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文档简介
2023—2024学年度十月月考
高二数学(A)
时间:120分钟分数:150分
命题范围:选择性必修一第一章,第二章到2.3结束
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.已知点A(8/0),8(T,4),则线段AB的中点坐标为()
A.(2,7)B.(4,14)C.(2,14)D.(4,7)
2.已知向量a=(4,-2,T),h=(6,—3,2),则下列结论正确的是()
A.a+Z?=(10,—5,-6)B.a-b=(2,—1,-6)
C.ab=10D.同=6
3.直线X—百y—6=0的倾斜角是()
A.30°B.60°C.120°D.150°
4.已知圆G:尤2+丁+2%一6)'+1=0与圆G:x2+y2—4x+2y—ll=0,求两圆的公共弦所在的直线方程
()
A.3%+4y+6=0B.3%+4y-6=0C.3x-4y-6=0D.3尤一4y+6=0
5.在平行六面体ABCD-AAGR中,M为4G与用2的交点,若=AD=b,A4,=c,则下列
向量中与相等的向量是()
A.L+4+CD—+C
B.+C.
22222222
6.已知A(0,0,l),8(0,2,0),C(3,0,0),0(0,0,0),则点O到平面ABC的距离是()
62A/22
A.一B.4近D.
73
7.方程/+y2+6+4+/=0表示的曲线是以(_2,3)为圆心,4为半径的圆,则D,E,F的值分别为()
A.4,—6,3B.-4,6,3C.46,-3D.4,-6,-3
8.已知点P为直线/:x+y—2=0上的动点,过点尸作圆。:/+21+/=。的切线布,PB,切点为A,B,
当|PC|・|A用最小时,直线A8的方程为()
A.3%+3y+l=0B.3x+3y-l=0C.2x+2y+l=0D.2x+2y-l=0
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.在下列四个命题中,正确的是()
A.若直线的倾斜角a为锐角,则其斜率一定大于0
B.任意直线都有倾斜角a,且当。工90°时,斜率为tana
C.若一条直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a
D.直线的倾斜角越大,则其斜率越大
10.设向量a,可构成空间一个基底,下列选项中正确的是()
A.若bA.C,则a_LC
B.则。,dc两两共面,但a,b,c不可能共面
C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使。=工。+)%+2。
D.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底
II.已知某圆圆心C在x轴上,半径为5,且在y轴上截得线段AB的长为8,则圆的标准方程为()
A.(X+3)2+/=25B.(X-3)2+/=25
C.x2+(y+3)2=25D.x2+(y-3)2=25
12.如图,正方体—中,E为A4的中点,尸为棱8c上的动点,则下列结论正确的是()
A.存在点P,使AG,平面2取
B.存在点尸,使=
C.四面体EPGA的体积为定值
D,二面角P-AE-G的余弦值取值范围是
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知空间向量@=(3,1,0),/?=(%,-3,1).若aJ_b,则》=.
14.两条平行直线4:x-2y+l=0与L:2x+my+2机=0之间的距离为.
15.过点A(-1,4)作圆C:/+y2=17的切线/,切线/的方程为.
16.已知△ABC的顶点A(l,2),AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y—1=0,NA3C的平分线
所在直线方程为旷=工,直线8c的方程为.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)四边形ABCO为菱形,£D_L平面48CD,FB//ED,AD=BD=ED=2,BF=L
(1)设8c中点为G,证明:DGJ.平面AQE;
(2)求平面AFE与平面BBC的夹角的大小.
18.(12分)已知△ABC的顶点坐标为A(-5,T),C(-2,3).
(1)试判断△ABC的形状;
(2)求AC边上的高所在直线的方程.
19.(12分)已知圆+(y—2y=25,直线/:(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0(/"GR).
(1)证明:不论,〃取什么实数,直线/与圆恒交于两点;
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时/的方程.
20.(12分)已知点4(0,1),,从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处,
并作答.
(1)求直线4的方程:
(2)求直线%-2y+2=0关于直线4的对称直线的方程.
条件①:点A关于直线4的对称点B的坐标为(2,-1);
条件②:点2的坐标为(2,-1),直线4过点(2,1)且与直线AB垂直;
条件③:点C的坐标为(2,3),直线4过点(2,1)且与直线AC平行.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
21.(12分)己知圆C经过坐标原点O,圆心在x轴正半轴上,且与直线3x+4y-8=0相切.
(I)求圆C的标准方程;
(2)直线/:y=fcc+2与圆C交于A,B两点.
①求k的取值范围;
②证明:直线0A与直线0B的斜率之和为定值.
22.(12分)如图,在四棱锥P-A58中,底面ABCD是边长为2的菱形,为等边三角形,平面
平面ABCQ,PBLBC.
(1)求点A到平面PBC的距离;
/on
(2)E为线段PC上一点,若直线AE与平面4BCC所成的角的正弦值为丫一,求平面AOE与平面A8C£)
夹角的余弦值.
高二数学A参考答案
1.A2.D3.A4.D5.B6.A7.D8.A
9.AB10.BCD11.AB12.BC
13.114.^515.x-4y+17=016.2x-3y-l=0.
17.(1)四边形ABC。为菱形,且A£>=5£>=。。,BC中点为G,所以DG_L3C.
因为AZ)〃5C,所以。G_LA£),
因为&5_L平面ABC。,£>Gu平面ABC。,所以Z)G_LE£>.
又ED「AD=D,ED,A£>u平面AOE,
所以r)G_L平面AOE;
(2)设B。交AC于点O,取E尸中点〃,连接。”,所以O〃〃E£>,底面ABC。.
以。为原点,以。4,OB,。”分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
因为AD=BD=ED=2,所以OA=OC=G,
所以A(g,O,O),C(-^,0,0),3(0,1,0),尸(o,l,l),。(0,-1,0),E(0,-l,2),
所以E4=(豆,一1,一1),£4=(6
,tn-FA=0JVSx-y-z=0
设平面£雨的一个法向量为/〃=(x,y,z),则〈=>
[gx+y-2z=0
“£4=0
令x=G得加=(后1,2);
8f=(0,0,1),8。=(一6,—1,0),平面8FC的一个法向量为〃=(a,b,c),
fn-BF-0c-0
则〈二>L,令4=百得〃=(G,—3,0);
n-BC=0-s]3a-b=0')
3—3+0
所以cos〈防,”〉=0,
V8xV12
TT
所以平面AFE与平面BFC的夹角的大小为一.
2
1+1=^^=一2,k=^-=-
18.解:(1)kAC
AB-1+52-2+1m-2+53
:•心B"BC=-1,;•AB'BC,...△ABC为直角三角形
(2)因为心=,’,所以,AC边上高线所在直线的斜率为-2
4—-2一-(<-5")、34
3
,直线的方程是y-l=11(x+l),即3x+4y—l=0
19.(1)直线/:(2加+1)》+(,〃+1)y一7根-4=0化为(2%+y一7)加+兀+y-4=0,
2x+y-1=0x=3
则<»解得V,所以直线/恒过定点M(3,l),
x+y-4=0y=i
圆心C(l,2),半径r=5,又因|。田=历1=石<5,
所以点M(3,l)在圆C内,所以不论加取什么实数,直线/与圆恒交于两点;
(2)当直线/所过的定点为弦的中点,即CN_L/时,直线/被圆截得的弦长最短,
最短弦长为262_巾『=4亚,勺M=2二4=一!,所以直线/的斜率为2,
1-32
27n+l_口3
n即n-------=2,解得m=——,
m+14
所以直线/的方程为2x—y—5=0.
20.(1)选择条件①:
因为点A关于直线4的对称点B的坐标为(2,—1),所以4是线段AB的垂直平分线.
因为怎B=上!■=-:!,所以直线4的斜率为1,又线段的中点坐标为(1,0),
2—0
所以直线4的方程为y=x—l,即x—y—l=0.
选择条件②:
因为心B=±^=—1,直线4与直线AB垂直,所以直线,的斜率为1,
2—0
又直线4过点(2,1),所以直线4的方程为y—l=x—2,即x-y—l=0.
选择条件③,
因为心c=——=1,直线4与直线AC平行,所以直线人的斜率为1,
又直线4过点(2,1),所以直线4的方程为y—l=x—2,即x—y—1=0.
X—y—]=0%=4
(2)\,一,解得4■,故小乙的交点坐标为(4,3),
x-2y+2=0[y=3
因为A((),l)在直线,2:x-2y+2=0±.,设A(0,l)关于4对称的点为M(x,y),
■=7
A,x=2
则〈X解得W
土上-1=0
122
直线4关于直线4对称的直线经过点(2,—1),(4,3),代入两点式方程得含■=言,即2x-y-5=0,
所以人:x—2y+2=0关于直线4的对称直线的方程为2x—y—5=0.
21.(1)由题意,设圆心为C(a,0)(a>0),因为圆C过原点,所以半径r=a,
又圆C与直线3x+4y-8=0相切,所以圆心C到直线的距离d=也#=ana=1(负值舍去),
所以圆C的标准方程为:(x—l『+y2=l.
(2)(i)将直线/代入圆的方程可得:(攵2+])x2+(4%一2)X+4=0,因为有两个交点,
所以A=(4Z—2『一16(r+即氏的取值范围是‘oo,
4k-2
(ii)设3(X2,%),由根与系数的关系:<
4
%+x,=———
12k2+l
_24^-2
bi,,y.y,kx,+2Ax,+22(x,+x)炉+1,
所以女必+人神="+也=」一+」-=-^~2乂+2%=——尸工+2左=1.
%x2%]x2x{x24
k2+l
即直线0A,OB斜率之和为定值.
22.(1)取A。中点。,连接OB,OP.
•.•△乃山为等边三角形,;.。^,"),04=1,。P=百.
又•平面Q4£)J_平面ABCZ),平面PAO平面ABCD=A£),
OPc=平面PAD,:.OPJ-平面ABC.
又OBu平面ABCD,:.OPLOB.
VPBLBC,/.BC//AD,:.PB±AD.
又♦.•OP_LA£>,OPu平面P08,
PBu平面POB,OPPB=P,:.AD±平面POB.
又:OBu平面POB,
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