2021年中考数学模拟试题及答案

2021年中考模拟题

数学试卷

*考试时间120分钟试卷满分150分

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填在

题后的括号内，每小题3分，共24分）

4

1.“比。的二大2的数”用代数式表示是（)

5

5,44

A.—a+2B.-a+2C.一。+2D.-a—2

5495

2.将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（)

A.2,3,4B.5,5,6C.8,15,17D.9,12,13

3.计算tan60°+JIsin45°-2cos30。的结果是()

A.2B.V2C.1D.V3

4.已知。Oi的半径〃为8cm,的半径R为2cm,两圆的圆心距0］。2为6cm,则这两

圆的位置关系是（）

A.相交B.内含C.内切D.外切

5.甲、乙两人参加植树活动，两人共植树20棵，已知甲植树数是乙的1.5倍.如果设甲植

树x棵，乙植树y棵，那么可以列方程组（）.

x+y=20,x=20+y,x+y=20,x+y=20,

A.c,<D.《

x-2.5yx-l.5yx-1.5歹x=y+\.5

6.如图AAOB中，NAOB=120。，BD,AC是两条高，连接CD,若AB=4,则DC的长

为)

c通

A.V3B.2D.

■F

A

7.若3a+2b=2,则直线y=kx+b一定经过点（)

33

A.(0,2)B.(3,2)C.,2)D.(一，1)

22

8.若函数y=的自变量x的取值范围是全体实数,则c的取值范围是

x-2x+c

A.c<lB.c=lC.c>lD.c<l

二、填空题（每小题3分，共24分）

9.若Jl-2a和|86-5|互为相反数,则（5）—2=。

10.以长为8,宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形的周长为.

11.一项工程，甲独做需12小时完成，若甲、乙合做需4小时完成，则乙独做需小

时完成。

12.三角形的两边长为2cm和2&cm,则这个三角形面积的最大值为

cm2.

13.如图，已知平行四边形ABCD中，NBCD的平分线交边AD于E,

NABC的平分线交AD于F.若AB=8,AE=3,则DF=.

14.如图，ZSABC中，D为BC边上一点，NBAD=NC,

AD：AC=3:5,AABC的面积为25,则4ACD的面积

为.

15.如图，直线y=—@x+2与x轴相交于点A,与

3

y轴相交于点B,将aABO沿着AB翻折，得到△ABC,

则点C的坐标为.

16.如图，AB是半圆。O的直径，半径OC_LAB,。。的直径是

OC,AD切。01于D,交OC的延长线于E.设。01的半径为r,

那么用含r的代数式表示DE,结果是DE=

三、（第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，

共32分）

17.先化简，再求值

(2a+3)(a—1)―2。，其中,a=2一也

a+2

3（x-2）+4<5x

18.解不等式组\i-x

------\-x>2x-\

[4

并把不等式的解集在数轴上表示出来

19.如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.

（1）用a,b,x表示纸片剩余部分的面积：

（2）当a=8,b=6,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积的一半时，求正方形的边长.

20.如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60。角，在离

电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30。.已知测角仪高AR

为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）。

四、（每小题10分，共20分）

21.甲、乙两超市（大型商场）同时开业，为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动：凡购物满

100元，均可得到一次摸奖的机会.在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外

其它都相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使

用时，与人民币等值）的多少（如下表）.

甲超市:

球两红一红一白两白

礼金券（元）5105

乙超市:

球两红一红一白两白

礼金券（元）10510

(1)用树状图表示

得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况;

（2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？请说明理由.

22.汶川大地震发生后，某中学八年级（一）班共40名同学开展了“我为灾区献爱心”的活动.

活动结束后，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成下面的统计图.

（1）求这40名同学捐款的平均数；

（2）这组数据的众数是,中位数是.

（3）该校共有学生1200名，请根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数大约是

多少元？

五、（本题12分）

23.如图1,四边形ABCD是矩形，P是BC边上的一点，连接PA、PD

（1）求证：PA2+PC2=PB2+PD2

证明：作PELAD于点E

（2）如图2,当点A在矩形ABCD的内部时，连接PA、PB、PC、PD.上面的结论是否

还成立？说明理由.

图2

（3）当点A在矩形ABCD的外部时，连接PA、PB、PC,PD.上面的结论是否还成立？

（不必说明理由）

六、（本题12分）

k

24.如图，A（2,1）是矩形OCBD的对角线OB上的一点，点E在BC上，双曲线y=一

X

2

经过点A,交BC于点E,交BD于点F,若CE=—

3

（1）求双曲线的解析式；

（2）求点F的坐标；

（3）连接EF、DC,直线EF与直线DC是否一定平行？（只答“一定”或“不一定”）

七、（本题12分）

25.四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE.设NEAD=N1,ZEAB=Z2,

NABE=/3,/CBE=N4,给出下列五个关系式，①AD〃BC；②DE=CE；③N1=N2

④/3=/4；⑤AD+BC=AB；将其中的三个关系作为题设，另外两个作为结论，构成一

个命题.

（1）用序号写出一个真命题（书写形式如：如果XXX,那么XXX）,并给出证明;

（2）用序号写出三个真命题（不需要证明）

（3）在本题可以书写的命题中，只有一个是假命题，是哪一个？说明理由.

八（本题14分）

26.如图，在平面直角坐标系中，点0是原点，点A的坐标为（4,0）,以OA为一边，在

第一象限作等边^OAB

（1）求点B的坐标.

（2）求经过0、A、B三点的抛物线的解析式.

（3）直线y=X±x与（2）中的抛物线在第一象限相交于点C,求点C的坐标；

2

（4）在（3）中，直线AC上方的抛物线上，是否存在一点D,使得40CD的面积最大？

如果存在。求出点D的坐标和面积的最大值，如果不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共24分)

1.A；2.C；3.C；4.C；5.C；6.B；7.D；8.C

二、填空题(每小题3分，共24分)

9.254；10.20；11.6；12.242；13.3；14.16；

15.(V3,3)；16.-r.

3

三、(第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，共32分)

17.解：原式=(2a+3)(a-l)-2a("+2)

(a+2)

—(2a+3)(a-1)—2a2

=a—3......................4分.

当a=2-时，原式的值为一JJ—1......................6分.

18.解：由3(x-2)+4V5x得:

3x-5x<6-4

-2x<2

x>—1

1—Y

由——+xN2x—1得：

4

1—x+4x>8x—4

—5x>—5

x<l

：.-l<x<l........................................6分.

-2-1012

8分.

19.解：（1）剩余部分的面积为ab-4x2........................................2分.

(2)由题意得：4x2=1(ab-4x2)

2

,1

6x2=—ab........................................6分.

2

当a=8,b=6时，x2=4

x=±2x=—2不合题意，舍去x—2

.♦•正方形的边长为2..........................................8分.

20.解：过点A作AHJ_CD,垂足为H

由题意可知四边形ABDH为矩形，NCAH=30。，.,.AB=DH=L5,BD=AH=6

CH

在RtZXACH中，tanZCAH=——

AH

CH=AH-tanACAH=6tan30°=6x巫=2百

3

：DH=1.5,ACD=2V3+1.55分.

CD

在RtACDE中，NCED=60°,sinZCED=—

CE

CD2V3+1.5

=（4+百）（米）

sin60°V3

2

答：拉线CE的长为（4+JJ）米......................10分.

四.（每小题10分，共20分）

21.

（1）树状图为:

第1个球

第2个球

.....4分

（2）

42

：去甲超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率是P（甲）,........7分

63

21

去乙超市购物摸一次奖获10元礼金券的概率是P（乙）........9分

63

，我选择去甲超市购物............................................10分

-1

22.解：(1)x=—(20x7+30x15+40x18+100x10)=57.75(71)

这40名同学捐款的平均数是57.75元：......................3分.

(2)40元，15元;6分.

(3)57.75x1200=69300(元)

答：估计这个中学的捐款总数大约是69300元10分.

五、（本题12分）

23.

(1)证明：作PELAD于点E

•.•四边形ABCD是矩形

ZB=ZC=ZBAD=ZADC=90°

，四边形ABPE是矩形

；.AB=PE=CD

APA2=PB2+AB2

PD2=PC2+CD2

APA2+PC2=PB2+AB2+PC2

PB2+PD2=PB2+PC2+CD2=PB2+PC2+AB2

APA2+PC2=PB2+PD2........................................5分.

(2)成立

过点P作AD的垂线，交AD于点E,交BC于点F

则四边形ABFE和CDEF为矩形

；.AE=BF,DE=CF

由勾股定理得：

则Ap2=AE2+PE?,PC2=PF2+CF2

BP2=BF2+PF2,PD2=DE2+PE2

APA2+PC2=AE2+PE2+PF2+CF2

PB2+PD2=BF2+PF2+DE2+PE2

APA2+PC2=PB2+PD2........................................10分.

(3)成立.......................12分.

六、（本题12分）

24.解：（1）..•双曲线y="经过点A（2,1）

X

k

1=-

2

/.k=2

2

・・・双曲线的解析式为y=—

x

（2）设直线0B的解析式为y=ax

•.,直线y=ax经过点A(2,1)

；.a=l

2

...直线的解析式为y='x

2

•••CE=2*，代入双曲线解析式得到点E的坐标为（3,?-）

33

点B的横坐标为3

代入直线解析式，得到点B的坐标为（3,巳3）

2

.•.点F的纵坐标为23

2

43

代入双曲线的解析式，得到点F的坐标为（一，一）

32

（3）一定.

七、

25.解：

(1)如果①②③，那么④⑤

证明：延长AE交BC的延长线于点F(如图)

VAD/7BC

AZ1=ZF,ZADE=ZFCE

又CE=DE

.,.△ADE^AFCE

AE=FE,AD=CF

N1=N2=NF

BA=BF

BA=BC+CF=BC+AD

AE=EF

.\Z3=Z4

........................................5分.

(2)如果①②④，那么③⑤；如果①②⑤，那么③④；如果①③④，

那么②⑤......................9分.

(3)如果②③④，那么①⑤

如图，ABE和BCE和AED是全等的等边三角形，此时C、D、E

在同一直线上，

CE=DE,NDAE=NBAE=/CBE=NABE=60。，但AD与BC

不平行.......................12分.

八、(本题14分)

26.(1)解:过点B作BEXx轴于点E

VAOAB是等边三角形

；.0E=2,BE=26

.•.点B的坐标为(2,2y/3)........................................3分.

(2)根据抛物线的对称性可知，点B(2,2)是抛物线的顶点

设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+273

当x=0时，y=0

0—a(0—2)2+2V3

・・a

2

...抛物线的解析式为y=—@（X-2）2+26