2023-2024学年浙江省宁波市高二年级上册期中数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年浙江省宁波市高二上册期中数学模拟试题

一、单选题

1.直线x=-2的倾斜角为（）

cc兀-兀c3兀

A.0B.—C.—D.—

424

【正确答案】C

【分析】由倾斜角定义即可判断.

【详解】直线x=-2与y轴平行，故倾斜角为5JT.

故选：C

2.已知两个向量“二（2,-1,3）,b'=（4,m,n）,且力晨则〃的值为（）

A.1B.2C.4D.8

【正确答案】C

【分析】由可知归2eR,使5二/1；,利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.

'4=22[2=2

【详解】'-allb<3AGR,使b=/la，得”"=-彳，解得：，加=-2,所以〃?+〃=4

«=32n—6

故选：C

思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知：）/，，引入参数2,

使b=/la，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由“//6,M-=—=7-

2—13

求出加，n.

3.抛物线y=-2f的焦点坐标为（）

【正确答案】A

【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标.

【详解】由y=-2f得：x2=

2

「•其焦点坐标为

故选：A.

4.下列椭圆中最接近于圆的是（）

B.L

A.----1----

3611259

22p.X2i

C.—।—=iD.—+y2=1

1441694

【正确答案】C

【分析】椭圆的离心率越小，则椭圆越圆，则2越大，分析各选项中的椭圆中的2即可得出

a

答案.

【详解】椭圆的离心率越小，则椭圆越圆，则2越大,

A中2①吊3…612,b1

B中一=一,C中一=—,D中一=一，

a6a5a13a2

其中C中的勺最大，故选择C的椭圆最圆,

故选：C.

5.两圆f+V=9和x2+/-8x+6y+9=0的位置关系是（）

A.相离B.相交C.内切D.外切

【正确答案】B

【分析】先求出两圆的圆心和半径，再根据圆心距与两圆的半径和及半径差之间的大小关系,

得出两圆的位置关系即可.

【详解】解:由题知,f+y=9的圆心为（0,0）,半径为3,

因为f+/_8x+6y+9=0,

即（x-4『+（y+3）2=16,圆心为（4,-3）泮径为4,

所以两圆心之间的距离为"77=5,

因为4-3<5<4+3,

所以两圆相交.

故选:B

6.若直线x+（l+/«）y-2=0和直线机x+2y+4=0平行，则机的值为（）

2

A.1B.-2C.1或-2D.--

【正确答案】A

4B,C,

【分析】由题知两直线平行，直接列出学=”*7^（4#°，&W℃2力0）即可求得〃？

4z52C2

【详解】直线x+（l+〃?）y-2=0和直线”,x+2.y+4=0平行，

可得C'）,得m=1.

[m丰-2

故选：A.

本题考查了已知两直线平行求参的问题，注意要排除两直线重合的情况，属于基础题.

7.已知双曲线C：/-±=1的右焦点为尸，过尸的直线/与双曲线C交于A,B两点，若

2

|/a=3,则这样的直线/有（）

A.0条B.2条C.3条D.4条

【正确答案】B

【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线A8只与双曲线右支相交,

②直线A8与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综

合可得答案.

【详解】因为双曲线C：--乙=1中/=1,/=2,。2=3,

2

过双曲线£-4=1（。>0）的右焦点尸作直线/与双曲线交于A,B两点，

aJ

2b2\

如果48在同一支上，则有/例向产二~=4）3,

所以右支不存在这样的直线；

双曲线C的实轴长为2,2VM@<4,

因此直线/只能与两只各交于一点48时，满足|4a=3的直线有2条.

故选：B.

8.已知P是椭圆土+/=1上的点，尸为椭圆的右焦点，则使尸。尸为等腰三角形（。为坐

4-

标原点）的点P的个数为（）

A.2B.4C.6D.8

【正确答案】D

【分析】分别以尸。尸的三条边为底边进行讨论.

„2_

【详解】---by2=l>a=2,6=l,c=-73>

4

则O/MA/JJCPOVZ乂-A/JCP/VZ+G,

若以。尸为底边，则有两个，

若以P尸为底边，则。尸=6,设尸（X/）,

，2।

—4-V=1

则4.

X2+「=3

故有4个,

若以尸。为底边,则尸尸=VJ,设尸（x,y）,

"2如

X1

—+y-2=1X=X=—

2

则4.,得或

叵V13

+炉=3y=

4安一丁

故有2个,

综上共有8个,

故选：D.

二、多选题

下列双曲线中，渐近线方程是y=±；x的为（）

9.

X22]

A.---V=1B.x2=l

44

2

X/.2

C.--------=1D.y——=1

424

【正确答案】AD

【分析】焦点在X轴上的双曲线，渐近线为夕=±2'，焦点在y轴上的双曲线，渐近线为

a

T，代入即可求得•

【详解】A选项，a=2,6=l,y-+-x=±^-x,故A选项正确;

a2

B选项，〃=2/=1,y=±-x=±2x,故B选项错误；

b

C选项，a=2,b=V2,y=±—x=±x，故C选项错误;

a2

D选项，Q=1,6=2/=±，x=±gx,故D选项正确.

b2

故选：AD

导,,2

10.已知与，工为双曲线*•-2=l(a>0,b>0)的焦点，。为双曲线的中心，P,。分别

▼▼▼乂▼▼▼乂

为。耳，的中点，M为双曲线上一点，且则该双曲线的离心率可能是

()

A.y/2,B.y/3C.2D.3

【正确答案】BCD

222

【分析】由题意可得由外人加斗可得x：+y；=(+j又因为

/22\2

必(“。，兀)为双曲线上一点，代入化简结合X；202,可得幺户+〃-彳2/,解不等式

即可求出答案.

22

【详解】不入为双曲线，-3=1(〃>01>0)的焦点，所以4(-c,0),居(c,o),

a"b"

P,。分别为。耳,O外的中点，所以尸卜川,呜,0),

设材(%,人)，所以由可得：

4

2222

则其--=彳，即片+其哈+?，

/2、

又因为"(々，与)为双曲线上一点，所以只=/咚T,

、a)

则X：与一1二[1+2]X：-h2=*q,

\a-{a'44

/22\2

解得：x；=幺詈+〃因为X；2a2,

I4)C

金2+,2、2

所以1f^+6].合2/，所以c223a2,

结合e>l,解得.e之

故选：BCD

11.已知抛物线V=2/(p>0)的焦点为产，准线为/,过F的直线交抛物线于48两点，

线段48的中点为"，48,M在/上的射影分别为P,Q,N,下列结论正确的为()

A.NA1NBB.NFLAB

C.FP-LFQD.MP1.MQ

【正确答案】ABC

【分析】根据抛物线定义和梯形中位线性质可求得=知A正确：根据等腰三

角形性质和平行直线的性质可推导得到=进而确定ANPgANF,知B正

确；由角度关系可推导得到乙4尸。+/8/。=2/。/。+2/尸尸。=兀，由此可知C正确：若D

正确，由圆的性质知|MV|=|NF|,可知不恒成立，则D错误.

对于A,由抛物线定义可知：|/「|=|/列，忸。|=忸尸

M为中点，，|AW|=g(|/lP|+|8Q|)=；(MF|+|M|)=；M8|,

NAVNB,A正确；

对于B,\MN\=-\AE\=\Al^,.\ZMNA=ZMAN,

AP//MN,ZMNA=ZPAN,则ZP/N=/A/4N,又=|“时=|/时,

7T

ANP^.ANF,ZAFN=ZAPN=-,即B正确；

2

对于C\BF\=\B^,\AF\=\AP\,ZBQF=ZBFQ,ZAPF=ZAFP,

APHOFHBQ,;,NAPF=NPFO,NBQF=NQFO,

：.2。尸。=ZBFQ,NPFO=ZAFP,

TT

NAFO+NBFO=2NQF0+2NPF0=兀，/.ZQFO+2PF0=y,

即FP1FQ,C正确；

对于D,若A/PLMQ,则由尸。知：在以N为圆心，|NP|为半径的圆上，

.♦.|〃M=WH，又杯JL4B,仞V|（当且仅当“，尸重合时取等号）,

不恒成立，D错误.

故选：ABC.

12.已知矩形与CDEF,P为CD上一点,记二面角Z-8-尸的大小为6.若存在

过点P的4条直线4，12,4，/4,其与平面“88、平面CDE尸所成的角均为25。，则。的

值可能为（）

A.20°B.40°C.60°D.80°

【正确答案】CD

【分析】分两种情况，一是在二面角的平分面上，另一种情况是在邻补二面角的平分面上研

究，以角平分线为基准，旋转找符合要求的直线即可.

【详解】

作二面角的平面角A'PE',则4'PE'=。，设尸々为AAPE'的平分线，则4'P耳=NRPE'=-

当P々以P为中心在二面角的平分面上转时，尸耳与两平面的夹角变小，会对称出现两条与平

面N8C。、平面C0E尸所成的角相同的直线；

设Pg为4'PE'的补角角平分线，则/6尸/'=/6尸£="兀一区e，当P乙以P为中心，在二面

角的邻补二面角平分面上转时，尸?与两平面的夹角变小，会对称出现两条与平面/88、

平面C0E尸所成的角相同的直线；

若存在过点尸的4条直线4，%4，14＞其与平面/88、平面CCE尸所成的角均为25。，

-＞25°

则｛“，解得50。＜。＜130。，CD符合条件，

上＞25。

2

故选：CD

三、填空题

13.直线y=2x+l在x轴上的截距为.

【正确答案】-；##-0.5

2

【分析】求出直线与x轴交点的横坐标即可.

【详解】：直线方程为N=2x+1,

...令…，得x=-g,即直线y=2x+l与X轴交于点卜;,o1,

...直线y=2x+i在x轴的截距为-g.

故答案为.-5

14.在空间直角坐标系中，已知点尸(-1,-2,-3)与点/(1,7,2),若M关于平面xQy的对称

点为〃’，则AT到点P的距离为.

【正确答案】屈

【分析】根据点关于面对称的坐标特征，结合空间两点间距离公式进行求解即可.

【详解】因为M关于平面*何的对称点为"'，A/(l,-l,2),

所以“(1,-1,-2),

所以A/P=+(-2+1)2+(-3+2)2=V6,

故指

15.已知抛物线物=4x的焦点为F,过尸的弦满足1?|=3忸F],则|48|的值为.

【正确答案】y

【分析】由A,B分别向抛物线的准线作垂线，垂足为根据抛物线定义，|44'|=以尸|,

\BB'\=\BF\,设直线48与抛物线的准线交点为抛物线的准线与x轴交于点N,根据

MBB',MAA'和AMFN的相似关系进行求解即可.

如图，由A,B分别向抛物线的准线作垂线，垂足为B',设直线ZB与抛物线的准线交

点为M,抛物线的准线与x轴交于点N,则|FN|=p=2,

设忸日=〃？（加>0）,则|4F|=3忸万|=3加，|力图=|/尸|+忸可=4机

由抛物线的定义,\AA\=\AF\=3m,\BB'\=\BF\=m,

易知MBB'MAA',

・"1=幽=巾.二=|网

,*AA'\|闻\MB\+\AB\''-3m\MB\+4m'1'

又易知，MBB'MFN,

.\BB'\_\MB\_陶|.m2m.4

••网-丽-陵|+3曰'

\AB\=4,”=g.

故答案为

16.已知一个玻璃杯内壁的轴截面是抛物线，其方程为：y=^x2（-4<x<4）,现在将一个

半径为，•的小球放入杯中，若小球能触及杯子的最底部，则小球的半径的取值范围是.

【正确答案】（0』

【分析】分析轴截面，当小球圆心和尸点距离最小时，即点P为(0,0)时，分析圆心坐标符

合的二次函数对称轴在y轴左侧位置时的半径范围.

【详解】设小球的圆心为C(0，M),抛物线上任意一点

「(，",〃)满足〃=；"/.圆心到尸点的距离的平方

cl2==2〃+(〃—%)"

22

=n+2(l-^0)«+y0.

若d2的最小值在点尸为(0,0)即〃=0时取到，则小球触及杯底，

所以此二次函数的对称轴位置应在y轴的左侧即^-1<0,.-.y0<l,

/.0<r<1.

故(05

四、解答题

17.中,已知4(-1,1),5(2,5),C(5,-7)

(1)求8c边上的高所在直线的方程；

(2)若“。是/8C的内角平分线，求

【正确答案】(l)x-4y+5=0

(2)4

【分析】(1)首先根据垂直关系确定8c边上的高所在直线的斜率，再代入点斜式方程求解;

(2)首先根据直线的斜率确定角平分线的斜率，联立方程求点。的坐标，再根

据两点间距离求

【详解】(1)由条件可知，ABC=yfy=-4,所以8c边上的高的斜率是:,

所以8c边上的高所在直线的方程是y-l=，x+l),即x-4y+5=0；

1—541—7—14

(2)JC=5-(-1)=-3,以》=-限，

所以/BAC的角平分线过点N（-1,1）且平行于x轴，即直线:y=1,

直线8C的方程是y-5=-4(x-2),即4x+y-13=0,

联[4x+立y-13=0,得|｛x…=3，即以/3,1)、,

所以=)(-1-3)2+(17)2=4.

18.如图，在正方体48co-4364中，〃是BC的中点.

（1）求异面直线/G与。M所成角的余弦值;

（2）求二面角4的余弦值.

【正确答案】（1）噜

⑵当

6

【分析】（1）建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角:

（2）由空间向量法求二面角.

【详解】（1）以。4oc,oq为xj,z轴建立空间直角坐标系，如图，调好正方体棱长为1,

则/(1,0,0),C(0,l,0),C,(0,l,l),M,4(1,0,1),。(0,0,0),

/iq=(-1,1,1),Z)A/=(pl,0),

所以异面直线"G与。w所成角的余弦值为噜;

（2）由（1）知。4=（i,o,i）,0G=（o,i,i）,

设平面的一个法向量是〃工（西,％zj,

X1

m-DM--x.+y।=0一

则YT2，取占=2得加=（2,-1,-2）,

z\

in•DA1=X[+Z]=0

设平面G。”的一个法向量是；二（%,外,Z2），

X1

nDM=+=0八一

则2---，取X>=2,则m=（2,-l,l）,

A4

=z=

n-Z）C1y2^20

/飞D4+1-2y/6

/同;1y/9xy[66

所以二面角4-w-q的余弦值为手.

19.已知圆。的圆心在V轴的正半轴上，半径为2,且被直线4x-3y+4=0截得的弦长为

26

（1）求圆C的方程；

（2）过点尸（-2,0）作圆C的切线/,求/的方程.

【正确答案】⑴一+（了-3）2=4

（2»=-2或5》-12卜+10=0

【分析】（1）利用点到直线的距离•公式即可求得圆心从而求得方程.

（2）分类讨论借助点到直线的距离公式求得直线方程.

【详解】（1）设圆心坐标为（0,。）,“>0,又因为圆的半径为2.

由勾股定理可得圆心到直线的距离"=1

所以d=Hfl=ina=3.

5

所以圆。的方程为：/+(尸3『=4

(2)由已知：

(1)当直线斜率不存在时，直线方程为x=-2,显然符合题意.

(2)当直线斜率存在时，设直线方程为y=Mx+2)=丘+2后，

又因为圆心到直线的距离"=:=1=2=%=[

收+i12

所以直线的方程为5x-12y+10=0.

综上所述：直线为x=-2或5x-12y+10=0.

20.如图，在四棱锥尸-N8C。中，PAL^ABCD,ADVCD,AD//BC,PA=AD=CD=2,

BC=3,E为PO的中点，/在PC上，B.PC=3PF.

(1)证明：平面平面PC。；

(2)设点M是直线PB与平面AEF的交点，求直线CM与平面AEF所成角的正弦值.

【正确答案】(1)证明见解析；

⑵冷.

3

【分析】(1)由线面垂直判定定理证明/E1平面PCD,再由面面垂直判定定理证明平面

AEF1平面PCD；

(2)建立空间直角坐标系，求直线C"的方向向量和平面/E尸的法向量，结合向量夹角公式

求直线CM与平面AEF所成角的正弦值.

【详解】(1)因为=E为的中点，

所以4E1PD,

因为PZ1平面ABCD,CDu平面ABCD,

所以P/_LC。，又力。_LC。，PAnAD=A,P4N〃u平面P/。，

所以CD_L平面尸4),又4Eu平面P/。，

所以CZ)，/E,又AELPD,PDcCD=D,PD,CZ)u平面PC。，

所以J.平面PCD,又/Eu平面4EF,

所以平面/E尸，平面PC。：

(2)因为尸Z_L平面/BCD,ADLCD,

所以如下图，以。为原点，分别以D；,DC>4方方向，为x轴，》轴，z轴正方向，建立

空间直角坐标系，则0(0,0,0),>1(2,0,0),C(0,2,0),E(l,0,l),尸(2,0,2),8(3,2,0),

,得尸

(224、八

**-Z尸=(一］，3,3｝而4E=(T,0,l)，

一m-AE=-x+z=0

设加=(%)/)为面力£尸的一个法向量，则，，Y224

〃！•AF=——x+—y+—z=0

33,3

取x=l,则y=-l,z=l,所以加为平面4EF的一个法向量,

因为点M是直线尸8与平面4E厂的交点，

故可设PA/=4P8，所以4M=4P+PM=4P+APB

AM=(0,0,2)+2(1,2,-2)=(2,22,2—22),设AM=sAE+tAF»

则(4,24,2-2%)=s(-1,0,1)+g)

所以2=；,s=_2,f=2,所以CM=C4+4M=

设直线CM与平面NEF所成角为8,

则sin0=cos<m,CM>质包I4

|M?|.|CM|62&3

所以直线CM与平面XE尸所成角的正弦值为好.

3

21.已知双曲线C：£-，=1(。>01>0)的离心率为2,且右焦点尸到其渐近线的距离

为百.

(1)求双曲线方程；

(2)设。为双曲线。右支上的动点.在x轴负半轴上是否存在定点使得

NQFM=2NQMF?若存在,求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【正确答案】⑴V一片=1

3

(2)存在，A/(-l,0)

【分析】(1)由双曲线的性质以及距离公式得出方程;

%

(2)由三角函数得出tan/QEM=-,tan/°WF=%,再由NQFM=2NQM尸结

—2x0-m

合倍角公式得出〃?.

【详解】(1)由题意可知，解得a=l,b=\f3,c-2

即双曲线方程为一一或=1;

3

(2)设A/(/n,0),。优,外),片-等=1,

则tan/°fM=-tanZQMF=,

x0-2x0-m

,cmm2tanZQMF

因为尸例=2/0河E,所以tan/0W=tan2N0WF=-------#-------

l-tan-Z.QMF

2-^

yx-m

即—Q7=0,即（4加+4）/=〃/+4机+3,得机=-i.

%1_%

10-〃?1

所以，存在点"（TO）满足题意.

22.已知点A为直线y与椭圆C：《+y2=i的交点，点B为直线卜=幺》椭圆C的交点,

4

。为坐标原点.

（1）若直线的方程为3x+4y=2石，求勺&的值；

（2）是否存在常数义，使得当在此=义时，0/8的面积恒为定值？若存在，求出2的值；若

不存在，说明理由.

【正确答案】（1）-1

（2）存在，2=-；

【分析】（1）设+m,与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，代入左他="可整

国X?

理得到姑2="‘二纵，代入a=一1，加=如即可求得出色2；

4,„2-4