高中数学：7.1复数的概念同步训练

7.1复数的概念同步训练

一、单选题

1.已知“eR,若z=(T_l)一(a-/(i为虚数单位)为纯虚数，则。=()

A.0B.1C.-1D.±1

2.若复数z满足z(l+i)=|l+石i|,则在复平面内z的共辗复数对应的点位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.已知复数z=l+2i(i为虚数单位)，则它的共轨复数［=()

A.2-iB.2+iC.2/D.1-2i

4.已知i为虚数单位，a&R,若l+(a+l)i为纯虚数，则复数z=a+(a-2)i在复平面内对应的点位于(〉

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.复数z=(/-24)+(/-a-2)i(i为虚数单位,aeR)对应的点在虚轴上，则

A.aw2或awlB.a=0且a=2C.a=0或4=2D.a=0

6.复数6+5,•与-3+4i分别表示向量OA、则表示向量BA的复数在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、多选题

7.有下列四个命题，其中正确的是()

①方程2x—5=0在自然数集N中无解；

②方程2/+9x—5=0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；

③x=i是方程》2+1=0在复数集C中的一个解；

④/=1在R中有两解，在复数集C中也有两解.

A.①B.②

C.③D.@

8.已知复数4=2-2i(i为虚数单位)，复数々满足%-胃=1,则下列结论正确的是().

A.4在复平面内所对的点在第四象限

B.zz-4在复平面内对应的点在第一象限

C.|Z|-Z2|的最大值为JB+1

D.k+ZzI的最小值为屈-1

三、填空题

9.复数Z］=a+bi,z2=c+di(a^b、c、deR)在复平面上对应的点分别为、Z2.

(1)若Z］、Z?关于x轴对称，则。、b、c、d应满足的关系是；

(2)若乙、Z2关于y轴对称，则。、b、c、d应满足的关系是；

(3)若Z］、Z2关于原点对称，则。、b、c、d应满足的关系是;

(4)若Z1、Z2关于第一、三象限的角平分线对称，则。、b、c、d应满足的关系是.

10.复数Z=3sine+isin0(0eR)对应点的轨迹是.

11.在复平面内，复数4对应的点为(2,2),复数％?对应的点为(1,1),复数z=Z2-z一则z对应的点在第

象限.

12.il03=.

四、解答题

13.若复数4=4-35=4+于所对应的向量分别为OZ|与OZ「求OZZz的周长.

14.实数〃?分别取什么数值时，复数z=(>+5优+6)+(>-2〃?-15)i是：

(1)纯虚数；

(2)对应点在x轴上方；

15.求实数机的值或取值范围，使得复数z=〃+m-2+(疗-l)i分别满足：

(l)z是实数；

(2)z是纯虚数；

(3)z是复平面中对应的点位于第二象限.

16.设z/=2x+l+(x2-3x+2)i,zz=N-2+(x2+x-6)i(xGR).

(1)若z/是纯虚数，求实数X的取值范围：

(2)若ZI>Z2,求实数X的取值范围.

参考答案:

1.c

【分析】根据复数的分类和性质可得答案.

【详解】若z=（i为虚数单位）为纯虚数,

a2-1=0

则得a=-1,

a-1^0

故选：C.

【点睛】本题考查复数的分类和性质，属于基础题.

2.A

【分析】先求出复数z和）再求出在复平面内z的共轨复数对应的点的位置得解.

【详解】由题得z=告2(1-/)

=—,所以，=1+

(1+Dd-0

所以在复平面内Z的共辆复数对应的点为（1,1）,在第一象限.

故选：A.

【点睛】本题主要考查复数的模和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和

分析推理能力.

3.D

【分析】直接根据共辗复数概念写出结果.

【详解】因为z=l+2i,所以4=1-2i

故选：D

【点睛】本题考查共规复数概念，考查基本求解能力，属基础题.

4.D

【分析】根据纯虚数的定义即可求出参数，从而得出复数对应的点坐标即可判断结果.

【详解】因为i为虚数单位，aeR,a2一1+（。+）为纯虚数，所以吁:口解得

〃+1工0

所以z=l-i,z=l-i在复平面内对应的点坐标（1,-1）,所以该点位于第四象限.

故选：D

5.C

【解析】根据复数对应点在虚轴上，实部为零列方程，由此求得。的值.

【详解】：z在复平面内对应的点在虚轴上,.•.片-24=0,解得“=0或a=2.

故选：c

【点睛】本小题主要考查复数虚轴的概念，属于基础题.

6.A

【分析】先求出向量54的复数对应的复数，然后判断向量54的复数在复平面内对应的点

的位置.

【详解】因为复数6+5i与-3+4i分别表示向量OA、0B，

所以复数6+5i与-3+4i在复平面内对应的点分别为A(6,5)、8(-3,4),

所以a4=(6,5)-(-3,4)=(9,1),所以而对应的复数为z=9+i,

所以表示向量54的复数在复平面内对应的点位于第一象限.

故选：A.

7.ABC

【分析】根据方程的解的情况逐一判断选项的正误即可.

【详解】①方程左一5=0根为x=故方程在自然数集N中无解，正确；

②方程2%2+9x—5=0即(2x-l)(x+5)=0,故在整数集Z中有一解-5,在有理数集Q中有

两解-5和正确；

③x=i代入方程N+1=0成立，故x=i是方程/+1=0在复数集C中的一个解；

④/=1在R中有两解±1,在复数集C中也有四解±1,土i,故错误.

故选：ABC.

8.AC

【分析】复数4=2-2i在复平面内对应的点为P(2,-2),故选项A正确；

复数Z2在复平面内对应的点。是以C(0,l)为圆心，1为半径的圆，故在复平面内对应

的点不一定在第一象限，故选项B错误；

14-22|的最大值为|「(7|+1=屈+1,故选项C正确；

|Z|+zJ的最小值为,故选项D错误.

【详解】复数Z|=2-2i在复平面内对应的点为尸，则尸(2,-2),所以点尸在第四象限，故选

项A正确；

复数Z2满足14-i|=l,则Z?在复平面内对应的点。是以C(0,l)为圆心，1为半径的圆,

故4-4在复平面内对应的点不一定在第一象限，故选项B错误；

|z「Zzl表示点尸,。之间的距离，所以|z「Z2l的最大值为|PC|+l=a+l,故选项C正确；

I4+7|表示点。与点PX-2,2)之间的距离，所以14+Z21的最小值为IPC|-1=》-1,故选项

D错误.

故选：AC

9.a=c,b=-da=-c,b=da=-c,b=-da=d,b=c

【分析】直接利用复数的几何意义即可得到.

【详解】因为复数4=。+为，z?=c+M(a、b、c、dwR)在复平面上对应的点分别为Z1、Z2,

所以Z,(a,6),Z2(c,d)

(1)若Z］、Z?关于x轴对称，则。、b、。、d应满足的关系是“=。，b=-d；

(2)若Z］、Z2关于V轴对称，则。、b、。、d应满足的关系是。=-。，h=d；

(3)若Z］、Z2关于原点对称，则。、。、c、d应满足的关系是。=-。，h=-d

(4)若Z1、4关于第一、三象限的角平分线对称，则。、b、c、d应满足的关系是a=d,

b=c.

故答案为：(1)a=c,b=-d；(2)a=-c,b=d；(3)a=—c,b=-d；(4)a=d,b=c.

10.线段

【分析】根据题意，找出复数的对应点坐标，即可得到复数z=3sin，+isinO(eeR)对应点

的轨迹.

【详解】根据题意可知，复数z=3sine+isine(6eR)对应点为(3sine,sin。)，

因此复数2=3疝11。+1011矶。€1<)对应点的轨迹为丫=：X，且(—14x9),

即轨迹是线段.

故答案为：线段.

11.四

【分析】根据复数的几何意义，可得4=-2+27%=17.，进而得到z=Z2-4=3-3i,得出

复数z对应的点的坐标，即可求解.

【详解】由题意，复数4对应的点为(2,2),复数z?对应的点为(1,1),

可得4=-2+2i,Z2=l-i,所以复数z=Z2-4=3-3i,

所以复数z对应的点的坐标为(3,-3)位于第四象限.

故答案为：四.

【点睛】本题主要考查了复数儿何意义，以及复数的运算的应用，其中解答中熟记复数的表

示和复数的几何意义是解答的关键，意在考查推理与运算能力，属于基础题.

12.-i

【分析】直接算出答案即可.

【详解】i103=i3=-i

故答案为：-i

13.16

【分析】由复数的代数形式写出对应点坐标，进而求。乙、oz2,oz.-oz,,由，。4乙的

周长为IOZJ+|oz?।+|oz—oz?।,应用向量模的坐标计算求周长即可.

【详解】由题设，Z/2分别对应(4,-3),(4,3),

...OZ,=(4,-3),OZ2=(4,3),则OZ,-OZ2=(4,-3)—(4,3)=(0,-6),

OZtZ2的周长为|OZJ+1ON?|+1OZ|-OZ；|=16.

14.(l)m=-2；(2)m<-3或m>5

【分析】(1)由复数是纯虚数可得实部等于0,虚部不等于0,解不等式组即可.

(2)根据题意和复数的几何意义可得对应点的纵坐标大于0,解不等式即可.

【详解】⑴因为复数Z为纯虚数，所以《解得机=-2,

nr+5/M+6=0

所以当加=-2时，复数z为纯虚数；

(2)由复数的几何意义，z的对应点为(疗+5加+6,nr-2m-15),

又z在x轴上方，

得A??一27〃一15>0,国军得〃？<一3或相>5,

所以当机<-3或〃7>5时，复数z的对应点在x轴上方.

15.(1)w=±1

(2)m=-2

⑶一

【分析】(1)根据复数的概念列式可求出结果；

(2)根据复数的概念列式可求出结果；

(3)根据复数的儿何意义可求出结果.

【详解】(1)由题意得病-1=0