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文档简介

2023—2024学年度十月月考

高二数学(A)

时间:120分钟分数:150分

命题范围:选择性必修一第一章,第二章到2.3结束

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的.

1.已知点A(8/0),8(T,4),则线段AB的中点坐标为()

A.(2,7)B.(4,14)C.(2,14)D.(4,7)

2.已知向量a=(4,-2,T),h=(6,—3,2),则下列结论正确的是()

A.a+Z?=(10,—5,-6)B.a-b=(2,—1,-6)

C.ab=10D.同=6

3.直线X—百y—6=0的倾斜角是()

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.已知圆G:尤2+丁+2%一6)'+1=0与圆G:x2+y2—4x+2y—ll=0,求两圆的公共弦所在的直线方程

()

A.3%+4y+6=0B.3%+4y-6=0C.3x-4y-6=0D.3尤一4y+6=0

5.在平行六面体ABCD-AAGR中,M为4G与用2的交点,若=AD=b,A4,=c,则下列

向量中与相等的向量是()

A.L+4+CD—+C

B.+C.

22222222

6.已知A(0,0,l),8(0,2,0),C(3,0,0),0(0,0,0),则点O到平面ABC的距离是()

62A/22

A.一B.4近D.

73

7.方程/+y2+6+4+/=0表示的曲线是以(_2,3)为圆心,4为半径的圆,则D,E,F的值分别为()

A.4,—6,3B.-4,6,3C.46,-3D.4,-6,-3

8.已知点P为直线/:x+y—2=0上的动点,过点尸作圆。:/+21+/=。的切线布,PB,切点为A,B,

当|PC|・|A用最小时,直线A8的方程为()

A.3%+3y+l=0B.3x+3y-l=0C.2x+2y+l=0D.2x+2y-l=0

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目

要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.

9.在下列四个命题中,正确的是()

A.若直线的倾斜角a为锐角,则其斜率一定大于0

B.任意直线都有倾斜角a,且当。工90°时,斜率为tana

C.若一条直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a

D.直线的倾斜角越大,则其斜率越大

10.设向量a,可构成空间一个基底,下列选项中正确的是()

A.若bA.C,则a_LC

B.则。,dc两两共面,但a,b,c不可能共面

C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使。=工。+)%+2。

D.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底

II.已知某圆圆心C在x轴上,半径为5,且在y轴上截得线段AB的长为8,则圆的标准方程为()

A.(X+3)2+/=25B.(X-3)2+/=25

C.x2+(y+3)2=25D.x2+(y-3)2=25

12.如图,正方体—中,E为A4的中点,尸为棱8c上的动点,则下列结论正确的是()

A.存在点P,使AG,平面2取

B.存在点尸,使=

C.四面体EPGA的体积为定值

D,二面角P-AE-G的余弦值取值范围是

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知空间向量@=(3,1,0),/?=(%,-3,1).若aJ_b,则》=.

14.两条平行直线4:x-2y+l=0与L:2x+my+2机=0之间的距离为.

15.过点A(-1,4)作圆C:/+y2=17的切线/,切线/的方程为.

16.已知△ABC的顶点A(l,2),AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y—1=0,NA3C的平分线

所在直线方程为旷=工,直线8c的方程为.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)四边形ABCO为菱形,£D_L平面48CD,FB//ED,AD=BD=ED=2,BF=L

(1)设8c中点为G,证明:DGJ.平面AQE;

(2)求平面AFE与平面BBC的夹角的大小.

18.(12分)已知△ABC的顶点坐标为A(-5,T),C(-2,3).

(1)试判断△ABC的形状;

(2)求AC边上的高所在直线的方程.

19.(12分)已知圆+(y—2y=25,直线/:(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0(/"GR).

(1)证明:不论,〃取什么实数,直线/与圆恒交于两点;

(2)求直线被圆C截得的弦长最小时/的方程.

20.(12分)已知点4(0,1),,从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处,

并作答.

(1)求直线4的方程:

(2)求直线%-2y+2=0关于直线4的对称直线的方程.

条件①:点A关于直线4的对称点B的坐标为(2,-1);

条件②:点2的坐标为(2,-1),直线4过点(2,1)且与直线AB垂直;

条件③:点C的坐标为(2,3),直线4过点(2,1)且与直线AC平行.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

21.(12分)己知圆C经过坐标原点O,圆心在x轴正半轴上,且与直线3x+4y-8=0相切.

(I)求圆C的标准方程;

(2)直线/:y=fcc+2与圆C交于A,B两点.

①求k的取值范围;

②证明:直线0A与直线0B的斜率之和为定值.

22.(12分)如图,在四棱锥P-A58中,底面ABCD是边长为2的菱形,为等边三角形,平面

平面ABCQ,PBLBC.

(1)求点A到平面PBC的距离;

/on

(2)E为线段PC上一点,若直线AE与平面4BCC所成的角的正弦值为丫一,求平面AOE与平面A8C£)

夹角的余弦值.

高二数学A参考答案

1.A2.D3.A4.D5.B6.A7.D8.A

9.AB10.BCD11.AB12.BC

13.114.^515.x-4y+17=016.2x-3y-l=0.

17.(1)四边形ABC。为菱形,且A£>=5£>=。。,BC中点为G,所以DG_L3C.

因为AZ)〃5C,所以。G_LA£),

因为&5_L平面ABC。,£>Gu平面ABC。,所以Z)G_LE£>.

又ED「AD=D,ED,A£>u平面AOE,

所以r)G_L平面AOE;

(2)设B。交AC于点O,取E尸中点〃,连接。”,所以O〃〃E£>,底面ABC。.

以。为原点,以。4,OB,。”分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,

因为AD=BD=ED=2,所以OA=OC=G,

所以A(g,O,O),C(-^,0,0),3(0,1,0),尸(o,l,l),。(0,-1,0),E(0,-l,2),

所以E4=(豆,一1,一1),£4=(6

,tn-FA=0JVSx-y-z=0

设平面£雨的一个法向量为/〃=(x,y,z),则〈=>

[gx+y-2z=0

“£4=0

令x=G得加=(后1,2);

8f=(0,0,1),8。=(一6,—1,0),平面8FC的一个法向量为〃=(a,b,c),

fn-BF-0c-0

则〈二>L,令4=百得〃=(G,—3,0);

n-BC=0-s]3a-b=0')

3—3+0

所以cos〈防,”〉=0,

V8xV12

TT

所以平面AFE与平面BFC的夹角的大小为一.

2

1+1=^^=一2,k=^-=-

18.解:(1)kAC

AB-1+52-2+1m-2+53

:•心B"BC=-1,;•AB'BC,...△ABC为直角三角形

(2)因为心=,’,所以,AC边上高线所在直线的斜率为-2

4—-2一-(<-5")、34

3

,直线的方程是y-l=11(x+l),即3x+4y—l=0

19.(1)直线/:(2加+1)》+(,〃+1)y一7根-4=0化为(2%+y一7)加+兀+y-4=0,

2x+y-1=0x=3

则<»解得V,所以直线/恒过定点M(3,l),

x+y-4=0y=i

圆心C(l,2),半径r=5,又因|。田=历1=石<5,

所以点M(3,l)在圆C内,所以不论加取什么实数,直线/与圆恒交于两点;

(2)当直线/所过的定点为弦的中点,即CN_L/时,直线/被圆截得的弦长最短,

最短弦长为262_巾『=4亚,勺M=2二4=一!,所以直线/的斜率为2,

1-32

27n+l_口3

n即n-------=2,解得m=——,

m+14

所以直线/的方程为2x—y—5=0.

20.(1)选择条件①:

因为点A关于直线4的对称点B的坐标为(2,—1),所以4是线段AB的垂直平分线.

因为怎B=上!■=-:!,所以直线4的斜率为1,又线段的中点坐标为(1,0),

2—0

所以直线4的方程为y=x—l,即x—y—l=0.

选择条件②:

因为心B=±^=—1,直线4与直线AB垂直,所以直线,的斜率为1,

2—0

又直线4过点(2,1),所以直线4的方程为y—l=x—2,即x-y—l=0.

选择条件③,

因为心c=——=1,直线4与直线AC平行,所以直线人的斜率为1,

又直线4过点(2,1),所以直线4的方程为y—l=x—2,即x—y—1=0.

X—y—]=0%=4

(2)\,一,解得4■,故小乙的交点坐标为(4,3),

x-2y+2=0[y=3

因为A((),l)在直线,2:x-2y+2=0±.,设A(0,l)关于4对称的点为M(x,y),

■=7

A,x=2

则〈X解得W

土上-1=0

122

直线4关于直线4对称的直线经过点(2,—1),(4,3),代入两点式方程得含■=言,即2x-y-5=0,

所以人:x—2y+2=0关于直线4的对称直线的方程为2x—y—5=0.

21.(1)由题意,设圆心为C(a,0)(a>0),因为圆C过原点,所以半径r=a,

又圆C与直线3x+4y-8=0相切,所以圆心C到直线的距离d=也#=ana=1(负值舍去),

所以圆C的标准方程为:(x—l『+y2=l.

(2)(i)将直线/代入圆的方程可得:(攵2+])x2+(4%一2)X+4=0,因为有两个交点,

所以A=(4Z—2『一16(r+即氏的取值范围是‘oo,

4k-2

(ii)设3(X2,%),由根与系数的关系:<

4

%+x,=———

12k2+l

_24^-2

bi,,y.y,kx,+2Ax,+22(x,+x)炉+1,

所以女必+人神="+也=」一+」-=-^~2乂+2%=——尸工+2左=1.

%x2%]x2x{x24

k2+l

即直线0A,OB斜率之和为定值.

22.(1)取A。中点。,连接OB,OP.

•.•△乃山为等边三角形,;.。^,"),04=1,。P=百.

又•平面Q4£)J_平面ABCZ),平面PAO平面ABCD=A£),

OPc=平面PAD,:.OPJ-平面ABC.

又OBu平面ABCD,:.OPLOB.

VPBLBC,/.BC//AD,:.PB±AD.

又♦.•OP_LA£>,OPu平面P08,

PBu平面POB,OPPB=P,:.AD±平面POB.

又:OBu平面POB,

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