微分方程的经典模型省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第6章微分方程模型第1页在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科许多系统中，有时极难找到该系统相关变量之间函数表示式，但却轻易建立这些变量微小增量或改变率之间关系式，这个关系式就是微分方程模型。前面章节能够看到在很多问题数学建模中或多或少都包括到微分方程概念和理论，这不足为怪，因为微分方程本身就是处理带有包括改变率或增量特征问题。第2页微分方程模型6.1微分方程模型的建模步骤6.2作战模型6.3传染病模型习题第3页6.1微分方程模型建模步骤例1

某人食量是10467焦/天，其中5038焦/天用于基本新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他天天大约每千克体重消耗69焦热量。假设以脂肪形式贮藏热量100%地有效，而1千克脂肪含热量41868焦，试研究此人体重随时间改变规律。模型分析

问题中并未出现“改变率”、“导数”这么关键词，但要寻找是体重（记为W）关于时间t函数。假如我们把体重W看作是时间t连续可微函数，我们就能找到一个含有微分方程。？第4页模型假设

1.表示时刻某人体重，并设一天开始时人体重为；2.关于连续而且充分光滑；3．体重改变等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后净食量吸收；输出就是进行健身训练时消耗。模型建立

对于“天天”：体重改变=

W=输入-输出体重改变/天==输入/天—输出/天第5页代值：

输入/天=10467—5038=5429（焦/天）

输出/天=69×=69（焦/天）输入/天—输出/天=5429-69W（焦/天）考虑单位匹配，利用单位转换公式“1千克=41868焦”，有增量关系（焦/天）取极限并加入初始条件，得微分方程模型第6页模型求解结果

模型讨论

此人体重会到达平衡吗?显然由表示式，当时，体重有稳定值直接由模型方程往返答这个问题。在平衡状态下，是不发生改变，所以。这就非常直接地给出了第7页根据规律列方程微元分析法。模拟近似法。建立微分方程模型方法第8页6.2作战模型

问题提出影响一个军队战斗力原因是多方面，而详细到一次战争胜败，部队采取作战方式一样至关主要，此时作战空间一样成为讨论一个作战部队整体战斗力一个不可忽略原因。本节介绍几个作战模型，导出评定一个部队综合战斗力一些方法，以预测一场战争大致结局。模型分析甲乙两支部队相互交战，在整个战争期间，双方兵力在不停发生改变，而影响兵力改变很多原因转化为数量非常困难。为此，我们作以下假定把问题简化。？第9页模型假设1.x(t),y(t)表示甲乙双方在时刻

t

人数，x(0)=x0,y(0)=y0分别表示甲乙双方在开战时初始人数，x0>0,y0>0；2.设x(t),y(t)是连续改变，而且充分光滑；3.每一方战斗减员率取决于双方兵力，不妨以f(x,y),g(x,y)分别表示甲乙双方战斗减员率；4.每一方非战斗减员率（由疾病、逃跑以及其它非作战事故原因所造成一个部队减员），它通常可被设与本方兵力成正比，百分比系数分别对应甲乙双方；5.每一方支援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外原因，甲乙双方支援率函数分别以u(t),v(t)表示。第10页模型建立依据假设得到普通战争模型第11页正规作战模型

模型假设1.不考虑支援，并忽略非战斗减员；2.甲乙双方均以正规部队作战，每一方士兵活动均公开，处于对方士兵监视与杀伤范围之内，一旦一方某个士兵被杀伤，对方火力马上转移到其它士兵身上。第12页正规作战模型所以，甲乙双方战斗减员率仅与对方兵力相关，简单设为是正百分比关系，以b、a

分别表示甲乙双方单个士兵在单位时间杀伤力，称为战斗有效系数。以rx

、ry

分别表示甲乙双方单个士兵射击率，它们通常主要取决于部队武器装备；以px、py分别表示甲乙双方士兵一次射击（平均）命中率，它们主要取决于士兵个人素质，则有第13页模型建立正规作战数学模型普通形式由假设2，甲乙双方战斗减员率分别为于是得正规作战数学模型第14页模型求解借助微分方程图解法求解。注意到相平面是指把时间t作为参数，以为坐标平面，而轨线是指相平面中由方程组解所描述出曲线。借此能够在相平面上经过分析轨线改变讨论战争结局。其中

求解轨线方程。将模型方程一式除以二式，得到用分离变量法得该模型解第15页图6-1平方律双曲线第16页战争结局分析模型解确定图形是一条双曲线，箭头表示伴随时间增加，、改变趋势。而评价双方胜败，总认定兵力先降为“零”（全部投降或被歼灭）一方为败。所以，假如，则乙兵力降低到时甲方兵力降为“零”，从而乙方获胜。同理可知，时，甲方获胜。而当时，双方战平。甲方获胜充要条件为代入a、b

表示式，深入可得甲方获胜充要条件为第17页故可找到一个用于正规作战部队综合战斗力评价函数：式中Z表示参战方初始人数，能够取甲方或乙方。综合战斗力评价函数暗示参战方综合战斗力与参战方士兵射击率（武器装备性能）、士兵一次射击（平均）命中率（士兵个人素质）、士兵数平方均服从正百分比关系。第18页模型应用正规作战模型在军事上得到了广泛应用，主要是作战双方战斗条件比较相当，方式相同。J.H.Engel就曾经用正规战模型分析了著名硫磺岛战役，发觉和实际数据吻合得很好。第19页游击作战模型模型假设1.不考虑支援，忽略非战斗减员；2.甲乙双方均以游击作战方式，每一方士兵活动均含有隐蔽性，对方射击行为局限在某个范围考虑能够被认为是盲目标。所以，甲乙双方战斗减员率不光与对方兵力相关，一样设为是正比关系；而且与自己一方士兵数相关，这主要是因为其活动空间限制所引发，士兵数越多，其分布密度会越大，显然二者服从正百分比关系，这么对方投来一枚炮弹平均杀伤力（期望值）也会服从正百分比关系增加；3.若以、分别表示甲乙双方有效活动区域面积，以、分别表示甲乙双方一枚炮弹有效杀伤范围面积，以、分别表示甲乙双方单个士兵射击率，、、、主要取决于部队武器装备性能和贮备；、也取决于士兵个人素质。所以甲方战斗有效系数，乙方战斗有效系数第20页模型建立游击作战模型形式：,，由假设2、3，甲乙双方战斗减员率分别为结合以上两表示式，并代入c、d值，可得游击作战数学模型第21页模型求解类似正规作战模型处理，从模型方程能够得到进而可得该模型解其中在相平面中画出以下轨线图（图6-2）第22页混合作战模型模型假设1.不考虑支援，忽略非战斗减员2.甲方以游击作战方式，乙方以正规作战方式；3.以、分别表示甲乙双方战斗有效系数，若以、分别表示甲乙双方单个士兵射击率，以、分别表示甲乙双方士兵一次射击（平均）命中率，以表示甲方有效活动区域面积，以表示乙方一枚炮弹有效杀伤范围面积，则，模型建立混合作战数学模型：第23页模型求解该模型解：

其中

在相平面中画出以下轨线图（图6-3）第24页模型应用假定以正规作战乙方火力较强，以游击作战甲方虽火力较弱，但活动范围较大，利用上式能够预计乙方为了获胜需投入多大初始兵力。不妨设，，，活动区域平方千米，乙方每次射击有效面积平方米，则可得乙方获胜条件为：即，乙方必须10倍于甲方兵力。第25页点评与讨论应用了微分方程建模思想这类模型反应了我们描述对象随时间改变。第26页问题提出上世纪初，瘟疫还经常在世界一些地域流行，被传染人数与哪些原因相关？怎样预报传染病高潮到来？为何同一地域一个传染病每次流行时，被传染人数大致不变？6.3传染病模型？问题分析

社会、经济、文化、风俗习惯等原因都会影响传染病传输，在建立模型时不可能考虑全部原因，只能抓住关键原因，采取合理假设，进行简化。把传染病流行范围内人群分成三类：S类，易感者（SusceptibleI)类；感病者（Infective）；R类，移出者（Removal）第27页建立模型

SI模型1

模型假设1.每个病人在单位时间内传染人数为常数；2.一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。

记时刻t得病人数为，开始时有个传染病人，则在时间内增加病人数为得：其解为：第28页模型分析与解释这个结果与传染病早期比较吻合，但它表明病人人数将按指数规律无限增加，显然与实际不符第29页SI模型2记时刻健康者人数为模型假设1.总人数为常数，且；2.单位时间内一个病人能传染人数与当初健康者人数成正比，百分比系数为（传染强度）；3.一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。在此假设下可得微分方程解得：第30页模型分析易得极大值点为：。当传染强度增加时，将变小，即传染高峰来得快，这与实际情况吻合。但当时，，这意味着最终人人都将被传染，显然与实际不符。带宣传效应SI模型3模型假设1.单位时间内正常人被传染比率为常数；2.一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。由导数含义和假设，易得微分方程：第31页假设宣传运动开展将使得传染上疾病人数降低，降低速度与总人数成正比，这个百分比常数取决于宣传强度。若从开始，开展一场连续宣传运动，宣传强度为，则有数学模型为解得：其中：为Heaviside函数。求得微分方程解为：第32页

假如宣传运动是短暂进行，这在日常生活中是常见，比如仅仅是听一个汇报，或街头散发传单等，即在等个时刻进行次宣传，宣传强度分别为，则模型变为解得：表明连续宣传是起作用，最终会使发病率降低。但此时有，这表明短暂宣传是不起作用，最终还是全部人都染上了疾病。第33页SIS模型有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很底，能够假定无免疫性。于是痊愈病人依然能够再次感染疾病，也就是说痊愈感染者将再次进入易感者人群。模型假设1.总人数为常数，且2.单位时间内一个病人能传染人数与当初健康者人数成正比，百分比系数为k（传染强度）；3.感病者以固定比率h痊愈，而重新成为易感者。第34页该假设下模型为：其解为：或第35页模型分析：时，；时，。这里出现了传染病学中非常主要阈值概念，或者说门槛（threshhold）现象，即是一个门槛SIR模型

大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后都有很强免疫力，所以病愈人既非易感者，也非感病者，所以他们将被移出传染系统，我们称之为移出者，记为R类。第36页模型假设1.总人数为常数，且；2.单位时间内一个病人能传染人数与当初健康者人数成正比，百分比系数为（传染强度）；3.单位时间内病愈免疫人数与当初病人人数成正比，百分比系数为，称为恢复系数。该假设下模型为：第37页取初值：把前面两个方程相除，并整理，有：解之得:第38页模型分析：易得；而当时，单调下降趋于零；时，先单调上升到最高峰，然后再单调下降趋于零。所以这里依然出现了门槛现象：是一个门槛。从意义可知，应该降低传染率，提升恢复率，即提升卫生医疗水平。令

可得假定，可得：若记，则，这也就解释了本文开头为何同一地域一个传染病每次流行时，被传染人数大致不变问题。第39页6.4药品试验模型

问题提出药品进入机体后，在随血液运输到各个器官和组织过程中，不停地被吸收，分布，代谢，最终排除体外。药品在血液中浓度，即单位体积血液（毫升）中药品含量（微克或毫克），称血药浓度，随时间和空间（机体各部位）而改变。血药浓度大小直接影响到药品疗效，浓度太低不能到达预期效果，浓度太高又可能造成药品中毒，副作用太强或造成浪费。所以研究药品在体内吸收，分布和排除动态过程，及这些过程与药理反应间定量关系（即数学模型），对于新药研究，剂量确定，给药方案设计等药理学和临床医学发展都有主要指导意义和使用价值。？第40页问题分析房室是指机体一部分，药品在一个房室内呈均匀分布，即血药浓度是常数，而在不一样房室之间则按照一定规律进行药品转移，一个机体分为几个房室，要看不一样药品吸收，分布，排除过程详细情况，以及研究对象所要求精度而定。现在我们只讨论二室模型，即将机体分为血药较丰富中心室（包含心，肺，肾等器官）和血液较贫乏周围室（四肢，肌肉组织等）。药品动态过程在每个房室内室一致，转移只在两个房室之间以及某个房室与体外之间进行。二室模型建立和求解方法能够推广到多室模型。第41页模型建立在二室模中设1.,和分别表示第i室（i=1,2）血药浓度，药量和容积；2.表示第i室向第j室药品转移速率系数；3.是药品从1室向体外排除速率系数；4.是给药速率，由给药方式和剂量确定模型假设1.机体分为中心室（1室）和周围室（2室），两个室容积（即血药体积或药品分布容积）在过程中保持不变。2.药品从一室向另一室转移速率，及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比。3.只有中心室与体外有药品交换，即药品从体外进入中心室，最终又从中心室排除体外。与转移和排除数量相比，药品吸收能够忽略。第42页中心室c1(t),x1(t),V1周围室c2(t),x2(t),V2k12k21给药12排除12k13图6-4惯用一个二室模型为方便问题表述和研究，画出二室模型示意图以下：第43页注意到改变率由1室向2室转移，1室向体外排除，2室向1室转移及给药组成；改变率由1室向2室转移及2室向1室转移组成。利用函数导数特点和含义，依据假设条件和上图，能够写出两个房室中药量满足微分方程为第44页

代入（1）式可得数学模型与血药浓度,房室容积之间显然相关系式至此，我们将问题变为了数学问题。上式中只要给定给药方式函数详细形式就能够进行微分方程组求解。给药方式函数数学描述与对应给药方式有以下3种：第45页1.快速静脉注射这种注射为在t=0瞬时将剂量D0药品输入中心室，血药浓度马上上升为D0/V1，它能够用数学表示为2.恒速静脉滴注当静脉滴注速率为常数k0时，能够用数学表述为3.口服或肌肉注射这种给药方式相当于在药品输入中心室之前先有一个将药品吸收入血药过程，能够简化为有一个吸收室，以下列图。第46页

在这种情况下，有数学描述为为吸收室药量，药品由吸收室进入中心室转移速率系数为，于是满足表示先瞬时吸入全部药量，然后药量在体内按百分比降低（指数衰减），是给药量。而药品进入中心室速率为，求解有第47页习题