非线性函数的线性化问题省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

非线性函数线性化问题冯仲科北京林业大学.4.1第1页一.数学期望与方差性质1.随机变量数学期望就是全部可能取值概率平均值，简称均值，它有以下性质：（1）常数c数学期望等于它本身，即

E(c)=c.（2）常数c与ξ之积数学期望等于c与ξ数学期望之积，即

E(cξ)=cE(ξ).第2页（3）n个随机变量之和数学期望，等于各随机变量数学期望之和，即

E(ξ1+ξ2+···+ξn)=E(ξ1)+E(ξ2)+···+E(ξn).（4）随机变量线性函数F=α1ξ1+α2ξ2+···+αnξn=数学期望为E()=α1E(ξ2)+α2E(ξ2)+···+

αnE(ξn).)第3页（5）n个相互独立随机变量之积数学期望，等于各随机变量数学期望之和，即

E(ξ1ξ2···ξn)=E(ξ1)E(ξ2)···E(ξn).第4页2.随机变量方差是描述随机变量全部可能取值离散程度。在测量中就是中误差平方，是一个精度指标。它有以下性质：（1）常数c方差等于零，即

D(c)=0.（2）常数c与随机变量之积方差等于c2与方差之积，即

D(cξ)=c2D(ξ).第5页（3）n个相互独立随机变量之和方差等于各个随机变量方差之和，即D(ξ1+ξ2+···+ξn)=D(ξ1)+D(ξ2)+···+D(ξ3).（4）相互独立随机变量线性函数F=α1ξ1+α2ξ2+···+αnξn=方差为D()=D(ξ1)+E(ξ2)+···+E(ξn).第6页例.已知⊿=X-L,求真误差⊿方差。解：因X是常数，故有

D(⊿)=D(X)+D(L)=D(L),亦即观察值L误差方差D(⊿)等于观察值本身方差D(L)。第7页例.求算术平均值

X=(L1+L2+…+Ln)方差。解：D(x)=(D(L1)+D(L2)+···+D(Ln)).假如D(L1)=D(L2)=···=D(Ln)=σ2,则上式为

D(x)=,令=σx，则有

σx=式中σ和σx分别为观察值和算术平均值标准差，标准差在测量中称为中误差。第8页二.协方差及其传输律1.协方差概念及定义设有线性函数

z=f1x+f2y，令x，y真误差为⊿x，⊿y，则z真误差⊿z为

⊿z=f1⊿x+f2⊿y.⊿y第9页它中误差mxy为mxy=.当x与y彼此不独立，比如它们都是独立观察值L函数：x=3L，y=4L，则有mxy===12≠0，式中，mL为L中误差，为L方差。第10页例.已知x=3L1-2L2，y=2L1+3L2，L1和L2相互独立且同精度，设L1和L2方差均为m2，试判别x与y是否独立。解：从x与y均是L1，L2函数看，它们似乎相关，其实不一定。由已知关系得⊿x=3⊿L1-2⊿L2，⊿y=2⊿L1+3⊿L2，

⊿x⊿y=6⊿-6⊿+5⊿L1⊿L2

，顾及=0，则x与y协方差为

mxy==6m2-6m2=0.可见，此例x与y实为相互独立观察值。第11页协方差有以下性质：（1）当随机变量X与Y独立时，有

σXY=0.（2）当X=Y时，有

σXY==（3）当X与Y成线性关系：Y=aX+b，式中，a、b为常数，则有当a>0σXY=

当a<0σXY=–第12页2.普通误差传输定律

设有相关观察值x1,x2,···xn线性函数普通形式为

z=f1x1+f2x2+···+fnxn,

最终能够得到它中误差为

mxy=a1b1+a2b2+···+anbn第13页

若用普通符号表示xi方差，σij表示xi与xj协方差，则普通误差传输定律式能够写成以下形式：

=+2f1f2σ12+···+2f1fxσ1n

++···+2f2fnσ2n

·································

+

第14页3.协方差阵及其传输律

假如有两个随机变量X1和X2，已知其数学期望为E(X1)和E(X2)，方差及协方差为D(X1),D(X2)和=，则定义

E(X)=，D(X)=其中D(X)能够写成

D(X)=E(X-E(X))(X-E(X))T

第15页

普通，设有t维随机向量X=(X1X2···Xt)T，定义X数学期望和方差为

E(X)=

D(X)=第16页协方差阵传输率随机向量X数学期望E(X)是由E(X)=定义，它含有以下性质：（1）常数向量C数学期望等于它本身，即E(C)=C.（2）常数矩阵A与随机向量X之积数学期望等于A与X数学期望之积，即E(AX)=AE(X).第17页（3）设A和B为常数矩阵，X和Y为随机向量，则AX与BY之和数学期望等于AX数学期望与BY数学期望之和，即E(AX+BY)=AE(X)+BE(Y).尤其地，当A和B均为单位阵，X和Y维数相同，有E(X+Y)=E(X)+E(Y).(4)设有随机向量X和Y，则E(XYT)=E(X)(E(Y))T+σXY第18页设有两个线性函数

=+，=+A﹑B﹑C﹑H为常数矩阵，则有

FG=AD(X)CT+AσXZHT+BσYZHT证:σFG=E[(AX+BY-E(AX+BY))(CX+HZ-E(CX+HZ))T]=E[(A(X-E(X))+B(Y-E(Y)))(C(X-E(X))+H(Z-E(Z)))]T=AD(X)CT+AσXZHT+BσYXCT+BσYZHT第19页三.非线性函数线性化以上是属于线性函数，对于非线性函数，如：y=f(x1,x2,···xn)则需要采取

（1）对数法线性化（2）级数展开法线性化第20页1.对数法：U=xyzlnU=lnx+lny+lnz

=++第21页2.泰勒级数展开法：U=xyzdU=yzdx+xzdy+xydz

两边同时除以U，U=xyz=++经过：乘除法运算取对数

加减乘除运算取级数

第22页例：已知单木生物量数学模型为

，试说明a,b几何学和物理学意义。已知

，试统计分析建模求a，b。已知单木

。求由

计算

及其置信区间。答：利用林木相对生长公式

（1）

设第i（i=1，2，…，n）棵标准木生物量（树干、树枝、树根或树叶生物量等，以下同）为

，胸径为

，树高为

，

测定误差为

，则可写出

（2）第23页对于,（i=1，2，…，n）

（3）设a、b第k（k=0，1，2，…，m）次近似值为

，记

（4）则用泰勒级数在

处将式（3）展开得

（5）第24页其中

为二阶以上余项。又记：

，

，，

，第25页则有

（6）在式（6）中，将

换成估值形式

，用

代表

最或然误差（又称为

更正数），则有和式（6）误差方程形式

（7）第26页其中

中包含了观察误差和二次以上余项误差等。利用最小二乘准则，即在

标准下，利用式（7）可推导出求解

公式，即

（8）依据式（4）和

定义，可知a、b第k+1次估值为

（9）第27页计算步骤1）用对数法求解a、b估值，作为初值

、

，计算

，并用式（8）求解

，利用式（9）求解

、

。2）将

、

作为a、b新近似估值，计算

，并用式（8）求解

，利用式（9）求解

、

。3）将

、

作为a、b新近似值计算

、

。余者类推，直至

到达最小或

和

到达足够小（此时

）。精度评定设迭代在第k+1步终止，以下不加推证地给出求解单位权方差（标准方差）估值公式以及

、

方差、协方差计算公式1）单位权方差无偏估值