贵州罗甸民族中学2023-2024学年数学九年级上册期末统考模拟试题含解析

贵州罗甸民族中学2023-2024学年数学九上期末统考模拟试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，在平行四边形A3CD中AE：BE=1：2.若5.=2,贝！|5厶。«=（）

A.18B.12C.10D.8

2.如图，圆。是R3A8C的外接圆，ZACB=90°,NA=25。，过点C作圆。的切线，交A8的延长线于点。，则NO

A.25°B.40°C.50°D.65°

3.如图，在RtZXABC中，NACB=90。，AC=24,AB=25,CD是斜边A3上的高，贝（jcosNBC。的值为（）

E

724八724

A.—B.—C.—D.—

2525247

4.对于二次函数y=3（x—2）?+l的图象，下列说法正确的是（）

A.开口向下B.顶点坐标是（2,1）

C.对称轴是直线x=-2D.与x轴有两个交点

5.抛物线.丫=-3f+12》-3的顶点坐标是（）

A.(2,9)B.-9)

C.(-2,9)D.(-2,-9)

7.如图，。。的半径为1,点O到直线。的距离为2,点P是直线”上的一个动点，PA切。O于点A,贝！］PA的最

小值是（）

B.73C.2D.75

8.在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（〃）和芍药的数量规律，那么当〃=11

时，芍药的数量为（）

n=ln=2〃=3*n=4

釜釜为我*

为

¥**・

*•・圣

**::*

***・.:*

*・・**

~*

*n*

**

*

A.84株B.88株C.92株D.121株

9.如图，已知正方形ABCD,点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F,连接BF,下列结论:

①SABF=SADF；②S<DF=4SCEF；③SADF=2SCEF；④SADF=2SCDF，其中正确的是()

A.①③B.②③C.①④D.②④

10.半径为6cm的圆上有一段长度为1.5万cm的弧，则此弧所对的圆心角为（）

A.45B.75C.90D.150

11.关于x的一元一次方程2X“T+m=2的解为x=l,则的值为（）

A.5B.4C.3D.2

12.小思去延庆世界园艺博览会游览，如果从永宁瞻胜、万芳华台、丝路花雨、九州花境四个景点中随机选择一个进

行参观，那么他选择的景点恰为丝路花雨的概率为（）

1111

A.-B.-C.-D.—

24816

二、填空题（每题4分，共24分）

13.化简：Sin220-2J（cos600-l）2=

cos68°'

14.如图AABC的顶点3在％轴的正半轴上，顶点A在，轴的负半轴上，顶点C在第一象限内，AC交x轴于点£,

过点E作丄BE交8c的延长线于点O.若反比例函数y=A经过点。，且EC=8C,5M8£=3,则左值等于

x

16.分解因式-18根=

17.将矩形纸片ABC。按如下步骤进行操作:

DAD

E..............................FEF

图1

（1）如图1,先将纸片对折，使5c和重合，得到折痕EV；

（2）如图2,再将纸片分别沿EC,80所在直线翻折，折痕EC和8。相交于点0.那么点。到边AB的距离与点0

到边CD的距离的比值是.

18.已知0。的半径3c九点P在）0内，则。尸3cm（填＞或=,＜）

三、解答题（共78分）

19.（8分）某企业设计了一款工艺品，每件成本40元，出于营销考虑，要求每件售价不得低于40元，但物价部门要

求每件售价不得高于60元.据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每涨1元，每天

就少售出2件，设单价上涨x元(x20).

(1)求当x为多少时每天的利润是1350元？

(2)设每天的销售利润为求销售单价为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？

20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2—(2k+l)x+k2+k=0

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若AABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为1.当AABC是等腰三角形时，求k的

值

21.(8分)甲、乙、丙三个球迷决定通过抓阉来决定谁得到仅有的一张球票.他们准备了三张纸片，其中一张上画了

个五星，另两张空白，团成外观一致的三个纸团.抓中画有五角星纸片的人才能得到球票.刚要抓阉，甲问：“谁先

抓？先抓的人会不会抓中的机会比别人大？”你认为他的怀疑有没有道理？谈谈你的想法并用列表或画树状图方法说

明原因.

22.(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=av2+〃x+c与x轴交于点4-2,0),点8(4,0),与)，轴交于点

C(0,2百)，连接BC,位于＞轴右侧且垂直于x轴的动直线/,沿x轴正方向从。运动到B(不含。点和B点)，且

分别交抛物线、线段8c以及x轴于点P,D,E.连接AC,BC,PA,PB,PC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1,当直线/运动时，求使得APE4和A4OC相似的点尸点的横坐标；

(3)如图1,当直线/运动时，求APC3面积的最大值；

(4)如图2,抛物线的对称轴交X轴于点Q,过点8作BG//AC交)'轴于点G.点H、K分别在对称轴和＞轴上

A

运动，连接PH、HK.当的面积最大时，请直接写出P”+"K+^^KG的最小值.

2

23.(10分)教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃,加热到100C停止加热，水温

开始下降，此时水温》(℃)与开机后用时x(min)成反比例关系，直至水温降至30℃,饮水机关机，饮水机关机

后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30'C时接通电源，水温N(C)与时间x(min)的关系如图所示:

（i）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；

（2）怡萱同学想喝高于5O'C的水，请问她最多需要等待多长时间？

⑴操作发现:如图1,在中，ZACB=90°,以点C为中心，把A3C顺时针旋转90°,得到AfC;再

以点A为中心，把A8C逆时针旋转90。，得到A&G.连接4G.则AG与AC的位置关系为平行;

（2）探究证明:如图2,当A8C是锐角三角形，NAC5=a（aH60。）时，将「ABC按照（1）中的方式，以点C为

中心，把.ABC顺时针旋转“，得到44。；再以点A为中心，把一A3C逆时针旋转。，得到A82a.连接4G，

图2

①探究A&与8C的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；

②探究4G；与AC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明.

25.（12分）如图，已知：抛物线y=a（x+D（x—3）交x轴于A,C两点，交y轴于点5,且O5=2CO.

(1)求二次函数解析式；

(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N,且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、

"两点，当四边形MN//G为矩形时，求该矩形周长的最大值；

(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使得AAB尸为直角三角形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说

明理由.

26.某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数(单位：个)进行

统计，结果如下：

甲1061068

乙79789

经过计算，甲进球的平均数为8,方差为3.2.

(1)求乙进球的平均数和方差；

(2)如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？

为什么？

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、A

【分析】先根据平行四边形的性质得到AB=CD,AB〃CD,再计算出AE：CD=1：3,接着证明△AEFsaCDF,然

后根据相似三角形的性质求解.

【详解】:•四边形ABCD为平行四边形，

AAB=CD,AB/7CD,

VAE:EB=1:2,

：•AE:AB=1:3,

・•・AE:CD=1:39

VAE#CD,

；•AEFsCDF,

・SAEF_（AE2_J_

9

・'SCDF-CD~9

：•SDFC-9>5说=9x2=18（cW）.

故选：A.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.

2、B

【分析】首先连接OC,由NA=25。，可求得NBOC的度数，由CD是圆O的切线，可得OC丄CD,继而求得答案.

【详解】连接。C,

,.咽。是RtAA5c的外接圆，NAC8=90。，

是直径，

VZA=25°,

:.N3OC=2NA=50°,

是圆。的切线，

：.OCLCD,

:.N£>=90"NBOC=40。.

故选B.

3、B

【分析】根据同角的余角相等得NBCD=NA,利用三角函数即可解题.

【详解】解：在中，

VAC=24,AB=25,C。是斜边AB上的高，

.,.ZBCD=ZA（同角的余角相等），

/.cosZBCD=cosZA=,

AB25

故选B.

【点睛】

本题考查了三角函数的余弦值，属于简单题，利用同角的余角相等得NBCD=NA是解题关键.

4、B

【分析】根据二次函数基本性质逐个分析即可.

【详解】A.a=3,开口向上，选项A错误

B.顶点坐标是（2,1）,B是正确的

C.对称轴是直线x=2,选项C错误

D.与x轴有没有交点，选项D错误

故选:B

【点睛】

本题考核知识点：二次函数基本性质：顶点、对称轴、交点.解题关键点：熟记二次函数基本性质.

5、A

【分析】把抛物线解析式化为顶点式即可求得答案.

【详解】Vy=-3x2+12x-3=-3（x-2）2+9,

二顶点坐标为（2,9）.

故选：A.

【点睛】

本题主要考査了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解答此题的关键，即在y=a（x-〃）2+左中，对称轴为x=h,

顶点坐标为（h,k）.

6、B

【解析】根据中心对称图形的概念和各扑克牌的花色排列特点的求解.

解答：解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、是中心对称图形，符合题意；

C、不是中心对称图形，不符合题意；

D、不是中心对称图形，不符合题意.

故选B.

7、B

【分析】因为PA为切线，所以AOPA是直角三角形.又OA为半径为定值，所以当OP最小时，PA最小.根据垂线

段最短，知OP=1时PA最小.运用勾股定理求解.

【详解】解：作OP丄a于P点，则OP=1.

根据题意，在R3OPA中，

AP=[OP?-。代=V22-12=V3

故选:B.

【点睛】

此题考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PA最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上.

8、B

【解析】解：由图可得，芍药的数量为：4+x4,.•.当〃=11时，芍药的数量为：

4+(2x11-1)x4=4+(22-1)x4=4+21x4=4+84=88,故选B.

点睛：本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中图形的变化规律.

9、C

【解析】试题解析：①A3尸和AOE的底分别相等，高FP,FN也相等，所以它们的面积也相等，故正

确.

②_CD尸和VCB尸的底CD,CB分别相等，高/也相等，所以它们的面积也相等，并不是4倍的关系.故错误.

③由于E是的中点，所以4)/和的相似比为2:1,所以它们的面积之比为4:1.故错误.

④.尸和CD厂的底A。,C。相等，高FN和则是2:1的关系，所以它们的面积之比为2:1.故正确.

综上所述，符合题意的有①和④.

故选C.

10、B

【分析】根据弧长公式，即可求解.

n冗r

【详解】vzTso

y)jrxO

.••2.5乃=竺、，解得：n=75,

180

故选B.

【点睛】

ri7[r

本题主要考查弧长公式，掌握/=——是解题的关键.

180

11、D

【分析】满足题意的有两点，一是此方程为一元一次方程，即未知数x的次数为1；二是方程的解为x=l,即1使等式

成立，根据两点列式求解.

【详解】解：根据题意得，

a-l=l,2+m=2,

解得，a=2,m=0,

a-m=2.

故选：D.

【点睛】

本题考查一元一次方程的定义及方程解的定义，对定义的理解是解答此题的关键.

12、B

【分析】根据概率公式直接解答即可.

【详解】•••共有四个景点，分别是永宁瞻胜、万芳华台、丝路花雨、九州花境，

,他选择的景点恰为丝路花雨的概率为丄；

4

故选：B.

【点睛】

本题考査了概率的知识.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、0

【分析】根据cos(90°-A)=sinA,以及特殊角的三角函数值，进行化简，即可.

【详解】原式=c°s(90

cos68°

cos68°

2x

cos68°-i

=0.

故答案是：0

【点睛】

本题主要考査三角函数常用公式以及特殊角三角函数值，掌握三角函数的常用公式，是解题的关键.

14、6

npnA

【分析】可证二得到靑==，

BEDE

因此求得OEDE=OABE=6

【详解】解：设。(x,y),

根据题意，点。在第一象限,

OE-x,DE-y,

EC=BC,

：.ZCEB=ZCBE

又ZCEB=ZOEB

NOEA=NCBE

又/EOA=DEB=90。

：.^OEAEBD

OE0A

因此——=—,OEDE=OABE

BEDE

SMBE=；0ABE=3

OEDE=OABE=6

k=xy=6

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质以及反比例函数的性质.

15、1

【解析】原式=2(m2+2/n/i+w2)-6,

=2(A7J+/1)2-6,

=2x9-6,

=1.

16、2m(m-3)(m+3)

【分析】先提取公因式，再利用平方差公式即可求解.

【详解】2m3-18m=2m(m2-9)=2m{m-3)(m+3)

故答案为：2w(w-3)(777+3).

【点睛】

此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法.

1

17、-

2

【分析】根据折叠的性质得到砕=丄A3,根据矩形的性质得到A5=CZ),△BOEsXDOC,再根据相似三角形的性

2

质即可求解.

【详解】解：由折叠的性质得到

2

,••四边形A8C。是矩形，

：.AB=CD,ABOEsADOC,

AABOE与△OOC的相似比是丄，

2

:.点O到边AB的距离与点O到边CD的距离的比值是丄.

2

故答案为：—.

2

【点睛】

本题考查了翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，综合性强，还考查了操作、推理、

探究等能力，是一道好题.

18、<

【分析】根据点与圆的位置关系，即可求解.

【详解】解：。的半径为3cm,

点尸在：0内，

OP<3cm.

故答案为:<.

【点睛】

本题考查的是点与圆的位置关系.

三、解答题(共78分)

19、(1)x=5时，每天的利润是1350元；(2)单价为60元时，每天利润最大，最大利润是1600元

【分析】(1)根据每天的利润=单件的利润x销售数量列出方程，然后解方程即可；

(2)根据每天的利润=单件的利润x销售数量表示出每天的销售利润，再利用二次函数的性质求最大值即可.

2

【详解】⑴由题意得(50—40+x)(l00—2x)=1350,BPx-40x+175=0.

解得：％=5,*2=35,

•••物价部门要求每件不得高于60元，

.•.x=5,即x=5时每天的利润是1350元；

22

(2)由题意得：y=(50-40+x)(100-2x)=-2x+80x+1000=-2(x-20)+1800(0<x<10),

•.•抛物线开口向下，对称轴为x=20,在对称轴左侧，y随x的增大而增大，且04xW10,

...当x=10时，=X=1600(元)，当x=10时，售价为50+x=60(元)，

单价为60元时，每天利润最大，最大利润是1600元.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题的关键.

20、(5)详见解析

(4)k=4或k=5

【分析】(5)先计算出4=5,然后根据判别式的意义即可得到结论；

(4)先利用公式法求出方程的解为xs=k,x,=k+5,然后分类讨论：AB=k,AC=k+5,当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰

三角形，然后求出k的值.

【详解】解：(5)证明：,/△=(4k+5)，-4(k4+k)=5>0,

方程有两个不相等的实数根；

(4)解：一元二次方程X，-(4k+5)x+k4+k=O的解为x=丄土生"，即x$=k,x«=k+5,

2

Vk<k+5,

.♦.ABKAC.

当AB=k,AC=k+5,且AB=BC时，AABC是等腰三角形，则k=5；

当AB=k,AC=k+5,且AC=BC时，AABC是等腰三角形，则k+5=5,解得k=4,

所以k的值为5或4.

【点睛】

5.根的判别式；4.解一元二次方程-因式分解法；5.三角形三边关系；4.等腰三角形的性质.

21、甲的怀疑没有道理，先抓后抓抓中的机会是一样的，图表见解析

【分析】先正确画出树状图，根据树状图求出每人抓到五星的概率即可解答.

【详解】答：甲的怀疑没有道理，先抓后抓抓中的机会是一样的.

用树状图列举结果如下：

幵始

空

丙

空

空

22五五2

从图中发现无论三个人谁先抓阉，抓到五星纸片的概率都是一样的，各为

【点睛】

本题考査了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否

则就不公平.

22、(1)y=--x2+—X+2A/3;(2)(3)26；(4)1.

42，

【分析】(1)待定系数法即可求抛物线的表达式；

(2)由ACOP4E得到普=华，从而宿AE=6PE,点P的纵坐标为k,则=0左，找到P点横纵

PEAE

坐标之间的关系，代入二次函数的表达式中即可求出k的值，从而可求P的横坐标；

(3)先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后设点「(加,—日加？+日加+26),。(加,-停加+2百)，从而表

示出Spa，利用二次函数的性质求最大值即可；

(4)通过构造直角三角形将由KG转化，要使PH+/7K+且KG取最小值，P,H,K应该与KM共线，通过验证发

22

现K点正好在原点，然后根据特殊角的三角函数求值即可.

【详解】(1)设抛物线的表达式为^=62+/^+。

将A(-2,0),8(4,0),C(0,2百)代入抛物线的表达式中得

a出=-----

4

4。-2b+c=0

,百

16o+4/?+c=0解得<b=——

2

c=2\/3

c=2A/3

・•・抛物线的表达式为y=-去£+今+26

(2)•.•直线1丄x轴

/.NPE4=NCQ4=90°

ZACO^ZAPE

：.ZACO=ZPAE

:.^ACOPAE

.AOCO

'~PE~~AE

2,0),C(0,2V3)

:.AO=2,CO=2y/3

.2

"PE~AE

AE=&E

设点P的纵坐标为k,则=左

二OE=y/3k-2

将P(6女-2/)代入二次函数表达式中，解得

k=W四或4=0(舍去)

9

此时P点的横坐标为百x曳I-2=§

93

(3)设直线BC的解析式为)，="+匕

将8(4,0),C(0,2g)代入得

L-_vi

4攵+A=0

解得J2

。=26

b=2y/3

；.直线BC的解析式为y=一走x+2百

2

设点P{m,-^-tTT+-^-m+2\/3),D(m,-^-m+2\f3)

:.S.PCB=|PP.(4-0)=2PD

PO=(-3疝+也加+26)一(—3机+26)=一3疝+有m=一走(加一2y+G当机=2时，PD取最大

42244

值，最大值为百

APC3面积的最大值为2G

(4)将y轴绕G点逆时针旋转60°,作KM丄GM于M,则NKGM=60°，连接OP

要使PH+"K+虫KG取最小值，P,H,K应该与KM共线，此时NCKP=NMKG=30°

2

而此时APCB面积的最大，点P（2,2石）

tanACOP--2尸=

2733

:.ZCOP=30°

说明此时K点正好在原点O处

：.PK=4

AC//BD

「._AOC_BOD

■_A_O—_C_O_

BO~DO

即2=2^

4DO

：.DO=4^3

:至KG=KD=2x4拒=6

22

APH+HK+—KG的最小值为4+6=1

2

【点睛】

本题主要考査二次函数与几何综合，相似三角形的判定及性质，掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定及性

质是解题的关键.

10x+30,0<x<7

23、（1）y与X的函数关系式为：y=,700r70，）'与X的函数关系式每一分钟重复出现一次；（2）她

——，7<x<—3

Ix3

34

最多需要等待二分钟；

3

【解析】（1）分情况当噫Ik7,当x>7时，用待定系数法求解；（2）将y=50代入y=10x+30,得x=2,将y=50

代入>=82,得％=14,可得结果.

x

【详解】（1）由题意可得，

cz=(100-30)4-10=70-10=7,

当怎!k7时，设）'关于x的函数关系式为：y=kx+b,

7J=30任=10

《，得*!，

7k+b=lOQb=3Q

即当倭Ik7时，关于x的函数关系式为y=10x+30,

当尤>7时，设丫=@,

x

100=-,得a=700,

7

即当x>7时，关于x的函数关系式为〉=®,

X

70

当y=30时，》=号，

10x+30,0<x<7

...y与X的函数关系式为：y=4700r7070

y与x的函数关系式每——分钟重复出现一次;

——,7<x<——3

(2)将y=50代入y=10x+30,得x=2,

将y=50代入y=亠，得x=14,

x

70〜34

V14-2=12,——12=——

33

34

二怡萱同学想喝高于50℃的水，她最多需要等待了分钟；

【点睛】

考核知识点：一次函数和反比例函数的综合运用.根据实际结合图象分析问题是关键.

24、①ACJ/BC,证明详见解析；②AG//AC,证明详见解析.

【分析】（1）根据旋转角的定义即可得到NC4C；=NAC6=a,即可证得AC；与BC的位置关系.

（2）过点4作4E//AG，交AC于点E，证明四边形AEAG为平行四边形即可解决问题.

【详解】①AC"BC.

证明:由旋转的性质，知NC4£=a.

又XACB=a>

ZCACt=ZACB.

:.ACJ!BC.

②AG//AC.

证明:过点A作AE//AG，交AC于点E.

Z-\EC-NCAC]=a.

又由旋转的性质知，NAC4=NC4G=a，4C=AG

Z-A^EC—NACA]=a.

A^E-A^C.

AC,=A^E.

又AE//AG

四边形AE4G为平行四边形.

AG//AC.

【点睛】

本题考查旋转变换，掌握旋转的性质及平行四边形的判定和性质是解题的关键.

25(1)y-x~H—x+2；(2)——；(3)(1»-3)或(1,—)或(1,1+)或(I，1-V^)

3332

【分析】(1)利用待定系数法求出A、B、C的坐标，然后把B点坐标代入y=a(x+l)(x—3),求出a的值，并化简

二次函数式即可；

2,424

(2)设点M的坐标为(机，--m2+-m+2'),则点N的坐标为(2-机一二，/+彳〃?+2),可得

3333

24

MN=m-2+m^2m-2,GM=一一nr+-m+2,利用矩形MNHG的周长=2MN+2GM,化简可得

33

-^(7«-1)2+^,即当龙=2时，C有最大值，最大值为

32323

(3)分三种情况讨论：①点P在AB的下方，②点P在AB的上方，③以AB为直径作圆与对称轴交，分别讨论得出

结果即可.

【详解】(1)对于抛物线y=a(x+1)(x-3),

令y=0，得到a(x+1)(x-3)=0,

解得x=-l或3,

：.C(-1,0),A(3,0),

AOC=1,

VOB=2OC=2,

AB(0,2),

2

把B(0,2)代入y=a(x+1)(x-3)中得：2=-3a,a=-y

2

，二次函数解析式为y=--(x+1)(%-3)

224c

=—XH-X+2

33

2c4

(2)设点M的坐标为(m,一一相~+—加+2),

33

则点N的坐标为(2-m,一z+