4的三等分点，为所在棱的中点，

则三视图所对应的几何体为长方体44c2去掉长方体owq-之后所

该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，

其表面积为：2x(2x2)+4x(2x3)-2x(lxl)=30.

故选：D.

4.已知是偶函数，则。=()

e1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

详解因为为偶函数

JeOT-l

xex(一、b_x[eXe(F]

/(x)-/(-x)=

e^-le“一1eOT-l

又因为X不恒为0,可得e*—e("-3=0，即e*=e("山，

则x=(a—l)x,即1=Q—1,解得Q=2.

故选：D.

5.设。为平面坐标系的坐标原点，在区域｛(》,歹)|1</+>2<4｝内随机取一点，记该点为

7T

，，则直线的倾斜角不大于一的概率为()

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.

【详解】因为区域｛(苍歹)|*/+/<4｝表示以0(0,0)圆心，外圆半径及=2,内圆半

径厂=1的圆环，

71

则直线的倾斜角不大于1的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角

ZMON=

7

结合对称性可得所求概率rD=----4-=——1.

2兀4

故选：C.

单调递增，直线=。和为函数

6.已知函数/(x)=sin(<®x+9)在区间XX=§

63

571

y=/(x)的图像的两条对称轴，则/

12

【答案】D

【解析】

571

【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入X=-、即可得到答

【详解】因为/(x)=sin(0x+°)在区间单调递增,

T2Tl7171

所以一=------=—,且①〉0,则7=兀，

2362

当x=?■时，/(x)取得最小值，则2・四+。=2厄1一4，k&Z,

贝|］。=2也----,keZ,不妨取左=0,则/(x)=sin

5兀5兀

则/n

故选：D.

7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相

同的选法共有()

A.30种B.60种C.120种D.240种

【答案】C

【解析】

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即

可得到答案.

【详解】首先确定相同得读物，共有C；种情况，

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A；种,

根据分步乘法公式则共有C/A；=120种，

故选：C.

Ri=>£n扁摊RO的底面生存头7.W一C头7直而同心一P4.PA头1剧傩的舟纬一//CA=1?n。

若在u的面积等于竽，则该圆锥的体积为（）

A.兀B.娓兀C.3万D.3辰

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出

体积作答.

【详解】在"08中，乙405=120°，而。4=。8=石，取NC中点C,连接OC,PC,

有民尸CL4B,如图，

ZABO=30°-OC=%AB=2BC=3，^&PAB的面积为也，得工x3x尸C=处,

2424

解得尸C=孚，于是尸0=J.C2_OC?=［（浮）2一02=屈,

所以圆锥的体积%=L兀X。么2义po=J_7rX（3）2X后=遥限

33'

故选:B

9.已知△NBC为等腰直角三角形，为斜边，为等边三角形，若二面角

C—4B—D为150。,则直线CD与平面N3C所成角的正切值为（）

1V2V32

A.-B.—C.—D.-

5555

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.

【详解】取N3的中点E,连接CE,DE,因为A43c是等腰直角三角形，且48为斜边,

则有CE1力8,

又△48。是等边三角形，则。E1/8,从而/CE。为二面角C—48—。的平面角，即

ZCED=150°,

显然。£仆0£=及。£,。£匚平面0)£,于是平面CDE,又48u平面A8C,

因此平面CDE1平面ABC,显然平面CDEn平面ABC=CE,

直线CDu平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE,

从而/OCE为直线C。与平面4BC所成的角，令AB=2,则CE=1,DE=G，在

△CZ)£中，由余弦定理得:

CD=^CE*12+DE2-2CE-DEcosACED=

r)pCD

由正弦定理得EF即sinZDCE=瓜1宴。=g,

sinZC£Z)V72V7

显然ZDCE是锐角，cosNDCE=V1-sin2Z£>C£=

所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为上.

5

故选：C

已知等差数列｛%｝的公差为等，集合若｛。,用则仍=

10.s=｛cos%I"eN*｝,S=，)

1八1

A.11B.---C.0D.—

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元

素分析、推理作答.

2兀2冗271

【详解】依题意，等差数列｛4｝中，an=«1+(Z7-l)—=ytt+(a1-y),

27r2

显然函数^=cos弓-〃+(%--1)］的周期为3,而“eN*，即COS%最多3个不同取值，

又{cos%|〃£N*}={〃,b},

贝！J在cos%,cosa2,cosa3中,cosax=cosa?wcosa3或cosaxwcosa2-cosa3,

27rzujr

于是有cos。=cos(^+—),即有0+{0+—)=2kli,kGZ,解得8=左GZ,

所以壮Z,

J/7兀、「/7兀、4兀[兀、27兀i

ab=cos(^7i-—)cos[(hi-y)+—J=-cos(hi--)cosKTI=-coskncos—=.

故选：B

2

ii.设a8为双曲线Y-/=i上两点，下列四个点中，可为线段中点的是()

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.

(-1,-4)

【答案】D

【解析】

【分析】根据点差法分析可得•左=9,对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数,

逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.

【详解】设/(国,％),3伍,%)，则48的中点四西

;

)i+y2

可得的8=匕二22_yi+y2

X]-x2X]+/X]+x2

2

x2」；—1

922

因为48在双曲线上，贝u两式相减得(X；-引-"了=0,

2

2_2

所以用"[==9

玉—x2

对于选项A：可得左=1,左加=9,则N6:y=9x—8,

\v=9x-8

联立方程2消去y得72/—2X72X+73=0,

X

止匕时A=(—2x72)2—4x72义73=_288＜。,

所以直线与双曲线没有交点，故A错误;

9Q5

对于选项B：可得左二—2,左/§二一5，则43：y=—/X—5,

22

联立方程<2，消去丁得45*+2X45X+61=0，

2》7

Xr-----1

19

此时A=（2x45）~-4x45x61=-4x45xl6<0,

所以直线48与双曲线没有交点，故B错误；

对于选项C：可得左=3,心B=3，则4S：y=3x

由双曲线方程可得a=1,6=3,则45:y=3x为双曲线的渐近线,

所以直线与双曲线没有交点，故C错误；

997

对于选项D：k=4,k2=~>则N5：J7=这x—w，

97

联立方程消去y得63/+126x—193=0，

此时A=1262+4X63X193>0，故直线与双曲线有交两个交点，故D正确；

故选：D.

12.已知。。的半径为1,直线P4与。。相切于点4直线尸8与。。交于8,C两点，D

为3c的中点，若|P0|=J5,则可.丽的最大值为（）

1+2正

2

C1+V2D.2+V2

【答案】A

【解析】

【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得

------1V2.

PAPD'--丁sin然后结合三角函数的

性质即可确定p2■质的最大值.

【详解】如图所示，=则由题意可知：/4P0=45。，

由勾股定理可得PA=yjop2-OA2=1

B

D

71

当点4。位于直线尸。异侧时，设AOPC=a,0<a<—,

4

则：沙・丽=1尸/"尸0cos|

aH—

=1xV2cosacos(a+

=，2cosa1——2cosa----2-smaJ

=cos2a-sinacosa

1+cos2a1.

二-------------sin2a

22

iV2.q

-------smla---

22I4；

77TT7171

0<6Z<-,则——<2a---<—

4444

._兀71.

「•当2a—=—时，济.所有最大值1.

44

>

71

当点4。位于直线PO同侧时，设/。尸。=a,04a«—,

4

则：沙.历尸0cos|

=1XA/2COSacosa--

I4j

BfV2V2.、

122J

=cos2a+s•macosa

1+cos2a1.c

=-----------+—sin2a

22

1V2.f如

=—+——sm2cif+—

22I4)

7TTTTTTT

0<a<~,则与2。+上4々

4442

兀71——►►,

.,.当2&+：=不时，p/.po有最大值-----.

422

综上可得，可.丽的最大值为I，".

2

故选:A

【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值

的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.

二、填空题

13.已知点/（1,右）在抛物线C：产=2.上，则/到。的准线的距离为.

9

【答案】-

4

【解析】

【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为

x=-3，最后利用点的坐标和准线方程计算点A到C的准线的距离即可.

4

【详解】由题意可得：（J^『=2pxl,则2夕=5,抛物线的方程为/=5x,

准线方程为x=—*,点A到C的准线的距离为1一（-3.

4<4；4

9

故答案为：—.

4

x-3y<-1

14.若x,y满足约束条件<x+2y<9,则z=2x—y的最大值为.

3x+y>l

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.

【详解】作出可行域如下图所示：

z=2x-y,移项得y=2x-z,

x-3y=-1fx=5

联立有《（c,解得c，

x+2y=9[歹=2

设幺（5,2）,显然平移直线y=2x使其经过点A,此时截距-z最小，则二最大,

代入得z=8,

故答案为：8.

yk3x+y=l

2x-y=0y

，八

15.已知｛a,｝为等比数列，a2a4a5=。3%>，a9aio=-8,贝!J%=.

【答案】-2

【解析】

【分析】根据等比数列公式对a2a4%=%4化简得=1，联立=-8求出=一2,

最后得%=a\Q■[5=g5=—2.

【详解】设｛%｝的公比为则a2a4a5=a3a6=a2q•a5q,显然%W0,

32s

则a，=q2,即a｝q=q,则axq-\,因为=-8,则axq•G/=_g,

55

则9"=（乡5）=—8=（一2）3,则/=一2,则％=axq-q=q=—2,

故答案为：-2.

16.设"（0,1）,若函数/（x）="+（l+a）"在（0,+。）上单调递增，则a的取值范围是

.田是"、Vs-1

【答案】——,1

_2/

【解析】

【分析】原问题等价于/'(x)=a1na+(l+ayin(l+a)20恒成立，据此将所得的不等

式进行恒等变形，可得[匕q]2-，*、,由右侧函数的单调性可得实数。的二次不

\a)ln(l+a)

等式，求解二次不等式后可确定实数。的取值范围.

【详解】由函数的解析式可得了'(x)=优Ina+(1+a)*In(1+a)20在区间(0,+")上恒

成立，

"缶在区间(0,+动上恒成立,

则(1+a)*ln(l+a)>-axIna,即

故=1»—]),而a+le(l,2),故ln(l+a)〉0,

>-ln(24Z(4Z+1)>1[./Vs—1

7

故即《1故------«Q<1，

0<。<10<Q<1

、2

Ml、

结合题意可得实数。的取值范围是

2，,

7

飞-1

故答案为:

三、解答题

17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配

对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处

理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为

X,,,匕[=1,2,…,10).试验结果如下：

试验序号

12345678910

i

伸缩率七545533551522575544541568596548

伸缩率N536527543530560533522550576536

记Z,=X,.-%。=1,2,…,10),记Z],Z2,…,胡的样本平均数为,样本方差为?.

⑴求,Y；

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显

著提高(如果则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶

V10

产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)

【答案】(1)Z=11,$2=61；

(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提

高.

【解析】

【分析】(1)直接利用平均数公式即可计算出京］,再得到所有的乙值，最后计算出方差即

可；

(2)根据公式计算出2、三的值，和三比较大小即可.

V10一

【小问1详解】

_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548―

x=-------------------------------------------------=552.3,

10

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+536一，、

y=-------------------------------------------------=541.3,

’10

彳=元一歹=552.3-541.3=11,

4=看一m的值分别为：9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

故

(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2

s2=-----------------------------------------------------------------------------=61

【小问2详解】

由(1)知:彳=11,22y/6A=424A，故有亍22Jfo

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提

高.

18.在中，已知NA4C=120°,AB=2,AC=1.

(1)求sinZABC；

(2)若。为8c上一点，且NB4D=90。，求△4DC的面积.

V21

【答案】(1)

14

⑵寻

【解析】

【分析】(1)首先由余弦定理求得边长5C的值为5C=J7，然后由余弦定理可得

cosB二迎,最后由同角三角函数基本关系可得sinB=«*

1414

(2)由题意可得考3=4,则SAZOMISA/BC，据此即可求得△ZOC的面积.

'△ACD5

【小问1详解】

由余弦定理可得：

BC2=a2=b2+c2-2bccosA

=4+l-2x2xlxcos120°=7，

222

—crna+c-b7+4-15币

贝U，cosB=----------=-------产=----，

2ac2X2XV714

.*卜-----F7_L25_V21

V2814

【小问2详解】

S—xABxADxsin90"

由三角形面积公式可得等侬=j-----------------=4,

△ACD—xACxADxsin30°

2

则S^c。=；S^BC=(x[g><2xlxsinl2oj=W_.

19.如图，在三棱锥尸一48。中，ABIBC,AB=2,BC=2C，PB=PC=E

BP,AP,3c的中点分别为Z>,E,O,40=®)。，点少在ZC上，BF1AO.

(1)证明：跖//平面40。；

(2)证明：平面4DO_L平面8EF；

(3)求二面角。—NO—C的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；(3)注.

2

【解析】

【分析】(1)根据给定条件，证明四边形OQ斯为平行四边形，再利用线面平行的判定推

理作答.

(2)由(1)的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.

(3)由(2)的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.

【小问1详解】

连接DE,OF,设AF=tAC,则BF^BA+AF^(l-t)BA+t'BC,

―■—1—.

AO=-BA+-BC,BFLAO,

2

---------------►----1--------21彳

则BFAO=[(l-t)BA+tBC]-(-BA+-BC)=(t-V)BA+~tBC2=4«—1)+=0,

解得仁L则尸为/C的中点，由。,£,O,尸分别为四,P45CNC的中点,

2

于是DE//AB,DE=]-AB,OF//AB,OF=LAB,即iDEUOF,DE=OF,则四边形

22

ODEF为平行四边形,

EF/!DO,EF=DO,又跖Z平面400,00u平面40。,

【小问2详解】

由(1)可知EF//OD,则么0=指,。0=立，得幺。=逐。0=10

22

因此。。2+/。2=",则有

2

又AO上BF,BF^\EF=F,BF,EFu平面BEF,

mil后AnI近而DZ7Z7T7//Cz—五百/八c斤二[、|近而A\近而Dirzr

【小问3详解】

过点、。作OH//BF交AC于点、H,设NOn8E=G,

由得M9工幺O,且FH=MH,

3

又由(2)知，0D1A0,则/。0a为二面角。—NO—C的平面角，

因为。,£分别为尸民P4的中点，因此G为JAB的重心，

1113

即有。G=—AD,G£=—8£,又FH=—AH,即有。8=—GF,

3332

3_15

+2

..Dri224+6-PA_Jg

cosNABD=一:2x2x而'解得尸N=内，同理得3E=32，

2x2x----xx2

2

(}/7V(s

于是BE?+EF?=BF?=3,即有则GT^=-x—+—=—,

132J3

从而GF=叵，DH=>x^=叵,

3232

1巧旦,DH=叵,

在△DOH中，OH=—BF=g,0D=

2222

63_15

于是cosNDOH=4+秒4=—4,sin/DOH=F—曰=券,

A/6732

2x----x----

22

所以二面角。—/0—C的正弦值为注.

2

A

22离心率是*，点/(—2,0)在C上.

20.已知椭圆c：与+==1(。〉6〉0)的

ab

(1)求C的方程；

(2)过点(-2,3)的直线交。于尸,0两点,直线4P,NQ与了轴的交点分别为M,N,证

明：线段MN的中点为定点.

22

【答案】（1）匕+土=1

94

（2）证明见详解

【解析】

【分析】（1）根据题意列式求解。,仇。，进而可得结果；

（2）设直线尸。的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证也产为定值即可.

【小问1详解】

b=2Q=3

由题意可得力=〃+/,解得.b=2,

cV5

e——―-----、

、a3

22

所以椭圆方程为匕+匕=1.

94

【小问2详解】

由题意可知：直线尸0的斜率存在,设。。：歹=左（》+2）+3,0（国,弘）,。（々,必）,

y=左（％+2）+3

联立方程y2,消去y得：（4左~+9）x~+8左（24+3）x+16（上一+3左）=0,

[94

则A=64k2（2k+3）2-64（4左2+9^k2+3k）=-1728k>0,解得比<0,

「汨8左（2左+3）16,（r+3

口J倚跖+X,=-----J-----xx=—

124F+9912，4左2+9

因为/（—2,0）,则直线ZP:尸（七（x+2）,

令x=0,解得歹=义），即

西+2I阳+2J

同理可得

2必2%

则玉+2%+2_[后（/+2）+3][左（%2+2）+3]

-I

2国+2x2+2

X

[Ax[+（2k+3）]（x2+2）+[A2+（2左+3）]（再+2）2kxix2+（4A：+3）（x1+々）+4（24+3）

（%+2）（X2+2）xxx2+2（再+x2）+4

32M后2+3左）%（4左+3）（2斤+3）

+4（2左+3）

〃W8

4+94r+9--------------=-----=3

16（公+3左）16M2后+3）36

+4

4/+94〃+9

所以线段尸。的中点是定点（0,3）.

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤

（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；

（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某

些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；

（3）得出结论.

21.已知函数/（x）=（，+a）n（l+x）.

（1）当a=-l时，求曲线＞=/（x）在点（1,/。））处的切线方程;

（2）是否存在a,b,使得曲线^=关于直线x=b对称,若存在，求4,6的值，若

不存在，说明理由.

（3）若/（x）在（0,+力）存在极值，求a的取值范围.

【答案】(1)(ln2)x+j-ta2=0；

(2)存在a=—,b=——满足题意，理由见解析.

22

【解析】

【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切

点坐标，最后求解切线方程即可；

(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数6的值，进一步结合函数的对称性

利用特殊值法可得关于实数。的方程，解方程可得实数。的值，最后检验所得的a,b是否正

确即可；

⑶原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数g(x)=/+x-(x+l)ln(x+1),

然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论aWO,!和0<。<,三

22

中情况即可求得实数。的取值范围.

【小问1详解】

当a=-l时，/(x)=^--l^ln(x+l),

则/'(x)=--yxln(x+l)+f--l>|x—,

据此可得/(l)=0,/'(l)=—ln2,

函数在(1,7(1))处的切线方程为V-0=Tn2(x-l),

即(ln2)x+y-ln2=0.

【小问2详解】

由函数的解析式可得=(x+a)lnj，+l],

1Y।1

函数的定义域满足一+1=——>0,即函数的定义域为(一叫一1)。(0,+8),

定义域关于直线》=一一对称，由题意可得6=一-

22

由对称性可知/—+mm>—

a

取羽=；可得/⑴=/(一2),

即(a+1)In2=(Q—2)In5,则Q+1=2—Q,解得0=5，

经检验a=—,b=—满足题意，故。=—,b=—.

2222

即存在a——,b=—满足题意.

22

【小问3详解】

由函数的解析式可得/'(X)=[—^jln(x+l)+1—Fa]——,

由/(X)在区间(0,+8)存在极值点，则/'(X)在区间(0,+8)上存在变号零点；

令(一3回+1)+04匕=0，

贝U-(x+l)ln(x+l)+(x+cix^)=0,

令g(x)=&+x-(x+l)ln(x+l),

/(工)在区间(0,+”)存在极值点，等价于g(x)在区间(0,+8)上存在变号零点，

g'(x)=2tzx-ln(x+l),gr<(x)=2a-----

JC+1

当aW0时，g'(x)<0,g(x)在区间(0,+。)上单调递减，

此时g(x)<g(0)=0，g(x)在区间(0,+力)上无零点，不合题意；

当a2L2a21时，由于」一<1,所以g"(x)>0,g'(x)在区间(0,+功上单调递增,

所以g'(x)〉g'(O)=O,g(x)在区间(0,+。)上单调递增,g(x)>g(O)=O,

所以g(x)在区间(0,+8)上无零点，不符合题意；

当0<。<一时，由g(x)=2a-------=0可得x=------1,

2')x+12a

当无—1]时，g"(x)<0,g'(x)单调递减，

当xej，--l,+oo]时，g"(x)〉0,g'(x)单调递增，

故g'(x)的最小值为g'U--lj=l—2a+ln2a,

令加(x)=l—x+lnx(0<x<l),则加'(x)=----->0,

x

函数加(x)在定义域内单调递增，/n(x)<m(l)=O,

据此可得1一x+Inx<0恒成立，

则g'[^——I=1-2a+In2a<0,

令=Inx-V+x(x>0),则/(%)=—2x+x+l,

JC

当xe(0,1)时,“(x)〉0,〃(x)单调递增，

当xe(l,+8)时，”(x)<0,/z(x)单调递减，

故〃(x)<A(l)=0,即inx</一x(取等条件为x=1),

所以g，(x)=2ax-ln(x+l)>2ax-[(x+1)-_(x+1)]=lax-^x1+x),

g'(2a-l)>2a(2a-l)-[(2a—+(2a-l)]=0,且注意到g'(0)=0,

根据零点存在性定理可知:g'(x)在区间(0,+“)上存在唯一零点吃.

当》6(0,/)时，g'(x)<Q,g(x)单调减，

当工«%,+8)时,g,(x)>0,g(x)单调递增,

所以g(x())<g(O)=O.

令"(x)=lnx-jx一二j,则/(%)=-+=02"<0>

则单调递减，注意到〃(1)=0,

故当xe(l,+oo)时，1nx—,1%]<0,从而有InxV'lX—],

所以g(x)=ax2+x-(x+l)ln(x+l)

>ax2+x-(x+l)x；

所以函数g(X)在区间(0,+”)上存在变号零点，符合题意.

综合上面可知:实数.得取值范围是

【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数

拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐

层求导，必要时要进行换元.

(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条

件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理