2023-2024学年度高二十月月考数学试题

2023—2024学年度十月月考

高二数学（A）

时间：120分钟分数：150分

命题范围：选择性必修一第一章，第二章到2.3结束

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知点A（8/0）,8（T,4）,则线段AB的中点坐标为（）

A.（2,7）B.（4,14）C.（2,14）D.（4,7）

2.已知向量a=（4,-2,T）,h=（6,—3,2）,则下列结论正确的是（）

A.a+Z?=(10,—5,-6)B.a-b=(2,—1,-6)

C.ab=10D.同=6

3.直线X—百y—6=0的倾斜角是()

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.已知圆G:尤2+丁+2%一6)'+1=0与圆G：x2+y2—4x+2y—ll=0,求两圆的公共弦所在的直线方程

()

A.3%+4y+6=0B.3%+4y-6=0C.3x-4y-6=0D.3尤一4y+6=0

5.在平行六面体ABCD-AAGR中，M为4G与用2的交点，若=AD=b,A4,=c,则下列

向量中与相等的向量是（）

A.L+4+CD—+C

B.+C.

22222222

6.已知A（0,0,l）,8（0,2,0）,C（3,0,0）,0（0,0,0）,则点O到平面ABC的距离是（）

62A/22

A.一B.4近D.

73

7.方程/+y2+6+4+/=0表示的曲线是以(_2,3)为圆心,4为半径的圆，则D,E,F的值分别为()

A.4,—6,3B.-4,6,3C.46,-3D.4,-6,-3

8.已知点P为直线/:x+y—2=0上的动点，过点尸作圆。：/+21+/=。的切线布，PB,切点为A,B,

当|PC|・|A用最小时，直线A8的方程为()

A.3%+3y+l=0B.3x+3y-l=0C.2x+2y+l=0D.2x+2y-l=0

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.在下列四个命题中，正确的是()

A.若直线的倾斜角a为锐角，则其斜率一定大于0

B.任意直线都有倾斜角a,且当。工90°时，斜率为tana

C.若一条直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a

D.直线的倾斜角越大，则其斜率越大

10.设向量a,可构成空间一个基底，下列选项中正确的是()

A.若bA.C,则a_LC

B.则。，dc两两共面，但a,b,c不可能共面

C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使。=工。+)%+2。

D.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底

II.已知某圆圆心C在x轴上，半径为5,且在y轴上截得线段AB的长为8,则圆的标准方程为()

A.(X+3)2+/=25B.(X-3)2+/=25

C.x2+(y+3)2=25D.x2+(y-3)2=25

12.如图，正方体—中，E为A4的中点，尸为棱8c上的动点，则下列结论正确的是()

A.存在点P,使AG，平面2取

B.存在点尸，使=

C.四面体EPGA的体积为定值

D,二面角P-AE-G的余弦值取值范围是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知空间向量@=（3,1,0）,/?=（%,-3,1）.若aJ_b,则》=.

14.两条平行直线4:x-2y+l=0与L：2x+my+2机=0之间的距离为.

15.过点A（-1,4）作圆C:/+y2=17的切线/,切线/的方程为.

16.已知△ABC的顶点A（l,2）,AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y—1=0,NA3C的平分线

所在直线方程为旷=工，直线8c的方程为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）四边形ABCO为菱形，£D_L平面48CD,FB//ED,AD=BD=ED=2,BF=L

（1）设8c中点为G,证明：DGJ.平面AQE；

（2）求平面AFE与平面BBC的夹角的大小.

18.（12分）已知△ABC的顶点坐标为A（-5,T）,C（-2,3）.

（1）试判断△ABC的形状；

（2）求AC边上的高所在直线的方程.

19.（12分）已知圆+（y—2y=25,直线/:（2m+l）x+（m+l）y-7m-4=0（/"GR）.

（1）证明：不论，〃取什么实数，直线/与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆C截得的弦长最小时/的方程.

20.（12分）已知点4（0,1）,,从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处,

并作答.

（1）求直线4的方程：

（2）求直线%-2y+2=0关于直线4的对称直线的方程.

条件①：点A关于直线4的对称点B的坐标为（2,-1）；

条件②：点2的坐标为（2,-1）,直线4过点（2,1）且与直线AB垂直；

条件③：点C的坐标为（2,3）,直线4过点（2,1）且与直线AC平行.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

21.（12分）己知圆C经过坐标原点O,圆心在x轴正半轴上，且与直线3x+4y-8=0相切.

(I)求圆C的标准方程；

(2)直线/:y=fcc+2与圆C交于A,B两点.

①求k的取值范围；

②证明：直线0A与直线0B的斜率之和为定值.

22.(12分)如图，在四棱锥P-A58中，底面ABCD是边长为2的菱形，为等边三角形,平面

平面ABCQ,PBLBC.

(1)求点A到平面PBC的距离；

/on

(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面4BCC所成的角的正弦值为丫一，求平面AOE与平面A8C£)

夹角的余弦值.

高二数学A参考答案

1.A2.D3.A4.D5.B6.A7.D8.A

9.AB10.BCD11.AB12.BC

13.114.^515.x-4y+17=016.2x-3y-l=0.

17.(1)四边形ABC。为菱形，且A£>=5£>=。。，BC中点为G,所以DG_L3C.

因为AZ)〃5C,所以。G_LA£),

因为&5_L平面ABC。，£>Gu平面ABC。，所以Z)G_LE£>.

又ED「AD=D,ED,A£>u平面AOE,

所以r)G_L平面AOE；

(2)设B。交AC于点O,取E尸中点〃，连接。”，所以O〃〃E£>,底面ABC。.

以。为原点，以。4,OB,。”分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

因为AD=BD=ED=2,所以OA=OC=G,

所以A（g,O,O）,C（-^,0,0）,3（0,1,0）,尸（o,l,l），。（0,-1,0），E（0,-l,2）,

所以E4=（豆,一1,一1）,£4=（6

,tn-FA=0JVSx-y-z=0

设平面£雨的一个法向量为/〃=（x,y,z）,则〈=＞

[gx+y-2z=0

“£4=0

令x=G得加=（后1,2）；

8f=（0,0,1）,8。=（一6,—1,0）,平面8FC的一个法向量为〃=（a,b,c）,

fn-BF-0c-0

则〈二＞L,令4=百得〃=（G,—3,0）;

n-BC=0-s]3a-b=0'）

3—3+0

所以cos〈防,”〉=0,

V8xV12

TT

所以平面AFE与平面BFC的夹角的大小为一.

2

1+1=^^=一2,k=^-=-

18.解：（1）kAC

AB-1+52-2+1m-2+53

:•心B"BC=-1，；•AB'BC，...△ABC为直角三角形

（2）因为心=,’，所以，AC边上高线所在直线的斜率为-2

4—-2一-（＜-5"）、34

3

，直线的方程是y-l=11（x+l）,即3x+4y—l=0

19.（1）直线/:（2加+1）》+（，〃+1）y一7根-4=0化为（2%+y一7）加+兀+y-4=0,

2x+y-1=0x=3

则＜»解得V,所以直线/恒过定点M（3,l）,

x+y-4=0y=i

圆心C（l,2）,半径r=5,又因|。田=历1=石＜5,

所以点M（3,l）在圆C内，所以不论加取什么实数，直线/与圆恒交于两点；

（2）当直线/所过的定点为弦的中点，即CN_L/时，直线/被圆截得的弦长最短,

最短弦长为262_巾『=4亚,勺M=2二4=一!，所以直线/的斜率为2,

1-32

27n+l_口3

n即n-------=2，解得m=——,

m+14

所以直线/的方程为2x—y—5=0.

20.（1）选择条件①:

因为点A关于直线4的对称点B的坐标为（2,—1）,所以4是线段AB的垂直平分线.

因为怎B=上!■=-：!，所以直线4的斜率为1,又线段的中点坐标为（1,0）,

2—0

所以直线4的方程为y=x—l,即x—y—l=0.

选择条件②：

因为心B=±^=—1，直线4与直线AB垂直，所以直线，的斜率为1,

2—0

又直线4过点（2,1）,所以直线4的方程为y—l=x—2,即x-y—l=0.

选择条件③，

因为心c=——=1，直线4与直线AC平行，所以直线人的斜率为1,

又直线4过点（2,1）,所以直线4的方程为y—l=x—2,即x—y—1=0.

X—y—]=0%=4

（2）\，一，解得4■，故小乙的交点坐标为（4,3）,

x-2y+2=0[y=3

因为A（（）,l）在直线，2：x-2y+2=0±.,设A（0,l）关于4对称的点为M（x,y）,

■=7

A,x=2

则〈X解得W

土上-1=0

122

直线4关于直线4对称的直线经过点（2,—1）,（4,3）,代入两点式方程得含■=言，即2x-y-5=0,

所以人：x—2y+2=0关于直线4的对称直线的方程为2x—y—5=0.

21.（1）由题意，设圆心为C（a,0）（a>0）,因为圆C过原点，所以半径r=a,

又圆C与直线3x+4y-8=0相切，所以圆心C到直线的距离d=也#=ana=1（负值舍去）,

所以圆C的标准方程为：(x—l『+y2=l.

(2)(i)将直线/代入圆的方程可得：(攵2+])x2+(4%一2)X+4=0,因为有两个交点,

所以A=(4Z—2『一16(r+即氏的取值范围是‘oo,

4k-2

(ii)设3(X2，%)，由根与系数的关系：＜

4

%+x,=———

12k2+l

_24^-2

bi,,y.y,kx,+2Ax,+22(x,+x)炉+1,

所以女必+人神="+也=」一+」-=-^~2乂+2%=——尸工+2左=1.

%x2%]x2x{x24

k2+l

即直线0A,OB斜率之和为定值.

22.(1)取A。中点。，连接OB,OP.

•.•△乃山为等边三角形，；.。^，")，04=1,。P=百.

又•平面Q4£)J_平面ABCZ),平面PAO平面ABCD=A£),

OPc=平面PAD,：.OPJ-平面ABC.

又OBu平面ABCD,：.OPLOB.

VPBLBC,/.BC//AD,：.PB±AD.

又♦.•OP_LA£>,OPu平面P08,

PBu平面POB,OPPB=P,：.AD±平面POB.

又：OBu平面POB,