2023-2024学年江西省高一下册联考数学试题（含答案）

2023-2024学年江西省高一直升班下册联考数学试题

一、单选题

1.已知复数Z=工(其中i为虚数单位)，贝”的共规复数虚部为()

ʌ.B-，C.ɪD.

【正确答案】D

【分析】根据复数的概念，共甑复数的定义与运算法则即可求解.

【详解】依题意,

ii(l-i)i(l-i2)1i

因为Z=TTrG⅛=⅛-+-

22

所以六其虚部为T

故选：D.

2.已知角ɑ顶点在坐标原点，始边与X轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P

..ITt

贝IJtan(π-a)-cosIɪ+σ()

ʌ328e29

ʌ-15bC.D.——

∙⅛1515

【正确答案】A

【分析】通过三角函数定义得出角。的三角函数值，利用诱导公式化简表达式后求出数值.

/34、344

【详解】角α终边与单位圆交于点尸卜丁"，则COSa=sina=-,tana=—；.

*/、(兀14432

tan(π-a)-cos—+α=-tanα+sι∏6Z=-+—=—.

12)3515

故选：A.

3.已知向量α=(2,T,2),6=(1,2,3),则向量0在向量〃上的投影向量为()

4221212]

^3,3"ɜjB.^3,3,^3j

4_242ɪ2}

3,^3,3D.3^3,3j

【正确答案】C

a∙ba`b

【分析】向量匕在向量α上的投影为口，投影向量为"P,其中e为与α同向的单位向

ab

量，分别计算开，e,代入即可.

H

【详解】因为1(2,T,2),6=(1,2,3),所以α∕=6∙

a∙b6C

向量6在向量”上的投影为而=§=2

设e为与“同向的单位向量，则e=||=:(2，T，2)

ab2/c,c、/424

向量方在向量α上的投影向量为Ue=§(2,-1,2)=

故选：C

4.已知两点A(l,-2),8(2,1),直线/过点P(O,T)且与线段AB有交点，则直线/的倾斜角

的取值范围为()

π3π

B.2,T

πππ3π

D.

4,22,T

【正确答案】C

【分析】作出图形，求出PAPB的斜率，数形结合可求得直线/的斜率的取值范围，再由斜

率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围.

【详解】如图所示，直线R4的斜率心,，=：?=-1,直线M的斜率%s===l.

1—02—0

由图可知，当直线/与线段AB有交点时，直线/的斜率左e[-Ll],

因此直线/的倾斜角的取值范围是O,-u—,πl.

故选：C

W、

5.已知函数/(x)=ASm(S+e)(其中A>0,<y>0,O<0<])的部分图象如图所不,

则下列说法正确的是()

B./(x)图象的对称轴方程为刀与+桁，keZ

C./(x)图象的一个对称中心为C

D.当函数“X)取得最大值时，x=∖+2E,keZ

【正确答案】C

【分析】法一：根据图象求出函数A48,可得函数解析式，结合正弦函数的单调性即可判

断A；求出函数的对称轴方程即可判断B；求出函数的对称中心可判断C；求出函数取得最

大值时对应的X的值，可判断D.

法二：根据函数图象求得函数解析式中的参数，可得函数解析式，采用特殊值法或者代入验

证的方法一一判断各选项，即可判断出答案.

【详解】法一：设函数/(x)的最小正周期为7,由题图可知A=2,-V)=I7,即

3π3τ

—=­/，

44

ɔJT

所以T=π,所以。=竽=2,所以/(x)=2sin(2x+0.

因为，倍)=2sin|2x9+夕)=-2,所以2、V+9=-弓+2也，kεZ,

即G=-T+2E,kS又因为0<°<],所以0=],所以"x)=2sin(2x+1J.

>TVl^Γ

2

令---1-2kπ≤2x÷—≤—+2kπ,AeZ,得一——∖-kπ<x<∖-kπ,AeZ,

2321212

5π7Γ5JtJr

当Z=O时，一e+E≤x≤M+E即为一二≤x≤N,

12121212

而γ≤v≤m但，笈]不是[_*勺的子集，

12412L46」1212

所以函数/(x)在器上不是单调递增的，故A不正确；

AA7T兀，_√-,TrkuL

令2xH—=—h⅛7Γ,kWZ,得rX=—I----,kIeZW,

32122

所以函数“X)图象的对称轴方程为X=展+g,ZeZ,故B不正确；

令2x4—=E,ZeZ,得X=-----1---->keZ,令A=I,则χ=∖,

3623

所以函数/(x)图象的一个对称中心为(方，0),故C正确；

TTTTTT

当2x+§=1+2E,ZeZ,即X=丘+E,&eZ时，函数取得最大值，故D不正确.

故选：C.

法二：设函数/(x)的最小正周期为T.由题图可知，A=2,

V-[-g]=]τ,即号==T,所以T=π,所以0=§=2,

12∖6J444T

所以/(x)=2sin(2x+c).

7π=2sin∣2×-+⅞t>j=-2,所以2x“7π+。Tl

因为/-----F2E,k£Z,

^12I12；122

所以9=-1+2E,JteZ,又因为O<0<],所以e=T，所以f(x)=2sin(2x+]).

ππππ

令X哈一找,因为.2sin—+—=2,

46⅞63

TrTT

即函数/(x)在-1天上有最大值且不是在端点处取到，故A不正确；

由题图可知，直线X=W是函数"X)图象的一条对称轴，但不满足X=^l+E,kwZ,故

B不正确；

当Y时,噌)=2Si吟++=0,故/(x)图象的一个对称中心为停0),C正确;

当X=看+兀时，f[+π=2sin2信+兀+g=2,此时函数/(x)取得最大值，但不满

Tl

足X=五+2E,k^Z,故D不正确.

故选：C.

6.已知圆（7:（》-6）2+（），-8）2=1和两点/1（0,—加），B（0,㈤（加>0）.若圆C上存在点尸，使

得ZAPB=90。，则，"的最大值为（）

A.12B.IlC.IOD.9

【正确答案】B

【分析】将问题转化为以AB为直径的圆。与圆C有公共点的问题来列不等式，解不等式求

得，"点的取值范围，由此求得加点的最大值.

【详解】解：以AB为直径的圆。的方程为/+V=m2,圆心为原点，半径为｛=机.

圆。：0-6尸+（丫-8）2=1的圆心为（6,8）,半径为弓=1.

要使圆C上存在点P,使得NAPB=90。，则圆。与圆C有公共点，

所以hγ∣≤∣oq≤k+目，即一Il≤j6,+82≤w+[,

∣m-l∣≤10

所以,M+l∣≥10,解得9≤m≤ll,

m>0

所以机的最大值为11.

故选：B.

7.我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童.若一刍童为正棱台，其上、下底

面分别是边长为夜和2夜的正方形，高为I，则该刍童的外接球的表面积为（）

A.16ττB.18%C.20πD.25π

【正确答案】C

【分析】根据题意，作出图形，设该刍童外接球的球心为O,半径为七分两种情况讨论，

分别根据条件列出方程组，即可求出外接球半径，代入球的表面积公式计算即可求解.

【详解】设该刍童外接球的球心为。，半径为R，上底面中心为。一下底面中心为。2,则

由题意，O1O2=1,AO2=2,A0=l,OA=OAi=R.

如图，当。在。o?的延长线上时，设。Q=人，则在∆Aoa中，於=川+4①,

在ΔΛ∣O。中，炉=（∕z+iy+l②，

联立①②得/7=1,R2=5,所以刍童外接球的表面积为20TΓ.

同理，当O在线段a。上时，设。。产3

则有K?=必+1,Λ2=(l-Λ)2+4,解得〃=2,不满足题意，舍去.

综上所述，该刍童外接球的表面积为20几

22

8.已知耳,写是椭圆C:=+与=l(a>6>0)的两个焦点，过月的直线与椭圆C交于M,N两

ab^

点，∣M段TM用=RM用+∣N用=IN周，则椭圆C的离心率为()

A∙2B∙®c∙姮D.史

5554

【正确答案】B

【分析】由已知条件和椭圆定义，将IMNIjM巴|,|用耳∣,∣N鸟I用。表示，在MN心中求出

CoSNNMF"在月写用余弦定理，建立4。等量关系，即可求解.

【详解】由椭圆的定义可得四用+IM用=2α,

Q1

结合IM勾TM用=α可得IM图=^”,∣MZ∣=]α,

由ξ∣+W周=IN段可得;α+1N用=,

由椭圆的定义可得IA闾+∣MJ∣=24,所以IN周=%,∣N6=乎,

92

cos心=MF+"I叫Fɪ=ɜ

在；MN6中,

2∖MN∖∖MF2∖155

4

2

在Z∖Mf;E中，I耳乃F=4/=IM耳『+1MgI-21MF1∣∣MF2∖cosZNMF2,

42/1、2/3、2C1338

4c=(—α)+(—6z)-2×-<7×-^∙(7×-=-«2,

2

•—c=—2∙e=√-I-0.

"a25'"5

故选：B

方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）,

常见有两种方法：

①求出α,c,代入公式e=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于α,b,C的齐次式，结合从=/_。2转化为“，C的齐次式，

然后等式（不等式）两边分别除以“或。2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可

得e（e的取值范围）.

二、多选题

9.下列说法中正确的是（）

A.直线χ+y+2=0在y轴上的截距是一2

B.直线x+gy+l=0的倾斜角是60°

C.直线/^7+m+2=0（“?€14）恒过定点（-1,2）

D.过点（1,2）且在X.轴、＞轴上的截距相等的直线方程为x+y-3=O

【正确答案】AC

【分析】对于A,令x=0,求出y,即可判断；对于B,求出直线的斜率，进而可得倾斜

角，即可判断；对于C,直线方程可化为（x+l）m-y+2=0,再令x+l=0即可判断；对于

D,分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判断.

【详解】对于A,令X=0,则产-2,

所以直线χ+y+2=0在y轴上的截距是-2,故A正确；

对于B,直线x+√5y+l=0的斜率为-半，所以其倾斜角为150。，故B错误；

又寸于C,直线/71¥—'+机+2=0（〃2€氏）化为（工+1）加一），+2=0,

所以直线尔-y+机+2=0（∕n∈R）恒过定点（-1,2）,故C正确;

对于D,当直线过原点时，直线方程为y=2x,

当直线不过原点时，设直线方程为2+2=1,

aa

将(1,2)代入解得a=3,

止匕时直线方程为χ+y-3=o,

所以过点(1,2)且在X.轴C轴上的截距相等的直线方程为x+y-3=O或y=2x,故D错误.

故选：AC.

10.下列说法中正确的是()

A.非零向量α和》满足同=W=,叫，则α与α+O的夹角为60。

B.向量备=(2,-3),«2=(；,不能作为平面内所有向量的一组基底

C.若CiHb，则。在。方向上的投影向量的模为Ial

D.若α=(l,2),b=(l,l),且α与〃+劝的夹角为锐角，则实数2的取值范围是(-|，+8)

【正确答案】BC

【分析】利用数量积的运算律可得入〃=3,］，再求出门+可，最后根据夹角公式计算即可

判断A,由q=4e)即可判断B,根据投影的定义判断C,根据“∙(α+×½)>0且〃与α+2b不

能同向，即可得到不等式组，解得即可判断D.

【详解】对于A：由M=W=Ia-.，卜—q=yj(a∙~b)=∖∣a-2a∙b+b=^|«|—2α∙⅛+∣⅛∣,

所以时=W=∣α∣-2α∙fc+∣⅛∣,即“∙6=g,,

所以卜+N=J(α+/?)=V«2+2a∙b+b-+2α∙Z>+∣⅛∣=6M'

7

f∖a∖a-∖-b∖~k∣C

所以cos(α,α+A)=丁s一4=二=空，所以0与4+6的夹角为30。，故A错误；

'/刚。+目√3∣β∣2

对于B：由q=(2,-3),所以《=色，则“与与共线，不能作为平面向量的

基底，故B正确；

对于Ca∕∕b.则«&=0或("&=兀，则£在1方向上的投影向量的模为W-cos«,9=W，

故C正确;

对于D：由α=(l,2),Z?=(1,1),则α+4b=(l+4,2+4),

若“与4+a的夹角为锐角，则”•(“+超)＞。且“与〃+4不能同向，

(7‰+Λ⅛)=l+2+4+2∕l=5+3λ＞05

即',，解得4＞一;且；IwO,故D正确；

2(l+λ)≠2+λ3

故选：BC.

JT

II.如图，在扇形OPQ中，半径OP=1,圆心角NPOQ=工，C是扇形弧PQ上的动点，矩

O

形ABa＞内接于扇形，记NPOC=α.则下列说法正确的是()

TT

B.扇形0P。的面积为Z

6

C.当Sina=!时，矩形ABa)的面积为拽二立

39

D.矩形ABa)的面积的最大值为三叵

2

【正确答案】ACD

【分析】根据弧长公式可判断A；根据扇形的面积公式可判断B；解直角三角形求得AB,BC

的长，即可求出矩形ABCr)的面积的表达式，结合三角函数的恒等变换化筒求值，可判断C,

D.

TT

【详解】由题意知，在扇形OPQ中，半径OP=I,圆心角NPOQ=2，

O

TTTT

故弧PQ的长为^xl=z,A正确；

66

扇形OPQ的面积为I1XEJrXl=与TrB错误；

在RtΔOBC中，OB=OC'COSa=cosa,BC=OCSina=Sina,

在RtZ∖OAO中，04==√5BC=Gsinα,AB=OB-OA=cosa一GSina,

则ABC。的面积S=AB∙BC=(cosɑ-ʌ/ɜsina)sina

1.ɔɪvɜɔ√3.cj、G

=—sin2a+——cos21------=sιn(22+—)-------,

22232

当Sina=!时，XO<cr<y,故CoSa=

363

则sin2a=2sinacosa=4ecos2a=1-2sin2ɑ=ɪ,

99

π,l.吟∙Cπ,.π4√217√34√2+7√3

则sin2a+-=sιn2αcos-÷cosz2αsιn-=------×-+—×——=---------------,

∣k3J33929218

则S=Sin（2α+3-旦坦史-与巫史，

321829

即矩形ABC。的面积为速二叵，c正确；

9

由C的分析可知矩形ABCD的面积S=Sin（2α+工）-正，

32

当sin（2α+母）=1,即α==时;矩形ASc。的面积取最大值纪叵，D正确，

3122

故选：ACD

关键点睛：解答本题的关键C,D选项的判断，解答时要结合解直角三角形，表示出边4B,BC

的长，从而表示出矩形ABC。的面积，再结合三角函数的恒等变换，即可判断这两个选项的

正误.

12.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符

号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，

曲线C：V+V=IXl+∣yI就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论，其中结论

正确的有（）

A.曲线C围成的图形的面积是2+兀

B.曲线C围成的图形的周长是2√^π

C.曲线C上的任意两点间的距离不超过2

D.若P（见〃）是曲线C上任意一点，则|3加+4〃-121的最小值是0-5&

2

【正确答案】ABD

【分析】根据方程分析曲线C的性质以及图象，根据曲线C的性质和图象结合直线与圆的

相关知识逐项分析判断.

【详解】对于曲线C:f+y2=IX∣+∣）,|上任一点p（租,〃）,则加+n2=∖m∖+∖n∖,

点P（W）关于）轴对称的点为A（T7?,n）,则（-zn）?+n2=m2+n2^ιn∖+∖n∖=]-m∖+∖n∖,

即点片（-加,〃）在曲线C上，故曲线C关于轴对称；

点P(∕H,")关于X轴对称的点为6(m,-w),则M+(_”)？=a2+”2=),"∣+∣"I=Im|+|_川,

即点6(一见〃)在曲线C上，故曲线C关于X轴对称；

点P(m,n)关于原点对称的点为Q(f4f),则

(-m)^+(-ft)=m2+n2=∣/?i∣+1w∣=∣-m|+1-/2|,

即点6(-"4-〃)在曲线C上，故曲线C关于原点对称；

综上所述：曲线C关于坐标轴和原点对称.

对于方程X1+y1^x∖+∖y∖=x+y,

令)，=0,则χ2=∣χ∣,解得χ=0或X=±1,即曲线C与X轴的交点坐标为

4(1,0),0(0,0),C(TO),

同理可得：曲线C与＞轴的交点坐标为8(o,ι),o(o,o),o(o,τ),

当X≥θ,yN0时，则f+y2=IXl+∣y∣=χ+y,整理得(Xf丫一;=

故曲线C在第一象限内为以为圆心，半径r=乎的半圆，

由对称性可得曲线C为四个半圆外加坐标原点，

//-\2-1

对A：曲线C围成的图形的面积S=4—×1×1+-π×-ɪ-=2+π,A正确；

对B：曲线C围成的图形的周长是L=4χ1χ2兀XYz=2&兀，B正确；

22

y-x

即曲线C与直线y=χ在第一象限内的交点坐标为M(I,I),由对称可知曲线C与直线y=χ在

第三象限内的交点坐标为N(T,T),

22

则∖MN∖=5∕(1+1)+(1+1)=2√2>2,C错误;

对D：由图结合对称性可知:当尸(孙〃)在第一象限时，点尸(见〃)到直线，：3x+4y-12=0的

13//2+4n-12113m+4n-121

距离d=相对较小,

5

到直线/：3x+4y—12=0的距离∣3×2+4×2-12117,

l22j4=5=记

则点P(S力到直线/：3X+4)，-12=0的距离d≥4_r=□-变，

'102

.∙.13机+4〃-121=51≥I"普

故|3加+4〃-12|的最小值是"V拉,D正确.

2

故选：ABD.

×

D

方法点睛：

(1)通过方程研究曲线的对称性时，往往通过点的对称证明曲线的对称性;

(2)研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位

置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较.

三、填空题

13.在空间直角坐标系中，记点例(1,2,T)关于X轴的对称点为P,N(1,-1,2)关于平面WZ的

对称点为。，则IPa=.

【正确答案】√6

【分析】利用对称性求对称点坐标，应用空间两点距离公式求∣PQ∣∙

【详解】依题意，知(1,2,-1)关于工轴的对称点为2(1,—2,1),

N(1,T,2)关于yθz平面的对称点为Q(T,-1,2),

所以IPQI=√(l+l)2+(-2+l)2+(1-2)2=√6.

故指

14.直线∕∣：X+y-1=O关于直线l2:3x-y-3=O的对称直线方程为.

【正确答案】x-7y-l=0

【分析】先求得两直线的交点坐标，然后在4"+y-ι=o任取一点，求得其关于直线

33x-y-3=O的对称点，即可求得答案.

【详解】联立4"+"=0和直线/2：3》7_3=0,

求得它们的交点为A(LO),

在直线，：x+y-1=0取点在0,1),设其关于l2∙.3χ-y-3=0的对称点为Cab),

121

,解得C(M，7,

故直线lt：x+y-l=0关于直线l2-.3x-y-3=0的对称的直线为AC,

1

其斜率为τ5-=:，直线方程为y=∖(χ-i),即x-7y-l=0,

__177

5

故x-7y-l=0

15.在AΛBC中，G满足G4+GB+GC=0,过G的直线与AB,AC分别交于例，N两点.若

AM=mAB(m>0),AN=nAC(n>0),贝∣J3〃?+”的最小值为.

【正确答案】4+演

3

【分析】根据题意可知G为三角形的重心，利用三点共线可得，-+4=1,再由均值不等

3m3n

式即可求最值.

【详解】取BC中点O,连接G。，如图，

由GA+GB+GC=0可得成+2Gb=()，S|JGA=-2GD-

所以AG。三点共线且AG=2GD,即G为..45。的重心，

→2-2Irf→A1<1→1→A

所以AG=-AO=-X-AB+AC∖=-∖-AM+-AN,

332V）3（机n）

因为M,GN三点共线,

所以—U

EC/c、/11^4nm八C

又3〃7+〃=（3加+〃）——+—=—+——+—,m>0,n>0

∖3nι3n）33mnf

匚亡…-4Γn—m4+2百、…EW拄m

所以3m+〃≥-+2J----------———,当且仅当丁=一,

3∖3mn33mn

即机=三正,"=¥电时，等号成立，

93

故3

3

16.在正四棱柱ABCQ-A4G。中，AB=LΛ4,=4,E为DQ中点,P为正四棱柱表

面上一点，且B1E,则点P的轨迹的长为.

【正确答案】√5+√2∕√2+√5

【分析】过CJ故与直线BW垂直的平面α,则点P的轨迹的长即为平面α与正四棱柱的交线

长.

【详解】如图，连接8Q,AC1,由题可知，ACl±B,Dl,EQj平面A4GR∙

因AGU平面A1B1C1D1,则ED11AχCl.

又BQU平面EBQ,ED、U平EBA,EDaBn=则ACi平面EBQ.又B∣Eu平

面EBR,则GA1B1E;

如图，过E做AG平行线，交CG于F,则尸为CG中点.连接EF,S1F,

过Cl做BF垂线，交8用于G.

由题可得，AG，平面8cc∣4,又EF〃2G，则所/平面8cc4.

因C1GU平面BCC1B1,则C1G1EF.

又B∣Fu平面4FE,FEU平面B∣FE,FE∏BtF=F,则CQ_L平面B/E.

因qEU平面B/E,则GG1B1E5

因GGU平面GGA∣,GAU平面GGA,,ClAt∏ClG=C1,则B∣E，平面GGA∣.

连接A。，则点P轨迹为平面CGA与四棱柱的交线，即^AGG.

注意到NBClG+NGClF=ZGC1F+ZB1FC1=ZB1C1G=ZB1FC1,

ZCM=NFCg,则CEFFCiBl,故笑=,=2=80=；.

Γ>∣L7Cln.Z

则点尸的轨迹的长为AG+C1G+Λ1C,=2ʧ1+ɪ+√2=√5+√2.

故答案为.石+&

关键点点睛：本题为立体几何中的轨迹问题，难度较大.

本题关键为做出轨迹，即过定点做空间直线的垂面，因直接做出平面难度较大，故转化为做

空间直线所在平面的垂线.

四、解答题

17.已知直线/经过点户(-2』)，且与直线x+y=O垂直.

(1)求直线/的方程；

(2)若直线m与直线/平行且点P到直线m的距离为近,求直线m的方程.

【正确答案】(I)X-"3=0

⑵x-y+5=0或x-y+l=0.

【分析】(I)根据直线垂直的性质设出直线/的方程为χ-y+"=o,将点P(-2,1)代入即可求解;

(2)设直线机的方程为χ-y+7=0,利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】(1)设直线/的方程为χ-y+"=o,

因为直线/经过点P(-2,l),所以—2-1+〃=0,解得：〃=3,

所以直线/的方程为χ-y+3=0.

(2)结合(1)设直线团的方程为χ-y+r=0,

因为点P(-2,l)到直线m的距离为0,由点到直线的距离公式可得:

公与畀S解得:

/=5或，=1,

直线加的方程为：x-y+5=O或x-y+l=O.

故x-y+5=0或x-y+l=O.

18.已知椭圆5+W∙=l(4>b>O)焦点为6(-2,0),马(2,0),且过点。(一2,3),椭圆第一象

cΓb~

限上的一点P到两焦点Fi,F2的距离之差为2.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)求△尸片居外接圆的标准方程.

【正确答案】(1)E+^=1

1612

3Y25

2

(2)X+y-2=τ

【分析】(1)由条件列关于。力,c的方程，解方程求〃力,c,由此可得椭圆方程;

(2)由条件结合椭圆定义求IP制根据勾股定理证明尸K，KE,由此确定外接圆的

圆心和半径，由此确定圆的方程.

22

【详解】(1)椭圆・→m=l(α>O>O)过点。(―2,3),且焦点为E(-2,0),Z⅛(2,0),

c=2

49

则—+γj∙=1f解得：精=16,=12,

c2=a2-b2

所以椭圆方程为：—+^=1.

1612

H嚣:,得:陶=5,I明=3,

(2)由，

又∣^∣=4,..PF2LFiF29

所以点P的坐标为(2,3),

故外接圆圆心是PK的中点，圆心的坐标为(Oq

半径「=；归用=|,

⑴求函数〃X)的单调递增区间；

(2)将函数f(x)图像向右移动;个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的

“(0<α<l)倍得到y=g(x)的图像，若y=g(x)在区间上至少有4个最大值，求”的

取值范围.

【正确答案】(1)若Sjr+加五Tr+E,keZ

【分析】(1)化简f(x)的解析式，利用整体代入法求得函数〃x)的单调递增区间.

(2)根据三角函数图像变换的知识求得g(x),根据对称性以及最值列不等式，由此求得。

的取值范围.

【详解】(1)函数/(χ)=4sinXcosLv+—+√3=4sinx—cosx—sinx+∖∣3

Iɜj(2

(]6

=i2"T+√3=2—sin2x+cos2x=2sin[2x+^J.

22

JΓ7Γ7ESτrπ

令——+2E≤2x+-≤-+2E,kwZ,国军得一2——∖-kπ<x<∖-kπ,ZeZ,

2321212

所以单调递增区间为T+E.+E,%eZ

(2)将函数〃力的图像向右移动£个单位，可得>=2sin2x的图像；

O

再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的α(O<α<l)倍，

r)V*

得到y=g(χ)=2si吟的图像.

如果y=g(χ)在区间［T』上至少有4个最大值，

则y=g(χ)在区间［o,ι］上至少有2个最大值，在［TO］上至少有2个最大值，

2〉54

2

当XW-1,1］时，—∈：7,∙∙.o<"42,故实数〃的范围为自；

lj

a\_aa］2<lπ7π7π

.a~2

20.如图，直四棱柱ABCf)-A耳GR的底面是菱形，M=8,AB=4,ZBAD=60,E,M,N

分别是3C3张的中点.

⑴证明：MN//平面CQE；

(2)求三棱锥N-GDE的体积.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵8石

【分析】(1)结合三角形中位线性质可证得四边形MNZ汨为平行四边形，根据线面平行的

判定可证得结论；

(2)结合平行关系和体积桥可知所求为%∕ME,由线面垂直的判定可证得。E为三棱锥

D-GME的高，结合棱锥体积公式可求得结果.

【详解】(1)连接ME,BC,

ME分别为期,BC中点，,∙,ME为,B∣BC的中位线，.IMEaBCILME=JbC,

又N为Ao中点，ADHBC,AtD=BtC,.-.NDHBxC,ND=^B1C,

:,ME//ND,ME=MD四边形MM)E为平行四边形，

.∖MN∕∕DE,又MNU平面GOE，OEu平面CQE,M/V〃平面6。七.

(2)由(1)得：MN〃平面C]DE,..V'.GDE=VM-GDE=^D-C1ME

连接GM,ME,

在I-1--矩/'I—形/1/BCe∣lB1l中∣^，SCC∣M.'V∕CF=S0U(.CCCIZ>B∣_SDBCFMM一SCrIoR∣MM~VC<C.∣CF~32—4—8—8=12，；

四边形ABC。为菱形，ZBAD=GO,E为8C的中点，../)E_L5C,

DELCCi，BCnCCl=C,BC,CC∣u平面BCGBI,

DE上平面BCCIBI,则DE为三棱锥。-GEM的高，

22

DE=V4-2=26»Vo-ClMe=§S,C,ME∙DE=-×∖2×2∖∣3=8也,

三棱锥N-C1DE的体积为8石.

21...ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,在下列三个条件中任选一个作为己

知条件，解答问题.①2sinA-sinC-2SinBCOSC=()；@2S=√3AB-CB(其中S为ABC的

面积)；③〃2一毡〃CSin3+c2=".注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

3

(1)若b=4,ac=3f求α+c的值；

2+r2

(2)若一ABC为锐角三角形，求巴a/_的取值范围.

【正确答案】⑴α+c=5.

Q)加.

【分析】对于①:由SinA=Sin(B+C)代入经三角恒等变换得B=M

TT

对于②:由面积公式与数量积公式得B=-；

TT

对于③:使用余弦定理巨=a?+C2一2或cosB代入化简得8=].

在(1)中，使用余弦定理及其变形求得α+c的值；

在(2)中，使用正弦定理将边化为角，用A=彳-C将A转化为C的三角函数，使用三角恒等

变换化为一般式y=2SinkC-求范围.

【详解】(1)选择①:2SinA-SinC-2sin8cosC=0,

在JAeC中，A=π-(B+C),所以SinA=Sin(B+C),

所以2sin(5+C)-Sine-2sinBcosC=O,

整壬里得2sinBCOSC+2CoSBSinC-SinC—2sinScosC=O,

即2cos3sinC=sinC,因为OVCe%，sinC≠0,

故CoSB=g,而8w(0∕),从而B=q；

选择②:25=6AB∙C8,则αcsinB=6C4COSB,所以tanB=Ji,又B∈(θ,乃)，则B=。；

22

选择③：〃一^^aCSin8+c?=/，由余弦定理〃=a+c-2accosB,

3

得马叵sin8=2cos8,所以tan8=6,

3

jr

又B∈(0,万)，则B=§；

若b=4,ɑc=3,由余弦定理O?="+Y-2αccos8,

得16=a2+c2-2αccosɪ=(«+c)2-3ac=(a+c)2-9,所以α+c=5.

(2)由ABC为锐角三角形及8=。，得A=与且C∈W5J,所以Ceππ

-ceHZ'5

ab