2019-2023年全国各高考数学真题按分项汇编 三角函数含详解

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

专题09三角备救

哥存•存瓶力折

三角函数作为高考必考题，高考题型一般作为小题出现，偶尔也会出现解答题。小题部分一般是函数解析式应用,

求参数取值范围。

考点01三角函数概念

考点02三角函数恒等变形

考点03三角函数图像及性质

考点04三角函数综合应用

哥港真魅精折

考点01三角函数概念

1.（2020年高考课标II卷理科•第2题）若a为第四象限角，则（）

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2oc<O

2.（2020年高考课标I卷理科第9题）已知a£（0,兀），且3cos2。一8cosa=5,则sina=()

A・半21D.近

B.-C.一

339

3.（2021年高考全国甲卷理科•第9题）若ae（0,Wj，tan2tz=cosa

,则tana=()

2-sincr

口正A/5D.姮

D.----CR.-----

533

TT

4.(2020年高考课标III卷理科•第9题)已知2tan6»-tan(6»+-)=7,贝!]tan。=()

4

A.-2B.-1C.1D.2

二填空

1.（2020年浙江省高考数学试卷•第14题）已知圆锥展开图的侧面积为2兀，且为半圆，则底面半径为

2.（2021高考北京•第14题）若点A（cos6,sin。）关于》轴对称点为3（85（9+2）,sin（e+。），写出夕的一个取值为

66

3.（2023年北京卷•第13题）已知命题。:若名尸为第一象限角，且。>，，则tanotan4.能说明p为假命题

的一组小P的值为a=,J3=.

JT

4.（2020年浙江省高考数学试卷•第13题）己知tan6=2,则cos29=______；tan（9——）=______.

4

5.（2014高考数学陕西理科•第13题）设0<0建一,向量a=（sin20,cos20）,6=（cos。1）,若a〃b,则tan（9=

2

考点02三角函数恒等变形

1.（2023年新课标全国I卷•第8题）已知sin（a—/?）=',cosisin/?=L贝！Jcos（2a+27?）=（）.

36

7117

A.-B.-C.——D.——

9999

2.（2023年新课标全国II卷•第7题）已知a锐角，则sin4=（）.

42

A3—^/5—1+A/5C3-逐口-1+逐

8844

3.（2021年高考浙江卷・第8题）已知a,是互不相同锐角，则在sinacos/?,sin£cos%sin/cosa三个值中，大于

|的个数的最大值是

()

A.0B.1C.2D.3

4.(2021年新高考I卷•第6题)若tan8=-2,则必处吧”)=()

sin0+cos0

人62「2

A——B.——C.-D

555-1

5.(2022新高考全国11卷・第6题)若5111(1+£)+(：05([+£)=2&(205/+7卜111£,则()

A.tan(a-7?)=lB.tan(o+K)=l

Ctan(a-0=-lD.tan(a+6)=-l

6.（2019・上海•第16题）已知tana-tan「=tan（a+0.

①存在。在第一象限，角夕在第三象限；

②存在。在第二象限，角夕在第四象限；

A.①②均正确；B.①②均错误；C.①对，②错；D.①错，②对

7.(2019•全国n•理第10题)已知。£[()卷],2sin2a=cos+1,则sino=()

A1B叵c昱D店

5535

二填空

1.(2022年浙江省高考数学试卷•第13题)若3sina—sin夕=屈,。+£=',则sina=,cos2/?=

jr2

2.（2020江苏图考•第8题）已知sin?勺+。）=g,则sin2a的值是

3.（2019•江苏•第13题）已知3"、=-2,贝|sin[2a+的值是

，「3314-----------------------

考点03三角函数图像及性质

712兀单调递增，直线x=四和x=@为

1.（2023年全国乙卷理科•第6题）已知函数/（x）=sin（s+9）在区间

6'T63

5兀

函数丁=/（尤）的图像的两条相邻对称轴，则/

12)

A.一走1

B.——

22D-T

=cos（2x+向的图象向左平移专个单位长度得

2.（2023年全国甲卷理科•第10题涵数y=/（%）的图象由函数y

到，则y=/（x）的图象与直线y=gx-g的交点个数为

)

A.1B.2C.3D.4

3.（2021年新高考I卷•第4题）下列区间中，函数”x）=7sinG-g]单调递增的区间是（）

4.（2017年高考数学新课标I卷理科•第9题）已知曲线£:y=cosx,C2：＞=sin2x+q-卜则下面结论正确的是

（）

JT

A.把q上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移二个单位长度，得到曲线g

6

兀

B.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移五个单位长度，得到曲线G

1兀

C.把G上各点的横坐标缩短到原来的不倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移乙个单位长度，得到曲线g

26

1兀

D.把G上各点的横坐标缩短到原来的5倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移五个单位长度，得到曲线G

7T

5.（2020年高考课标I卷理科•第7题）设函数/⑴=cos（@x+—）在[-兀㈤的图像大致如下图，则段）的最小正周

6

期为（）

6.（2022高考北京卷•第5题）已知函数/（%）=cos?%-sin?%,则（）

\7171\1

A.A劝在b'7上单调递减B./(%)在1上单调递增

C.7(x)在|1上单调递减D./(x)在上单调递增

<3JU12J

3111

7.（2022年高考全国甲卷数学（理）.第12题）已知a=；^S=cos7c=4sin：,贝1J（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

8.（2022年浙江省高考数学试卷.第6题）为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sinl3x+^j图象上

所有的点（）

JT7T

A.向左平移彳个单位长度B.向右平移2个单位长度

7T7T

C.向左平移百个单位长度D.向右平移百个单位长度

"1!11。》+7]+仅0〉0）的最小正周期为7.若g<T<7T,且

9.（2022新高考全国I卷.第6题）记函数/（%）=

则/图=（）

y=/（x）的图象关于点中心对称，

35

A.1B.—C.—D.3

22

10.（2021高考北京•第7题）函数/（X）=cosx-cos2x是（）

A.奇函数，且最大值为2B.偶函数，且最大值为2

99

C.奇函数，且最大值为-D.偶函数，且最大值为一

88

11.（2020天津高考•第8题）已知函数/（x）=sin1+3.给出下列结论：

①了（无）的最小正周期为2万；

②是的最大值；

③把函数〉=$诒》的图象上所有点向左平移3TT个单位长度，可得到函数y=/（x）的图象.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①B.①③C.②③D.①②③

12.（2019•天津理第7题）已知函数/（%）=Asin（ox+0）（A＞0,。＞0,冏＜»）是奇函数，将y=f（x）的图像上所

有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为g（x）.若g（x）的最小正周期为2兀，且

则L=（）

A.-2B.-A/2C.V2D.2

TT（7171\

13.（2019•全国n理第9题）下列函数中，以2为周期且在区间工，不单调递增的是（）z、

A./（x）=|cos2x|B./（x）=|sin2x|C./（x）=cos|x|D./（x）=sin|x|

14.（2019・全国I•理•第11题）关于函数/（%）=sin|x|+卜in.有下述四个结论：

①f（x）是偶函数②/（X）在区间怎,万］单调递增

③f（x）在|-小汨有4个零点④/（%）的最大值为2

其中所有正确结论的编号是（）

A.①②④B.②④C.①④D.①③

二填空

L（2021年高考全国甲卷理科•第16题）已知函数/（X）=2cos（0X+0）的部分图像如图所示，则满足条件

/w-ff/«-0的最小正整数X为.

2.(2020年高考课标III卷理科•第16题)关于函数/(x)=sinx+^—有如下四个命题：

sinx

①/(x)的图像关于y轴对称.

②/(x)的图像关于原点对称.

7T

③/(X)的图像关于直线x=-对称.

@/(x)的最小值为2.

其中所有真命题的序号是.

3.(2020江苏高考•第10题)将函数y=3sin(2x+?)的图象向右平移£个单位长度，则平移后的图象中与V轴最近

46

的对称轴的方程是—.

4.(2020北京高考•第14题)若函数/(x)=sin(x+°)+cosx的最大值为2,则常数9的一个取值为.

5.(2022年高考全国乙卷数学(理)•第15题)记函数/(%)=85(。%+0)(。>0,0<0<兀)的最小正周期为了，

若/(T)=乎，》=?为/(*)的零点，则。的最小值为.

6.(2019•北京•理•第9题)函数/(x)=sin22x的最小正周期是.

考点04三角函数综合应用

1.(2022年高考全国甲卷数学(理)•第n题)设函数/(x)=sin(s+mj在区间(0㈤恰有三个极值点、两个零点，则①

的取值范围是()

5135191381319

A.B.C,D.

39~637~6~6,366

2.(2019•全国III理第12题)设函数/(为=5m(西+^)(0>0),已知“X)在［0,2司有且仅有5个零点，下述四

个结论:

①“九）在（0,2兀）有且仅有3个极大值点②/（力在（o,2K）有且仅有2个极小值点

③"改）在（0,3单调递增④。的取值范围是『言）

其中所有正确结论的编号是（）

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

3.（2020北京高考・第10题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（%Day）.历史上，求圆周率%的方法有多

种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔・卡西的方法是：当正整数"充分大时，计算单位圆的内接

正6〃边形的周长和外切正6〃边形（各边均与圆相切的正6〃边形）的周长，将它们的算术平均数作为2万的近似

值.按照阿尔•卡西的方法，乃的近似值的表达式是（）.

".30°30°）J.30030°）

A.3〃sin---Ftan---B.6〃sin----Ftan

nnJnnJ

二填空

i.（2022年浙江省高考数学试卷•第17题）设点p在单位圆的内接正八边形444的边44上，则

PAi+P42++P£的取值范围是.

2.（2023年新课标全国I卷•第15题）已知函数/'（X）=COS0X-1（。＞0）在区间[0,2可有且仅有3个零点，则。

的取值范围是.

3.（2023年新课标全国II卷•第16题）已知函数/（X）=sin®x+0），如图A,B是直线y与曲线y=/（%）的

两个交点，若恒/=:，则〃兀）=______.

6

歹八

\V\V:

三解答题

1（2019•浙江•第18题）设函数f（x）=sinx,R.

（I）已知Je[0,2万）,函数/（尤+。）是偶函数，求6的值;

（ID求函数交如+各％"入押的值域

2.（2021年高考浙江卷•第18题）设函数〃x）=sinx+cosx（xeR）.

（1）求函数y=/^+的最小正周期；

⑵求函数y=〃x）小-口在0,|上的最大值.

3（2023年北京卷•第17题）设函数/（X）=5也0%（：050+（：05。小垣0［。〉0,|.

（1）若/（0）=—等，求9的值.

兀2兀1J2兀\

⑵已知了⑺在区间-§，可上单调递增，/§=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一

个作为已知，使函数『⑺存在，求私0的值.

条件①：后；

（兀、

条件②：f--二一1;

\3）

7171

条件③：区间一,，一］上单调递减.

注：如果选择的条件不符合要求，第⑵问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计

分.

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

4<09三会备照

高存•存瓶分析

三角函数作为高考必考题，高考题型一般作为小题出现，偶尔也会出现解答题。小题部分一般是函数解析式应用,

求参数取值范围。

考点01三角函数概念

考点02三角函数恒等变形

考点03三角函数图像及性质

考点04三角函数综合应用

高存真魅精折

考点01三角函数概念

1.（2020年高考课标II卷理科•第2题）若a为第四象限角，则

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

【答案】D

【解析】方法一：由a为第四象限角，可得一\2kn<a<2兀+2k兀,kwZ,

2

所以3〃+4k兀<2a<4TT+4k兀,keZ

此时2a的终边落在第三、四象限及》轴的非正半轴上，所以sin2a<0

故选：D.

方法二：当。=——时，cos2a=cos>0,选项B错误;

6

2万

当a=——时，cos2a=cos<0,选项A错误;

由a在第四象限可得：sin（/<0,cosa>0,则sin2e=2sincrcoscr<0,选项C错误，选项D正确；

故选：D.

【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力

和计算求解能力.

2.（2020年高考课标I卷理科•第9题）已知tze（0,兀），且3cos2c-8cosc=5,贝！Jsina=（）

V5

39

【答案】A

【解析】3cos2a-8cos2=5,得6cos2。一8cos。一8=0，

2

即3cos之a—4cosa—4=0，解得cosa=一耳或cos。=2(舍去)，

2

又aG(0,^),.\sina=Vl-cosa=一■•

故选：A.

【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力,

属于基础题.

(jrACOSOL

3.(2021年高考全国甲卷理科•第9题)若aeO,1,tan2tz一；—，贝!]tan<z=()

I2)2-sintz

A.叵B,正C.V5D.叵

155V3

【答案】A

cos。

【解析】tan2a=

2—sina

csin2a_2sin。cosa_cosa

..Ldll^(JC—

cos2al-2sina2-sina

吟.…一八.2sin。1

解得sina=一,

<2J7'l-2sin2a2-sin。4

A/L5sinay/15

/.cos。=vl-sin2tx，..tailex

4cosa15

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sina.

7T

4.(2020年高考课标III卷理科•第9题)已知2tan6Man(6+—)=7,贝!Jtan<=()

4

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】2tan6—tan(6+工1=7,.­.2tan^-tan^+1=7,

k4J1-tan。

令/=tanO/Wl,贝iJ2f—二=7,整理得/—々+4=0,解得，=2,即tan6=2.

1-t

故选：D.

【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题

二填空

1.(2020年浙江省高考数学试卷•第14题)已知圆锥展开图的侧面积为2兀，且为半圆，则底面半径为

【答案】1

【解析】设圆锥底面半径为小母线长为/,则

TTxrx/=2TT

解得r=1,1=2.

2x7rxr=-x2x7rx/

2

2.（2021高考北京•第14题）若点A（cos6,sin。）关于》轴对称点为8（cos（e+5）,sin（e+9））,写出夕的一个取值为

66

【答案】石■（满足。=+即可）

【解析】A（cos6»,sin。）与8cos^+^,sin^+^关于》轴对称，即8招+看关于》轴对称,

rr57r

0+-+0=^+2k7V,keZ,则。=左"+二，左eZ,当左=0时，可取夕的一个值为——.

61212

故答案为：——（满足。=左"+——,左€2即可）.

1212

3.（2023年北京卷•第13题）已知命题P：若名尸为第一象限角，且。>，，则tanc>tan〃.能说明p为假命题的

一组«,0的值为a=,B.

_9兀7T

【答案】①.二②.二

43

【解析】因为/（x）=tanx在10,鼻上单调递增，若0<%<&<5,则tan&vtanA，

取a=24］兀+4,/?=2月兀+夕。,乐42eZ,

则tan1=tan（2^71+a0）=tan%,tan/?=tan（2左2兀+4）=tan/^,即tantz<tan/?,

令\>k2,则。一夕=（2勺兀+%）_（2左2兀+4）=2（勺_k2）兀+（%_4），

jr3几

因为2（左］—左2）兀22兀,一,vCCQ—BovO，则<z—4=2（左］—履）兀+（%—0o）>>0，

即匕>M，则。>力.

jrjrQjr7E

不妨取匕=1,^2=O,cro=—，^）=—,即a=—,/?=1满足题意.

,,,9兀71

故答案为：—.

43

TT

4.（2020年浙江省高考数学试卷•第13题）已知tan。=2,贝hos29=；tan（8——）=

4

31

【答案】⑴.--（2）.-

cos20-sin20__1-tan2_1—223

【解析】cos20=cos20-sin20=

cos20+sin201+tan201+225

/八tan<9-12-11

tan（6—兀—）、

1+tan8T723

TC

5.(2014高考数学陕西理科•第13题)设0＜。＜万，向量。=(sin20,cos23),b=(cos6,1),若0〃6,则tan。=

【答案】:

解析：a=(sin2(9,cos,b=(cos。」),因为0//方,所以sin26-cos?6=0,

2

2sincoscos0=0fBPtan^=—.

考点02三角函数恒等变形

1.(2023年新课标全国I卷•第8题)已知sin(。一/7)=Lcosisin/?=L则cos(2。+2/?)=().

36

7117

L-B.-C.——D.

9999

【答案】B

【解析】因为sin(。一，)=sinocos，—cososin/?=’,而cosasin/?二!，因止匕sinacos/?=，,

362

贝!Jsin(o+,)=sinacosp+cosasinj3=—9

2i

所以cos(2a+2尸)=cos2(o+/?)=l-2sin2(i+/7)=1-2X(§)2--.

故选：B

锐角，cosa=1+"，e•a

2.（2023年新课标全国II卷•第7题）已知a则sm—=().

42

A.3-二B-1+A/5C3-有DT+行

8844

【答案】D

解析:因为cosa=l—2sin?q=*且，而1为锐角,

24

解得：sinq=)3-V5_1(^-1)_75-l.

2v8-16-4

故选：D.

3.（2021年高考浙江卷•第8题）已知a,£,7是互不相同锐角，则在sinacos△sin/cos-in/cosa三个值中，大于

I的个数的最大值是

()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

解析:法1：由基本不等式有sinacos£Va+cor£,

口eqjsin2B+cos2y/sin2y+cos2a

I可埋sm夕cosy<-----------,sinycosa<------------

故sinacos尸+sin4cos/+sin7cos二〈一,故sinacos/?,sin分cos/sin/cosa不可能均大于一.

22

取0=£,B,7=?，贝Usinacos尸=；<；,sin(3cos/=>^,sinycosa=,

故三式中大于3的个数的最大值为2,故选C.

法2：不妨设a<B<y,则coscif>cos^>cossinavsin/?<sin/,

由排列不等式可得：

sinacos4+sin4cosy+sin/cosa<sinacosy+sin尸cos°+sin/cosa,

13

而sinacos/+sin/?cos(3+sin/coscr=sin(/+(7)+—sin2y0<—,

sinacosf3,sin(3cos/,sinycosa不可能均大于《.

取。=生,丫=±,则sina8s〃4J,si“8s/=^>Linsa=^>L

634424242

故三式中大于g的个数的最大值为2,故选C.

4.（2021年新高考I卷•第6题）若tan。=-2,贝汁吧巴上吧型=

)

sin0+cos0

、6-2-2n6

A——B.——C.-D.-

5555

【答案】C

解析:将式子进行齐次化处理得：

sin8(1+sin29)sin0(sin20+cos29+2sin9cos0\

-----------------------------=sin9(sin0+cos9)

sin0+cos3sin9+cos9

2

sin9(sin9+cos。)tan0+tan6^4-2244r、4"

sin26+cos201+tan201+45

a7

5.(2022新高考全国II卷第6题)若sin(dz+夕)+cos(cr+/?)=2&cos[^~sin/?,则

A.tan(a-7?)=lB.tan(o+尸)=1

Ctan(a-/)=-lD.tan(a+0=-l

【答案】C

【解析】由已知得：sin。cos°+cosasin/?+cosacosj3-sinasin0=2(cosa-sina)sin/?,

即：sinacosP-cosasinj3+cosacos+sincrsin/?=0,

即：sin(a-6)+cos(a-A)=0所以tan(a-K)=-l,故选：C

6.（2019・上海・第16题）已知tana-tan』=tan（a+0.

①存在a在第一象限，角/?在第三象限；

②存在C在第二象限，角夕在第四象限；

B.①②均正确；B.①②均错误；C.①对，②错;D.①错，②对

【答案】D

【解析】(推荐)取特殊值检验法：例如：令tana」和tana=-L求tan/看是否存在.(考试中，若有解时则

33

认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)，选D

(一般方法)

设tana=x,tan4=y4ij^=-------=>盯一(孙)=%+y；

1-xy

以》为主元则可写成：+(1—x)y+x=0,其判别式△=(1—xf—4x3；

设函数g(x)=(x—行―4光3,并设为<马，贝U

“"J~=(Xj+X2)-2-4(X；+x/2+x；)

再-x2

即g(x)单调递减；

而g(O)=l,g(l)=Y,故g(x)=0的零点在(0,1)上，设为。；

则当x<a时，g(x)>0,当时，g(x)<0；

故存在x>0使得△=(1—X)2-4X3>0

而对方程%)>+%=0,根据韦达定理，J:

%.%=一

IX

y,+y<0

存在1>0时，而ovxvi使得对应的y存在，而此时<9c,故此时y必为负数，即夕在n或w象限;

〔乂•％〉0

也同样存在％<0,使得对应的〉存在，此时〈c，故此时必存在一个>值为负数，另一个〉为正数，

〉0

即夕在II、IV象限或I、III象限均可，故选D.

【点评】本题主要考三角恒等变换、不等式综合.

7.(2019・全国H•理•第10题)已知。£[0,gJ,2sin2a=cos2a+l,则sina二

)

1B小「GD.半

A.-D.----------

553

【答案】B

【解析】*.*2sin2a=cos2a+EA4sina-cosa=2cos2a.cifG(0,-1-j,cosa>0,sincr>0,

21'\[5

・・2sina—cosa,又sin?cc+cos?a=1,♦•5sin?a=1，sina=二，又sin。>0,・・sina——，故选

55

B.

【点评】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案.本题为三角函数中

二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难,

需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉.

二填空

1.(2022年浙江省高考数学试卷.第13题)若3sina—sinQ=+£=则sina=