2024年高考数学一轮复习 一元函数的导数及其应用（解析版）

专题05一元函数的导数及其应用

一'知识速览

1、函数y=f(x)在x=xo处的导数

知识点1导数的概念2、导数的几何意义

3、函数f(x)的导函数

知识点2导数的运算本初等函数的导数笆

2、导数的运算法则

一元函数的导

数及其应用知识点3利用导数研究函数的单调性/1、费与函数的单调性的关系

-----------------------------------------------------------------------2、导数法求函数单调区间的步骤

知识点4导数与函数的极值.最值＜1、函数的极值

--------------------------------------------------------------------a2、函数的最值

二'考点速览

知识点1导数的概念

1、函数＞=/(%)在x=%o处的导数

一般地，称函数y=/(x)在x=xo处的瞬时变化率。°+弋](X。)=lim总为函数y=/(x)在x=%o处

LXA,Ax—0ZXX

的导数，记作/(&)或y\x=xof即f(xo)=limlim：(松+盘;于」。).

AX-0ZAA

2、导数的几何意义

函数兀0在点xo处的导数了(尤0)的几何意义是在曲线y=/(x)上点P(x0,%)处的切线的斜率(瞬时速度就是

位移函数s(。对时间/的导数).相应地，切线方程为y—yo=/(xo)(x—xo).

3、函数人尤)的导函数：称函数了(无)=lim^-------T------------为/(x)的导函数.

A%—>0

知识点2导数的运算

1、基本初等函数的导数公式

原函数导函数

“x)=c(c为常数)/W=o

»=X«(WGQ*)/(%)二犷一1

fix)=sinxf(x)=cosyc

fix)=cosXf(x)=_sin_x

段)=炉(4>0且存1)f(x)=a>c\n_a

f(x)=ex了④=炉

f(x)=logaX(X>0,Q>0且存1)，(')—xlna

f(x)=\nx(x>0)

2、导数的运算法则

(l)g)±g(x)]，=/(x)±g，(x)・

(2)'=f(x)g(x)+fix)g'(x).

f(x)-If(x)g(x)—f(x)g'(x)

一[gAp—(g…

知识点3利用导数研究函数的单调性

1、导数与函数的单调性的关系

在某个区间(。力)内，如果/'(%)",那么函数y=/(x)在这个区间内单调递增;

如果/'(X)<0,那么函数y=/(x)在这个区间内单调递减.

【注意】

(1)在某区间内/‘(可>0(r(%)<o)是函数/(力在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件;

(2)可导函数“X)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是对b),都有(/(%)<0)

且/'(%)在(。力)上的任何子区间内都不恒为零.

2、导数法求函数单调区间的步骤

(1)确定函数八%)的定义域；

(2)求/(%)(通分合并、因式分解)；

（3）解不等式/'（x）＞0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式/解集在定义域内的部分为单调递减区间.

知识点4导数与函数的极值、最值

1、函数的极值

（1）函数的极小值：函数y=/（x）在点x=a的函数值八a）比它在点x=a附近其他点的函数值都小,/（a）=0；

而且在点x=a附近的左侧了（x）＜0,右侧了（尤）＞0,则点。叫做函数〉=九¥）的极小值点,八。）叫做函数y=/（x）

的极小值.

（2）函数的极大值：函数y=/（尤）在点x=b的函数值八b）比它在点x=6附近其他点的函数值都大，/（b）=0；

而且在点x=6附近的左侧/（x）＞0,右侧/（无）＜0,则点b叫做函数y=/（x）的极大值点，负b）叫做函数y=/（x）

的极大值.

2、函数的最值

（1）在闭区间团，句上连续的函数式x）在［a,6］上必有最大值与最小值.

（2）若函数/（X）在［a,句上单调递增，则式a）为函数的最小值，犬6）为函数的最大值；若函数兀0在［a,b］

上单调递减，则式a）为函数的最大值，人力为函数的最小值.

I,•=n

［方法技巧J

一、求曲线“在”与“过”某点的切线

1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤

第一步（求斜率）：求出曲线在点（％,/（/））处切线的斜率/'（%）

第二步（写方程）：用点斜式y―/（玉））=r（xo）（x—%）

第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。

2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤

第一步：设切点为。（尤；

第二步：求出函数y=/（x）在点/处的导数广（昂）；

第三步：利用。在曲线上和广（%）=原0，解出/及广（%）；

第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y-/（%）=％）.

【典例1】（2023・陕西西安・西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数/（尤）=石-,，则曲线＞=/（尤）在

X

点（L/（D）处的切线方程为（）

A.3%+2y—3=0B.3%—2y—3=0C.2x—3y—2=0D.2x—3y+2=0

【答案】B

,113

【解析】/(D=0,切点为(1,0),f(x)=^+-.,k=fm=-,

所以切线方程为y=](尤-1),即3x-2y-3=0.故选：B

【典例2】(2023•西藏日喀贝『统考一模)已知直线好区+》是曲线/(司=*在点处的切线方程,

贝！Jk+6=_____________

【答案】e

【解析】由题设，/(D=eJ./V)=(x+l)e\则1(l)=2e,

所以，切线方程为y-e=2e(x-l),即y=2ex-e,

所以太=2e,6=-e,故左+Z?=e.

【典例3】(2023・云南•校联考模拟预测)曲线y=(x-4)e，过坐标原点的切线方程为.

【答案】j=-e2x

【解析】设切点为(加,%),则%=@-4)3，

/=1+(尤一4)e*=(x-3)e*,切线的斜率为(x°-3)e-，

所以切线方程为'-(%-4川=(Xo-3)eF(x-Xo),

又切线过原点，所以。-(尤0-4)1。=(%-3把%(0-七)，即尤;一4尤。+4=0,

解得X。=2,所以切线方程为＞=-62》

【典例4】(2023•陕西宝鸡・统考二模)若过点(°?)可作曲线、=^+3/+6+“-2的三条切线，则”的取

值范围是()

A.(-3,-1)B.(-2,2)C.(4,5)D.(4,6)

【答案】C

【解析】设切点为尸(天,片+3看+%,+4-2),

由函数y=x3+3x?+办+。-2,可得y'=3x?+6尤+a,则y'忆须=3*+6%+a

所以在点尸处的切线方程为y-(X+3%o+ax0+a-2)=(3xg+6毛+a)(x-%),

因为切线过点(0,2),所以2-(片+3*+“)+a-2)=(3尤;+6xo+a)(O-xo),

整理得+3XQ+4—a=0,

设g(%)=2尤3+3尤2+4-di,所以gr(x)=6x2+6x,

令g'(x)>。，解得xv—l或％>0,令g'(x)<0,解得一

所以g(x)在(f，T)上单调递增，在(T。)上单调递减，在(0,+。)上单调递增，

要使得过点(0,2)可作曲线y=三+3/++〃一2的三条切线，

则满足1,八，解得4<〃<5,即。的取值范围是4,5.故选：C.

二、含参函数单调性讨论依据

(1)导函数有无零点讨论(或零点有无意义)；

(2)导函数的零点在不在定义域或区间内；

(3)导函数多个零点时大小的讨论。

【典例1】(2023•全国•高三对口高考)已知函数〃无)=(—-2ax)ln尤尤2+2ax(aeR),求函数/'(%)的

单调区间.

【答案】答案见解析.

【解析】函数/(x)=(f—26)1!1无一(无2+26的定义域为(0,+功，求导得/'(x)=2(x-a)lnx,

当aWO时，x-a>0,由/'(x)>0,得x>l,由/'(尤)<。，得0<x<l,

因此函数"X)在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减；

当0<°<1时，由/'(尤)=0,得x=l或x=。，

当0<x<a或x>l时，f'{x}>0,当a<x<l时，/'(无)<0,

因此/(无)在(0,。)，(1,+8)上单调递增，在(。,1)上单调递减；

当。=1时，/'(x)=2(x-l)lnxN0恒成立，当且仅当x=l时取等号，因此Ax)在(0,+8)上单调递

增；

当°>1时，当0<x<l或了>。时，f\x)>0,当1cxea时，f'{x)<0,

因此/(x)在(0,1),(。,位)上单调递增，在(1,。)上单调递减，

所以当aV0时，/(尤)的单调递增区间为(1,口)，单调递减区间为(0,1)；

当0<。<1时，〃幻的单调递增区间为(0,a),(1,+co),单调递减区间为3,1)；

当。=1时，/⑺的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间；

当时，了(戈)的单调递增区间为(0,1),3”)，单调递减区间为

【典例2】(2023•全国•高三专题练习)讨论函数〃元)=lnx+g尤2_2%(加©R)的单调性.

【答案】答案见解析

【解析】函数〃x)的定义域为(0,+8),

求导得:3」+7==丁—23+1,

XX

令/'(x)=0,得♦—2MTX+1=0,其中△=4疗-4.

当〃小0时，/^%)>0,故/(X)在(0,+8)上单调递增；

当0<〃心1时，A=4m2-4<0,则/'(尤)上0,故〃彳)在(0,+。)上单调递增；

当口>1时，A=4m2-4>0,由x?—2mx+l=0得X]=/〃一，〃)一1>0,=m+y/m2—1>0>

所以xe(O,x,)或xe(X2，+°°)时，/^)>0；彳€(%,々)时，/，(%)<0,

所以〃x)在(。,可)，(々,W)上单调递增，在(玉,马)上单调递减.

综上所述，当加£1时，/■(%)在(。,+8)上单调递增；

当r>1时，/(x)在1(m+dm2T,”)上单调递增,

在(“2-y/m2-1,m+yjm2-1)上单调递减.

三、已知函数的单调性求参数

(1)函数4%)在区间D上单调增(单减)=/'。)20(«0)在区间口上恒成立；

(2)函数/(%)在区间D上存在单调增(单减)区间=/'。)>0(<0)在区间口上能成立；

(3)已知函数/(%)在区间D内单调=/'(x)不存在变号零点

(4)已知函数/(%)在区间D内不单调=/'(x)存在变号零点

【典例1】(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃”=四£-Inx在区间(1,2)上单调递增，则。的最小值为

().

A.e1B.eC.e-1D.e-2

【答案】C

【解析】依题可知，[(刈=君-20在(1,2)上恒成立，显然。>0,所以

设g(x)=xe\xe(l,2),所以g[x)=(x+l)/>。，所以g(x)在(1,2)上单调递增，

g(x)>g(l)=e,故即即a的最小值为故选：C.

ae

【典例2】(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=(lT)lnx+依在。,内)上不单调，则。的取值范围

是()

A.(0,+oo)B.(-co,0)C.[0,+co)D.(~oo,0]

【答案】A

【解析】依题意尸(x)=-lnx+4+a-1,故/V)在(1,+⑹上有零点，

尤

令g(x)=-lnx+、+a-1,令g(x)=O,得a=lnx」+l,

xx

令z(无)=lnx-』+l,则z，(x)=』+4，

xxx

由x>l,得，(尤)>0,z(x)单调递增，又由z⑴=0,得z(x)>0,

故“=z(尤)>0,所以，。的取值范围(0,+8)故选：A

【典例3】(2023•全国•高三专题练习)若函数/(尤)=依3-3/+了+1恰有三个单调区间，则实数。的取值

范围为()

A.[3,+co)B.(-oo,3)C.(-oo,0)u(0,3)D.(-<»,0)

【答案】C

【解析】由题意得函数〃尤)的定义域为R,r(x)=W-6x+l,

要使函数/(尤)=加-3d+x+1恰有三个单调区间，

，/、[awO

则((无)=0有两个不相等的实数根，A=36_12a>0'解得"3且"0,

故实数a的取值范围为(—,0)5°，3)，故选：C.

四、构造函数法解决函数问题中的常见类型

关系式为“加”型一构造：

(1)/'(x)g(x)+/(x)g'(x)构造"(x)g(x)]，=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)

(2)xf'(x)+f(x)>0构造W(x)]'=V'(x)+/(x)

(3)/'(x)+/(x)>0构造[e"(x)]'=/"'(x)+/(x)]

(4)#'(x)+W(x)之0构造=x"/(x)+nx,!~'/(x)=xn~l[jtf(x)+rif(x)](注意x的符号)

(5)f(x)+Af(x)构造"(尤)*7=八机疝+A(x)d=a[/(无)+炉(刈

关系式为“减”型构造:

(6)/'(x)g(x)-/(x)g'(x)构造[■/(，，=/(x)g(x)i/(x)g(x)

g(尤)[g(x)]2

(7)#'(x)-/(x)>0构造[9]'=，⑴;

XX

(8)/'(x)-/(x)>0构造[幺当=⑴

e(e)e

(9)#'(x)_W(x)N0构造=%，(x)-7“T/(x),xf(x)-y(x)(注意》的符号)

xn(x〃)xn+

(10)r(x)—/(x)构造[&1]，=也度二至Q=&2d2

e&[e^]2e疝

【典例1](2023春•重庆•高二校联考期中)已知定义在R上的函数/⑺满足：xf'M-/(x)>0,且/⑴=2,

则f(e，)>2e，的解集为()

A.(0,+ao)B.(ln2,+<o)C.(1,+<»)D.(0,1)

【答案】A

【解析】设g(x)=也，%>0,

X

因为矿(X)-/(x)>0,所以gG)=")[(x)>0,所以g(x)在(0,+刈单调递增，

X

因为/(1)=2,所以g6=半=2,

由f(e')>2ex,旦eCO得上1^>2,则g(e)=亭2>2=g⑴，

所以e*>l=e°,又>=^在(0,+6)单调递增，所以xe(0,+8),故选：A.

【典例2](2023春・江西南昌•高二校联考阶段练习)若定义域为(。,+巧的函数“X)满足2〃力+矿(力>0,

f⑴

则不等式f(x+l)<的解集为______.

(X+1)

【答案】(-1,0)

【解析】由xe(O,+«)时，函数满足2/(%)+矿(%)>0,可得2#(%)+只-(%)>0,

设/z(x)=x2/(x),x>0,则力'(x)=2xf(x)+尤2尸(x)>0,故〃(x)在(0,+e)上单调递增,

<"1)

由〃x+l)即(尤+1)2/(尤+1)</(1),即

(x+l)2h(x+D<h(l),

f⑴

所以0<x+l<l,解得一1<%<0,所以/(x+1)〈尸*的解集为(—1,0).

(x+1)

【典例3】(2023春•四川宜宾•高二校考期中)已知/(无)是定义在(f,+8)上的函数，导函数7'⑶满足

/'(x)</(x)对于尤eR恒成立，贝|()

A./⑵〉e2/(0),/(2023)>e2027(0)B./(2)<e2/(0),/(2023)>e2023/(0)

C.A2)>e"(0),/(2023)<e2023/(0)D./(2)<e2/(0),/(2023)<e2027(0)

【答案】D

【解析】设函数尸")=与，由r(x)</(x),可得尸，⑺=小了^<0,

所以尸(X)在R上单调递减，

则尸⑵<尸(0),得工学<工(21,即/⑵<eRo),

e1

贝1斤(2023)(尸(0),得/笑3)〈半,gp/(2023)<e2027(0).«：D

五、单变量不等式恒成立问题

一般利用参变分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：

1、\/x&D,m<f(x)f

2、VxeD,m>f^x)om>f(x)mM

3、3%eD,m<f(x)<^m<f(x)max

4、3%eD,m>f(x)m>f(x)niin

【典例1】(2023•全国•高三专题练习)若对于x21,不等式。(x-l)-lnxNO恒成立，则参数。的取值范围

为.

【答案】［1,+8)

【解析】令"x)=a(x-l)-可得广⑺=。―:=叩，

若a<0时，r(x)<o,/(尤)单调递减，

又由/。)=0,所以当时，可得/•(x)WO,不符合题意，舍去；

若0<a<l时，令/''(%)=0,可得

当无e[l」)时，/'(x)<0,7'(x)单调递减；

a

当xeg,+8)时，/^x)>0,“X)单调递增；

又由〃1)=0,所以存在/使得"x)<0,不符合题意，舍去；

若421时，令(⑺=0,可得x=：41,

当尤e[l,+8)时，f^x)>0,单调递增，且/(1)=0,

所以当X21时，〃x)2〃l)=0恒成立，符合题意，

所以实数。的取值范围为[1,+8),

【典例2】(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=lnx+a,若对任意的xe[1]],/(力4-:恒成立,

求实数。的取值范围.

【答案】

【解析】解法一，由在xe[l,e2]上恒成立，得j+lnx+aV0在无€口4]上恒成立，

即a<----Inx在xe[1,e?]上恒成立

令g(x)=一二一Inx,%e[l,e2],贝ljg'(x)=^_工.

当l〈x<2时，g'(x)>0,当2cxVe?时，g'(x)<0,

所以g(元)在[L2)上单调递增，在(2,e2]上单调递减，所以8(尤)*=0±1卜⑴,g@)}

因为g(l)=—2,^(e2)=---Ine2=---2<-2,所以gG).=且(')=_/—2,

所以。4-马-2,即实数。的取值范围为(-巴-义-2.

解法二，由/(尤)4-"I在xe[l,e2]上恒成立，得2+ln尤+aVO在xe[l,e2]上恒成立.

令g(x)=：+lnx+a,xe[l,e2],则g(x)满足8(耳皿4。即可

91X—?

g，(力=_/+；=于,当l<x<2时，g<x)<0,当2<x4e2时，g'(x)>0,

所以g(x)在[1,2)上单调递减，在(2,e[上单调递增，所以g(尤)111ax=max{g⑴,g(e2)}.

222

因为g(l)=2+。，g(e2)=^-+lne2+a=-^-+2+a>2+a,所以g(x)ma*=g(e,=3+2+。4。，

所以。4-马-2,即实数。的取值范围为1-8,-马-2.

e-Ie-」

六、双变量不等式与等式

一般地,已知函数y=/(x)，x«a,b],y=g(x),x&[c,d\

1、不等关系

(1)若％e[a,可，网小,田，总有/(%)<g(%)成立,故/(力1rax<8⑺如；

(2)若“&[a,b\,玉2*0,有/(%)<g(%)成立,故〃x)1mx<g(x)1mx；

(3)若叫e[a,句,V/e[c,d],有/(%)<g(w)成立，故/(x)111fa<8(力.;

(4)若叫,玉24Go，有/&)<g(苍)成立，故〃x)1nhi<8(制胸.

2、相等关系

记3=f(x),xe[a,可的值域为A,y=g(x),x&[c,d]的值域为B,

(1)若依目。，句,Hx2e[c,J],有f&)=g(w)成立,则有A=B;

(2)若叫e[a,b],\/电力,心，有/a)=g(9)成立，则有A卫B;

(3)若初&[a,b\,3X2e[c,d],有/(占)=8仇)成立，故；

一般利用参变分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：

1、VxeD,m<f(x)<^m<f(x)m.n

2、VxeD,m>f(x)<^>m>f(x)nm

3、3xeD,m<f(x)<^>m<f(x)^

4、3x&D,m>f(x)<^m>f(x)mjn

【典例1】(2023春•四川宜宾•高二校考期中)已知函数〃x)，+ln尤-上g(x)=-^x3+|x2-x,对任意

x332

的西,々€1,2,都有成立，则实数a的取值范围是()

A.—,+℃B.—,+℃C.|-8,-D.(e,+8)

LeJIeJI，」

【答案】A

32

[解析]g(x)=--x+-x-xf贝Ijg'(x)=_2x2+3x_]=_(2x_l)(x_l)，

令g，(x)<0,解得了>1或无<L令g'(x)>0,解得」<x<l,

22

xeI，2,故g(x)在单调递减，在g,1单调递增，在。,2]单调递减，

L021小1乜1

且g&=_肃_公<86=一公，故g(%)max=g(D=_/，

^3701OOO

任意的占,9eI，2,都有“占)*(%)成立，则/(x)1nll,上g(.x)皿，

因为/。)=@+缶尤一3,贝4/(尤)=一胃+工=W，

x3xxx

当44o时，/'(x)>0"(x)在1,2单调递增，

所以/(x)mm=/1]=3〃7n3-g,

2111

故3a—In3—2—,即“2—ln3H—>0(舍去)；

3636

当。>0时，令/(%)>0,解得%>〃；令/(x)<0,解得0<x<〃，

故/«在(0,。)上单调递减，在3位)上单调递增，

所以/(尤)min=/(")=；+I11。，

111,1

所以；+ln〃N—二，BP\na>~-,解得〃2匕2=空，

362e

综上所述，实数。的取值范围为逅,故选：A

Le)

1]nY

【典例2】(2023•全国•高三专题练习)己知函数/x=2x+=-4,函数gX)=——m,若对任意的

x尤

占e[l,2],存在-，e2,使得〃占)<g(z),则实数机的取值范围为______.

|_e

【答案】~’:一)

【解析】由题意得“xj1mx<g⑸…

因为〃x)=2-卞，

当xe[l,2]时，r(x)>0,故〃x)在[1,2]上单调递增，/(x,)max=/(2)=^.

因为/(x)=匕”，

当xw时，g'(x)>。，当xw(e,e2］时，g,(x)<0,

故g(x)在Le］上单调递增，在(e,e［上单调递减，g(x2)max=g(e)=--m.

_eJe

由/(xJaWgGL,即；4一相，解得加.

易混易错

易错点1复合函数求导错误

点拨：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即

【典例11(2023•全国•高三专题练习)求下列函数的导数.

⑴〃尤)=(-2x+l):(2)/(^)=In(4^-1)；(3)/(X)=23JC+2(4)/•(尤)=g尤+4；

45

【答案】⑴⑵g；⑶3x*"；⑷

2y5x+4

【解析】(1)因为〃％)=(—2X+1)2=4M—4X+1,所以/'(尤)=8%-4.

(2)因为"x)=ln(4xT),所以尸("=金.

(3)因为〃x)=23z,所以r(x)=3x23»n2

⑷因为小)=61,所以广⑺三舟7=高7

【典例2】(2023•全国•高三专题练习)求y=ln(x+Jl+x2)的导函数.

J1+X」

【答案】

1+X2

【解析】因为(X+VI77)'=i+2——(1+^2/

,,1(c—rViJi+-+x1Jl+12

所eci以.y=——x+Vi+x2=——^=.2L^=^=i----1

x+\/l+x2、'x+\Jl+x2Jl+^^/1+x21+%

故答案为：互三

1+X2

易错点2误解“导数为0"与"有极值”的逻辑关系

点拨：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两

侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导

数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为。只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条

件是/(%)=0且f'(x)在/两侧异号。

【典例1】(2022秋・辽宁鞍山•高三校联考期中)已知定义域为(0,+«0的函数/⑴的导函数为了'(X),且函

数g(x)=(log3X-l)-广(x)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是()

A.)⑺有极小值/(6),极大值/⑴B./(x)有极小值f(6),极大值/(10)

C.Ax)有极小值/⑴，极大值”3)和f(10)D./(尤)有极小值/⑴，极大值/(I。)

【答案】D

【解析】观察图象知，当g(x)>。时，0<x<l或3<x<10且xw6,

当gQ)<0时，l<x<3或x>10,

而当0<x<3时，log3x-l<0,当x>3时，log3x-l>0,

因此当。<无<1或x>10时，/'(x)<0,

当l<x<10时，当且仅当x=6时取等号，

则以x)在(0,1),(10,+8)上单调递减，在(1,10)上单调递增，

所以/(x)有极小值/⑴，极大值f(10),A,B,C不正确；D正确.故选：D

【典例2】(2022秋.北京.高三北京铁路二中校考阶段练习)设函数f(x)的定义域为R,飞(飞/0)是了(同

的极大值点，以下四个结论中正确的命题序号是.

①VxeR,f(x)<f(x0);②-%是的极大值点；

③-尤。是-〃力的极小值点；④f是-〃T)的极小值点

【答案】②④

【解析】对于①：看是f(X)的极大值点，并不一定是最大值点，即①错误；

对于②：因为y=〃-x)与y=〃x)的图象关于，轴对称，

且X。(%w0)是“X)的极大值点，

所以一与应是“T)的极大值点，即②正确；

对于③：因为y=-/⑺与y=/⑺的图象关于X轴对称，

且X。(%w0)是“X)的极大值点，

所以％应是-/(无)的极小值点，

且无法判定-4是(x)的极小值点,即③错误；

对于④：因为y=-/(r)与y=的图象关于(0,0)对称，

且X。(%w0)是“X)的极大值点，

所以-不应是-/(-X)的极小值点，即④正确；故答案为：②④.

14

【典例3】(2023•全国•高三对口高考)如果函数/(无)=-3元3+灰2+。尤+儿在％=1处有极值一§,贝肥+c的

值为.

【答案】2

【解析】因为函数/(%)=-§1%3+h2+5+6。在％=1处有极值一§4,

4

所以八1)=0,/(1)=--.

由于/'(尤)=-x2+2bx+c,

14

所以广⑴=T+2b+c=0,f(^=-_+b+c+bc=--,

\b=l1qo

当，时，f（x）=--x3+x2-x-l,

[c=—l3

/（的=一尤2+2%-1=一（无一1）240,所以"x）单调递减，无极值.

所以6+c=2.故答案为：2

易错点3对“导数值符号”与"函数单调性"关系理解不透彻

点拨：一个函数在某个区间上单调增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于

0,且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大(小)于0仅为该函数在此

区间上单调增(减)的充分条件。

【典例1】(2023•陕西西安・统考三模)若函数y(x)=f-⑪+lnx在区间(l,e)上单调递增，贝心的取值范围

是()

A.[3,+<»)B.(一刃,3]C.[3,e2+l]D.[3,e2-l]

【答案】B

【解析】因为函数/(x)=x2-融+出工在区间(Le)上单调递增，

所以尸(x)=2x-a+』20在区间(l,e)上恒成立，即a4在区间(l,e)上恒成立，

XX

令g(x)=2x+?l<x<e),则g,(x)=24=^、5+1)产-J>0,

xXXX

所以g(x)在(Le)上递增