2023-2024学年山东省烟台市高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年山东省烟台市高二上册期末数学模拟试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求.

1.—是数歹ij一,一，一,—,的()

6424816

A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项

丫2

2.已知椭圆、+/=1的左、右焦点分别为耳，行：若过片且斜率不为0的直线交椭圆于

43两点，则居的周长为()

A.2B.C.2V34D.4V3

2a,,,a„<12

3.在数列｛%｝中,%+]2；二华，若％=丁则

1248

A.B.C.D.--------

5555

4.如图是一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m,当水面上升1m后,

桥洞内水面宽为O

A.B.C.D.4m4Gm8V5m12m

5.《算法统宗》是一部我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著.《算法统宗》中记载了

如下问题情境：“远望魏魏塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，意思为：“一座7

层塔，共悬挂了381盛灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍”.在上述问题情

境中，塔的正中间一层悬挂灯的数量为()

A.12B.24C.48D.96

6.若椭圆c的中心为坐标原点、焦点在y轴上；顺次连接C的两个焦点、一个短轴顶点构成等

边三角形，顺次连接C的四个顶点构成四边形的面积为46，则C的方程为()

AB/。/十%】

CDT+T=1T+T=1

7.己知数列｛%｝,也｝的通项公式分别为%=3〃-1和〃=4〃-3(〃eN*),设这两个数列

的公共项构成集合力,则集合Zc]〃|〃2023,〃wN*｝中元素的个数为()

A.166B.168C.169D.I70

8.已知直线/过双曲线C：/一片=1的左焦点尸，且与。的左、右两支分别交于48两点,

3

设。为坐标原点，P为48的中点，若烟是以尸尸为底边的等腰三角形，则直线/的斜

率为()

ABCD+叵+巫+姮+巫

2235

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

V2V2

9.已知曲线C：」-----J=l(meR),下列说法正确的有()

2-mm-1

A.若曲线。表示椭圆，则加>2或〃?<1

B.若曲线。表示椭圆，则桶圆的焦距为定值

C.若曲线C表示双曲线，则1(加〈2

D.若曲线C表示双曲线，则双曲线的焦距为定值

10.已知等差数列｛4｝的前"项和为S”(〃wN*),若％>0,S4=S12,则()

A.公差dcOB.%+q)<0

C.1的最大值为SgD.满足5“<0的n的最小值为16

11.已知数列｛4｝的前〃项和为S,,,%=1,且2%+1+S“=1+£(〃GN*),则()

A.数列｛2%,,｝为等差数列B.an=筝

C.S“随n的增大而减小D.S,有最大值

12.已知抛物线_/=4x的焦点为口，点P在抛物线上，则()

A.过点/(0,2)且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条

B.设点3(3,2),则|P8|—|P日的最大值为2J5

C.点尸到直线x—y+3=0的最小距离为

D.点P到直线4x—3歹+6=0与点尸到y轴距离之和的最小值为1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知等差数列｛4｝的前"项和为S"，若％=3,/$5=125,则公差d的值为.

22

14.已知双曲线C：——%=l(a>0力>0)的右顶点为/，以Z为圆心、。为半径的圆与C

的一条渐近线相交于〃,N两点，若NM4N=120/，则。的离心率为.

15.去掉正整数中被4整除以及被4除余1的数，剩下的正整数按自小到大的顺序排成数列

｛an]:a],a2,a3,，再将数列｛%｝中所有序号为q,4,小，的项去掉，｛4｝中剩余的项按

自小到大的顺序排成数列抄„｝(〃eN*),则49+b20的值为.

16.在平面直角坐标系中，若点尸(xj)(y0)到点(0,(]的距离比它到x轴的距离大;，

则点尸的轨迹「的方程为,过点作两条互相垂直的直线分别与曲线「交

41

于点48和点C,。，则的最小值为__________.(本题第一空2分，1.第二

|||CL)|

空3分.)

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知等差数列｛4｝的前〃项和为成等比数列：数列

也｝的前〃项和为7；,且7；+2=2b,,〃eN*.

(1)求数列｛%｝,｛〃,｝的通项公式：

⑵记[x]表示不超过x的最大整数，例如[-2.1]=-3,[1.2]=1.设生=,求数列

也。“｝的前7项和.

18.(12分)已知双曲线C与二—占=1有相同的渐近线，(2石,2)为C上一点.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设双曲线C的左、右焦点分别为片,鸟，过片且倾斜角为45〃的直线与C相交于48两

点，求Z8工的面积.

19.(12分)已知数列｛4｝满足q=2,a“=〃(a”+1—a“)(〃eN*).

(1)求数列｛%｝的通项公式：

(2)设数列也｝的前"顶和为S,,,求证Sn<-

%T32

20.(12分)已知抛物线C:/=2px(p>0)的焦点为尸，过抛物线C上一点"向其准线

作垂线，垂足为N,当/初VF=30"时，|仞"=1.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设直线/与抛物线C交于43两点，与x，V轴分别交于尸,。(异于坐标原点O),且

AP=2PB'若|，P|忸0|=4|。刊。。|，求实数2的取值范围.

21.(12分)已知数列｛%｝满足卬=一

22—

(1)证明：<」-+2>是等比数列，并求数列｛凡｝的通项公式；

(1A

(2)设数列也｝满足”=(〃-3)—+1,记也｝的前〃项和为北，若T“也，对

12%)

V〃eN*恒成立，求实数f的取值范围.

2

22.(12分)已知椭圆5+J?=ig>1)的右焦点厂恰为抛物线/=2px的焦点，过点F且

a

与X轴垂直的直线截抛物线、椭圆所得的弦长之比为4百.

(1)求。的值；

(2)已知P为直线丁=一。上任一点，48分别为椭圆的上、下顶点，设直线PN,PB与

椭圆的另一交点分别为C,。，求证：直线CD过定点.

答案和解析

一、选择题

1-8ADDCBACD

二、多选题

9.BCD10.AC1I.ABD12.BCD

三、填空题

2[T24

13.1或r一414.一。315.15316./=y,一

35

四、解答题

17.解：（1）因为《，。4—1，%+1成等比数列，

所以-1）-=（。5+1），

即（3d—6）2=（2〃—5）（41-4）,解得d=4,

故a“=q+（"-l”=-5+4（〃-1）=4〃-9,

因为7；=劝,,一2,当〃22时，T,-=2b吁「2,

两式相减得：b“=2bn-2%,即bn=2bl（«>2）,

又〃=1时，"+2=2”,即白=2,

所以数列｛〃｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

故a=22』=2".

（2）由（1）知，=4〃-9,

所以J=c2=-l,c3=c4=Q,C5=C6=C7=1,

贝|J前7项和“7=-lx（2i+22）+0x（23+2，）+lx（25+2627)=218.

18.解：（1）设双曲线C的方程为匕一二=九，

416

将点（26,2）代入方程中得，4=-;，

即双曲线。的方程为土—/=1.

4-

（2）因为耳（一6,0）,

所以直线Z8的方程为^=X+逐，

V_2=]

联立，43,得3y2+2舟一1=0，

y=x+y/5

1

1

设4（x”必）,8（%2，%），则以+y2=―2弋,弘力=

3-

因为s“明=5阳引回-刃=石|必一%|-

而回一为I=J（y+乃『-4凹外

所以S/肝=V5x-V2=-Vio.

-33

19.解：(1)由%=〃(%+|得,(〃+1)%="4+],

所以4±1_=%对任意〃eN*恒成立，

〃+1n

于是%=*曰==—,又6=2,所以%=2〃.

nn-\1

______q

（2）由（1）知,

4«2-l2(2〃-12n+\)

所以S“=4+4++b=|f1-|++11

n4-----------

2n-\2M+1

1一£

2

因为o<—'―w1，所以]—1

<1,

2H+133I2n+l

从而一ws“<—.

3'2

20.解：（1）由抛物线的定义可知MNE为等腰三角形,

当|AfN|=l时，附=百.

3

设准线与X轴交点为T,则[7F|=p=]

故抛物线方程为/=3x.

（2）设直线方程为x=，"y+MswO）,4（X],乂^^（马,8）,75。,。），显然,HO,

x=my+f.

联立《，:,消X得/—3/y—3f=o,

夕=3x

所以必+%=3m,%=-3f.（*）.

因为ZP=2P8，所以。一七，一切）=2（82一"2），可得乂=一2%,

将弘=一2为代入（*）式，并消为得，/=6”.

212

由题意可得，|AP\=y/\+m1^）I,JBP\—>Jl+m\y21>

所以尸I忸尸|=（1+加2）回对=18加20+/）,

又|。刊。Q|=Z'=36|〃?|3,

m

”…\AP\\BP\m2+lif,,1]

\OP\\°Q\2同\m\)

故；121,当且仅当网=向，即加=±1时等号成立.

3八3an八

2L解：⑴因为％=-5力0,%+广三'所以。尸。，

--1-=--2-—-2-可---2---1---2

%3ali3an3，

-1c212c2门A7

于是----F2=-------------1-2=-h2LHeN,

%3an331a“J

14fl14?

又因为一+2=7,所以《一+2是以一为首项、一为公比的等比数列，于是

%3[%J33

(1

-----十

（2）由（1）得，bn=（〃一3）1=(77-3)

(2%7(II

^=(-2)x(|)+(-l)x[|)+0x[|)++(-4)僧+(〃一3)0

V=(-2)x(|)+(.l)x]|)++(〃-4)x自+(〃-3)x《)

两式相减得,W+(I)+图++停)-(〃-3Mm

49⑺(2丫M

§十一P—一(〃-3《

3

所以7>-2〃0”，

由7；4收，得一2〃(|)4/(〃-3)]|)恒成立,

即才(〃-3)+2”20恒成立，.

〃=3时不等式恒成立；

〃<3时，t<-----=-2-----,得，W1；

n—37?—3

〃>3时，t>一——=-2-----,得2；

n—37?—3

所以—2YW1.

22.解：(1)设点口(c,0),贝ijc•林，

又过点尸且与x轴垂直的直线截抛物线、

椭