2023-2024学年湖北省武汉市高二年级上册期末联考数学模拟试题 1(含解析)

2023-2024学年湖北省武汉市高二上册期末联考数学模拟试题

一、单选题

1.直线c:0》+了+3=0的倾斜角。=()

A.30"B.60"C.120/D.150"

【正确答案】C

【分析】根据题意求出直线的斜率，进而可求解倾斜角.

【详解】由题，将直线方程转化为斜截式方程可得y=-3,

所以直线的斜率左=tana=-6，

因为0%a<180",所以a=120",

故选:C.

2.椭圆《+片=1的焦点坐标为()

43

A.(±5,0)B.(±1,0)C.(±75,0)D.(±77,0)

【正确答案】B

【分析】根据题意，由椭圆的焦点坐标公式，代入计算即可得到结果.

【详解】因为椭圆则0=，7万="^=1，

则焦点坐标为(±1,0)

故选:B.

3.在长方体48cz中，设441=4,48=6,40=。,£>为棱881的中点，则向量/)上可

用向量表示为()

x।xjzIXX|?

A.a+—b+-cB.-a-b-\—c

2222

!XJX>]XXX

C.—a——b-cD.-a+b-c

222

【正确答案】D

【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.

1XX

【详解】如图所示，BE=-a,DB=AB-AD=h-c,

XX।X1XX；

/.DE=DB4-BE=b-c-\—a=—a+b-c

22

故选:D.

4.若直线x+（l+加）歹一2=0和直线mx+2y+4=0平行，贝ijm的值为（）

2

A.1B.-2C.1或一2D.一一

3

【正确答案】A

【分析】由题知两直线平行，直接列出9'=条#不（4*0,民#0,。,#0）即可求得加

月22C2

【详解】直线工+（1+m）歹一2=0和直线加x+2y+4=0平行，

111x2=zw（l+w）,

可得cI，得m=l.

\m*-2

故选：A.

本题考查了已知两直线平行求参的问题，注意要排除两直线重合的情况，属于基础题.

5.设圆G:x2+j?-2x+4y=4,圆C2：/+/+6x-8y=0,则圆g,G的公切线有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【正确答案】B

【分析】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆

的位置关系，从而得解.

[详解】由题意，得圆C,:（X-1）2+3+2）2=32,圆心G（1,-2），圆。2：（X+3）2+（尸4）2=52,

圆心。2（T4）,.•.5-3<|CC|=2jiI<5+3,；.G与G相交，有2条公切线.

故选：B.

6.若直线P=-x+分与曲线方=后》有两个公共点，则b的取值范围是（）

A.[-U]B.[-1,72]C.[1阀D.（1,旬

【正确答案】C

【分析】联立方程，等价转化为二次方程的根，列得不等式组，可得答案.

【详解】将P=-x+6代入》=「丁，可得x=Jl-(-x+M,

由题意，等价于2x2-2bx+67=0存在两个大于等于零小于等于1且不相等的实数根,

A=4/)2-8(d2-l)>0

fe2-l>0

则-2b,解得

---->0n

4

2-2b+b2-l>0

故选：C.

22•--

7.已知耳、鸟是椭圆C:会+%=l(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且尸耳工尸".

若△尸石心的面积为9,则实数b的值为()

A.3B.4C.5D.6

【正确答案】A

【分析】根据椭圆的性质、三角形面积公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案.

【详解】由题意，\PPt\+\PF2\=2a,S呻广白产用归用=9，即|尸制•〔尸闾=18,

附『+|尸引=4,

整理可得(附|+俨曰)2-2匹|.陀|="，4a2-36=4c2,则解得6=3.

故选：A.

8.已知点P为直线尸'+1上的一点，分别为圆G：(x-4)2+(y-l)2=4与圆

G：/+(y-4)2=l上的点，则|尸W+|*V|的最小值为()

A.5B.6C.2D.1

【正确答案】C

【分析】分别求得圆G，C?的圆心坐标和半径，求得|GG|=5,结合|PW|+|PN"5-q-4,

即可求解.

【详解】如图所示，由圆G：(x-4)2+(y-l)2=4,可得圆心G(4,l),半径为4=2,

圆G：f+(y-4)2=l,可得圆心a(0,4),半径为4=1,

可得圆心距|CC|=J(4-0)2+(1_4『=5,

所以巨5-r「G=2,当",MG，G，尸共线时，取得最小值，

故1PMi+|PN|的最小值为2.

二、多选题

9.已知直线/:J5x+y-2=0,贝ij()

A.倾斜角为60°B.恒过点(0,2)

C.直线/的方向向量为(1,-百)D.在x轴上的截距为2

【正确答案】BC

【分析】根据直线的方程求出斜率得倾斜角判断A,点的坐标代入直线方程可判断B,根据

直线斜率判断C,求出直线在x轴上截距判断D.

【详解】由/：6x+y-2=0可得卜=-岳+2,

即直线斜率4=-6,所以倾斜角为120。，故A错误；

点(0,2)代入直线方程，6x0+2-2=0成立，故B正确；

因为直线/斜率％=-6,而(1,-6)与原点连线斜率也是-仃，与直线平行，所以(1,-6)是

直线的一个方向向量，故C正确：

令y=0,可得x=3=述，即在x轴上的截距为垣，故D错误.

V333

故选：BC

22

10.已知方程工+工=1表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是（）

6-mm—2

A.当，">6或〃?<2时，曲线C是双曲线

B.当2<〃?<6时，曲线C是椭圆

C.若曲线c是焦点在y轴上的椭圆，则，”>6

D.若曲线C是焦点在X轴上的椭圆，则2（机<4

【正确答案】AD

【分析】根据双曲线、椭圆标准方程的特征，依次构造不等式求得每种曲线对应的加的范

围即可.

【详解】对于A,若曲线。为双曲线，则（6-加）（加-2）<0,解得：相>6或加<2,A正确;

6->0

对于B,若曲线C为椭圆，则，加-2>0,解得：2<〃?<4或4c加<6,B错误；

6—THw机一2

对于C,若曲线。是焦点在V轴上的椭圆，则机-2>6>0,解得：4<加<6,C错误；

对于D,若曲线。是焦点在x轴上的椭圆，则6-加解得：2<〃?<4,D正确.

故选：AD.

11.过点尸（2,1）作圆。：/+/=1的切线，切点分别为48,则下列说法正确的是（）

A.\PA\=>/3

B.四边形尸/08的外接圆方程为x2+/=2x+y

C.直线Z5方程为y=-2x+l

Q

D.三角形尸/B的面积为《

【正确答案】BCD

【分析】求出由勾股定理求解归力|,即可判断选项A；

利用PO为所求圆的直径，求出圆心和半径，即可判断选项B；利用求出直线

的斜率，即可判断选项C：求出直线尸。和13的交点坐标，利用三角形的面积公式求解，

即可判断选项D.

【详解】对于A,由题意可得：|OP|=7FW=6,由勾股定理可得，1PH="（退尸_『=2,

故选项A错误;

对于B,由题意知，PBLOB,则P。为所求圆的直径，所以线段尸。的中点为(l，g),半径

为咚，则所求圆的方程为(x-l)2+(y-g)2=(，化为一般方程为/+歹2=2》+了，故选项B

正确；

对于C,由题意，其中一个切点的坐标为(0,1),不妨设为点3,则又心「=；,

所以3»=-2,所以直线的方程为y=-2x+l,故选项C正确；

对于D,因为且直线OP的方程为夕=!苫，直线48的方程为y=-2x+l,联立

2

y=-2x+1X=—

521

方程组1,解得＜所以两条直线的交点坐标为。(w,?，则

—、、、

忸*百百7考,囱=1|-2)2+(”2=竽,

故△尸8。的面积为‘X拽x生5=所以尸/8的面积为故选项D正确,

25555

故选.BCD

12.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐

标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点尸(3,0),椭圆的短轴与半

圆的直径重合.若直线N=，(/>0)与半圆交于点A,与半椭圆交于点B,则下列结论正确的

是()

A.椭圆的离心率是也

2

B.线段Z8长度的取值范围是(0,3+3夜)

c.尸的面积存在最大值

D.498的周长存在最大值

【正确答案】ABC

【分析】求得半圆的方程和半椭圆的方程判断AB选项，分别求得直线与半圆和半椭圆的交

点，利用面积公式判断选项C,由0N8的周长为/0=Q/|+|o@+M同求解判断.

【详解】解：由题意得半圆的方程为f+炉=9(x40),

设半椭圆的方程为「+^-=l(6r>6>0,x>0),

a

又b=c=3，则a=3^2，

-)2

则半椭圆的方程为三+$1(x20),

18

3_Vj

则椭圆的离心率0=故A正确;

3&一2

直线歹=/。＞0)与半圆交于点A,与半椭圆交于点8,

则线段相长度的取值范围是e,3+3码；

不妨设Z(x"),B(x2,t)

则由x：+»=9(x40),可得再=-，9-〃;

由C=l(x20),可得匕=，18-2『;

2

则SAgF=1(V18-2/+)=q＞也-t"t,

V2+1+/2_9(A/2+1)(当且仅当f亚时等号成立),

_iX-y

224

故C正确；

的周长为/«)=[04|+|08|+|/8|=3+(0+1)。9-1+Jl8T?,

则/«)在(0,3)上单调递减，

则0/8的周长不存在最大值.故D错误

故选：ABC

三、填空题

13.已知2(1,1,0),^=(2,1,1),则向量工与厂的夹角为.

7T

【正确答案】-##30°

【分析】运用空间向量夹角公式进行求解即可.

xx9,1/rxx

【详解】虫所精行£国^寸"‘"=6>

峙

V.2

14.双曲线/一叁=1的渐近线方程为.

【正确答案】y=+—x

2

【分析】根据双曲线方程得到焦点在y轴，〃=1,b=五,即可得到渐近线方程.

丫2

【详解】双曲线/一三=1,焦点在y轴，a=\,b=6,

渐近线方程为y=土变x.

故尸土^^x

15.若直线履-y+1-24=0与圆/+/=9分别交于河、N两点.则弦也长的最小值为

【正确答案】4

【分析】分析直线过定点，再由勾股定理即可求解.

【详解】由圆V+V=9可得圆心。(0,0),半径为3,

直线Ax—y+1-2k=0,即左(x—2)—y+1=0,

直线过定点/(2,1),

又因为然+F<9,

所以点在圆的内部，

当圆心到直线MV距离最大时，弦长A/N最小，此时0PlMN,

此时|A/N|=2,2_|0歼=2^-(22+12)=4,

故4.

22

16.已知双曲线方程为=1,(。>0/>0),两焦点分别为£,F2,直线ZB经过行与

双曲线交于48两点，其中月且2|/瑞|=内回，则此双曲线离心率为.

［正确答案］姮##［后

33

【分析】连接班,设|力用=也利用双曲线的定义得到怩阴=2加+2〃，归a=〃?+2a,利用直

角△/耳8和直角△//=；6构造a,c的关系，即可求出答案

【详解】连接8耳,

设|4周二叫则内邳=2m,

由双曲线的定义可得由⑼=叵用+2a=2/w+2a,|7*］j|=内力卜2a=m+2a,

在直角△^£8中，区力『+忸力『=出行，即(2a+〃z)~+(3加了=(2〃?+2@\

2

化简可得加=3%

在直角△阳/中，阳/f+|%412TH用2,即(2〃+加y+〃?2=(2cj,

将m=|a代入上式可得(2a+|aJ+f|aT=(2c)2整理可得［=技，

所以e=£=姮，

3

故姮

3

四、解答题

17./8C的三个顶点分别是4(-3,0),8(2,1),C(-2,3).

(1)求BC边的垂直平分线OE所在直线方程：

(2)求/8C内8c边上中线力。方程.

【正确答案】(l)2x—)+2=0

(2)2x-3y+6=0(-3<x<0)

【分析】(1)先得到线段8c的中点，再利用垂直平分线得到心£=2,接着用点斜式即可求

解；

(2)利用截距式即可得到中线力。的方程，注意加上对应范围

【详解】⑴由8(2,1),。(-2,3)可得线段8c的中点为(0,2),噎=拄志=一；，

因为OE是8c边的垂直平分线，所以的£=2,

则QE所在直线方程：y-2=2x即2x-y+2=0

(2)由(1)可得线段8c的中点为(0,2),

故BC边上中线ZO方程为H=1即2x-3y+6=0,

所以/8C内BC边上中线2。方程：2x-3y+6=0(-3<x<0)

18.已知圆心为“0,3),且经过点(3,2)的圆.

(1)求此圆C的方程；

⑵直线/：N=ax与圆C相交于A、8两点.若4BC为等边三角形,求直线/的方程.

【正确答案】(1)一+(歹-3)2=3：

(2)y=y/3x或y=-也x.

【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可;

（2）根据等边三角形的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】（1）因为圆心为C（0,3）,

所以圆C的方程设为一+&-3）2=/，该圆过（垃,2）,

所以有（亚））（2一3）2=户=3,所以圆C的方程为一+（k3『=3；

（2）由（1）可知该圆的半径为百

因为/8C为等边三角形，且边长为

所以该等边三角形的高为石J,

3卜532=31a

所以圆心C到直线/：V=ax的距离为即"（_仔。^

所以直线/的方程为y=或y=

19.如图，四棱雉P-/BCD的底面是矩形，PD_L底面N5CD,PD=DC=1,M为8C的

中点，且尸

（1）求线段BC的长度;

（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.

【正确答案】（1）0

⑵当

6

【分析】（1）根据题意，以点。为坐标原点，DC、OP所在直线分别为x、Az轴建立

如图空间直角坐标系。-平，设BC=2”，由？8,力即可得到。，从而得到结果；

（2）由（1）中的结论，由空间向量的坐标运算以及线面角的公式，代入计算即可得到结果.

平面/BCD,四边形Z8CD为矩形，

不妨以点。为坐标原点，DA,DC、OP所在直线分别为x、Az轴建立如图空间直角坐标系

D-xyz,

设2c=2a,则£>（0,0,0）、尸（0,0,1）、C（0,l,0）,3（2凡1,0）、"（a,1,0）、>1（2a,0,0）,则

P5=(2a,l,-1),AM=(-d,l,0),

,?PBVAM,则诵：/。1-2/+1=0，解得"变，故8c=2a=正；

2

(2)尸£(①0,-1)

设平面P8C的法向量为或(不如zj,BC=(-42,0,0),SP=(-72-1,1),

由]'又叫「干'-。，取M=1，可得会(0,1,1),

[n-BP=^j2x]-另+4=0

CM；隈=3=-阻直线产/与平面P8C所成角正弦值为四.

V3.V266

20.已知椭圆C:J+，=l（a>6>0）的焦距为6,椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长

为16.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线/与C交于A,8两点，且线段的中点坐标为求直线/的方程.

【正确答案】（1）1+m=1；

2516

⑵4x+5y-2=0.

【分析】（1）根据椭圆中焦点三角形周长公式，结合焦距的定义进行求解即可:

（2）运用点差法，结合中点坐标公式、直线斜率公式进行求解即可.

【详解】（1）设C的焦距为2c（c>0）,2c=6nc=3,

因为椭圆上的点到两焦点距离之和为2a,

而椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.

所以2。+2。=16=>々=5,

所以。=5,c=3,所以〃=/一/=16，

所以C的方程为\+《=1；

2516

（2）设/（占,乂），8（々，%），

2

y

一

一

一

25126

代入解圆方程得2为

%+一-

2516

两式相减可得叱_2）（—J----2^.——।）I----）

2516

即（%+%）（%-%）=16

（玉+工2）（再一工2）25,

由点为线段的中点,

12

得zn玉+工2=万，M+%=1

乂一%_16165_4

则/的斜率左---------------------------X----------------——------X-

一x225必+为254一5

1_41

所以/的方程为yx——

54

即4x+5y-2=0.

关键点睛：运用点差法是解题的关键.

21.如图，直三棱柱力8C-44G，AB}1BC.

（1）证明：BC1AB；

(2)设。为4c的中点，AA、=AB=BC=2,求二面角/-8D-C的余弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵-;

【分析】(1)根据与证明8cl平面442名.

(2)以8为原点，3£：87；38：分别为xj,z非负半轴建立直角坐标是，用空间向量法解决.

【详解】(1)直三棱柱Z8C-/SG，

.•.8玛，平面48。，并且8Cu平面月8C

BC1BB、,

又8C_L月与，且AB】cBBi=5,,u平面A,ABB.

8cl,平面4/881,

又4Bu平面44BB],

BCLAB.

(2)BC,BA,84两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图，则人0,2,0),

所以4c的中点1,1),则=(0,2,0),SC=(2,0,0),

八/、m-BD=x+y4-z=0八/、

设平面48。的一个法向量机=(x,y,z),则＜1x,可取胴=(1,0,-1),

m-BA=2y=0

x一•八

八/、n-B