江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一下学期3月阶段调研考试数学

常州市联盟学校2023—2024学年度第二学期阶段调研高一年级数学试卷考试时间120分钟满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若，，则等于（）A. B.C. D.2.若，，夹角为120⁰，则等于（）.A. B.6 C. D.3.已知向量，，那么向量可以是（）A. B. C. D.4.是平行四边形外一点，用、、表示，正确表示为（）A. B.C. D.5.有关平面向量的说法，下列正确的是（）A.若，，则 B.若与共线且模长相等，则C若且与方向相同，则 D.恒成立6.（）A.1 B. C.3 D.7.已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.8.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（）A.9 B. C.12 D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列说法正确的是（）A.的最小值为1B.若，则C.若，与垂直的单位向量只能为D.若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为10.下列化简结果正确的是（）A B.C. D.11.在中，下列说法正确的是（）A.若，则是等腰三角形B.若，，则为等边三角形C.若点是边上的点，且，则的面积是面积的D.若分别是边中点，点是线段上的动点，且满足，则的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，设，则的值为___________.13.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若，则________________.14.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为．已知，，，若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，且，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是平面上两个不共线的向量且（1）若方向相反，求的值；（2）若三点共线，求的值.16已知，，，求：（1）；（2）与的夹角．17.（1）已知，，且及，求的值；（2）若，，求的值.18.在平面直角坐标系中，已知向量，.（1）若，，求的值；（2）若与的夹角为且，求的值.19.在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，．（1）当时，求的值；（2）求向量的夹角；（3）求的取值范围．常州市联盟学校2023—2024学年度第二学期阶段调研高一年级数学试卷考试时间120分钟满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若，，则等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直接求解.【详解】因为，，所以.故选:D.2.若，，的夹角为120⁰，则等于（）.A. B.6 C. D.【答案】A【解析】【分析】由数量积公式求解.【详解】.故选：A3.已知向量，，那么向量可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量共线的充要条件计算即可判断.【详解】向量，，则存在，使得故只有向量符合.故选：A.4.是平行四边形外一点，用、、表示，正确的表示为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设，则为、的中点，利用平面向量的线性运算可得出，即可得解.【详解】设，则为、的中点，如下图所示：所以，，同理可得，所以，，因此，.故选：C.5.有关平面向量说法，下列正确的是（）A.若，，则 B.若与共线且模长相等，则C.若且与方向相同，则 D.恒成立【答案】D【解析】【分析】根据零向量与共线向量的定义判断A，根据相等向量的定义判断B，根据向量的定义判断C，根据数量积的运算律判断D.【详解】对于A：当，，，满足，，但是与不一定共线，故A错误；对于B：若与共线且模长相等，则或，故B错误；对于C：向量不能比较大小，故C错误；对于D：根据向量数量积的运算律可知恒成立，故D正确.故选：D6.（）A.1 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由利用两角和的正切公式计算可得.【详解】因为，所以，所以.故选：B7.已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设中点为，确定，为正三角形，再计算向量的投影得到答案.【详解】设中点为，则，即，故边为圆的直径，则，又，则为正三角形，则有，向量在向量上的投影向量，故选：A8.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（）A.9 B. C.12 D.【答案】B【解析】【分析】先由勾股定理求出，再由向量数量积的定义式求出乘积即可.【详解】由题意可知，，设，由勾股定理可得，解得，所以，所以，故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列说法正确的是（）A.的最小值为1B.若，则C.若，与垂直单位向量只能为D.若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为【答案】AB【解析】【分析】对A：根据模的运算公式代入计算，利用二次函数性质即可判断；对B：利用向量垂直的坐标运算性质即可判断；对C：举反例即可判断；对D:根据向量夹角是钝角，得到且向量与向量不反向共线，即可判断．【详解】对A：，则当时，取最小值1，故A正确；对B：若，则，解得，故B正确；对C：若,易知也是垂直单位向量，故C错误；对D：若与的夹角为钝角，则,，且向量与向量不反向共线，即，解得且，故D错误；故选：AB．10.下列化简结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用和（差）角公式计算可得.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D正确.故选：BCD11.在中，下列说法正确的是（）A.若，则是等腰三角形B.若，，则为等边三角形C.若点是边上的点，且，则的面积是面积的D.若分别是边中点，点是线段上的动点，且满足，则的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】由单位向量，向量垂直判断A,由夹角公式及模长判断B,由平面向量基本定理确定M位置判断C,由三点共线及平面向量基本定理将表示为t的二次函数求最大值判断D.【详解】对A,分别表示与同向的单位向量，由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量，由，可得的平分线与垂直，故是等腰三角形，故A正确；对B,由题意，,则，，故，又，则，即，故为等边三角形，故B正确；对C,若点是边上的点，设，则，即，结合，知，则点是边上的靠近B的三等分点，则的面积是面积的，故C错误；对D，如图所示：因为在上，即，，三点共线，设，又因为，所以，因为，则，，令，时，取得最大值为．故D正确．故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，关键是利用三点共线及平面向量基本定理表示为t的二次函数解决D选项.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，设，则的值为___________.【答案】2【解析】【分析】根据向量的线性运算计算即可.【详解】因为，所以，则，又因为，所以.故答案为：.13.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若，则________________.【答案】2【解析】【分析】根据题意，利用数量积公式直接计算即可．【详解】依题意，，则．故答案为：2．14.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为．已知，，，若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，且，则__________.【答案】【解析】【分析】利用新定义得到关于，的方程，进而求得，，再利用基本关系式求得，从而利用整体法与余弦函数的和差公式即可得解.【详解】，，所以，所以，同理可得,，所以，解得，，因为，所以，，所以，，所以.故答案为：.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是平面上两个不共线的向量且（1）若方向相反，求的值；（2）若三点共线，求的值.【答案】（1）2；（2）或【解析】【分析】（1）由得，再由向量相等可得答案；（2）由题意知，即，再由向量相等可得答案.【详解】（1）由题意知，，则存在，使得，即，从而，得，或，又方向相反，则（2）由题意知，，由三点共线得，，存在，使得，即，从而，得或，所以或.16.已知，，，求：（1）；（2）与的夹角．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意结合数量积的运算律和模长公式运算求解；（2）根据题意结合数量积的运算律和夹角公式运算求解.小问1详解】由已知，则，可得，则，所以【小问2详解】设与的夹角为，则，且，所以与的夹角为．17.（1）已知，，且及，求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由平方关系求出，再利用两角和的正弦公式代入求解；（2）将两式平方相加并利用平方关系和两角差的余弦化简求解即可.【详解】（1）已知，，且及，所以，，所以又及，所以，故；（2）由，，得，，相加得，即，所以.18.在平面直角坐标系中，已知向量，.（1）若，，求的值；（2）若与的夹角为且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知向量的坐标结合向量垂直列式求得，再利用两角差的正切求值；（2）直接利用数量积求夹角公式及辅助角公式可得，求得的值，则的值可求．【小问1详解】因为，且，所以，，所以，故；【小问2详解】因为，，所以，，，因为与的夹角为，所以，即，所以，因为，所以，所以，所以.19.在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，．（1）当时，求的值；（2）求向量的夹角；（3）求的取值范围．【答案】（1）（2