第21讲 用二分法求方程的近似解（学生版）-高一数学同步讲义

第07讲用二分法求方程的近似解

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课程标准课标解读

1.理解运用二分法逼近方程近似解的数

学思想，了解二分法只能用于求变号零点通过本节课的学习，要求会用二分法进行简单方程近似

的方法，借助数学工具用二分法求方程的解的求解，并能根据题的要求，解决与二分法相关的参

近似解.数问题的处理.

2.能解决与方程近似解有关的问题.

视知识精讲

金、知识点01二分法定义

对于在区间打上连续不断且/(«)•/S)<()的函数y=/(x),通过不断地把函数/(x)的零点所在的

区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

【微点拨】用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点(曲线通过零点时函数值的符号变号)

适用，对函数的不变号零点(曲线通过零点时函数值的符号不变号)不适用.

叁'知识点02用二分法求函数零点近似值的步骤

给定精确度£,用二分法求函数/(X)零点近似值的步骤如下：

1.确定区间句，验证/(a)•/(〃)<(),给定精确度£.

2.求区间(见价的中点c.

3.计算/(c),

(1)若/(c)=0,则c就是函数的零点；

(2)若/(a)•/(c)v(),则令h=c(此时零点玉)£(a,c))；

(3)若f(c)・fS)v。,则令〃=c(此时零点/£(c,b)).

4.判断是否达到精确度£：即若,一可<£,则得到零点近似值a(或力)；否则重复2~4.

【微点拨】1.应用二分法求函数零点近似值(方程的近似解)时，应注意在第一步中要使：

(1)区间［a,句的长度尽量小；

(2)/(a),/(。)的值比较容易计算,且/(a)•/(»<().

2.由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.

【微点拨】精确度与精确到不是一回事，精确度是近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，

即设x为准确值，X'为x的一个近似值，若卜'一%|<£，则尤'是精确度为£的》的一个近似值.而按四舍

五入的原则得到准确值x的前几位近似值尤'，f的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位.

【即学即练1】下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是()

【即学即练2】用二分法求方程的近似解，求得/(x)=V+2x-9的部分函数值数据如表所示:

X121.51.6251.751.8751.8125

八X)-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793

则当精确度为01时，方程/+2%-9=0的近似解可取为()

A.1.6B.1.7

C.1.8D.1.9

【即学即练3】用二分法求函数nV+f-Zx-2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算

得到如下数据：/(I)=-2,/(1.5)=0.625,/(1.25)D.984,/(1.375)»0.260,关于下一步的说

法正确的是()

A.已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值

B.已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值

C.没有达到精确度的要求，应该接着计算了(1.4375)

D.没有达到精确度的要求，应该接着计算了(1.3125)

【即学即练4】为了求函数/(x)=2，+3x-7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数/(x)的

部分对应值，如表所示：

X1.251.31251.3751.43751.51.5625

f(x)-0.8716-0.5788-0.28130.21010.328430.64115

则方程2，+3x=7的近似解(精确到0.1)可取为()

A.1.32B.1.39

C.1.4D.1.3

【即学即练5】用二分法求函数/(x)=/〃(x+l)+x-l在区间［0,1］上的零点，要求精确度为0.01时，所需

二分区间的次数最少为()

A.6B.7C.8D.9

【即学即练6】用二分法研究函数八x)在区间(0,1)内的零点时，计算得40)<0,40.5)<0,

那么下一次应计算x=时的函数值.

2能力拓展

考法01

二分法的适用条件

当方程/(X)=0同时满足下列三个条件时：

(1)函数/(x)在闭区间口,切上的图象是一条连续曲线；

(2)函数/(x)在区间(a,份上有唯一的零点;

(3)/(«)-/0)<0.用二分法一定能够求出方程/(x)=0的近似解.

【典例1】下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()

【即学即练7】对于用二分法求函数的零点的说法，下列正确的是()

A.函数只要有零点，就能用二分法求

B.零点是整数的函数不能用二分法求

C.多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解

D.以上说法都错误

【即学即练8】下列函数中不能用二分法求零点的是()

A..f(x)=4x-3B./(x)=lnx+2x-8

C./(x)=sinx+lD./(x)=x2-3x+l

考法02

二分法的简单应用

二分就是平均分成两部分，二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到

零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.

【典例2】求方程“x)=V-2x-5=0的一个正实根的近似值(精确到0.01).

【即学即练9］用二分法求函数/(X)的一个正实数零点时，经计算：/(0.64)<0,/(0.72)>0,

/(0.68)<0,/(0.74)>0,则函数“X)的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为()

A.0.64B.0.8

C.0.7D.0.6

【即学即练10】用二分法求函数/(x)=/gx+x-3的一个零点，根据参考数据，可得函数/(x)的一个零点

的近似解(精确到0」)为()

(参考数据:1g2.570.398,1g2.75«0.439,lg2.5625»0.409)

A.2.4B.2.5C.2.6D.2.56

考法03

用二分法求函数的零点或方程的近似解

(1)用二分法求函数的零点按照二分法求函数零点近似值的步骤求解即可，在求解过程中，我们可以借助

表格或数轴清楚地描写逐步缩小的零点所在的区间，在区间长度小于精确度£时终止运算.

(2)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的.求方程f(x)=0

的近似解，即按照用二分法求函数/(X)零点近似值的步骤求解.

对于求形如/(X)=g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如P(x)=/(X)-g(x)=0的方程的近

似解，然后按照用二分法求函数F(X)零点近似值的步骤求解.

有些较复杂的探求方程近似解的问题需要大致作出函数图象或列表，以此确定方程近似解所在的区间，即

初始区间.

【典例3】用二分法求函数/(x)=9—5的一个正零点(误差不超过0.02).

考法04

二分法思想的实际应用

二分法的思想方法除了可以用来处理生活中、数学中的对称问题外，还可以通过其思想方法处理一

些现实中的不对称问题，在生活中、数学中也经常见到.要注意二分法的思想方法与实际问题之间的联

系及其应用.

【典例4】有9个外表看上去一样的小球，其中8个重10克，1个重9克，现有一架天平，问至少称

次可以确保把轻球挑出来.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.利用二分法求方程log?x=3-x的近似解，可以取的一个区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

2.若/(司=/+/-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表:

川)=-2/(1.5)=0.625

/(1.25)=-0.984/(1.375)=-0.260

7(1.438)=0.165/(1.4065)=-0.052

那么方程V+Y-2犬-2=0的一个近似根（精确到（M）为（）

A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5

3.设函数〃X）=4X3+X-8,用二分法求方程4/+x-8=0近似解的过程中，计算得到了⑴＜0,/（3）＞0,

则方程的近似解落在区间（）

A.（1,1.5）B.（1.5,2）

C.（2,2.5）D.（2.5,3）

4.用二分法求函数人x）的一个正实数零点时，经计算式0.64）＜0,式0.72）＞0,共0.68）＜0,则函数的一个精确度

为0.1的正实数零点的近似值为（）

A.0.9B.0.7C.0.5D.0.4

5.设兀r）=3*+3x-8,用二分法求方程3*+3]-8=0在（1,1.5）内的近似解的过程中,有/⑴＜0,41.5）＞0,

.穴1.25）＜0,则该方程的根所在的区间为（）

A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）

C.（1.5,2）D.不能确定

6.用二分法研究函数兀0=9+3x一1的零点时，第一次计算，得火0）＜0,A0.5）＞0,第二次应计算兀n）,则

箱等于（）

A.1B.-1C.0.25D.0.75

7.已知函数〃x）=x-eT的部分函数值如下表所示：

X10.50.750.6250.5625

f(x)0.6321-0.10650.27760.0897-0.007

那么函数/（X）的一个零点近似值（精确度为0.1）为（）

A.0.45B.0.57C.0.78D.0.89

8.已知函数,f（x）=x2-log2X-6,用二分法求f（x）的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（）

A.（1,2）B.（2,2.5）C.（2.5,3）D.（3,3.5）

9.一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，而低于500mg病人就有危险.现给某病人注射了这

种药2500mg,如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经

过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.（附：Ig2=0.301,Ig3=0.4771,答案采取四舍

五入精确到O.lh)

A.2.3小时B.3.5小时C.5.6小时D.8.8小时

3

10.已知函数〃x)=2'-己在区间(1,2)上有一个零点七,如果用二分法求厮的近似值(精确度为0.01),则应

x

将区间(1,2)至少等分的次数为()

A.5B.6C.7D.8

11.在使用二分法计算函数/(x)=lgx+x-2的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1,2),如果要求近

似解的精确度为01，则接下来需要计算()次区间中点的函数值.

A.2B.3C.4D.5

12.用二分法求函数/")=lgx+x-2的一个零点，根据参考数据，可得函数/(x)的一个零点的近似解(精

确到0.1)为()(参考数据：lgl.5a0.176,lgl.625»0.211,lg1.75«0.243,lgl.875»0.273,

lg1.9375^0.287)

A.1.6B.1.7C.1.8D.1.9

13.利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：

X-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20

y=2x0.32990.37890.43530.50.57430.65980.75790.87061

2.561.961.4410.640.360.160.040

那么方程2*=N有一个根位于区间()

A.(—1.6,—1.2)内

B.(-1.2,-0.8)内

C.(—0.8,—0.6)内

D.(-0.6,-0.2)内

①②③④

A.0个B.1个C.2个D.3个

题组B能力提升练

I.若函数/（x）=V+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:

/(1)=-2/(1.5)=0.625/(1.25)=-0.984

/(1.375)=-0.2607(1.4375)=0.162/(1.40625)=-0.054

那么方程丁+丁-2犬-2=0的一个近似根（精确度0。5）可以是（）

A.1.25B.1.39C.1.41D.1.5

2.利用二分法求方程lnx+x-2=0的近似解，已求得/*）=lnx+x-2的部分函数值的数据如下表:

X121.51.751.6251.5625

/（X）-10.6931-0.09450.30960.11050.0088

则当精确度为0」时，该方程的近似解可取为（）

A.1.55B.1.62C.1.71D.1.76

3.已知函数“X）满足：对任意为,都有以止色＞0,且.在用二分法寻找零点

X\~X2

的过程中，依次确定了零点所在区间为句，。,审］卜+1（,又+4）=o,则函数“X）的零点

为（）

A.gB.-C.一D.—

2345

4.（多选题）以下函数图象中，能用二分法求函数零点的是（）

5.以下是用二分法求方程R+3x—5=0的一个近似解（精确度为0.1）的不完整的过程，请补充完整，并写出

结论.

设函数段)=如+3%-5,其图象在(-8,+oo)上是连续不断的一条曲线.

先求值，/0)=,犬1)=,式2)=,人3)=

所以风丫)在区间内存在零点xo.填表：

区间中点m,*次)的符号区间长度

6.以下是利用二分法求函数f(x)=*3-3的一个正实数零点的过程，当精确度为0.01时，该函数的零点为

计算端点或中点的函数

端点或中点的横坐标定区间

值

如=1,bo=2期=-2,12)=5U，2]

1+2.<

x0=-^-=L5/(X0)=0.375>0[1,1.5]

1+1.5,

x,=-----=1.25/(xi)=-1.0469<0[1.25,1.5]

12

1.25+1.5…匚

x,=-------=1.375/(X2)=-0.4004<0[1.375,1.5]

2

1.375+1.5c

为=---------=11.4375/(X3)=—0.0295<0[1.4375,1.5]

32

1.4375+1.51._

兀=----------=1.46875/(X4)=0.1684>0[1.4375,1.46875]

42

..4375..46875

+=1453|25/(X5)>0[1.4375,1.453125]

2

%6=1.4453125/(X6)>0[1.4375,1.4453125]

7.若用二分法求方程2x、3x-3=0在初始区间（0,1）内的近似解，第一次取区间的中点为王=；,那么第三

次取区间的中点为鼻=.