全等三角形的概念及性质（专项培优训练）（教师版）

专题04全等三角形的概念及性质（专项培优训练）

试卷满分：100分考试时间：120分钟试卷难度：较难

试卷说明：本套试卷结合人教版数学八年级上册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问

题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强

化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。

一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（本题2分）（2023春・福建厦门•八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，在「ABC中，D是AC边上的中

点，连接把.BDC沿3。翻折，得到,BDC,OC'与A3交于点E,连接AC',若AD=AC=2,BD=3,

则C到3D的距离为（）

A.V?B.y/3C.75D.1

【答案】B

【分析】连接CC,交BD于点M,由翻折知，_BDCWBDC,3D垂直平分CC,证AOC’为等边三角

形，利用含30度的直角三角形性质及勾股定理求出ZW=1,CM=4即可得出答案.

【详解】解：如图，连接CC',交于点M,

：AD=AC=2,。是AC边上的中点，

DC=AD=2,

由翻折知，BDC”BDC,3D垂直平分CC,

/.DC=DC=2,BC=BC,CM=CM,

：.AD=AC'=DC'=2,

，.ADC'为等边三角形，

ZADC'=ZACD=ACAC=60°,

,:DC=DC,

：.ZDCC=ZDC'C=-x60°=30°,

2

在RtZkCDM中，

ZDCC=30°,DC=2,

：.DM=1,

;.CM=CM=石,

；.C到的距离为6,

故选B.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、折叠的性质、

全等三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

2.（本题2分）（2023•江苏•八年级假期作业）如图，在四边形ABCD与A8CD'中,

AB=A'B',NB=NB',BC=B'C'.下列条件中：①ZA=ZA',AD^AD'；②ZA=ZA',CD=C'D；③

ZA=ZA；ND=ZD'；@AD=ArDr,CD=C'D'.添加上述条件中的其中一个，可使四边形A3CD纟四边

形AB'C'D,上述条件中符合要求的有（）

D.①②③④

【答案】B

【分析】连接AC、A'C',通过证明厶亜。四△A'3'C'（SAS）,.ACD乌AC'。'（SAS）,故①符合要求，同理

可得③④符合要求，即可得到结论.

【详解】解：连接AC、4C,

在,/lBC与，A'3'C'中，

AB=A'B'

ZB=ZB,

BC=B'C

Z\ABC^Z^AB'C'（SAS）,

AAC=AC,ZACB=ZAC'B',ZBAC=ZB'AC',

,/ZBAD=ZB'AI>,

ZBAD-ZBAC=ZB'^D'-ZB'A!C,

ZDAC=ZD,A,C,,

在^ACD和△AC'。'中，

AC^A'C

<ZDAC=ZD'A'C,

AD=A'D'

；..ACD^A'CD'（SAS）,

AZD=Ziy,ZACD=ZA'CD',CD=CD',

：.ZACB+ZACD=ZAC'B'+ZAC'D',

：.ZBCD=ZB'C'D',

：.四边形ABCD与AB'C'D'中，

AB=AB',BC=B'C,AD=AD',DC=D'C',

NB=NB'，NBCD=NB'C'D',ND=ND',ABAD=AB'AD',

，四边形ABCD四四边形AB'C'D'.

故①符合要求；

同理根据③④的条件证得四边形ABCD0四边形AB'C'D'.

综上所述，符合要求的条件是①③④，

故选：B.

【点睛】此题主要考查了全等形，全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法

有：SSS、SAS、ASA、AAS.

3.（本题2分）（2022春•广东清远・八年级统考期末）如图，已知ABC中，AB=AC=6cm,BC=5cm,

点。为43的中点，如果点尸在线段BC上以Icm/s的速度由点8向C点运动，同时，点。在线段AC上由

点A向C点以2c〃?/s的速度运动.经过（）秒后，△BPD与VCQP全等.

B.2C.1.5或2D.无法确定

【答案】B

【分析】根据全等三角形的性质，进行分类讨论，列出方程即可求解.

【详解】

如图，设尸，。两点分别从BA两点同时出发运动启时,

则3P=/,AQ=2f,

ACP=BC-BP=5-t,CQ=AC-AQ=6-2t,

是A3中点，

BD=AD=—AB=3cm,

2

①当3PO四一CP。时，

ABP=CP,即t=5T,解得：t=~,

2

此时CQ=6-2x；=l,不符合题意，舍去，

②当8P。四一CQP时，

：,BP=CQ,即f=6-2f,解得:t=2,

综上可知：t=2,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质，

学会用分类讨论的思想思考问题.

4.（本题2分）（2023春・河北唐山•八年级统考期末）如图，将绕点B逆时针旋转得到,DEB,使点C

的对应点D恰好落在边AC上，点A的对应点为点E,连接AE,下列结论一定正确的是（）

A.BC=CDB.AE±ACC.AC=BED.NC=NBAE

【答案】D

【分析】根据旋转的性质得出△ABC也进而得出“ABE,..嚴。是两个顶角相等的等腰三角形，即可

求解.

【详解】解：,•,将—ABC绕点5逆时针旋转得到，DEB,使点C的对应点。恰好落在边AC上，

AABC^AEBD

：.ZACB=NEDB,ZABC=NEBD,BD=BC,BA=BE

：./BCD=NBDC,ZBAE=ZBEA

：.ZABC-ZABD^ZEBD-ZABD,

即?DBC?EBA,

/.ZBAE=1(180°-ZABE),ZC=1(180°-ZDBC),

：.NC=ZBAE,

故选：D.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是

解题的关键.

5.(本题2分)(2022春.八年级单元测试)如图，在平面直角坐标系中，ABgDEF,AB=BC=5,若点

A的坐标为(-3,1),点、B,C在直线y=-3上，点。在y轴的正半轴上，且点E的坐标为(0,-1),则点尸的

A.（4,2）B.（3,2）C.（4,3）D.（5,3）

【答案】A

【分析】作CG丄筋于G,阳丄OE于a,由AB=3C,厶钿。纟△DEF,就可以得出RtBCG^RtEFH,

再结合勾股定理就可以得出结论.

【详解】解：如图所示，作CG丄AB于G,FH丄DE于H,

点A的坐标为(-3,1),点B,C在直线，=-3上,

.•.4到8。的距离为』=1一(—3)=4,

S=—AB-CG=—BC-d,AB=BC,

MC22

：.CG=d=4,

ABCADEF,

：.FH=CG=4,BC=AB=EF=DE=5,

在RtBCG和RtZXEM中，

JBC=EF

\CG^FH'

RtBCG^RtEFH(HL),

;.BG=EH,

在Rt3CG中，ZBGC=90°,BC=5,CG=4,

.-.BG=>JBC2-CG2=3>

\EH=3,

■点E的坐标为（O，T）,

:.OH=EH-OE=3-1=2,

二点尸的坐标为（4,2）,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了坐标与图象的性质的运用，垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，

等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.

6.（本题2分）（2023秋•八年级单元测试）如图，己知二ABC中，AB=AC=10cm,3C=8cm,点。为A3

的中点，点尸在线段上以3cm/s的速度由8点向C点运动，同时，点。在线段G4上以相同速度由点C向

点A运动，一个到达终点后另一个点也停止运动，当与」全等时，点P运动的时间是（）

54534

A./=lsB.t=-sC.t=—sD.f=-s或/=-s

3333

【答案】A

【分析】根据AB=AC=10cm,求岀NB=NC,根据点。为AB的中点，求出2。=1AB=5cm,分

△3D「纟△CPQ时，△如尸丝ACQ?时，两种情况进行讨论，并注意验证当△瓦）尸纟ZXCQ尸时，不成立,

从而可以求出t的值.

【详解】解：；AB=AC=10cm,

ZB=ZC,

:点。为的中点，

BD=—AB=5cm,

2

..•点P在线段BC上以3cm/s的速度由5点向C点运动，同时，点。在线段C4上以相同速度由点C向点A

运动，

BP=CQ=3t,CP=8-t,

当△皮）尸纟△CPQ时，CP=BD,

即8-31=5,

解得：/=ls；

当厶8□尸也/XCQ尸时，BD=CQ,

即3,=5,解得：r=|s,

此时BP=3xg=5（OM）,CP=8—5=3（cm）,

BP*CP,

此种情况不成立，

综上分析可知，Z=ls,故A正确.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性

质，注意分类讨论.

7.（本题2分）（2022秋•山西忻州•八年级统考期中）如图，AOB^ADC,点2和点C是对应顶点，

ZO=ZZ）=90o,记NOAZ）=£,ZABO=/3,ZABC=ZACB,当BC〃Q4时，a与夕之间的数量关系为

（）

A.a=BB.a=2/3C.a+/3=90°D.a+2/3=180°

【答案】B

【分析】根据全等三角形的性质得到=再根据平行线的性质，得到NOAB=NABC=90。-尸,

利用NQ4D+NZMC+NACB=180。，即可解答.

【详解】解：/O3四一/1DC,NO=NO=90。，

ADAC=NOAB=90°-ZOBA=90°-/7,

BC//OA,/ABC=ZACB,

ZABC=ZACB=ZOAB=90°-J3,ZOAC+ZACB=180°,

ZOAC=ZOAD+DAC,

a+90°-^+90°-/?=180°,

化简得：a=24.

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，结合图形和题意找到角之间的关系是解题的关键.

8.（本题2分）（2023春•八年级单元测试）如图，边长为5的大正方形A3CD是由四个全等的直角三角形

和一个小正方形EFG”组成，连结AF并延长交8于点若AH=GH,则CM的长为（

35

A—B.-C.1D.-

A，244

【答案】D

【分析】过点〃作丄尸。于点N,设E4与GH交与点K,利用已知条件和正方形的性质得到△回尸为

等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到△加（才为等腰

三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和平行线分线段成比例定理解答即可得出结论.

【详解】解：过点M作肱V丄/。于点N,设E4与GH交与点K,如图，

.四边形EFG”是正方形，

：.HE=HG=GF=EF,AH//GF,

AH=GH,

:.AH=HE=GF=EF.

由题意得：RtABE纟RtBCFRtADHRtCDG,

,\BE=CF=AH=DG,ZBAE=ZDCG.

:.BE=EF=GF=FC.

AEA.BF,

:.AB=AF,

.•.ZBAE=NFAE,

:.ZDCG=ZFAE,

AH//GF,

,\ZFAE=ZGFK.

ZGFK=ZCFM,

:.ZCFM=ZDCG,

:.MF=MC,

MN±FC,

:.CN=NF=-CF,

2

:.CN^-CG.

4

MNICG,DG±CG,

:.MN//DG,

.CMCN

"CD-CG_4*

CD=5,

CM=-.

4

故选：D.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，

依据题意恰当地添加辅助线是解题的关键.

9.（本题2分）（2022秋・山东德州•八年级校联考期中）如图，在4ABe中，ZABC=A5°,过点C作CD丄AB

于点D,过点B作3M丄AC于点M,连接,过点。作。N丄,交2M于点N,CD与BM交于点E.下

列结论：①NABM=/ACD；②DM=DN；③NAME>=45。；④S丄减=S..其中正确结论有（）

个

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】由CD丄AB,BM±AC,可得NBDC=NBMC=90。,从而得出/A3M=NACD,判断①正确与

否；通过证明/£)8N=NDC/BD=CD,NCDM=/BDN,得出.BDN.CDM,判断②正确与否；先

证明一OWN是等腰直角三角形，从而得到，DMN=45。，判断③正确与否；先证明s组)=5%。，再证明

S.BDN=SCDM，得出SEDN=SAQM,判断④正确与否.

【详解】解：'：CDLAB,BM^AC,

JNBDC=ZBMC=90°,

VNBED=NCEM,

：.ZABM=ZACD,

故①正确；

u：CDLAB,

：.NBDC=ZADC=90°,

V^ABC=45°,

/.BD=CD,

・・・BMLAC,

：.NAMB=ZADC=90°,

・•・/A+"5N=90。，

ZA+ZDCM=9G0,

:・NDBN=NDCM,

,?DN1MD,

・・・ZCDM+NCDN=90°,

・・・NCDN+NBDN=90°,

:・NCDM=NBDN,

■:NDBN=NDCM,BD=CD,NCDM=NBDN,

:…BDN&CDM2K，

：.DN=DM,

故②正确；

VDN=DM,NMDN=90。,

・・..OWN是等腰直角三角形，

：・NDMN=45°,

：.NAMD=90°-45°=45°,

故③正确;

CD1AB,

：.NBDE=NCDA=90°,

由①②知，NDBN=NDCM,BD=CD,

.•.一癖汪」C4D（ASA）,

.・•°qBED~—°v.CAD，

由②知，BDN玛CDM,

••0BDN一0.CDM，

,•2.EDN­0,ADM，

故④正确；

正确的有①②③④，

故选D.

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，

证明三角形全等是解题的关键.

10.（本题2分）（2023春・浙江•八年级期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，

中间是一个小正方形（如图所示）.某次课后服务拓展学习上，小潯绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交8

于点/.记小正方形EFG8的面积为岳，大正方形ABCD的面积为邑，若。/=2,CI=1,邑=55,则G/

的值是（）

工

A.乎B.旷一D.1

4

【答案】A

【分析】连接。G,根据W=2,CI=1,得出邑=Cr>2=9,根据弦图由四个全等的直角三角形所组成，

f

推出SABF=SBCG=SCDH=^.DAE,根据S2=5R,且S2=S]+4s(CDH，推出工=SCDH=-52=—,得到GH=~~~

设CG=DH=x,则CH=x+递，根据ZCHD=90°,得到CH2+DH2=CD2,求得DH=—,得到DH=EH=GH=

55

竽,求出DG=EG=+EH。=,NGDE=NGED=45。,推出/OGE=180°-(ZGDE+ZGED)=9Q°,

推出=戸=而=丿22-［上叵］=叵.

\I5J5

【详解】连接DG,

'：CD=CI+DI=l+2=3,

2

：.S2=CD=9,

△AB尸丝ABCG纟△CD啥/\DAE,

••°ABF~°BCG一°CDH—0DAE

,,S钻尸+SBCG+SCDH+SDAE—4sCDf],

,:S?=5S\,KS2=S1+4SCDH,

..5S]=S]+4SCDH,

19

・・S[=SCDH--52=—,

：.GH=—

5

设CG=DH=x,则CH=x+止,

5

・.・ZCHD=90°,

JCH2+DH2=CD2,

+x2=9,

解得X=-逃(舍去),或.半

5

pnzj34

即DnH=-----,

5

：.DH=EH=GH=^-,

5

：.DG=EG=y/GH2+EH2=

・・・NGDE=NGED=45。,

AZDGE=180°-(/GDE+/GED)=90。,

故选A.

【点睛】本题主要考查了正方形，全等三角形，勾股定理等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握正

方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理解直角三角形.

二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.

11.（本题2分）（2023春•广西钦州•八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形

围成的，若AE=5,BE=13,则所的长为.

【答案】80

【分析】由全等三角形的性质可得毎=及7=5=。5=5,AH=BE=CG=DF=13,ZDAB=90°,

ZDAH=ZABE,可得EG=GF=FH=HF=8,ZABE+ZBAE=ZDAH+ZBAE=90°,可证四边形EGFff

是正方形，即可求E尸的长.

【详解】解：如图，

:正方形ABCD是由四个全等的三角形围成的,

:.AE=BG=CF=DH=5,AH=BE=CG=DF=13,ZZMB=90°,ZDAH=ZABE,

：.EG=GF=FH=HF=8,ZABE+ZBAE=ZDAH+ZBAE=90°,

四边形EGFH是菱形，且NAEB=90。，

NG5H=90°,

•••四边形EGM是正方形，

ZEGF=90°,

EF=y]EG2+GF2=V82+82=8拒.

故答案为：80

【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的性质，勾股定理，证明四边形EGFfZ是正方形是

解题的关键.

12.（本题2分）（2022秋•广东湛江•八年级岭师附中校联考期末）如图，ABD^EBC,AB=3cm,BC=4cm,

则DE=cm.

【分析】根据全等三角形的性质，得到3石=川=3011,8。=2。=4（：01,计算即可.

【详解】•/ABD^EBC,AB=3cm,BC=4cm,

BE=AB=3cm,BD=BC=4cm,

/.DE=BD-BE=4-3=l（cm）.

故答案为：L

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键.

13.（本题2分）（2020秋广东东莞•八年级统考期中）如图，在三角形纸片ABC中，NC=90。，ZA=30°,

CE=4,折叠该纸片，使点A和点8重合，折痕与A3、AC分别相交于点。和点E,（如图），则AE的长

为.

B

【答案】8

【分析】利用折叠的性质，等腰三角形的性质和含30。角的直角三角形的性质解答即可.

【详解】解：由题意得：AAED^ABED,

：.BE=AE,DE.LAB,ZDBE=ZA=30°.

VZC=90°,ZA=30°,

ZABC=90°-ZA=60°,

：.Z.CBE=ZABC-ZDBE=30°.

ZC=90°,

•*,BE=2CE=2x4=8,

AE=BE=8,

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了折叠问题，全等三角形的性质，三角形的内角和，含30。角的直角三角形的性质，

熟练这折叠的性质和含30。角的直角三角形的性质是解题的关键.

14.（本题2分）（2023秋・湖南益阳•八年级校联考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,AD=12cm,

点尸从点出发，以2cm/s的速度沿3c边向点C运动，到达点C停止，同时，点。从点C出发，以vcm/s

的速度沿CO边向点。运动，到达点O停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.当

v为时，_ABP与APCQ全等.

B

【答案】2或|

【分析】设运动时间为3根据题意求出对应线段的长度，然后分两种情况讨论：①当8P=CQ,AB=PC

时；②当BA=CQ,尸3=PC时；利用全等三角形的性质列出方程求解即可.

【详解】解：设点。从点C出发fs,同时点P从点2出发0

①当BP=CQ,AB=PC时,尸四△PCQ,

AB=8,

:.PC=8,

BP=BC-CP=12-8=4,

\2t=4,

解得：/=2,

/.CQ=BP=4,

2v=4,

解得：v=2；

②当A4=CQ,PB=PC时,AABPdPCQ,

PB=PC

..BP=PC=6

2/=6

解得：t=3,

CQ=AB=S

.*.3v=8

Q

解得：V=（

3

综上所述，当x=2或|■时，AABP^APCe，

3

故答案为：2或:.

2

【点睛】本题主要考查矩形的性质及全等三角形的性质，一元一次方程的应用，理解题意，进行分类讨论，

列出方程是解题关键.

4

15.（本题2分）（2023春•江苏•八年级统考期末）点B是反比例函数y=—（x>0）的图象上一点，将线段

尤

k

绕点。逆时针旋转90。得到线段CM,若点A在反比例函数y=£的图象上，则仁.

x

【答案】-4

【分析】设3(机”)，过B作8E丄y轴于E,过A作AF丄x轴于尸，得到BE=m,OE=n,根据全等三角

形的性质得到AF=BE=〃工，OF=OE=n,再利用点A在第二象限于是得到结论.

【详解】解：设3(〃〃)，点8是反比例函数y=g(x>0)图象上的一个点，

:..rm=4,BE=m,OE=n,

将线段OB绕点O逆时针旋转90。得到线段OA,

.0.AO-BO.

过5作5E丄y轴于石，过A作AF丄％轴于产，

:.ZAFO=ZBEO=90°.

QZAOB=90°,ZFOE=90°,

ZAOF+ZAOE=ZAOE+ZBOE=90°,

.\ZAOF=ZBOE.

在丄AO尸与△友加中

ZAFO=ZBEO=90°

<ZAOF=/BOE

AO=BO

AOF^BOE(AAS),

AF=BE=m,OF=OE=n.

A点在第二象限，

k=—mn=—4,

故答案为：-4.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化一旋转，反比例函数图形上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数

的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

16.（本题2分）（2023春・全国•八年级专题练习）如图，在长方形A3CD中，AB=6,AD=8.延长3c到

点E,使CE=2,连接。E,动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿3C-CD-ZM向终点A运动，

设点尸的运动时间为/秒，当/的值为时，AB尸和ADCE全等.

【答案】1秒或10秒

【分析】由题意知，仿P在BC,CD,AD上三种情况求解.

【详解】解：由题意知，分尸在BC,CD,AO上三种情况求解：

①当P在3c上时，由题意知NABP=/DCE=90。，AB=DC,

：_ABP和厶DCE全等,

：.BP=CE=2,即2f=2,

解得f=1;

②当P在CO上时，由题意知/B4P<NA=90。，ZABP<ZB=90°,ZAPB<90°,

：.此时=ABP和4DCE不全等，

③当P在AD上时，由题意知N3AP=/DCE=90。，AB=DC,

:一AaP和△DCE全等，

AAP=CE=2,即8+6+8-2f=2,

解得t=10；

综上所述，―ABP和△OCE■全等时，I为1秒或10秒，

故答案为：1秒或10秒.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质及矩形的性质，解决本题的关键在于分情况求解.

17.（本题2分）（2022秋・辽宁沈阳•八年级沈阳市实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B

两点分别在x轴、y轴上，Q4=3,OB=4,连接AB.点尸在第一象限，若以点尸、A、8为顶点的三角

形与一AOB全等，则点P的坐标为.

【分析】由条件可知AB为两三角形的公共边，且为直角三角形，当“108和△APB全等时，则可知

△APB为直角三角形，再分两种情况进行讨论，可得出尸点的坐标.

【详解】解：如图所示：

①若APtB^,BOA,

AP}=BO=4,BPX=AO=3,

...四边形BOAPX是平行四边形,

又ZAOB=90°,

四边形2046是矩形，

..•8(3,4)；

②若BOA^tBP2A,则有80=86,/034=/鸟&4,

连接。交AB于点E,过点E作EF丄。4于点F,

・••胡是。鸟的垂直平分线，点E是。鸟的中点，

V04=3,03=4,

由勾股定理得，AB=yJOAi+OB2=V32+42=5

又gAB-OE=goB-OA,即：!x5xOE=1x3x4,

在Rt^OAE中，AE=VOA2-O£2=J32-=|,

1I1Q121

又一AEOE=—EFOA,即一x—x—=—x3xEF,

222552

解得，£戸=!|

123648

由勾股定理得，OF=1OE2-EF2=

2525

4836)

E

25；25/

9672)

：.P225'25J'

96721

故答案为：（3,4）或25,25)'

【点睛】本题考查了全等三角形的性质及坐标与图形的性质，勾股定理以及面积法等知识，做这种题要求

对全等三角形的判定方法熟练掌握.

18.（本题2分）（2021秋•安徽六安•八年级校考期中）如图，ABC中，ZACB=90°,AC=3,3c=4.点

尸从A点出发沿A-Cf3路径向终点运动,终点为8点；点。从8点出发沿BfCfA路径向终点运动,

终点为A点.点尸和。分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运

动,在某时刻，分别过尸和。作PE丄/于E、作Q尸丄/于R当点尸运动秒时，以P、

E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等.

【答案】；或二或6

24

【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出。尸=CQ,代入得出关于f的方程，解方程即

可.

【详解】解：设点P运动f秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以。、F、C为顶点的三角形全等，分为

五种情况：

①如图1,P在AC上，。在3C上，则尸C=3T,QC=4-3t,

图1

PE11,QFLl,

NPEC=NQFC=90°,

ZACB=90°,

ZEPC+ZPCE=90°,ZPCE+ZQCF=90°,

NEPC=ZQCF,

一PCEACQF,

PC=CQ,

即3T=4-3/,

't——1•

''2'

②如图2,P在BC上，。在AC上，则PC=/-3,QC=3f-4,

.由①知：PC=CQ,

•-t—3=3t—4,

1

,t——.

''2'

因为此时，-6<0,所以此种情况不符合题意;

③当尸、。都在AC上时，如图3,

PC=3-t=3t-4,

7

f=-；

4

④当。到A点停止，P在2C上时，AC=PC,r-3=3时，解得t=6.

⑤因为P的速度是每秒1,。的速度是每秒3,尸和。都在3c上的情况不存在；

综上，点尸运动;或二或6秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以。、F、C为顶点的三角形全等.

故答案为：；或1或6.

【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方

程是解此题的关键.

19.（本题2分）（2022秋•安徽合肥•八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）如图，在中，

NC=90。，BC=9cm,AC=12cm,=cm,现有一动点尸，从点A出发沿着三角形的边

AC—CBf54运动回到点A停止，速度为女m/s,设运动时间为fs.

（1）如上图，当/=时，AAPB的面积等于A5c面积的一半；

（2）如图，在DEF中,ZE=90°,DE=4cm,〃尸=5cm,ZD=ZA.在ABC的边上，若另外有一

个动点Q,与点P同时从点A出发，沿着边--运动回到点A停止，在两点运动过程中的某一时

刻，恰好尸。与,DEF全等，则点Q的运动速度是cm/s.

【答案】2s或5.5sYis或£12或券96或93

【分析】（1）根据三角形中线的性质，分尸点运动到3c边上时和P点运动到边上时两种情况分别讨论

即可；

（2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点尸、。所走的路程，进而可求出P的运

动时间，即。的运动时间，再利用速度=路程十时间求解即可.

【详解】解：的面积等于此（7面积的一半，

点运动到BC的中点，

当P点运动到AC边上时,

此时S"c=丄$Me，

nrLc/lov

・•・此时尸点在AC边的中点,

此时，=—=2s,

3

综上所述，当£=2或5.5s时，ZVlPe的面积等于,.ABC面积的一半;

(2)设点。的运动速度为屁m/s,

①当点。在AC上，点。在"上，APQ绦。跖时,

AP=DE=4cm,AQ=DF=5cm,

***4+3=5+无

解得x=~~^

4

②当点尸在AC上，点。在A5上，-APQ四分。庄时,

・・5+3=4+%,

12

解得x=•

③当点P在A5上，点。在AC上，AQP四丄DEF时,

AP=DF=5cm,AQ=DE=4cm,

・••点P的路程为9+12+15—5=31cm,点。的路程为9+12+15—4=32cm,

・・・31+3=32+工

96

解得；

④当点P在厶3上，点。在AC上，APQ空跖时

AP=DE=4cm,AQ=DF=5cm,

•••点P的路程为9+12+15—4=32cm,点。的路程为9+12+15—5=31cm,

・・32+3=31+%

93

解得x=

32

15129693

。运动的速度为一cm/s或一cm/s或一cm/s或一cm/s.

453132

士丄15—12—96T,93

故介柒为：—T或二或二T或二

453132

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况

讨论是解题的关键.

20.（本题2分）（2022秋福建龙岩•八年级校考阶段练习）如图，三角形ABC中，80平分ZABC,ADLBD,

若243:/^=4:7,%厶%=6,则.

A

【答案】8

【分析】延长交BC与点E,证=可得5AA加=5„由钻：3C=4:7可得

S^EBD：^AECD=4:3,进而即可求解;

【详解】解：如图，延长AO交BC与点E,

A

•；BD平分ZABC,AD1BD

：.ZABD=ZEBD,ZADB=ZEDB

■:BD=BD

:.\ABD=\EBD(ASA)

：.AB=BE

=

••S^ABDS怔BD

■:AB:BC=4:7

：.5£:£C=4:3

,•,QvgBD，.2vkECD—4,-3

•：AD=DE,SAADC=6

^AECD=S/kADC=6

.4

,,SAABD=~•S&ADC=8

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、角平分线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线构造全等三

角形是解题的关键.

三、解答题：本大题共7小题，21-25题每小题8分，26-27题每小题10分，共60分.

21.（本题8分）（2022秋・山西阳泉•八年级校联考期中）如图，线段AB=20m,丄4?于点A,MA=6m,

射线BD2AB于点B,点尸从点B向点A运动，每秒走1m,点。从点8沿5D方向运动，每秒走3m.若点

P,。同时从点8出发，当出发f秒后，在线段上有一点C,使以点C,A,P为顶点的三角形与PBQ

全等，求「的值.

【答案】5秒

【分析】分两种情况考虑：当△钎（?纟8。尸时与当纟V8PQ时，根据全等三角形的性质即可确定

出时间.

【详解】解：当,APC"BQP时，AP=BQ,即20T=3t,解得：1=5；

当,APC空亠8尸。时，AP=BP=-AB=10m,此时所用时间为10秒，AC=3Q=3mxl0=30m,与点C在

2

线段M4上矛盾，不合题意，舍去；

综上，出发5秒后，在线段上有一点C,使以点C,A,P为顶点的三角形与尸2。全等.

【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解本题的关键.

22.（本题8分）（2022秋•山西大同•八年级大同一中校考阶段练习）综合与探究

【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如，由图1可以得到

（4+6）2=4+2仍+尸，基于此，请解答下列问题.

【直接应用】（1）若x+>=4,x2+y2=9,求孙的值.

【类比应用】（2）若尤（4一力=2,则1+（4一x）L.

【知识迁移1（3）将两块全等的特制直角三角板（ZAOB=ZCOD=90°）按如图2所示的方式放置，其中点A,

O,。在同一直线上，点B,O,C也在同一直线上，连接AC,BD.若AD=12,5AA0C+SAB0D=40,

求一块直角三角板的面积.

BD

忸1图2

【答案】(1)3.5；(2)12；(3)16

【分析】(1)根据完全平方公式变形即可求解.

(2)将X(4T)=2看成必=2,进而根据〃+/=.+6)2-2"，即可求解；

(3)设AO=CO=x,BO=DO=y,根据以厶℃+ZB”=gd+gV=40可得V+V=80,而

2孙=(x+y)2-(x2+y2)=64,进而根据完全平方公式变形即可求解.

【详解】解：(1)x+y=4

22

/.(%+才=x+2xy+y=16

22

又.x+y=9

2xy=7,

.,.孙=3.5；

(2)Vx(4-^)=2,贝1"+(4-H2=(彳+4-彳)2一2%(4一%)=16一2*2=12

故答案为：12；

(3)•.•两块直角三角板全等，

/.AO=CO,BO=DO,ZAOB=^COD=90°

点A,O,O在同一直线上，点8,O,C也在同一直线上，

ZAOC=180°-NCOD=90°,ZBOD=ZAOC=90°.

设AO=CO=x,BO=DO=y.

AD=AO+OD=x+y=12,

又-Swc+%0D=gX2+；y2=40,

/.X2+y2=80,

2xy=(x+y)2-^x2+y2)=64,

Ay=32,

-''S^AOB=^OAOB=^xy=16,

答：一块直角三角板的面积为16.

【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

23.(本题8分)(2023春•广东河源•八年级校联考期中)如图，点。是等边AfiC内一点，

ZAOB=UO°,ZBOC=a,将净OC绕点C按顺时针方向旋转60。，得△ADC,连接OO.

(1)判断△口?£＞的形状，并证明；

(2)当戊=150。时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

⑶直接写出a为多少度时，△&(%)是等腰二角形？

【答案】(1)△COD是等边三角形，证明见解析

(2)厶49。是直角三角形，理由见解析

⑶当a=110。，140。或125。时，△AOD是等腰三角形

【分析】(1)根据旋转的性质得岀一BOC之ADC,NOCD=60。，再根据全等三角形的性质得出CO=CD,

即可得出答案；

(2)由旋转的性质可得N3OC=NADC=150。，再根据/ODC=60。，可求厶00=150。-60。=90。，即可

得结论；

(3)根据题意及等边三角形的性质得出NADO=(z-60。，ZAOD=190°-a,再分三种情况讨论，列出方

程可求解.

【详解】(1)△CC©是等边三角形，

证明如下：：.3OC绕点C按顺时针方向旋转60。得△ADC,

」BOC^..ADC.NOCD=60°,

：.CO=CD.

/.是等边三角形.

(2)当。=150。时，△AOD是直角三角形.

：.BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得AADC,

：..BOC^ADC,

：.ZBOC^ZADC=150°,

由(1)可知NODC=60。,

ZADO=150°-60°=90°,

.•.当a=150。时，△AOQ是直角三角形.

（3）VZAOB=UO°,ZBOC=a,

：.ZAOC=250°-a,

♦二.OCD是等边三角形，

/.ZDOC=ZODC=60°,

：.ZADO=a-60°,ZAOD=190°-a,

①当=时，2（190。一£）+。-60。=180。，解得&=140。；

②当/AOD=NAT）O时，190。—0=/—60。，解得a=125。；

③当NOAD=/QQA时，190。—a+2（tz—60。）=180。，解得a=110。，

.•.当a=110。，140。或125。时，△AOD是等腰三角形.

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，利用分类

讨论思想解决问题是本题的关键.

24.（本题8分）（2023秋•宁夏石嘴山•八年级校考期末）在平面直角坐标系中，ABC的位置如图所示，A、

B、C三点都在格点上.

（1）画出“1BC关于耳轴对称的△A4G；

（2）在网格中找出点E,使得以A,C,E三点为顶点的AACE与"CB全等，请写出符合条件的所有点E

的坐标.

【答案】⑴见解析

⑵见解析，符合条件的点E的坐标有（0,3）,（4,5）,（5,3）

【分析】（1）找出,ABC关于无轴对称的各对应点，然后顺次连接即可；

（2）根据全等三角形的判定，找出所有符合题意的E点即可，注意答案的全面.

【详解】（1）解：有图可知，42,4）,5（1,1）,C（3,2）,关于x轴的对称点A（2,T）,C（3,-2）,

然后顺次连接，见下图：

（2）根据全等三角形的判定，找出所有符合题意的E点，由图可知有（0,3）,（4,5）,（5,3）三个点.

【点睛】本题考查轴对称变换的作图问题，同时考查在直角坐标系中做全等三角形的问题，注意思考时要

全面，不遗漏是解答本题的关键.

25.（本题8分）（2023•江苏•八年级假期作业）如图，已知△ABC丝△*）£,的延长线交于点孔

交DE于点G,ZAED=105°,ZCAD=15°,ZB=50°,求NDGF的度数.

B

【答案】40°

【分析】根据全等三角形的性质得到NACB=NA£D=1O5。，ZD=ZB=50°,求得

ZACF=180°-ZACB=75°,由三角形外角的性质即可得到答案.

【详解】解：•:_ABC经ADE,NA£D=105。，ZB=50°,

/.ZACB=ZAED=105°,ZD=ZB=50°,

/.ZACF=180°-ZACB=75°,

ZCAD=15°,

：.ZAFG=ZACF+ACAD=90°,

ZDGF=ZAFG-ZD=90°-50°=40°.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质知识，熟练掌握全等三

角形的性质是解题的关键.

26.(本题10分)(2023春・湖北黄冈•八年级统考期中)如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在>轴

(1)动点P从点8出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点C匀速运动；同时动点。从点C出发，沿CO方

向以每秒2个单位的速度向点。匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.设运动时间为

r(s)(0<r<3).解答下列问题：

①当点C在线段尸。的垂直平分线上时，求f的值；

②是