matlab符号基础以及微积分省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第6讲MATLAB符号计算一数学软件数学软件第1页6.1符号计算基础6.2符号导数及其应用6.3符号积分第2页6.1符号计算基础6.1.1符号对象1.建立符号变量和符号常数(1)sym函数

sym函数用来建立单个符号量，比如，a=sym('a')建立符号变量a，今后，用户能够在表示式中使用变量a进行各种运算。第3页例6.1考查符号变量和数值变量差异。在MATLAB命令窗口，输入命令：

a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');d=sym('d');%定义4个符号变量w=10;x=5;y=-8;z=11;%定义4个数值变量A=[a,b;c,d]%建立符号矩阵AB=[w,x;y,z]%建立数值矩阵Bdet(A)%计算符号矩阵A行列式det(B)%计算数值矩阵B行列式第4页例6.2比较符号常数与数值在代数运算时差异。在MATLAB命令窗口，输入命令：pi1=sym('pi');k1=sym('8');k2=sym('2');k3=sym('3');%定义符号变量pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3;%定义数值变量sin(pi1/3)%计算符号表示式值sin(pi2/3)%计算数值表示式值sqrt(k1)%计算符号表示式值sqrt(r1)%计算数值表示式值sqrt(k3+sqrt(k2))%计算符号表示式值sqrt(r3+sqrt(r2))%计算数值表示式值第5页(2)syms函数syms函数普通调用格式为：symsvar1var2…varn

函数定义符号变量var1,var2,…,varn等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符(')，变量间用空格而不要用逗号分隔。第6页2.建立符号表示式例6.3用两种方法建立符号表示式。在MATLAB窗口，输入命令：U=sym('3*x^2+5*y+2*x*y+6')%定义符号表示式Usymsxy;%建立符号变量x、yV=3*x^2+5*y+2*x*y+6%定义符号表示式V2*U-V+6%求符号表示式值第7页例6.4计算3阶范得蒙矩阵行列式值。设A是一个由符号变量a,b,c确定范得蒙矩阵。命令以下：symsabc;U=[a,b,c];A=[[1,1,1];U;U.^2]%建立范得蒙符号矩阵det(A)%计算A行列式值第8页例6.5建立x,y普通二元函数。在MATLAB命令窗口，输入命令：symsxy;f=sym('f(x,y)');第9页6.1.2基本符号运算1.符号表示式运算(1)符号表示式四则运算例6.6符号表示式四则运算示例。在MATLAB命令窗口，输入命令：symsxyz;f=2*x+x^2*x-5*x+x^3%符号表示式结果为最简形式f=2*x/(5*x)%符号表示式结果为最简形式f=(x+y)*(x-y)%符号表示式结果不是x^2-y^2，而是(x+y)*(x-y)第10页(2)因式分解与展开factor(S)对S分解因式，S是符号表示式或符号矩阵。expand(S)对S进行展开，S是符号表示式或符号矩阵。collect(S)对S合并同类项，S是符号表示式或符号矩阵。collect(S,v)对S按变量v合并同类项，S是符号表示式或符号矩阵。第11页例6.7对符号矩阵A每个元素分解因式。命令以下：symsabxy;A=[2*a^2*b^3*x^2-4*a*b^4*x^3+10*a*b^6*x^4,3*x*y-5*x^2;4,a^3-b^3];factor(A)%对A每个元素分解因式第12页例6.8计算表示式S值。命令以下：symsxy;s=(-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2);expand(s)%对s展开collect(s,x)%对s按变量x合并同类项(无同类项)factor(ans)%对ans分解因式第13页(3)表示式化简MATLAB提供对符号表示式化简函数有：simplify(S)应用函数规则对S进行化简。simple(S)调用MATLAB其它函数对表示式进行综合化简，并显示化简过程。例6.9化简命令以下：symsxy;s=(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2;simple(s)%MATLAB自动调用各种函数对s进行化简，并显示每步结果第14页2.符号矩阵运算transpose(S)返回S矩阵转置矩阵。determ(S)返回S矩阵行列式值。colspace(S)返回S矩阵列空间基。[Q,D]=eigensys(S)Q返回S矩阵特征向量，D返回S矩阵特征值。第15页6.1.3符号表示式中变量确实定MATLAB中符号能够表示符号变量和符号常数。findsym能够帮助用户查找一个符号表示式中符号变量。该函数调用格式为：findsym(S,n)函数返回符号表示式S中n个符号变量，若没有指定n，则返回S中全部符号变量。在求函数极限、导数和积分时，假如用户没有明确指定自变量，MATLAB将按缺省标准确定主变量并对其进行对应微积分运算。可用findsym(S,1)查找系统缺省变量，实际上，MATLAB按离字符'x'最近标准确定缺省变量。第16页6.2符号导数及其应用6.2.1函数极限limit函数调用格式为：limit(f,x,a)limit函数另一个功效是求单边极限，其调用格式为：limit(f,x,a,'right')或limit(f,x,a,'left')第17页例6.10求极限。在MATLAB命令窗口，输入命令：symsamx;f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);limit(f,x,a)%求极限(1)f=(sin(a+x)-sin(a-x))/x;limit(f)%求极限(2)limit(f,inf)%求f函数在x→∞(包含+∞和-∞)处极限limit(f,x,inf,'left')%求极限(3)f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a))/sqrt(x*x-a*a);limit(f,x,a,'right')%求极限(4)第18页6.2.2符号函数求导及其应用MATLAB中求导函数为：diff(f,x,n)diff函数求函数f对变量xn阶导数。参数x使用方法同求极限函数limit，能够缺省，缺省值与limit相同，n缺省值是1。第19页

例6.11求函数导数。命令以下：symsabtxyz;f=sqrt(1+exp(x));diff(f)%求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理f=x*cos(x);diff(f,x,2)%求(2)。求f对x二阶导数diff(f,x,3)%求(2)。求f对x三阶导数f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);diff(f2)/diff(f1)%求(3)。按参数方程求导公式求y对x导数(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2))/(diff(f1))^3%求(3)。求y对x二阶导数f=x*exp(y)/y^2;diff(f,x)%求(4)。z对x偏导数diff(f,y)%求(4)。z对y偏导数f=x^2+y^2+z^2-a^2;zx=-diff(f,x)/diff(f,z)%求(5)。按隐函数求导公式求z对x偏导数zy=-diff(f,y)/diff(f,z)%求(5)。按隐函数求导公式求z对y偏导数第20页例6.12在曲线y=x3+3x-2上哪一点切线与直线y=4x-1平行。命令以下：x=sym('x');y=x^3+3*x-2;%定义曲线函数f=diff(y);%对曲线求导数g=f-4;solve(g)%求方程f-4=0根，即求曲线何处导数为4第21页6.3符号积分6.3.1不定积分在MATLAB中，求不定积分函数是int，其调用格式为：int(f,x)int函数求函数f对变量x不定积分。参数x能够缺省，缺省标准与diff函数相同。第22页例6.13求不定积分。命令以下：x=sym('x');f=(3-x^2)^3;int(f)%求不定积分(1)f=sqrt(x^3+x^4);int(f)%求不定积分(2)g=simple(ans)%调用simple函数对结果化简第23页6.3.2符号函数定积分定积分在实际工作中有广泛应用。在MATLAB中，定积分计算使用函数：int(f,x,a,b)例6.14求定积分。命令以下：x=sym('x');t=sym('t');int(abs(1-x),1,2)%求定积分(1)f=1/(1+x^2);int(f,-inf,inf)%求定积分(2)int(4*t*x,x,2,sin(t))%求定积分(3)f=x^3/(x-1)^100;I=int(f,2,3)%用符号积分方法求定积分(4)double(I)%将上述符号结果转换为数值第24页例6.15求椭球体积。命令以下：symsabcz;f=pi*a*b*(c^2-z^2)/c^2;V=int(f,z,-c,c)V=4/3*pi*a*b*c第25页例6.16轴长度为10米，若该轴线性密度计算公式是f(x)=6+0.3x千克/米(其中x为距轴端点距离)，求轴质量。(1)符号函数积分。在MATLAB命令窗口，输入命令：symsx;f=6+0.3*x;m=int(f,0,10)(2)数值积分。先建立一个函数文件fx.m：functionfx=fx(x)fx=6+0.3*x;再在MATLAB命令窗口，输入命令：m=quad('fx',0,10,1e-6)第26页例6.17求空间曲线c从点(0，0，0)到点(3，3，2)长度。求曲线c长度是曲线一型命令以下：symst;x=3*t;y=3*t^2;z=2*t^3;f=diff([x,y,z],t)%求x,y,z对参数t导数g=sqrt(f*f')%计算一型积分公式中根式部分l=int(g,t,0,1)%计算曲线c长度第27页6.3.3积分变换1.傅立叶(Fourier)变换在MATLAB中，进行傅立叶变换函数是：fourier(fx,x,t)求函数f(x)傅立叶像函数F(t)。ifourier(Fw,t,x)求傅立叶像函数F(t)原函数f(x)。第28页例6.18求函数傅立叶变换及其逆变换。命令以下：s