【十年真题】近十年（2012-2021）全国各地高考数学真题分类汇编03 复数（教师版）

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编复数（精解精析）

一、选择题

1.（2021年高考全国乙卷理科）设2（z+z）+3（z—z）=4+6i,则2=（）

A.1—2zB.1+2/C.1+ZD.1—z

【答案】C

解析：i^z=a+bi,则则2（z+z）+3（z-z）=4a+6次=4+6i,

4a=4

所以，,解得a=/?=l,因此，z=1+z.

6b=6

故选：c.

2.（2021年高考全国甲卷理科）己知（1—，）2z=3+2i,则Z=（）

,3333.

A-11B.-1H—IC.----FZD.----1

2222

【答案】B

解析：（1-Z）2Z=-2ZZ=3+2Z,

3+2/（3+2z）-z-2+3z,3.

-2z-2z-z22

故选：B.

3.（2020年高考数学课标I卷理科）若z=l+i,则|Z2-2Z|=（）

A.0B.1C.0D.2

【答案】D

【解析】由题意可得：Z2=（1+Z）2=2Z,则Z?—2z=2i—2（l+z）=—2.

故「2—2z卜卜2|=2.故选：D.

【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.

4.（2020年高考数学课标III卷理科）复数工虚部是（）

1-31

3113

A.---B.---------C.—D.—

10101010

【答案】D

1l+3z13.

解析：因为z=-----=-------------=----1---1,

1-3，（1-30（1+3/）1010

13

所以复数z=—的虚部为一.

l-3z10

故选：D.

【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.

5.(2019年高考数学课标III卷理科)若z(l+i)=2i,则2=()

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】D

2i2i(l-i),.

【解析】根据复数运算法则，z=「=、=1+1，故选D.

l+i(l+i)(l-i)

另解：由常用结论2i=(l+i)2,得z(l+i)=(l+i)2,贝Uz=l+i，故选D.

【点评】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养.采取复数运算法则，利用方程思想解题.当

然若能熟知一些常用结论，可使解题快、准.

6.(2019年高考数学课标全国II卷理科)设Z=-3+2"则在复平面内力对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】Vz=-3+2z,.-.z=-3-2z,对应坐标(—3,—2),是第三象限.

【点评】本题考查复数的共辗复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素

养.采取定义法，利用数形结合思想解题.本题考点为共轨复数，为基础题目，难度偏易.忽视共辗

复数的定义致错，复数与共朝复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点

的横纵坐标.

7.(2019年高考数学课标全国I卷理科)设复数z满足|z-i|=l,z在复平面内对应的点为(x,y),则

()

A.(x+l)2+y2=1B.(x-l)2+y2=1C.x2+(y-l)2=1D.x2+(y+l)2=1

【答案】C

解析：设2=》+同，则|z_i|=|x+(y_l)i|=J/2+(y_i)2=1,.•.♦+(—2=1

8.(2018年高考数学课标III卷(理))(1+Z)(2—7)=()

A.-3—iB.—3+ic.3—iD.3+z

【答案】D

解析：(1+Z)(2-Z)=2-Z+2Z-Z2=2+Z+1=3+Z\故选D.

l+2i

9.（2018年高考数学课标n卷（理））)

l-2i

43.43.34.

A.---------1B.-------1--1D.-------F—1

55555555

【答案】D

解析：匕①(l+2i)2-3+4i

--+-i,故选D.

l-2i(l+2i)(l-2i)555

1

10.（2018年高考数学课标卷I（理））设z=」+2"则|z|=（

1+z11（)

1

A.0B.-c.1D.A/2

2

【答案】C

解析：z=「+2i=,叮)、+2i=—1+2"则|z|=l,故选：C.

1+i(l+z)(l-z)11

11.（2017年高考数学新课标I卷理科）设有下面四个命题

Pl:若复数Z满足LeR,则zeR；p,:若复数Z满足z2wR,则zeR；

Z

03:若复数满足z。eR,则Z]=Z2;24：若复数ZcR,则NcR.

其中的真命题为)

A.Pi，PaB.P[,P4C.P2，P3D.P2，P4

【答案】B

-j11•

【解析】令2=(?+初(a,beR)，则由一=----=-^~geR得6=0,所以zwR,Pi正确;

za+bia+b

当Z=1时，因为z2=『=—leR,而知，必不正确；

由Z]==z,Z1•z2=-1eR知p3不正确;

对于。4.因为实数没有虚部,所以它的共轨复数是它本身,也属于实数,故P4正确,故选B.

【考点】复数的运算与性质

【点评】分式形式的复数,分子分母乘分母的共轨复数，化简成2=。+方力wR）的形式进行判断,共

辗复数只需实部不变,虚部变为原来的相反数即可.

12.（2017年高考数学课标III卷理科）设复数z满足（1+i）Z=2i,则忖=（）.

A.-B.d-C.A/2D.2

22

【答案】C

【解析】法一：由。+。2=2，可得2=£=*I—。=1+，，所以目=JF7F=3,故选c.

n|z|=gH

法二:由(1+，)z=2z可得|(1+z)z|=|2z|=^>|l+z||z|=2故选c.

【考点】复数的模

【点评】共朝与模是复数的重要性质，运算性质有:

⑴马士Z2=4士Z2;⑵Z[XZ2=Z]XZ2;⑶Z.N=|z「=|可\⑷卜卜|z2g归士Z?归归|+同];

⑸上月讣闫；⑹巳=3

3+z

13.(2017年高考数学课标II卷理科))

T+7

1+2zB.1—2zc.2+zD.2—z

【答案】D

【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轨复数的概念，意在考查学生的运算能力.

【解析】解法一：常规解法

解法二：对十法

巴可以拆成两组分式数以，运算的结果应为。+应形式，q=3x)+lxl=2(分子十字相乘,

1+z11I2+12

13xl

分母为底层数字平方和)，Z?=^~o=_i(分子对位之积差，分母为底层数字平方和).

1+1

解法三：分离常数法

解法四：参数法

+=a+bi=>3+i=(^a+bi^(l+z)=>3+;=(a—Z>)+(a+Z?);|,解得[人]

昉3+i.

1+z

【知识拓展】复数属于新课标必考点，考复数的四则运算的年份较多，复数考点有五：1.复数的

几何意义(2016年)；2.复数的四则运算；3.复数的相等的充要条件；4.复数的分类及共轨复数;

5.复数的模

-4i

14.(2016高考数学课标III卷理科)若z=l+2i,则二一=()

zz-1

A.1B.—1C.iD.—i

【答案】C

4i4i

【解析】=i,故选C.

zz-1(l+2i)(l-2i)-l

15.(2016高考数学课标H卷理科)已知z=(m+3)+在复平面内对应的点在第四象限，则实数加的

取值范围是()

A.(-3,1)B(-L3)c.(L+8)口.(一如一3)

【答案】A

【解析】Z=(〃2+3)+(〃L1)Z'在复平面内对应的点坐标为：(zn+3,〃z-1)

又z=(m+3)+(加-1)，在复平面内对应的点在第四象限

|"?+3>0

所以：机-1<0所以-3<机<1故选A.

16.(2016高考数学课标I卷理科)设(l+i)x=l+yi,其中羽y是实数，则卜+同=()

(A)1(B)A/2(C)A/3(D)2

【答案】B

X=1X=1

【解析】由(l+i)x=l+yi可知：x+xi=l+yi,故＜,解得：\

x=yb=l

所以，[%+»]=J/+y?=A/2.故选B.

17.(2015高考数学新课标2理科)若。为实数且(2+以)(。—2，)=-41,则。=()

A.-1B.0C.D.2

【答案】B

解析：由已知得4a+(〃—4»=-41，所以4a=0,标—4=—4,解得。=0,故选B.

考点：复数的运算.]+z

18.(2015高考数学新课标1理科)设复数Z满足贝ij|z|=()

1-z11

A.1B.A/2C.A/3D.2

【答案】A

1+z-l+;(-l+0(1-0

解析：由二=，得,z==,故|z|=l,故选A.

1-z1+Z-(1+0(1-0

考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等.

19.(2014高考数学课标2理科)设复数Z],Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，Z]=2+i,则4Z2=

A.-5B.5C.-4+iD.-4-i

【答案】A

解析：由题意知：z2=-2+Z,所以ZIZ2=-5,故选A。

考点：（1）复数的乘法；（2）复数的几何意义.

难度：B

备注：常考题

20.（2014高考数学课标1理科）()

(1-02

A.1+ZB.1—ZC.-1+ZD.-1-Z

【答案】D

铲用••（1+犷2/(1+0

解析：.d彳=—l—i,选D.

-2i

考点：（1）复数的代数运算（2）转化思想

难度:A

备注:高频考点

21.（2013高考数学新课标2理科）设复数Z满足（1+i）z=27,贝Uz=（）

A.—1+iB.—1—zC.1+iD.1—i

【答案】A

解析：由已知得Z=-^―=",*"=-1+/

1-I（1-Z）（1+I）

考点：（1）11.2.2复数的代数运算

难度：A

备注：高频考点

22.（2013高考数学新课标1理科）若复数z满足（3-4i）z=|4+3i|,则z的虚部为（)

44

A.-4B.--C.4D.

5

【答案】D

3=7^(3+4…+34

解析:由题知z故z的虚部为《，故选D.

3—4i(3-4z)(3+4z)55

考点：（1）11.2.1复数的概念；（2）11.2.2复数的代数运算.

难度：A

备注：高频考点

2

23.（2012高考数学新课标理科）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（）

-1+z

P]:忖=2必：z?=2i03：z的共辗复数为1+i：z的虚部为-1（）

A.。2，。3B.Pi，PzC-P2,P4D-%。4

【答案】C