数形结合让思维飞得更远 论文

数形结合，让思维飞得摘要：数形结合思想是数学学科最重要的思想方法之一，它将抽象的数学语言、数量关系与直观形象的图形、位置关系结合起来，使教学中的数学问题能够化难为易、化繁为简，从而有助于突破学生思维瓶颈，提高学生分析问题和解决问题的能力。。关键词：数形结合，数学问题，化难为易，化繁为简，激活思维引言：通过数与形的结合来弥补小学生抽象思维能力的不足，加深对抽象的数字运算和量之间等量关系的形象理解，有利于开启学生的思维，培养学生解决问我一直致力于小学数学教育，深刻体会到教材在编排时，能根据小学生的年龄和思维的特点，将每个知识点的学习过程都配备了图形和实物，像钟表、线段示意图、平均分割的圆面等等，都是遵循小学生的认知规律，巧妙运用数形结合的方法，以便小学生学的轻松，理解的透彻，使得小学生对一些难点问题，如时间的认识、数学应用题的解决、分数的认识和有关算理算法的理解与掌握等都能轻松过关，迎刃而解。“这种‘以形助数’或‘以数解形’的思想方法，使计算的算理直观化、复杂的问题简单化、抽象的问题形象化，从而优化解决问题的策略。”[1]人教版六年级数学上册第八单元数学广角《数与形》对于我而言印象非常深刻，在这个单元的教学过程中，更加体会到了数形结合方法对于小学生学习数学的重要性和必要性，现浅谈一下教学《数与形》这一节内容时的策略。一、数与形的结合，妙解1．求连续自然数的和（1）问题：1＋2＋3＋……＋100=?这个问题的解决并不困难，因为很多小学生都听老师讲过小高斯的故事，高斯是德国著名的大科学家，他最出名的故事就是在他10岁时，小学老师出了一道算术难题：计算1＋2＋3＋……＋100＝？这下可难倒了刚学数学的小朋友们，他们按照题目的要求，正把数字一个一个地相加。可这时却传来了高斯的声音：“老师，我已经算好了!”老师很吃惊，高斯解释道：因为1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101……49＋52＝101，50＋51＝101，而像这样等于101的组合一共有50组，所以答案很快就可10150＝5050。聪明的小高斯的这种算法，综合运用了分组和加法转化为乘法的巧妙方法，×但这种算法也有不便的时候，如加数的个数为奇数个时，当然这个问题还是能解决的。我在处理1＋2＋3＋……＋100＝?时，尝试了数形结合的方法，用边长是1的小正方形面积为1个平方单位）表示数字1（下图中的红色正方形），两个小正方形拼成的图形表示数字2（下图中的黄色长方形），以此类推（如图1），其中在图1中，算式1、1+2、1+2+3、+2+3+4、1+2+3+4+5分别用相应的图形表示出来，图2则表示两个1+2+3+4+5所对应的图形拼合的过程，图3是拼合的结果，图3中的长方形的面积表示（1+2+3+4+5）+（1（1+2+3+），即2×（1+2+3+），而长方形的面1+5）与宽5的积，即：52×（1+2+3+4+5）＝（1+5）×5，所以1+2+3+4+5=（1+5）×＝15。进一步推广到1＋2＋3＋……＋100＝（1+100）×＝5050，也可以拓展延伸到1＋22n(n+1)＋3＋……＋n＝。图１（2）结论：从1开始的连续自然数的和等于首尾两数的和与加数个接下来，我把1＋2＋3＋……＋100分为两组，第一组是1+3+5+……+97+99；第二组为+4+6+……+98+100，即从1开始的连续奇数的和、从2开始的连续偶数的和。2．求连续奇数的和（1）问题：1+3+5+……+97+99＝？显然，这个问题用小高斯的分组和转化为乘的方法似乎可行，但计算过程和结果较烦，尤其是加数个数为奇数个或较多的时候。而数形结合的方法让我们豁然开朗，甚至能一口报出结果。图4中的几个图形分别表示了数字1、3、5、7，而图5则表示1+3，22等于边长为2的正方形面积是2，图6表示1+3+5，等于边长为3的正方形面积是3，表示1+3+5+7，等于边长为4的正方形面积是4：结论：从1开始的连续奇数的和等于某个数的平方，这个数就是奇数加数的个数。显然，这种方法要比分组和转化为乘的方法要简单的多。求连续偶数的和3（1）问题：2+4+6+……+98+100＝？这个问题当然也可以考虑用小高斯的做法，同样较烦，或者先提取2（逆用分配律）转化成连续自然数的和来求解，如果用数形结合的方法来解，会不会更简单呢？其中图8分别用图形表示了数字2、4、6、8；表示2+4，长方形的面积是2×3，即2+4=2×3；（2个连续偶数相加）表示2+4+6，长方形的面积是3×4，即2+4+6=3×4；（3个连续偶数相加）表示2+4+6+，长方形的面积是4×5，即2+4+6+8=；（4个连续偶数相以此类推，2+4+6+8+10＝5×6；（5个连续偶数相加）所以，2+4+6+8+……+98+100＝50×51；（50个连续偶数相加）拓展延伸，2+4+6+……+2n＝n(n+1)，（n个连续偶数相加）图8图9图10图11（2）结论：从2开始的连续偶数的和等于偶数的个数与比这个个数大1的数的积。就这样，我们巧用长方形（或正方形）的面积，轻松地解决了1＋2＋3＋……＋100?、+3+5+……+9？以及2+4+6+……+9？这三个问题，并且作了学们觉得学的轻松，理解的深刻，而且能运用自如，甚至能直接口答出一些较为复杂的算式的结果。所有这些都归功于数形结合的思想方法的巧妙运用。二、数与形的结合，妙解像上面这样运用数形结合的思想方法解决的问题还有很多很多，之后我和同学们一33333起挑战了1+2+3+4+5=?，当然这个问题挑战的难度较大，但是法来探究，应该不是很难的，我和同学们一起构造了这样的图形。从图中我们可以看出：拓展延伸，1+2+3+4+5+……+n=[至此，我和同学们的脸上都露出了胜利的微笑！同学们都给数形结合方法之巧妙而点赞，作为老师的我当然也无比的开心与自豪。三、数与形的结合，妙解数形结合的思想方法对于小学生学习数学的重要性已毋庸置疑，在后面的数学学习222过程中的应用也是很广泛的，如数学拓展练习中的完全平方公式（a+b）=a+b+2ab，看上去似乎很难理解，但我们运用数形结合的方法来解决，就比较容易理解了大正方形的边长是（a+b），面积当然就是（a+b）。把它分成四块，分别是边长为a的正方形、边长为b的正方形以及两个长宽为b、a的长方形，它们的面积依次是a、b和ab、ab，四个图形面积的a+b+2ab，所以有：a+b）=a++2ab，多么令人满意的诠释！曾经记得初中数学中数形结合的应用更为广泛，举不胜举，其中有著名的《勾股定理》的证明方法，证明方法有上百种之多，但它们的主要指导思想大多还是用数形结合中的面积法，有课本中的勾股圆方图，利用四个全等的直角三角形拼图，再利用面积关222系得出：直角三角形的两条直角边a、b与斜边c的关系是a+b=c。在这里，我想用两个全等的直角三角形拼图，构成一个直角梯形，它的a+b上底是a，下底为b，高为（a+b），则它的面积a+b）×。同时，它是由全等的直角三角形和一个直角边为c的等腰直角三角形拼成将数与形有机地结合起来，作为小学生理解初中数学的知识也不觉得困难，这正是数形结合思想方法的优越性所在。要培养学生数形结合的思想方法，首先教师要切实掌握数形结合的思想方法，要刻苦钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数形结合思想方法渗透的各种因素，同时要考虑如何结合具体内容进行数形结合思想方法渗透。“数形结合思想方法包含‘以形助数’和‘以数解形’两个方面，在小学数学‘数与代数’领域教学中，用得最多的是‘以形助数’，我们应把数形结合思想方法渗透在教学中的每一个内容之中。”因此，在数学教学中，有时看到学生遇到难题百思不得其解时，如能画个草图稍加点拨，学生往往茅塞顿开。究其原因就是充分发挥了图象语言的优越性，体现了数形结合思想方法的优越性。小学数学中虽然没有学习函数，但还是慢慢的开始渗透函数的思想。为初中数学学习打好基础，如确定位置中，用数对表示平面图形上的点，点的平移引起了数而数对变化也对应了不同的点。此外，在六年级第二学期学习的比例中，让学生通过描点连线来表示正比例函数的图象，发现只要是正比例关系的式子，画在坐标系中就是一条直线。从而体会到图形与函数之间密不可分的关系。”我国著名数学家华罗庚曾说过：‘数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休’。”[2]这段话对数形结合的思想方法的诠释应该是恰到好处的[